CURSO CERO DE FÍSICA

CINEMÁTICA DEL PUNTO

Ángel Muñoz Castellanos Departamento de Física

CURSO CERO DE FÍSICA.UC3M

CINEMÁTICA DEL PUNTO

CONTENIDO

• Movimiento unidimensional •Posición, velocidad, aceleración •Movimiento rectilíneo uniforme •Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

•Movimiento en el espacio •Vectores posición, velocidad y aceleración •Ecuación de la trayectoria

•Componentes intrínsecas de la aceleración •Movimiento circular Ángel Muñoz Castellanos Dpto. de Física

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Movimiento unidim. : posición, velocidad, aceleración En un movimiento unidimensional la partícula se mueve a lo largo de una recta. Para describir el movimiento es necesario escoger un origen, O, en el que situar el sistema de referencia. La posición de un punto en la recta está dado mediante un número x. El número es positivo si está situado a la derecha de O y negativo si está situado a la izquierda de O. t2 t1 x1

O

x2

x

Si la posición de la partícula en el instante t1 es x1 y en t2 es x2, conviene recordar: • • •

El desplazamiento se define como: x=x2-x1 La distancia recorrida en el intervalo de tiempo t=t2-t1 es: d=|x2-x1| La velocidad media de la partícula entre los instantes t2 y t1 es:

vm

x2 x1 t2 t1

x t

La velocidad media no nos da información de cómo varía la posición de la partícula con el tiempo. La magnitud que sí nos da tal información es la velocidad instantánea, v, que se define como:

v

dx dt

La velocidad instantánea es la derivada de la posición con respecto al tiempo Para saber más: Proyecto Newton, Ángel Muñoz Castellanos Dpto. de Física

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Movimiento unidimen. : posición, velocidad, aceleración La velocidad de la partícula también puede variar con el tiempo. Si en t1 la velocidad es v1 y en t2 la velocidad es v2, se define la aceleración media en el intervalo t=t2-t1:

am

v2 v1 t 2 t1

v t

Sin embargo la aceleración media no nos dice como va variando la velocidad de la partícula con el tiempo. La magnitud adecuada para ello es la aceleración instantánea, que se define como:

a

dv dt

La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad con respecto del tiempo Dos representaciones gráficas importantes: v

x

dx dt

v

La velocidad instantánea es la tangente de la curva x=x(t)

a t

t Ángel Muñoz Castellanos Dpto. de Física

dv dt

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La aceleración instantánea es la tangente de la curva v=v(t)

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Movimiento rectilíneo uniforme El movimiento es rectilíneo uniforme si la velocidad de la partícula es constante Ecuaciones fundamentales del movimiento rectilíneo uniforme:

v

cte

a

Por otro lado: v

dv dt

cte v0 x

t

dx x0

d (cte) 0 dt dx v v0 dt

dx v0 dt

t

v0 dt 0

v0 dt

x x0

v0t

0

x

Por tanto, las ecuaciones fundamentales del movimiento son: Las curvas x=x(t) y v)v(t) son: x

v v0

v v0

Para saber más: MRU, EDUCAPLUS

x0 t Ángel Muñoz Castellanos Dpto. de Física

x0 v0t

t 5

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Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado El movimiento rectilíneo es uniformemente acelerado si la aceleración es constante Ecuaciones fundamentales del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

dv dt

a

Como:

a

cte v

dv adt

t

dv v0

v v0

at

t

adt a dt 0

0

v v0 at

Por otro lado:

v

dx dt

x

v0

at

t

dx v0 dt a tdt

dx (v0 at)dt x0

Por tanto, las ecuaciones fundamentales del movimiento son: x

0

v v0 at x x0 v0t

v0 t

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x

0

v

x0 Ángel Muñoz Castellanos Dpto. de Física

t

t

1 2 at 2

x0 v0t

1 2 at 2

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Vectores posición, velocidad y aceleración Para describir el movimiento de una partícula en tres dimensiones es necesario considerar un sistema de referencia tridimensional. En general se considera un sistema de ejes cartesianos. z

P

El vector posición de la partícula, r, es un vector cuyo origen está en el origen de coordenadas y su extremo en la partícula:

v

 r

r k i x

O j

 xi

  y j zk

El vector velocidad de la partícula, v, es la derivada de vector posición respecto al tiempo:

y

 v

 dr dt

dx  i dt

dy  j dt

dz  k dt

   vx i v y j vz k

Importante: La dirección del vector velocidad cuando la partícula está en el punto P es paralela a la tangente a la trayectoria en dicho punto, P. El vector aceleración, a, es la derivada de vector velocidad respecto al tiempo:

 a

 dv dt

dvx  i dt

dvy  j dt

dvz  k dt

d 2x  i dt 2

Ejemplo: el vector posición de un partícula es:

 r

   2t i (4t 1) j 3k 2

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  d 2z  k a i a x y j dt 2     dr v 4t i 4 j dt    dv a 4i dt

d2y j dt 2

 az k

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Ecuación de la trayectoria La partícula al moverse en el espacio va pasando por diversos puntos. Si unimos dichos puntos mediante una línea obtenemos la trayectoria de la partícula. z

¿Cómo podemos obtener la expresión matemática de la ecuación de la trayectoria?

P r

k i x

El vector posición es: Trayectoria

O j

y

 r

 x(t )i

  y(t ) j z (t )k

x(t), y(t), z(t) son las coordenadas de la posición de la partícula en función del tiempo.

x(t ) y (t ) z (t )

Ecuaciones horarias del movimiento

Eliminando el parámetro tiempo, t, obtenemos una ecuación f=f(x,y,z) que constituye la ecuación de la trayectoria

x(t ) 2t     Ejemplo: el vector posición de una partícula es: r 2t i t j 3k y (t ) t x 2t 2 y Luego: y x y t z (t ) 3 2 x y 2 Se corresponde con una recta, y=x/2, que se encuentra en La ecuación de la trayectoria es: el plano z=3 z 3 Ángel Muñoz Castellanos Dpto. de Física

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Componentes intrínsecas de la aceleración Ya hemos visto que la velocidad es un vector cuya dirección es paralela a la tangente de la trayectoria en cada punto. La aceleración también es una magnitud vectorial. En coordenadas cartesianas la aceleración se expresa como:  

dvx  i dt

 a

dvy  j dt

dvz k dt

 ax i

 ay j

az k

¿Cuál es la dirección de la aceleración con respecto a la trayectoria de la partícula?

at

ut un

r

an

a

 a

 at ut

 anun

El vector aceleración, en cada punto de la trayectoria, se descompone en dos componentes

La componente tangencial, at: es paralela a la tangente a la trayectoria La componente normal, an: es perpendicular a la trayectoria. Dirigida hacia el interior de la curvatura de la trayectoria.

Nota importante: La aceleración da cuenta de cómo varía la velocidad en el tiempo. Al ser la velocidad un vector puede variar su módulo y/o su dirección:  La componente tangencial, at: da cuenta de cómo varía el módulo de la velocidad at La componente normal, an: da cuenta de cómo varía la dirección de la velocidad

 a Ángel Muñoz Castellanos Dpto. de Física

 dv  ut dt

v2  un r

an

dv dt v2 r

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Movimiento circular En un movimiento circular la trayectoria descrita por la partícula es una circunferencia

 ut

y

 u n r

Si se utiliza un sistema de referencia cartesiano: se trataría de un movimiento en el plano, y necesitaríamos dos coordenadas: x e y

s

x

Sin embargo, la posición de la partícula a lo largo de su trayectoria puede determinarse sólo con el radio, r, y el desplazamiento angular .

y

x r cos

rsen

Magnitudes importantes en el movimiento circular:

[s]=m

Distancia recorrida sobre la trayectoria, s (arco de la circunferencia): s Velocidad angular: Velocidad de la partícula:

v

 v

r y

 rut

v

ut

d dt

(rad/s)

at

r v2 r

an x

d (rad/s2) dt

Aceleración angular:

Aceleración de la partícula:

2

r

 a y

 rut

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2

at 

ut

an Para saber más: CINEMATICA

r

x

 run

[ ]=rad