CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS ACTIVIDAD ACADEMICA: LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA UNIDAD Nº 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones aritméticas: adición (+), sustracción (-), multiplicación, división y potenciación. TERMINO ALGEBRAICO Un término algebraico es una expresión en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Consta de: a) signo: ( + ó - ) b) coeficiente numérico o número c) factor literal o letra d) Exponente GRADO DE UN TÉRMINO Grado absoluto: Es la suma de los exponentes del factor literal Grado relativo: de un término respecto a una letra está dado por el exponente de la parte literal indicada Ejemplo: 2 3 En el término 4x y Tiene grado absoluto 5 (2 + 3, la suma de los exponentes) Tiene grado relativo 2 respecto a x y 3 respecto a y TIPOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. De acuerdo al número de términos pueden ser: 2

4

5x yz

;

x2 a

y5

;

MONOMIO: tiene un término

Ej.

BINOMIO: tiene dos términos

Ej. 7 xy

TRINOMIO: tiene tres términos

Ej. x + 3x - 5

y2 b p+q

2

POLINOMIO O MULTINOMIO: En general son los que tienen varios términos. LENGUAJE ALGEBRAICO COMO UNA MANIFESTACION DEL LENGUAJE COMUN En general se utilizan expresiones compuestas por números y letras y las diferentes operaciones para representar modelos matemáticos de situaciones concretas de la cotidianidad Ejemplo: Escribe para cada situación una expresión algebraica: a. b. a.

El producto de dos números desconocidos El incremento en $5000 en el precio de un artículo Solución Considérense los números x e y: El producto de estos dos números se representa como:

b.

Llámese x el precio del artículo; El incremento en $5000 en el precio se representa:

Elaboró Rosmiro Fuentes Rocha Docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos

xy

x + 5000

Página 1

GRADO DE UN POLINOMIO Grado absoluto de un Polinomio: es la mayor suma de los exponentes, en las partes literales, de cada uno de los términos. Grado relativo de un Polinomio: es el mayor exponente respecto a una letra Ejemplo: 3 5 En la expresión 3x + 5y tiene grado 5 (por el grado del segundo termino) 2 3 3 2 7 En el término 4x y – 4b y z tiene grado 12 (por el grado del segundo termino) ORDEN DE UN POLINOMIO. Los polinomios pueden ordenarse en forma ascendente ( de menor a mayor) o descendente ( de mayor a menor), con respecto al exponente de una letra TERMINOS SEMEJANTES Los términos son semejantes cuando tienen el mismo factor literal. Los T. S. se pueden sumar o restar, sumando o restando sus coeficientes numéricos y conservando el factor literal. 2

2

Ejemplo: El término 3x y y el término 2x y , son semejantes. (tiene factor literal iguales) y al sumarlo da 2 5x y VALOR NUMERICO O EVALUACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS A cada letra o factor literal se le asigna un determinado valor numérico. Ejemplo: Si a = 3 y b = 2, reemplazamos esos valores en la expresión: 3 a – 2b – 5a + 4b – 6a + 3b = 3 3 - 2 2 -5 3+4 2-6 3+3 2 = 9 4 - 15 + 8 - 18 + 6 = -14

Veamos ahora un ejemplo con números racionales: Si a = 3a

- 2b

- 5a

+ 4b

2 3 3

1 2 - 2 - 5 + 4 2 3 10 2- 1 + 2 - 4 + 3

- 6a

2 3

+ 3b

1 2 - 6 2 3 3 = 2

1 + 3 2

y

1 , evaluemos la expresión: 2

b=

= =

17 6

ELIMINACIÓN DE PARÉNTESIS

Para resolver paréntesis se debe seguir por las siguientes reglas: a) si el paréntesis está precedido por signo positivo, se consideran los términos por sus respectivos signos, b) si el paréntesis está precedido por signo negativo, se debe Sumar su opuesto, es decir, cambiar el signo de los términos que están dentro del paréntesis que vas a eliminar. TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE Nº 1 I) En cada término algebraico, determina cada una de sus partes 2

a) 3x y h)

2 a 3

b) m i)

1 3 x 2

2

c) mc j)

7a2 3

d) –vt k)

e) 0,3ab

3m 4

l)

5

f) 3

3 2 4

g) -8x y z

3 4 2 a b 4

II. Escribe una expresión algebraica para cada una de las expresiones matemáticas a. La tercera parte del precio de un lote

b. Se vendió la mitad de un lote de computadores

Elaboró Rosmiro Fuentes Rocha Docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos

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c. La suma de un número con el doble de otro

d. El cuadrado de una cantidad

e. El cuadrado de la suma de dos cantidades

f. Un número incrementado en la tercera parte

g. El cociente de dos números h. La suma del producto de dos números y el triple del cociente de los números i. El precio de un artículo disminuido un 30%

j. El 40% del cubo de un número

III) Determina el grado y el número de términos de las siguientes expresiones: 2

2

a) 7x y + xy f)

a

b 2

b) -3 + 4x – 7x

c

c) -2xy

2

g) x + 8x + 5

d) vt +

1 2 at 2 2

h) 2(3x + 4y)

2

e) 7m n – 6mn 2

i) 2x (3x + 6y)

j)

b2

2

c 3h4 4

IV) Reduce los términos semejantes en cada una de las expresiones siguientes: 2 2 2 a. 5m + 2m b. x+2x+9x c. m – 2m – 7m d. 15c+13c -12b-11c-4b-b

e.

a2 b 5

2ab 2 3

3ab 2 2

6 a2 b 5

V) En las siguientes expresiones algebraicas, reduce los términos semejantes y luego reemplaza en cada caso por a = -2 y b = 7, para valorar la expresión. 2

a) 3ab – b + 2ab + 3b 2

2

d) ab – b a + 3ab

2

2

2

b) 3a b – 8 a b – 7a b + 3a b

2

e)

3 a 2

4 b 5

5 a 4

7 b 10

2

c) 2a b –

b2

f)

3 2 a b–1 2 2 1 2 b b 7 5

1 b 14

VI) Calcula el valor numérico de las siguientes Expresiones Algebraicas, considera para cada caso a = 2; b = 5; c = -3; d = -1 y f = 0 2

2

a) 5a – 2bc – 3d d)

3 a 4

2 c 5

3

3

b) 2a – b – c – d

1 b 2

7 f 8

e)

a

b

5

c) b

c ( 2 a 3d ) f

f)

c

c

d

a

a

2

b 7

2

VII) Evalúa la expresión x + x + 41 para los valores de x = 0, 1, 2, 3, 4,…, 40. ¿Qué característica tienen los números que resultan? VII) Elimina los paréntesis 1) 5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) 3) -( x - 2y ) -

2) 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z )

{ 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) }

4) 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c )

5) 9x + 13 y - 9z - 7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z } = 6) 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} = 7) 8x - ( 1

1 3 3 3 y + 6z - 2 x ) - ( -3 x + 20y ) - ( x + y+z)= 2 4 5 4

8) 9x + 3

1 y - 9z - 7 x 2

9) 2m 10)

1 a 5

3n

2m 1 a 2

2 a 3

n

1 y 2

m

2z

5

1 x 3

9y

5z

3z

n

a

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1. ADICION O SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Elaboró Rosmiro Fuentes Rocha Docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos

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Para sumar dos o más polinomios se tiene en cuenta lo siguiente Se ordenan los polinomios ya sea en forma ascendente o descendente (siempre y cuando sea posible) Se escriben los términos de los polinomios uno debajo del otro, de manera que coincidan los semejantes Se procede como en la suma de monomios

3x 3

Ejemplo: sumar

4x 2

2 x con

5x 3

2x 2

3x

Solución

3x 3

4x 2

2x

5x

3

2x

2

3x

2x

3

6x

2

x

2. SUSTRACCION O RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para restar dos polinomios se procede de la siguiente forma: Se ordena los polinomios de ser posible ascendente o descendentemente Se le cambian los signos a los términos del polinomio sustraendo Se procede como en la suma de polinomios Ejemplo: de

3x 3

4x 2

2 x restar

5x 3

2x 2

3x

Solución 3 2 3 2 El sustraendo es 5x -2x -3x, su inverso aditivo es -5x +2x +3x , luego la operación queda

3x 3

4x 2

5x 3

2x 2

3x

8x

2x

5x

3

2

2x

3. PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para multiplicar dos polinomios se procede de la siguiente forma Se ordenan los polinomios respecto a la misma letra ya sea en forma ascendente o descendente Se multiplica cada uno de los términos de polinomio multiplicador, por cada uno de los términos del polinomio multiplicando Se reducen los términos semejantes que hayan Ejemplo: multiplicar

3x 2

5x

6 con

4x 3

Solución Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio

3x 2

5x

6

4x 3 12x 5

20 x 4

24 x 3

Ejemplo: Multiplicar

3x 2

4x

2 x 3 con

3

2x 2 Solución

3 Se ordenan ambos polinomios en forma descendente ( 2 x

3x 2

4x ) ( 2x 2

3)

Se organizan para efectuar la multiplicación término a término Se multiplica -3 con cada uno de los términos del primer polinomio: obteniéndose:

3( 2 x 3

3x 2

4x )

6x3

9x 2

12x

La operación completa sería:

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4. COCIENTE O DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para dividir dos polinomios se tienen en cuenta los siguientes pasos: a. Se ordenan en forma descendente ambos polinomios, con respecto a una misma letra. b. Si en el polinomio dividendo hacen falta términos, se completan esas casillas con cero. c. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término de divisor y este resultado se escribe en el cociente d. Este resultado se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el resultado se le resta al dividendo e. Se coloca el resultado de la resta y se bajan los siguientes términos f. Se repite nuevamente el proceso Ejemplo: dividir

x2

2x

1

x 4 entre

x

1

x2

Solución 4 Se ordenan los polinomios x

x2

2x

1

x2

x

1

En el polinomio dividendo hay un espacio con respecto al exponente de la x, observe la secuencia de los 3 3 exponentes 4, 2, 1, 0, este espacio corresponde a x , se rellena este espacio con 0x , con lo que la expresión anterior puede escribirse

Dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. 4 2 2 x ÷x =x Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

3

2

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor –x ÷ x = -x, y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

Se repite nuevamente el proceso, se divide el primer término del nuevo polinomio

–x2 ÷ x2 = -1 y se multiplica por cada uno de los términos del divisor.

La división es exacta, púes su residuo es cero

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5. DIVISION SINTETICA Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini. Ejemplo: Resolver por la regla de Ruffini la división:

x4 1. 2. 3. 4.

3x 2

x

2

3

Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros. Se colocan los coeficientes del dividendo en una línea. A la derecha colocamos el opuesto del término independiente del divisor. Se traza una raya y bajamos el primer coeficiente.

5. Se multiplica ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término. (1×3 = 3)

6. se suman los dos coeficientes. (0+3 = 3)

7. Se repite el proceso anterior.

Se repite el proceso hasta obtener el último número.

8. El último número obtenido, 56, es el residuo o resto 9. El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x3

3x 2

6x

18 , residuo 56 TALLER DE ESTUDIO INDEPENDIENTE N° 2

I. 1. 3a 3. 3 x 4.

2b 2

5 2 a 3

resolver las siguientes adiciones

c con

4 xy

2a

y ,

3ab

5. Sumar 5a x 1

2

3b

5 xy

con 6ax

6x

2

1 2 a 2 12a x

4 2. x

c 3y ; 2

6y

2

8 xy

9x

3x 2

2 con

5 x4

12x 2

3x

2

1 ab 6 1

con

7ax

1

2 x a 5

2a x

1

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5

1 4 x 4

6. Sumar x 5 2

2

5x 3

2

3 x 5

7x 2

2

2

2

5 8

con

4x 5

1 x 2

6x4

2

3

7. x – y , 2x – 3y , –x ; 2x – 3y 2 2 8. Si P = x + 3x – 2 y Q = 2x – 5x + 7, obtener P + Q. 3 2 2 3 9. Si P = x – 5x – 1; Q = 2x – 7x + 3 y R = 3x – 2x + 2, obtener P + Q y P+ R

a

10. Si P

b 2

II. 1. De

3a

3. De 4. De

5 xy

, obtener P + Q

2

c restar 6x2

3ab

5. De 5a x 1

1 2 a 2

12a x

4 2. Re star x

c 6y 2

3 x 5

7x 2

2

8 xy

3x 2

2 de

5 x4

12x 2

3x

9x 2

1 ab 6

7ax

restar

1

5x 3

2

3b

restar

restar

1 4 x 4

2

2a

3y 2 ;

6ax

6. Re star x 5 2

b

Resolver las siguientes sustracciones

2b

5 2 a 3

a

y Q

5 8

1

2 x a 5

de

2a x

4x 5

1

1 x 2

6x4

3

7. (x – y ) - (2x – 3y ), 2 2 8. Si P = x + 3x – 2 y Q = 2x – 5x + 7, obtener P - Q. 3 2 2 3 9. Si P = x – 5x – 1; Q = 2x – 7x + 3 y R = 3x – 2x + 2, obtener P – Q, Q-R y P- R

a

10. Si P

b 2

a

y Q

III.

b

, obtener P - Q

2

Resolver los siguientes productos

1 4 x 2

3 1. ( 8 x

5x 2

6 )( 7 x 4

8x 3

2x )

2. (

5 3. ( 5 x

3x 2

4 )( 7 x 3

2x 2

2)

3 4. ( 25 x

(x3

1. 7. (

3x 2

2 3 2 x y 5

6x

18 )( 3 x 4

1 2 x y 3

2

5x 3

2 xy )( 3x 4 y 2 2

4x 2

3 3 x y 4

7 2 5 4 x )( x 6 2

1 3 x 3

3)

5x 2

3x 3

3)

2 )( x 4

4)

6. ( 3x 2a 1

5x a

3y )

2 8. ( 2 x y

5 x 2 a )(

2 2. x

20

x

46x

xy

y

x )(

1 a x 3

7x a

3

3 xy 3

4

7x)

9. Si P = x + 3x – 2 y Q = 2x – 5x + 7, obtener P . Q.

a b y Q 2

10. Si P

IV. 1. a

2a

2

3. 2 x

3

a b , obtener P - Q 2

Resolver las siguientes divisiones

3 entre a 4x

2

1 entre 2

5. m

6

6 m3

2m 5

7. x

5

5x

20 x y

5 9. x

4

2

12x 2

5x

V.

7m2

5entre x

3. x

3

x

2x

7. x

3x

4

4 9. 3 x

4x 3

4

6 entre m 4 1 entre x 2x

2

3m 2 2 xy

2 8y

2

2

x 3 6. a

8. x

4 10. y

5

entre y

a x entre a x

4

3 entre x 2

2x

2

y2

5 2x .

1

1 entre x 2

2y

1 entre y 2

x y

1 1

Efectúa las siguientes divisiones por división sintética

7x 3x 2

4m

1 entre x 2

1. x

3 5. x

2x

16 xy

3

2

2

3

2 2. m

3

2 entre x

6 entre x 5 entre x 4x 2

1

4 6. m

3

8. y

1

10 x

4. x

3

8 entre 3 x

5

1 10. x 5

5m

1 entre m

2x

x

2

5m 3 3y

3

2 entre x

4m 4y

208x 2

2 2

48 entre m 6 entre y

2076 entre x

2

2 5

Elaboró Rosmiro Fuentes Rocha Docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Alimentos

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)

5