TRIÁNGULO Triángulo.

Superficie plana limitada por tres líneas (lados). Polígono más pequeño.

Clasificación de los triángulos. Lados

Ángulos RECTÁNGULO

ACUTÁNGULO

OBTUSÁNGULO

Tiene los tres ángulos Tiene un ángulo recto y Tiene un ángulo obtuso dos agudos. y dos agudos. agudos. EQUILÁTERO No existe

Tiene los lados y los ángulos iguales.

No existe

ISÓSCELES Tiene dos lados y dos ángulos iguales. ESCALENO Tiene los lados y ángulos diferentes. Propiedades de los triángulos. La suma de los ángulos interiores de cualquier o p + a + w = 180 triángulo es siempre 180 grados.

p b

c

a

w

Un lado es siempre menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

ab-c

a a

Amayor lado se opone siempre mayor ángulo.

p

Criterios de igualdad entre triángulos. Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados respectivamente iguales .

a = a’ b = b’ c = c’

b

Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo que forman.

a = a’ b = b’

b’

a = a’

p a

c a

p’

w

c’

a’ a’ w’

a = a’

a = a’ w = w’ a = a’ b = b’

p = p’

Dos triángulos son iguales si tienen un lado y dos ángulos iguales.

Dos triángulos son iguales si tienen dos lados (uno mayor que el otro) y el ángulo opuesto al mayor de ellos iguales.

P U N T O S

Y

L Í N E A S

E N

E L

T R I Á N G U L O

BISECTRICES

INCENTRO b’

Rectas que pasando por los vértices de un triángulo equidistan de los lados que los forman.

I b

MEDIATRICES Rectas perpendiculares a cada lado de un triángulo por su punto medio.

Punto común de las bisectrices de los ángulos de un triángulo y equidistante de sus lados.Centro de la circunferencia inscrita.

b”

CIRCUNCENTRO

m C m” m’

Punto común de las mediatrices de los lados de un triángulo. Centro de la circunferencia circunscrita.

BARICENTRO

MEDIANAS m

Rectas que unen los vértices de un triángulo con los puntos medios de los lados opuestos.

B

½

m” ½

1/3

ALTURAS Rectas perpendiculares desde los vértices de un triángulo a los lados opuesto.

m’

a

ORTOCENTRO

B

A

o a’

Punto común de las medianas de un triángulo y su centro de gravedad, situado a dos tercios del vértice y un tercio del lado.

a”

C

Punto común de las alturas de un triángulo.Si unimos los pies de las alturas obtenemos el TRIÁNGULO ÓRTICO.

Triángulo órtico. Triángulo acutángulo inscrito en otro al unir los pies de las alturas(puntode corte de altura y lado). Las alturas de un triángulo acutángulo son las bisectrices de su órtico. Los lados de un triángulo acutángulo son las bisectrices de los ángulos exteriores de su órtico. CIRCUNFERENCIAS EXINCRITAS Circunferencias tangentes a un lado del triángulo y a las prolongaciones de los otros dos. EXINCENTROS

A

2

1 B

C

Puntos de convergencia de dos bisectrices exteriores de un triángulo con la bisectriz interior del tercer vértice. Los tres exincentros de un triángulo determinan otro triángulo cuyos lados son las bisectrices de los ángulos exteriores del primero. Las bisectrices interiores de un triángulo coinciden con las alturas del que forman los exincentros.

3

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS. Construcciones de triángulos conociendo sus tres lados. Triángulo escaleno. Tres lados.

a b

c

C

Situar un lado cualquiera como base del triángulo. Trazar arcos, haciendo centro en los extremos del lado base y con radios equivalentes a cada uno de los otros dos lados respectivamente, para hallar el tercer vértice.

a

B

b

c A

Construcciones de triángulos conociendo dos lados y un ángulo.

a

C

Triángulo escaleno. Dos lados y el ángulo que abarcan.

a b

Construir el ángulo dado. Llevar a partir del vértice las medidas de los lados y unir los extremos libres.

Triángulo escaleno. Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

a

a

a

a

b B A

B a

C

a b

Construir el ángulo dado sobre un extremo del lado. Trazar un arco, con centro en el otro extremo y radio el lado opuesto al ángulo, que corte en dos (o uno) puntos el lado del ángulo dando el tercer vértice.

A’

b

A

Construcciones de triángulos conociendo dos ángulos y un lado. a

a

b

Triángulo escaleno. Lado y ángulos de sus extremos. Situar el lado y construir un ángulo en cada extremo. Los lados de los ángulos no coincidentes con el lado al cortarse dan el tercer vértice.

B

a

a

C

b

A

Construcciones de triángulos conociendo sus tres ángulos. Escaleno. Tres ángulos. a g

b

Los tres ángulos no son datos suficientes, necesitando otro para poder definir su construcción

a g

b

Construcción del TRIÁNGULO EQUILÁTERO. A B

C

D

A B

B

C

C O

h

D

A

A

Lado.

Inscrito.

Altura.

Trazar dos arcos que se corten, de radio el lado y con centro en los extremos de éste. El punto común de los arcos trazados corresponde al tercer vértice.

Trazar la mediatriz de un radio. El segmento de mediatriz correspondiente a la cuerda de la circunferencia es el lado del triángulo.

Llevar sobre la bisectriz de un ángulo de 600 y a partir del vértice la altura. Trazar por el pie de ésta una perpendicular que determine en los lados del ángulo los otros vértices.

D

B

C

F

B

D

G

E

F B

E C

h

h h

D C

A

A

A

Altura - 1 Semejanza de triángulos.

Altura - 2 Semejanza de triángulos(inscrito)

Altura - 3 Relaciones entre ángulos .

Construir sobre una recta un triángulo equilátero y colocar con los pies en común la altura dada y la del auxiliar. Trazar paralelas a los lados del triángulo auxiliar por el otro extremo de la altura dada hasta cortar la recta base.

Trazar dos circunferencias, de radio la mitad de la altura, una desde el punto medio de ésta y otra desde su pie en la recta base. Los lados del triángulo pasarán por el punto de corte de ambas circunferencias y el otro extremo de la altura.

Colocar la altura coincidiendo con el lado de un ángulo recto y dividir 0 éste en dos complementarios de 30 0 y 60 . La recta perpendicular por el pie de la altura se corta con la común de estos ángulos complementarios determinado el lado.

F

B D

G E

C E

B

B

F

h

C

C h

E

F D

D

A

A A

Altura - 4 Relaciones entre ángulos.

Altura - 5 Propiedad de la mediana.

Altura - 6 Semejanza de ángulos.

Trazar un arco de circunferencia desde el pie de la altura que la corte en un punto y, desde éste, otro de igual radio que corte al primero. Trazar por el otro extremo de la altura perpendiculares a la recta que une el pie de la altura con los cortes de ambos arcos para obtener el lado.

Dividir la altura en tres partes iguales. La circunferencia trazada con centro en la primera división y con radio equivalente a dos partes es la circunscrita al triángulo y da el lado al cortar la recta base trazada por el pie de la altura.

Construir un ángulo de 600 a partir de un punto cualquiera de la recta base y esta por lado. Trazar paralelas al otro lado del ángulo por el extremo de la altura libre hasta cortar a la recta base para obtener los lados del triángulo equilátero.

Construcción del TRIÁNGULO ISÓSCELES. A B

Base y altura. Trazar la mediatriz del lado base y llevar la longitud de la altura sobre ella para determinar el vértice opuesto.

h

C

A

Lados iguales y altura coincidentes. a

Trazar una recta perpendicular a la altura por su pie.

h B c C

a=c

A

B

a

Con centro en el otro extremo de la altura trazar un arco, con radio uno de los lados iguales, que corte a la recta dando los vértices y extremos de la base.

Base y ángulo opuesto. Propiedad ángulos interiores. Construir el ángulo con vértice en un extremo de la base y lado su prolongación. La bisectriz del suplementario determina la medida de los ángulos de la base.

C

Base y radio de la circunferencia circunscrita.

B

A

a’ O

a

A’

Trazar una perpendicular por el extremo de un diámetro de la circunferencia y llevar sobre ella (mitad a cada lado)la base. Las perpendiculares por los extremos de la base determinan los vértices al cortar la circunferencia.

C

Base y radio de la circunferencia circunscrita. 1 B

Trazar la mediatriz de la base.

r a A O

A’ C

Hallar el centro de la circunferencia circunscrita trazando un arco, con el radio dado, desde el extremo de la base y cortando a la mediatriz. El trazado de la circunferencia da dos soluciones posibles.

Construcción del TRIÁNGULO ISÓSCELES. 1 Suma de la altura y un lado igual y el ángulo opuesto a la base.

Â/4 b’

Trazar, al segmento suma del lado y la altura, una perpendicular por un extremo y en el otro construir un ángulo igual a la cuarta parte del dado.

A h

La mediatriz del segmento que une el vértice del ángulo y el punto de corte del lado en la perpendicular da el punto(vértice) de unión entre el lado y la altura.

b B

C

A

b

Suma de la altura y un lado igual y el ángulo opuesto a la base. 1 (Proporcionalidad de los triángulos.) h

l’

E F

D

l B

G

C

h+b

E’ b

G’

Colocar sobre la bisectriz del ángulo y a partir del vértice el segmento suma de altura y lado. Trazar una perpendicular al segmento suma por un punto cualquiera. Llevar, la longitud que hay desde este punto hasta el vértice, a partir de éste y sobre un lado del ángulo. El segmento que crea la perpendicular sobre el lado llevarlo sobre éste y a partir del punto hallado anteriormente. La paralela, al segmento que une el nuevo punto encontrado con el extremo libre del segmento suma, trazada por el primer punto hallado en el lado separa dicho segmento suma. Perímetro y ángulos iguales.

Semiperímetro y altura. Perímetro y altura.

Construir en los extremos del perímetro ángulos de valor la mitad de los dados.

Trazar la altura y el semiperímetro formando ángulo recto. La mediatriz de la hipotenusa separa el semiperímetro. (Repetir la operación si se da el perímetro).

La mediatriz del segmento que va desde el extremo del perímetro hasta el corte de los lados de los ángulos construidos separa los lados. A

h

a½

a A’

B

D

C

A“

Construcción del TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

B

45

0

C

Hipotenusa y suma de los catetos.

a

Construir un ángulo de 45 en un extremo del segmento correspondiente a la suma de los catetos.

o

D

c

A

Con centro en el otro extremo y radio la hipotenusa, trazar un arco que corte al lado del ángulo dando una o dos posibles soluciones iguales.

a +c

Hipotenusa y diferencia de los catetos.

C

0

a

Construir un ángulo de 45 en un extremo del segmento diferencia de los catetos y sobre su prolongación.

a’

b o

D

45

A c

Con centro en el otro extremo y radio la hipotenusa, trazar un arco que corte al lado del ángulo dando el vértice.

B

La perpendicular trazada por este punto a la prolongación determina el tercer vértice.

c-b

Hipotenusa y diferencia de los catetos. 1 C a-b

0

a b

Con centro en un extremo de la hipotenusa y radio el segmento diferencia entre catetos, cortar al arco capaz.

A B 90

Construir el arco capaz de un ángulo de 135 y segmento la hipotenusa.

o

El segmento que une el extremo usado de la hipotenusa y el punto hallado corta, en su prolongación al arco capaz del ángulo recto y segmento la hipotenusa dando la solución.

a

A

D

B

Cateto y su mediana.

a

Con centro en la mitad del cateto y radio su mediana, trazar el arco que limita el extremo del otro cateto.

C

A

D

C

Cateto y la mediana del otro cateto. a B

Con centro en un extremo del cateto y radio la mediana, trazar el arco que corta en su mitad al otro cateto, situado perpendicularmente en el otro extremo.

Construcción del TRIÁNGULO RECTÁNGULO. 1 B

Mediana de un cateto y de la hipotenusa.

D

Construir el arco capaz de la mediana del cateto. Con centro en el punto situado a un tercio del extremo de dicha mediana y radio dos tercios de la mediana de la hipotenusa, trazar el arco que corta al capaz dando el vértice entre catetos y facilitando la construcción.

A m1/3 E C

A

Mediana de un cateto y ángulo de su extremo. m

a

B’

C’

D’ B

D

A

a h

C

D

Mediana y altura correspondientes a la hipotenusa.

B

m

Construido el arco capaz de un segmento de longitud dos veces la mediana correspondiente a la hipotenusa, trazar, con distancia la altura dada, una paralela al segmento que corta al arco capaz y da el tercer vértice.

h’

C

C’

B A

O

b

Sobre un segmento cualquiera levantar una perpendicular en un extremo y construir el ángulo dado en el otro, determinando un vértice. Situar la mediana desde dicho vértice y pasando por la mitad del segmento auxiliar. Por el extremo libre de la mediana trazar una paralela al segmento auxiliar para obtener los otros vértices al cortar las prolongaciones de los lados que divergen del vértice primero.

Cateto, bisectriz del otro cateto. Construir el arco(circunferencia) capaz de la bisectriz. Con centro en un extremo de la bisectriz(primer vértice) trazar un arco de radio el cateto que corta a la circunferencia capaz en dos puntos: uno es el segundo vértice y el otro por donde pasará el lado.

D

B’

C

Hipotenusa y de mediana de un cateto. H/6 A

D

h

mb E F

mb2/3 C

B

Desde el punto medio de la hipotenusa trazar un arco de radio la sexta parte de ésta y su arco capaz. Con centro en un extremo de la hipotenusa y radio dos tercios de la mediana del cateto, trazar un arco que corte al primero hallando el baricentro del triángulo y la situación de la mediana. Uniendo los extremos libres de la mediana y la hipotenusa se obtiene el tercer vértice al cortar el arco capaz.

Construcción de TRIÁNGULOS. A

a½ A’

Perímetro y ángulos de la base.

a

p½

p

B

C

A c’

A“

b’

c

B’

D b

B

C C

Tres medianas.

G D

E

mc2/3

mb2/3

m

2/3 a

B F

A

Construir un triángulo de lados iguales a los dos tercios de cada mediana. El segmento que une un vértice de este triángulo con el punto medio del lado opuesto equivale a la mitad de un lado. Lado, ángulo opuesto y otro lado. Lado, ángulo opuesto y la altura. Lado, ángulo opuesto y la mediana.

b’ C

a b c

Construir el arco capaz del ángulo y el lado conocidos.

A m D

A. Con centro en un extremo del lado y por radio el otro lado, trazar un arco que corta al arco capaz dando el vértice opuesto.

E

b. Trazar una paralela al lado, a la distancia de la altura, que al cortar al arco capaz da el vértice opuesto (dos soluciones)

B

c. Con centro en el punto medio del lado y radio la mediana, trazar un arco que al cortar al arco capaz da el vértice opuesto (dos soluciones)

h’

Lado, ángulo de un extremo y bisectriz del ángulo del otro extremo.

C D bb A

Dos lados y mediana del tercero. A partir de un punto colocar la longitud de la mediana en ambos sentidos. Haciendo centro en los extremos libres y con los lados por radios trazar arcos que se cortan en un punto. La unión del punto común de las medianas con el hallado da la mitad del tercer lado.

m’

m

Construir en los extremos del perímetro ángulos de valor la mitad de los dados. La mediatriz del segmento que va desde el extremo del perímetro hasta el corte de los lados de los ángulos construidos separa los lados.

F

a

B E

Construir en un extremo del lado el ángulo dado. Con centro en el otro extremo del lado y radio la bisectriz, trazar un arco que corta al otro lado del ángulo fijando la bisectriz. Construir un ángulo, simétrico respecto de la bisectriz igual al obtenido para determinar el tercer lado del triángulo.

Construcción de TRIÁNGULOS. 1 B

Bisectriz, su ángulo y otro ángulo. D

Construir el ángulo y la bisectriz dados. Sobre uno de los lados del ángulo construir el otro y trazar por el extremo libre de la bisectriz una paralela al lado del ángulo construido.

b A

a

C

b E

Ángulo su bisectriz y la circunferencia inscrita. D

Construir sobre una recta base el ángulo y su bisectriz. Trazar la circunferencia inscrita y por el extremo libre de la bisectriz una tangente a ella para obtener el tercer lado.

C A

b

a

B

r

Lado, ángulo de un extremo y su bisectriz.

D B

Construir sobre una recta base el ángulo y su bisectriz. Trazar una recta que una el otro extremo del lado y pase por extremo libre de la bisectriz para obtener el tercer lado.

b A

C

a

B

Dos ángulos y altura correspondiente al lado opuesto a uno de ellos.

b

h C

A

a

C hc

Lado su altura y otra altura. Trazar el lado y una paralela a la distancia de la altura correspondiente. Con centro en uno de los extremos del lado describir un arco de radio la otra altura. La tangente al arco por el otro extremo del lado da el tercer vértice al cortar a la paralela.

ha A

B

B hb

Ángulo, su altura y otra altura. Trazar sobre una recta base una paralela a la distancia de una altura. Construir el ángulo sobre la recta base y que corte a la paralela dando otro vértice. El tercero se determina trazando por este último una recta tangente al arco de radio la altura del ángulo y centro su vértice.

ha A

Construir un ángulo en el extremo de una semirrecta. Trazar, a la distancia de la altura, una paralela que corte al lado dando el vértice donde construir el otro ángulo.

a

C A

Dos lados y altura del tercero. h B

C’

C

B’

Trazar una paralela a una recta base a la distancia de la altura. Desde un punto cualquiera de la paralela trazar arcos con radios iguales a las medidas de los lados que corten a la recta base dando varias soluciones.

Construcción de TRIÁNGULOS. 2 D

Dos lados y mediana de uno de ellos.

b’

m’ m b

A

C

C’

B

Dos lados y altura de uno de ellos.

C

Llevar sobre una recta base el lado y trazar una paralela a la distancia de su altura. Desde un extremo del lado trazar un arco que al cortar a la paralela da las soluciones.

h A

B

D

D’

Lado, altura y mediana relativas.

m

Llevar sobre una recta base el lado y trazar una paralela a la distancia de su altura. El arco trazado con su mediana corta a dicha paralela dando las soluciones.

h

A

C

B

C

Lado, ángulo de su extremo y altura. Llevar sobre una recta base el lado y construir el ángulo en uno de sus extremos. Trazar una paralela al lado a la distancia de la altura que corte al ángulo dando la solución.

h A

B

a

D

Lado, ángulo de su extremo y mediana. m’ m

A

C

a

B

A

D

B

C

E

a

Sobre una recta base llevar perpendicularmente la altura.. Desde su extremo libre trazar un arco que corte la recta base fijando el punto medio del lado y la mediana. La mediatriz de la mediana corta a la recta base dando otro vértice siendo simétrico el tercero. Lado, ángulo opuesto y la suma de los otros dos lados.

b

a/2

Llevar sobre una recta base el lado y construir el ángulo en uno de sus extremos. Trazar un arco, con radio la mediana del lado, que al cortar al ángulo da la solución

Altura y mediana de un lado, sabiendo que éste es el doble que otro de los lados del triángulo.

C

C’

Llevar sobre una recta base el lado y describir dos arcos: uno con la mediana y otro, desde un extremo, con el otro lado. El punto común de ambos arcos es el tercer vértice.

c

B

* Proceso de construcción en los ejercicios: Perímetro y ángulos de la base. Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.