Convergencia con variables aleatorias Virgilio L. Foglia November 25, 2007 Octubre 2006

Contents 1 Lema de Borel-Cantelli 1.1 De…niciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Lema de Borel-Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 3 4

2 Desigualdades con variables aleatorias 2.1 Desigualdad de Markov . . . . . . . . 2.2 Teorema de Tchebichev . . . . . . . . 2.3 Desigualdad de Kolmogorov . . . . . . 2.3.1 Observación . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

4 4 4 5 5

3 Convergencia con variables aleatorias 3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Conjunto de convergencia . . . . . . . 3.3 Convergencia punto a punto . . . . . . 3.3.1 Observación . . . . . . . . . . . 3.4 Convergencia en casi todo punto . . . 3.4.1 Dos de…niciónes equivalentes . 3.5 Convergencia en Probabilidad . . . . . 3.6 Convergencia en media Cuadrática . . 3.6.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . 3.7 Convergencia en Distribución . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

5 5 6 7 7 7 8 8 9 9 9

4 Relación entre los tipos de Convergencia 4.0.1 Observación . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Ejemplos de implicaciones que no son válidas . . c:t:p P 4.1.1 Ejemplo 1 (Xn ! X : Xn ! X) mc P 4.1.2 Ejemplo 2 (Xn ! X : Xn ! X) c:t:p: mc 4.1.3 Ejemplo 3 (Xn ! X : Xn ! X)

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

10 12 12 12 13 13

1

5 Conservación por Funciones continuas 6 Leyes de los grandes números 6.1 Ley débil de los grandes números . 6.1.1 Comentarios . . . . . . . . 6.2 Ley fuerte de los grandes números 6.2.1 Comentarios . . . . . . . .

. . . .

. . . .

14 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

15 15 15 16 16

7 Teorema de la Convergencia Dominada 17 p 7.0.2 Ejemplo Xn ! X ; E(Xn ) ! E(X) . . . . . . . . . . 17 8 Alcances de los tipos de convergencia

17

9 Problemas 18 9.0.3 Problema 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 9.0.4 Problema 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 9.0.5 Problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1 1.1

Lema de Borel-Cantelli De…niciones previas

Sea ( ; A; P ); un espacio de probabilidad, y A1 ; A2 ; :::; An ; :: una sucesión de sucesos. Notar que cuando se efectúa el experimento aleatorio ", y surge como resultado un ! 2 ; habrán algunos An ; de la sucesión de sucesos, que se realizarán, y otros que no. Si estamos interesados en los ! 2 ; que hacen que se realicen por lo menos uno de los An de la sucesión, estaremos interesados 1 S en el suceso A = Ai : Por otro lado si nos interesan los ! 2 ; que hacen i=1

que se realicen todos los An de la sucesión, estaremos interesados en el suceso 1 T A= Ai : En relación a estos sucesos valen las siguientes proposiciones: i=1

Si An

An+1 y A =

1 [

Ai =) P (A) = l{m P (An )

(1)

1 \

Ai =) P (A) = l{m P (An )

(2)

n!1

i=1

Si An

An+1 y A =

i=1

n!1

Aunque no se demuestran, son bastante naturales. Pero en temas de convergencia con variables aleatorias suelen interesar otros sucesos, también construidos con los An . Por ejemplo pueden intereasar los ! 2 ; que hacen que se realicen in…nitos An . De otra manera, no importa cuanto avancemos el indice k; siempre encontraremos más adelante, sucesos que se realizarán. Se de…ne entonces el límite superior (A1 )de una sucesión de sucesos así:

2

Límite superior 1 [ 1 \

A1 =

k = 1n = k

An = f! 2

: ! está en in…nitos An g

(3)

Por último, pueden interesar los ! 2 ;que hacen que se realicen todos los An a partir de cierto indice.Se de…ne entonces el límite inferior (A1 )de una sucesión de sucesos así: Límite inferior 1 \ 1 [ A1 = An = f! 2 : ! está todos los An a partir de cierto n0 g (4) k = 1n = k

1.2

Lema de Borel-Cantelli

Sea ( ; A; P ); un espacio de probabilidad, y A1 ; A2 ; :::; An ; :: una sucesión de sucesos. 1 X (a) Si P (An ) < 1 =) P (A1 ) = 0 n=1

1 X

(b) Si

n=1

P (An ) = 1 y An son independientes

=) P (A1 ) = 1

Para ambas demostraciones usamos que: 1 [ 1 1 \ [ 1 P (A ) = P ( An ) pero An es una sucesión decreciente k = 1n = k

en k ya que 1 1 [ [ An An n=1

n=k

1 [

n=2

:::: y usando (2) P (A1 ) = l{m P (

An

k!1

n=3

1 [

An )

n=k

Dem(a): P (A1 ) = l{m P ( k!1

1 [

An )

1 [

An ) = 1

l{m

1 X

k!1 n=k

n=k

P (An ) = 0 (usando la hipótesis)

Dem(b): P (A1 ) = l{m P ( k!1

Pero P (

1 \

Acn )

n=k

= l{m P ( m!1

n=k

pero 8p; 0 P(

1 \

n=k

Acn )

p

1 vale 1 l{m

m Y

e

m!1 n=k 1

m \

l{m P (

k!1

Acn )

n=k

p

P (An )

e

1 \

n=k

= l{m

p

luego

m!1

3

m Y

m!1 n=k

= l{m e

Luego resulta que P (A ) = 1:

Acn )

m X

n=k

(1

P (An ))

P (An )

= 0 (por hipótesis)

1.2.1

Corolario

Si aplicamos leyes de Morgan a A1 = (A1 )c =

1 [ 1 \

1 \ 1 [

An resulta

k = 1n = k

Acn = (Ac )1

k = 1n = k

Luego si en lugar de la sucesión A1 ; A2 ; :::; An ; ::consideramos la sucesión de complementos, o sea Ac1 ; Ac2 ; :::; Acn ; :el Lema de Borel-Cantelli queda expresado: (a) Si

1 X

n=1

(b) Si

P (Acn ) < 1

1 X

n=1

2

=)

P (A1 ) = 1

P (Acn ) = 1 y An son independientes

=)

P (A1 ) = 0

Desigualdades con variables aleatorias

Ahora se presentan algunos teoremas que permiten en condiciones muy generales, acotar el calculo de ciertas probabilidades.Como no se asume el conocimiento de las distribuciones de las v.a. involucradas, solo algunas medias y desvíos, las cotas proporcionadas son en general muy malas desde un punto de vista práctico. Sin embargo, son muy útiles para estudiar convergencia con variables aleatorias.

2.1

Desigualdad de Markov

Sea X una v.a. g : R ! R 0 ; y par g no decreciente en módulo E(g(x)) < 1 Dem:

9 > > = > > ;

P (jXj

=)

")

E(g(x))=g(")

Como g(x) g(") para jXj " y g(x) 0 para jXj < " Resultará g(x) g(") IjXj " (X) luego E(g(x)) g(") E(IjXj " (X)) = g(")P (jXj

2.2

")

Teorema de Tchebichev

Si X es una v.a. con

2

> > = > > > ;

P (max jSi j

=)

1

i

V ar(Sn )="2

")

n

Si aplicamos la desigualdad de Tchebichev a la v.a. Sn resulta P (jSn j

V ar(Sn )="2

")

Pero en la desigualdad de Kolmogorov aparece P (max jSi j 1

como

fjSn j

"g

(

max jSi j 1

i

n

"

)

resulta P (jSn j

i

"). Sin embargo

n

")

P (max jSi j 1

i

")

n

Luego la a…rmación de Kolmogorov es más fuerte, ya que P (jSn j

3 3.1

")

P (max jSi j 1

i

")

V ar(Sn )="2

n

Convergencia con variables aleatorias Introducción

Sea un experiento aleatorio ", y un espacio de probabilidad ( ; A; P ). Se de…ne la sucesión de variables aleatorias X1 : !R X2 : !R ............ Xn : !R ............

y

X:

!R

Queremos analizar en que sentido podemos hablar de convergencia de la secuencia X1 ; X2 ; :::Xn :::: a X: Obviamente la intención es ver si para n grande, podemos reemplazar Xn por X en algún sentido y, en caso a…rmativo, precisar el alcance de este reemplazo. O sea podremos para n grande: aproximar P (Xn 5 a) por P (X 5 a) ? aproximar E(Xn ) por E(X) ? si Z es otra v.a. de…nida en el mismo espacio, aproximar Xn ;Z por X;Z ?

5

Ejemplo Sea el experimento ":"tirar in…nitas veces una moneda", y supóngase de…nido un espacio de probabilidad ( ; A; P ): Luego, un resultado del experimento ", tiene el aspecto: ! = (c; s; s; c; s; c; c; c:s; s; c; s; ::::::) Sea la variable aleatoria X: "probabilidad de cara en el primer tiro", que en realidad es la constante 1/2. Se de…nen para cada ! 2 : X1 (!): "(número de caras en la primera tirada de ! )/ 1" X2 (!): "(número de caras en las dos primeras tiradas de ! )/ 2" X3 (!): "(número de caras en las tres primeras tiradas de ! )/ 3" ....................................................................................... Xn (!): "(número de caras en las n primeras tiradas de ! )/ n" .................................................................................... En este ejemplo queremos investigar, la posible convergencia de la secuencia de variables aleatorias a la constante 1/2.

3.2

Conjunto de convergencia

Como las variables aleatorias X1 ; X2 ; :::Xn ; ::y X, son en realidad todas funciones de ! R; notar que para cada ! 2 , X1 (!); X2 (!); :::Xn (!); ::es una sucesión de números reales, y X(!) es también un número real. Entonces ! 2 será un punto de convergencia de la sucesión Xn (!) a X(!) sii 8" > 0; 9no 2 N; tq. si n Si designamos puntual = f! 2

no =) jXn (!)

; el conjunto de puntos ! 2

X(!)j < "

; en que se da la convergencia

: 8" > 0; 9no 2 N; tal que si n

no =) jXn (!)

X(!)j < "g

en palabras: ! será un punto de convergencia, si 8" > 0; a partir de cierto no se cumple siempre jXn (!) X(!)j < " Pero se expresará este conjunto de otra forma. 8 < \ = ! 2 : 8" > 0; 9no 2 N; con (jXn (!) : n=n0

8 < = !2 :

: 8" > 0;

1 \ [

n0 =1n=n0

6

(jXn (!)

9 = X(!)j < ") ;

9 = X(!)j < ") ;

(5)

Como nos vemos en la necesidad de veri…car el cumplimiento de una in…nidad de condiciónes, de…nimos para cada " > 0; la sucesión de sucesos A"n = f! 2

: jXn (!)

(jXn (!)

X(!)j < ") =

y entonces como [ \

[ \

n0 =1n=n0

n0 =1n=n0

= f! 2

3.3

X(!)j < "g

A"n = A"1

: 8" > 0; ! 2 A"1 g

(6)

Convergencia punto a punto

Esta de…nición de convergencia es la clásica del análisis, para la convergencia de sucesiones de funciones Xn ! X

sii

=

(7)

O sea, la sucesión de variables aleatorias X1 ; X2 ; :::Xn ; ::converge a la variable aleatoria X, cuando la sucesión real X1 (!); X2 (!); :::Xn (!); ::converge a X(!), en todo punto ! 2 . Notar que en esta de…nición, si bién suponemos que tanto las X1 ; X2 ; :::Xn ; :como X; pertenecen a un mismo espacio de probabilidad ( ; A; P ); no interviene para nada el P del espacio de probabilidad. 3.3.1

Observación

Esta de…nición de convergencia es demasiado fuerte. Notar que exige, para todo resultado ! 2 ;la convergencia de la sucesión de números reales X1 (!); X2 (!); X3 (!); :::::::Xn (!)::: a X(!) Si en el ejemplo, al efectuar el experimento aleatorio, el resultado es ! = (c; c; c; c; c; c; c; c:c; c; c; c; :::::) (o sea salen todas caras), la sucesión de valores de las Xn (!) sería 1,1,1,1,1,1,: : :que claramente no converge a 1/2. La pregunta aquí es: ¿serán "muchos" los ! 2 en que no se da la convergencia?

3.4

Convergencia en casi todo punto

Esta es la primera de…nición de convergencia en que haremos uso del concepto de probabilidad. Aquí sí interviene el P del espacio ( ; A; P ): Debemos aceptar que a veces, como en la observación anterior, obtendremos como resultado del experimento aleatorio, un ! 2 en que no se logra la convergencia. Pero si el conjunto de estos resultados tiene probabilidad cero, no estaremos restringiendo mucho la de…nición de convergencia (o, lo que es lo mismo, si el conjunto ; de resultados en que se da la convergencia tiene probabilidad 1).De…niremos entonces: c:t:p: Xn ! X sii P( ) = 1 (8) 7

3.4.1

Dos de…niciónes equivalentes

Si recordamos el conjunto de ! 2 ; en que se da la convergencia puntual = f! 2

: 8" > 0; 9no 2 N; tal que si n

no =) jXn (!)

que en (5) lo expresamos como: 8 1 \ < [ = ! 2 : 8" > 0; (jXn (!) : n0 =1n=n0

X(!)j < "g

9 = X(!)j < ") ;

obviando detalles, la condición P ( ) = 1; equivale a pedir que 8" > 0; P (

1 \ [

(jXn (!)

X(!)j < ")) = 1

n0 =1n=n0

o sea Primera de…nición: 8" > 0; P (A"1 ) = 1

(9)

y también usando (1), esto equivale a: Segunda de…nición: 8" > 0; l{m P ( n0 !1

\

(jXn (!)

X(!)j < ")) = 1 (10)

n=n0

Notar que para veri…car el cumplimiento de la primera de…nición, se puede usar la parte (a) del Corolario de Borel-Cantelli, ya que si se cumple : 8" > 0

1 X

n=1

P (A"c n )

=

1 X

P (jXn (!)

X(!)j

n=1

") < 1 =) P (A"1 ) = 1

Por otro lado, el cumplimiento de la parte (b) del Corolario de BorelCantelli da una condición su…ciente para el no cumplimiento de la convergencia en c.t.p. ya que implica P (A"1 ) = 0 6= 1: Respecto de la segunda de…nición, quiere decir que 8" > 0; se podrá encontrar un n0 ; tal que el conjunto de los ! en que vale jXn (!) X(!)j < " desde n0 en adelante, tendrá probabilidad tan cercana a 1 como se quiera.

3.5

Convergencia en Probabilidad

Analizando el último comentario, todavía podemos disminuir las exigencias en una de…nición de convergencia, que sin embargo sea útil para las variables aleatorias. Eliminando la parte en negrita del comentario (a la segunda de…nición de convergencia en casi todo punto), queda la de…nición de convergencia en probabilidad: P Xn ! X sii 8" > 0; l{m P (jXn Xj < ") = 1 (11) n!1

8

Ejemplo En el problema de las monedas, si Cn :"número de caras en las n primeras tiradas de !" resulta C pn v Bi (n; 1=2): Y como Xn = Cn =n; también E(Xn ) = 1=2; y (Xn ) = 1=(2 n). Luego por Tchebishev 8" > 0; 1

P (jXn (!)

1=2j < ")

1=(4n"2 )

1 P

y tomando límite para n ! 1; resulta que Xn ! 1=2

3.6

Convergencia en media Cuadrática

Dada la sucesión X1 ; X2 ; ::; Xn ; :: y X; todas en el mismo espacio ( ; A; P ): Se de…ne convergencia en media cuadrática: MC

Xn ! X

sii

l{m E(Xn

n!1

X)2 = 0

(12)

Notar que esta de…nición de convergencia, a diferencia de la convergencia en probabilidad, requiere la existencia de las esperanzas E(Xn X)2 : 3.6.1

Teorema

)

l{m E(Xn ) =

n!1

l{m V ar(Xn ) = 0

n!1

=)

MC

Xn !

Dem: E(Xn )2 = V ar(Xn ) + (E(Xn ) )2 y tomando límite. Este teorema es útil en estadística, ya que si se tiene una sucesión de estimadores que son asintóticamente insesgados,o sea X1 ; X2 ; : : : ; Xn ; : : : con MC E(Xn ) ! ; cuya varianza V ar(Xn ) ! 0; resultará Xn ! ; y también, como p se verá en (14) esto implica que Xn ! ; o sea la sucesión de estimadores será consistente.

3.7

Convergencia en Distribución

En los cuatro tipos de convergencia estudiados hasta ahora teníamos la sucesión X1 ; X2 ; X3 ; :::Xn ; :: y X; todas de…nidas en el mismo espacio ( ; A; P ); y la convergencia resultaba de exigir distintas condiciones de cercanía entre los miembros de la sucesión y X: Y en el caso de convergencia en casi todo punto, y en probabilidad, la veri…cación de la convergencia solía no ser tarea fácil, ya que exigía conocer el comportamiento probabilístico conjunto de los elementos de la sucesión y de X: Que tal si ahora consideramos la sucesión de funciones de distribución de las variables que integran la secuencia: FX1 ; FX2 ; FX3 ; ::::::FXn ; ::: y que esta sucesión de funciones converge a una función de distribución FY ;(que no tiene porque coincidir con FX ; ya que no hicimos intervenir para nada a X en esta convergencia, es mas, podemos desconocer a X).Se dice entonces que D Xn ! Y: Pero notar que esto es un abuso de notación por dos motivos: 9

en realidad la convergencia es entre FXn ! FY la variable Y es una variable dummy, representa cualquier variable aleatoria que tenga por función de distribución a FY : No tiene porqué estar de…nida en el espacio ( ; A; P ): La de…nición de convergencia en distribución exige además una condición de continuidad: 8 < 9FY función de distribución, tal que D 8y; punto de continuidad de FY Xn ! Y sii : l{m F (y) ! F (y) Xn Y

(13)

n!1

Observación Considerese dos variables aleatorias X; e Y;ambas N(0;1), independientes, y de…nidas en un mismo espacio de probabilidad ( ; A; P ): Se de…ne la sucesión: X; X; X; ::::; X; :::: (o sea X1 = X; X2 = X; :::: etc.) D Notar que Xn ! Y pero Xn no converge a Y en ninguno de los cuatro primeros tipos de convergencia.Y esto es debido a que al ser Xn e Y independientes, no es posible asegurar su cercanía para ningun ! 2 : (por supuesto, aunque es trivial, vale la convergencia Xn ! X;para los cuatro tipos de convergencia estudiados).

4

Relación entre los tipos de Convergencia

Si X1 ; X2 ; :::Xn ; ::y X, están de…nidas en un mismo espacio ( ; A; P ) : Xn ! X

c:t:p

=) Xn ! X (a)

=) (b)

P

Xn ! X

D

=) Xn ! X (c)

(d)

Xn

(14)

* !X

mc

Dem(a): Si

=

entonces P ( ) = P ( ) = 1

Dem(b): \ Como (jXn (!) 0

P@

n=n0

\

(jXn (!)

n=n0

X(!)j < ") 1

X(!)j < ")A

(jXn0 (!)

P (jXn0 (!)

X(!)j < "); resultará

X(!)j < ")

como 8" > 0 el lado izquierdo tiende a 1, resulta la tesis. Dem(c): 10

1

tomando x, punto de continuidad de FX ; notar que si jXn

Xj < "

y

X >x+"

resultará X luego x = (x + ")

" < Xn < X + "

"x+" =) Xn > x; o sea:

Xj < ") \ (X > x + ")

(Xn > x)

y complementando (Xn luego FXn (x)

x)

P (jXn

(jXn

Xj

") [ (X

x + ")

") + FX (x + ") y tomando l{m (ya que en x;

Xj

n!1

no tenemos asegurada la convergencia de FXn (x)) l{m FXn (x)

n!1

P

FX (x + ") (usando que Xn ! X)

y tendiendo " ! 0; (usando la continuidad de FX en x) l{m FXn (x)

n!1

FX (x)

(15)

en forma similar, pero partiendo de (X < x

")

(Xn

x) [ (jXn

Xj

")

y tomando límite inferior se llega a: FX (x)

l{m FXn (x)

n!1

luego juntando (15) y (16) ___

l{m FXn (x)

n!1

FX (x)

l{m FXn (x)

n!1

y de aquí sale que l{m FXn (x) = FX (x) n!1

Dem(d): Si usamos la desigualdad de Markov aplicada a Xn X y g(x) = x2 ; 2 P (jXn Xj ") E(Xn"2 X) que por hipótesis ! 0; cuando n ! 1:

11

(16)

4.0.1

Observación En la de…nición de convergencia en distribución se exigió una condición de continuidad. Veamos el porqué de esta exigencia. Consideremos la sucesión de v.a. constantes Xn =

1 ; n

1 1 1 1 ; ; ;::::::; ;::: 1 2 3 n

o sea:

Claramente Xn converge a X = 0; en los cuatro primeros tipos de convergencia. Pero veamos que pasa con la convergencia en distribución: para x > 0; FXn (x) ! 1 = FX (x) para x < 0; FXn (x) ! 0 = FX (x) pero para x = 0; que no es punto de continuidad de FX (x), resulta FXn (0) ! 0 6= 1 = FX (0): Luego la exigencia de convergencia solo en los puntos de continuidad de FX (x), permite la validez de la implicación (c) anterior. En (c), si X es una constante, vale el () : O sea vale: P

Xn ! c

D

()

Xn ! c

Se verán ahora algunos ejemplos de implicaciones que no son ciertas.

4.1

Ejemplos de implicaciones que no son válidas c:t:p

Ejemplo 1 (Xn ! X

4.1.1

P

Xn ! X)

:

Sea la sucesión X1 ; X2 ; ::; Xn ; :: de v.a. independientes con: P (Xn = 0) = 1 y P (Xn = 1) =

1 n

c:t:p

P

1 n

probar que Xn ! 0 pero sin embargo Xn 9 0:

Solución: Como 8" > 0; l{m P (jXn

0j < ") = l{m (1

n!1

n!1

1 n)

= 1 resulta que

P

Xn ! 0: Veamos la convergencia en casi todo punto. De…no 8" > 0; A"c n = fjXn Como

1 X

P (A"c n )=

n=1

1 X

n=1

1 n

0j

"g ; con P (A"c n )=

1 n c:t:p

= 1 =) P (A"1 ) = 0 6= 1. Luego Xn 9 0:

Observación: Notar que si la función de probabilidad de las Xi fuese P (Xn = 0) = 1 y P (Xn = 1) =

1 n2

c:t:p

P

resultaría también que Xn ! 0 (ya que l{m (1

y además Xn ! 0 ya que ahora

1 X

P (A"c n )=

n=1

12

1 X

n=1

n!1

1 n2

1 n2 )

1 n2

= 1)

< 1 =) P (A"1 ) = 1:

mc

Ejemplo 2 (Xn ! X

4.1.2

P

Xn ! X)

:

Sea la sucesión X1 ; X2 ; ::; Xn ; :: de v.a. independientes con: P (Xn = 0) = 1 P

1 n

y P (Xn = n) =

1 n

mc

probar que Xn ! 0 pero sin embargo Xn 9 0:

Solución Como 8" > 0; l{m P (jXn n!1

0j < ") = l{m (1 n!1

1 n)

= 1; resulta que

P

Xn ! 0: Veamos ahora la convergencia en media cuadrática. 0)2 = l{m E(Xn )2 = l{m 02 (1

l{m E(Xn

n!1

n!1

n!1

1 1 ) + n2 = l{m n = 1 n!1 n n

luego no se cumple la convergencia en media cuadrática. 4.1.3

mc

Ejemplo 3 (Xn ! X

Xn

:

c:t:p:

! X)

Sea U v U (0; 1) y se de…ne la sucesión de v.a. Xn = n IfU < 1 g .Veri…car que n la sucesión converge c.t.p. a 0; pero no en media cuadrática. Solución: Por de pronto notar que se trata de una sucesión de v.a. no independientes, ya que todas las Xi ; dependen de la misma variable aleatoria U: Para aplicar el corolario de Borel-Cantelli de…no: 8" > 0; A"c n = fjXn como siempre

" n

> 0;

P (IfU luego

1 X

0j

<

P (A"c n )=

1 n

n=1

n=1

" ) = P (IfU n

g

1 X

n "g = n IfU

1 n

<

1 n

<

1 n

g

o n " = IfU

<

1 n

"o n

g

1 1 g = 1) = P (U < n ) = n

= 1: Como esta serie no es convergente, no podemos

concluir que P (A"1 ) = 1; como queríamos. Pero tampoco que P (A"1 ) = 0; ya que la segunda implicación del corolario de Borel-Cantelli exige que los A"n sean independientes, y aquí esto no es cierto. Sin embargo notar que 8u > 0; todas c:t:p: las Xn = 0 a partir de n > u1 . Luego Xn ! 0: Veamos la convergencia en media cuadrática. l{m E(Xn

n!1

0)2 = l{m E(n IfU n!1

<

1 n

2 l{m n2 E( If2U g ) = n!1

1 1 ) = l{m n2 = l{m n = 1 n!1 n n n!1 Luego no se cumple la convergencia en media cuadrática. = l{m n2 P (U < n!1

13

<

1 n

g)

5

Conservación por Funciones continuas

Tanto la convergencia punto a punto, en casi todo punto como en probabilidad se conservan a través de las funciones continuas.O sea: Si g : R2 ! R es continua, valen: Xn ! X; Yn ! Y =) g(Xn ; Yn ) ! g(X; Y ) c:t:p

Xn ! X; p Xn ! X;

c:t:p

(17)

c:t:p

Yn ! Y =) g(Xn ; Yn ) ! g(X; Y ) p p Yn ! Y =) g(Xn ; Yn ) ! g(X; Y )

Dem: (solo para convergencia c.t.p.) Sea X = f! : Xn (!) ! X(!)g con P ( X ) = 1 Y = f! : Yn (!) ! Y (!)g con P ( Y ) = 1 como 0 P ( X \ Y )c = P ( cX [ cY ) P ( cX ) + P ( cY ) = 0 Luego resulta también que P ( X \ Y ) = 1. Pero si ! 2 X \ Y ;es punto de convergencia de Xn (!) y de Yn (!);y al ser g continua, será punto de convergencia también de g(Xn ; Yn ). O sea, ! 2 f! : g(Xn ; Yn ) ! g(X; Y )g luego vale la inclusión X

\

f! : g(Xn ; Yn ) ! g(X; Y )g

Y

y tomando probabilidad 1 = P(

X

\

Y

)

P f! : g(Xn ; Yn ) ! g(X; Y )g

Luego P f! : g(Xn ; Yn ) ! g(X; Y )g = 1; y resulta la tesis. ctp

ctp

En particular si Xn ! X;

Yn ! Y valdrán también: ctp

Xn + Yn ! X + Y ctp

Xn Yn ! XY ctp

Xn =Yn ! X=Y (si P (Y = 0) = 0) p

Y si Xn ! X;

p

Yn ! Y valdrán también: p

Xn + Yn ! X + Y p Xn Yn ! XY p Xn =Yn ! X=Y (si P (Y = 0) = 0)

14

1

Notar que este teorema de conservación no vale para la convergencia en distribución, o sea d

d

Xn ! X;

d

Yn ! Y ; g(Xn ; Yn ) ! g(X; Y )

ya que al ser tanto X como Y; variables dummy, no conocemos su comportamiento conjunto, y por lo tanto tampoco el de g(X; Y ): Sin embargo vale d

d

Xn ! X =) g(Xn ) ! g(X)

6

Leyes de los grandes números

6.1

Ley débil de los grandes números

Sea la sucesión de v.a.no correlacionadas X1 ; X2 ; X3 ; :::; Xn ; :::con E(Xi ) = Sea X n =

1 n

n P

i

y V ar(Xi ) =

2 i

Xi ; y la nueva sucesión X 1 ; X 2 ; X 3 ; :::; X n ; : : : Luego si:

i=1

l{m V ar(X n ) = 0

=)

Xn

E(X n )

")

n!1

p

E(X n )

!0

Dem: Usando Tchebichev P ( X n 6.1.1

V ar(X n )="2 ;y tomando límite.

Comentarios Notar que si las

2 i

están acotadas, o sea si 8i;

V ar(X n ) =

1 ( n2

2 1

K

1 nK = K=n ! 0 n2

2 n)

+ :: +

2 i

luego vale la ley débil. Sean X1 ; X2 ; X3 ; :; Xn ; observaciones i.i.d de una v.a. X con media ; y desvío : Como E(X n ) = y V ar(X n ) = 2 =n ! 0. Resulta que p

Xn o sea

!0

p

Xn ! Notar que esto justi…ca el tomar el promedio de observaciones independientes de una v.a. X; como una estimación de su media :

15

Supóngase un experiento aleatorio ", y un espacio de probabilidad ( ; A; P ):Sea A ; un suceso del cual queremos estimar P (A): Ahora se repite en forma independiente el experimento ", registrando cada vez el valor de la v.a. 1 si ! i 2 A Xi = IA (! i ) = 0 si ! i 2 =A luego E(Xi ) = E(IA (! i )) = P (A) y V ar(Xi ) = V ar(IA (! i )) = P (A)(1 P (A)) Se tiene entonces la sucesión de v.a. i.i.d. IA (! 1 ); IA (! 2 ); :::; IA (! n )::con p media P (A) y desvío P (A)(1 P (A)): Según el resultado anterior rep sultará IA (! n ) ! :P (A):Pero: IA (! n ) = (IA (! 1 ) + IA (! 2 ) + ::: + IA (! n ))=n = (# realizaciones de A en las n repeticionesde ")=n = frecuencia relativa de A = fr A Luego

p

fr A

6.2

! P (A)

Ley fuerte de los grandes números

Sea la sucesión de v.a.independientes X1 ; X2 ; X3 ; :::; Xn ; :::con E(Xi ) = Sea X n =

1 n

n P

y V ar(Xi ) = __

__

2 i

__

__

Xi ; y la nueva sucesión X 1 ; X 2 ; X 3 ; :::; X n : : : ; :Luego si:

i=1 1 X

2 2 i =i

i=1

6.2.1

i

0; l{m P ( X n n!1

pero

P ( Xn

C < ") = 1

3 +:::En P ( C + E1 +E2 +E C n E1 +E2 +E3 +:::En < ") P( p n p (" n= e)p ( " n= e)

C < ") = = = =1

2 ( " n=

< ")

! 1(para n ! 1)

e)

P

Luego X n ! C: (c) Convergencia en casi todo punto Habría que ver sí 8" > 0; l{m P ( n0 !1

\

__

( Xn

C < ")) = 1

n=n0

Pero mejor utilicemos la otra de…nición: 8" > 0; P (A"1 ) = 1;tratando de apoyarnos en el corolario del Lema de Borel-Cantelli. De…nimos n o __ A"c : Xn C " n = ! 2 Luego

__

P (A"c n ) = P( X n O sea:

1 X

P (A"c n )=

n=1

n=1

P (A"c n )

1 X

p 2 ( " n=

e)

e)

n=1

Pero a partir de cierto u0 vale 1 X

p ") = 2 ( " n=

C

( u)

nX 0 1

1=u4 luego ( PROBARLO)

p 2 ( " n=

n=1

e)

+

1 2 4e X 1 " 4 n = n n2 0

que es convergente, entonces por el corolario de Borell-Cantelli resulta que __ c:t:p: " P (A1 ) = 1; y de aquí sale que X n ! C: 19

(d) Convergencia en media cuadrática __

3 +:::En 2 C)2 = l{m E( E1 +E2 +E ) = n n!1 h i 2 e 3 +:::En 0 + + V ar( E1 +E2 +E ) = l{m =0 n n

Tengo que analizar l{m E( X n

n!1 3 +:::En l{m E 2 ( E1 +E2 +E ) n n!1 __ mc Luego X n ! C:

n!1

(e) Convergencia en distribución Consideremos la sucesión F_X_ ; F_X_ ; F_X_ ; ::::::F_X_ ; :::

1 2 3 n __ __ p 3 +:::En 2 + 2 =n) Como X n = C + E1 +E2 +E resultará X ~N ( c; n c e n p 2 2 _ _ + e =n) Luego FX (u) = ((u )= c c n p 2 + 2 =n = (u pero l{m (u función continua c )= c )= c y al ser c e

n!1

_ _ (u) = resulta l{m FX ((u

Luego

n!1 __ d Xn !

c )= c )

n

= FC (u)

C:

(b) y (c) de otra forma Considérese la sucesión de variables aleatorias independientes 2 e

E1 ; E2 ; E3 ; :::; En ; ::: conE(Ei ) = 0 V ar(Ei ) = __

y la sucesión de E n =

1 n

1 X

2 2 e =i

Ei como

i=1 2 e

__

V ar( E n ) = Además como

n P

n =

__ n!1

2 e

1 X

i=1

i=1

p

! 0 vale la Ley débil y E n ! 0 1=i2 < 1 vale también la Ley fuerte y __

En

c:t:p:

!0

Consideremos ahora la sucesión de variables aleatorias C; C; C; :::; C; :::se tendrá también que p c:t:p: C !C y C ! C Luego aplicando la conservación de la convergencia a través de funciones continuas(y la suma lo es) __

p

C ! C; C

c:t:p:

! C;

p

__

p

E n ! 0 =) (C + E n ) ! C __

En

c:t:p:

__

c:t:p:

! 0 =) (C + E n ) ! C

20

__

p

o sea X n ! C __

o sea X n

c:t:p:

!C

9.0.4

Problema 2

Sean X1 ; X2 ; :::; Xn ; :: v.a. i.i.d. U (0; ): Se de…nen: X(1)n = m{n(X1 ; X2 ; ::; Xn ); Un = nX(1)n ;

X(n)n = max(X1 ; X2 ; ::; Xn ) Vn = n(

X(n)n )

Probar que: p (a) X(1)n ! 0 p (b) X(n)n ! d

(c) Un ! U; con U v G(1; 1 ) d

(d) Vn ! V; con V v G(1; 1 ) En lo que sigue se usará lo siguiente: FX(1)n (x) = P (X(1)n x) = 1 P (X(1)n > x) = 1 P [(X1 > x) \ (X2 > x) \ \ (Xn > x)] n Q n x n =1 1 x =1 P (Xi > x) = 1 i=1

FX(n)n (x) = P (X(n)n

x) = P [(X1 x) \ (X2 x) \ n Q = P (Xi x) = ( x )n

\ (Xn

x)]

i=1

Sol(a):

0 < ") = l{m P (X(1)n < ")

8" > 0; l{m P ( X(1)n

n!1

n!1

= l{m FX(1)n (") = l{m 1 n!1

1

n!1

" n

=1

Sol(b): 8" > 0; l{m P ( X(n)n

< ") = l{m P ( (X(n)n

n!1

= l{m P (X(n)n >

") = 1

n!1

= 1

) < ")

n!1

l{m FX(n)n (

l{m P (X(n)n

") = 1

n!1

")

n!1

" n

) =1

l{m (

n!1

" n

l{m (1

) =1

n!1

Sol(c): Analicemos FUn (u) = P (Un = FX(1)n ( nu ) = 1

1 h l{m FUn (u) = l{m 1

n!1

n!1

pero si FU (u) = 1

e

u) = P (nX(1)n n

u n

u= n

1 u

1 u=n i n =1 e

=1

u) = P (X(1)n

n

u n)

u

resulta U ~G(1; 1 ); luego resulta la tesis.

Sol(d): Analicemos FVn (v) = P (Vn =1

h

v) = P (n(

luego l{m FVn (v) = l{m 1 n!1

pero si FV (v) = 1

n!1

e

v

v n)

FX(1)n ( 1

v= n

X(n)n ) =1

ni

=1

v) = P (X(n)n v n

(1 e

)n = 1

1

v

resulta V v G(1; 1 ); luego resulta la tesis. 21

v= n

v n) n

9.0.5

Problema 3 Sean X1 ; X2 ; :::; Xn ; :: v.a. i.i.d. U (0; ): Hallar el límite en c.t.p. de n Y 1 Yn = ( Xi ) n i=1

Sol: expresando Yn = e

1 n

n P

ln Xi

i=1

y como la sucesión de v.a. independientes .ln X1 ; ln X2 ; ::; ln Xn ; ::tiene E(ln Xi ) =

Z

1 ln x dx = ln

1;

y V ar(ln Xi ) =

2

0

y

1 X

2 2 i =i

=

i=1

2

1 X i=1

por la Ley Fuerte resulta

n P 1

n

ln Xi

i=1

1=i2 < 1

c:t:p:

! ln

1; y por el Teorema

de Conservación. de Convergencia para funciones continuas Yn = e

1 n

n P

i=1

ln Xi c:t:p:

! eln

22