1

POSICIONES DEL PUNTO:

elementos diédrico

A) PUNTOS EN LOS CUADRANTES I

PV

(primer cuadrante) A

II (segundo cuadrante)

B PH

IV (cuarto cuadrante)

D

C

III (tercer cuadrante)

- Punto situado en el primer cuadrante (A): Cota +, alejamiento + - Punto situado en el segundo cuadrante (B): Cota +, alejamiento - Punto situado en el tercer cuadrante (C): Cota -, alejamiento - Punto situado en el cuarto cuadrante (D): Cota -, alejamiento +

B) PUNTOS CONTENIDOS EN LOS PLANOS DE PROYECCIÓN PV

F

E G

H

Una proyección coincide en el punto y la otra en la LT. - Punto contenido en - Punto contenido en - Punto contenido en - Punto contenido en

el Plano Horizontal anterior (E): Cota 0, alejamiento + el Plano Vertical superior (F): Cota +, alejamiento 0 el Plano Horizontal posterior (G): Cota 0, alejamiento el Plano Vertical inferiorr (H): Cota -, alejamiento 0

PH

2

POSICIONES DEL PUNTO:

elementos diédrico

C) PUNTOS CONTENIDOS EN LOS PLANOS BISECTORES secto 2º bi

PV

r

1 er

J

bise

ctor

I

PH

L

K

La cota y alejamiento son iguales en magnitud. - Puntos contenidos en el Primer bisector (I, K): Proyecciones equidistantes. - Puntos contenidos en el Segundo bisector (J, L): Proyecciones superpuestas.

D) PUNTO CONTENIDO EN LA LÍNEA DE TIERRA PV

M

Sus dos proyecciones son coincidentes en LT.

PH

3

POSICIONES DE LA RECTA:

elementos diédrico

- La proyección de una recta sobre un plano es otra recta. - Una recta del espacio queda definida cuando se conocen sus proyecciones sobre los dos planos de proyección. -Las TRAZAS son las intersecciones de la recta con los planos de proyección: • Traza Horizontal (H): Punto donde corta la recta con el PH. • Traza Vertical (V): Punto donde corta la recta con el PV.

1- RECTA OBLICUA a) Sin cortar a LT PV

I

II V

r’ R v

PH

r

h’

H

IV III

Es visible la porción de recta del Primer cuadrante, es decir, la porción conprendida entre sus trazas.

b) Cortando a LT PV

R

r’ a’

V’-v H-h’

Tiene las dos trazas en LT

A

a

r

PH

4

POSICIONES DE LA RECTA: 2- RECTA HORIZONTAL

- Paralela al PH. - Altura constante. - Proyección vertical paralela a LT. - Proyección horizontal en VM porque es una recta paralela al PH. - No tiene traza horizontal

PV

r’

elementos diédrico

R

V’

PH

r

v

3- RECTA FRONTAL

- Paralela al PV. - Alejamiento constante. - Proyección horizontal paralela a LT. - No tiene traza vertical. - Proyección vertical en VM.

PV

R

r’

PH

r h’ H

4- RECTA PARALELA A LT

- Paralela a los dos planos de proyección. - Proyecciones paralelas a LT. - No tiene trazas.

PV

R

r’

r

PH

5

POSICIONES DE LA RECTA: 5- RECTA VERTICAL

elementos diédrico - Perpendicular al PH. - Proyección vertical perpendicular a LT. - Su proyección horizontal es un punto.

PV

R

r’

PH

r

h’ H

6- RECTA DE PUNTA

- Perpendicular al PV. - Proyección horizontal perpendicular a LT. - Su proyección vertical es un punto.

PV

V’

R

r’

PH

r

v

7- RECTA DE PERFIL

- Recta contenida en un Plano de Perfil (perpendicular a los dos planos de proyección). - Las dos proyecciones coincidentes en una perpendicular a LT.

PV PP

V’

r’

R

PH

r

v h’

H

6

POSICIONES DE LA RECTA: 8- RECTA CONTENIDA EN EL PLANO VERTICAL

elementos diédrico - Su proyección horizontal confundida con LT. - Su proyección vertical coincidente con la recta.

PV

R

r’ r

PH

H

9- RECTA CONTENIDA EN EL PLANO HORIZONTAL PV

V’

r’

r

R

PH

10PV

PH

- Su proyección vertical confundida con LT. - Su proyección horizontal coincidente con la recta.

POSICIONES DEL PLANO 1- PLANO OBLICUO A LOS PLANOS DE PROYECCIÓN PV

P’

PH

P

2- PLANO HORIZONTAL PV

P’

PH

- Paralelo al PH. - Proyectante respecto al PV (perpendicular al PV). - Traza vertical paralela a LT. No tiene traza horizontal. - Las proyecciones horizontales se proyectan en VM. - Las proyecciones verticales son coincidentes con la Traza vertical.

3- PLANO FRONTAL PV

PH

P - Paralelo al PV. - Proyectante respecto al PH (perpendicular al PH). - Traza horizontal paralela a LT. No tiene traza vertical. - Las proyecciones verticales se proyectan en VM. - Las proyecciones horizontales son coincidentes con la Traza horizontal.

4- PLANO VERTICAL PV

P’

PH

P - Perpendicular al PH. - Proyectante respecto al PH (perpendicular al PH). - Traza horizontal perpendicular a LT.

7

elementos diédrico

POSICIONES DEL PLANO 5- PLANO DE CANTO PV

P’

PH

P - Perpendicular al PV. - Proyectante respecto al PV - Traza horizontal perpendicular a LT.

6- PLANO DE PERFIL PV

PP

P’

PH

P

- Perpendicular al PH y al PV. - Proyectante respecto a los dos planos de proyección. - Sus trazas están confundidas en una misma perpendicular a LT. - Se emplea como tercer plano de proyección, obteniendo sobre él la proyección de perfil.

7- PLANO PARALELO A LT. PV

P’

PH

P - Sus dos trazas son paralelas a LT. - Proyectante respecto al Plano de perfil (perpendicular al PP). - Es interesante obtener su tercera proyección.

8- PLANO QUE PASA POR LT. PV

P’ P

PH

- Contiene a LT. Sus dos trazas son coincidentes en la LT. - Proyectante respecto al Plano de perfil (perpendicular al PP). - Se hace necesario conocer o las proyecciones de un punto del plano u obtener la proyección de perfil.

8

elementos diédrico

RECTAS CONTENIDAS EN UN PLANO

Una recta está contenida en un plano cuando dos de sus puntos están situados sobre el plano. Si los dos puntos que tomamos en la recta son sus trazas, éstas deberán estar sobre las correspondientes trazas del plano

1- RECTA HORIZONTAL DEL PLANO PV

P’ r’

V’ PH

r

P - Es una recta que, perteneciendo al plano, es paralela al PH. - Su proyección horizontal es paralela a la traza horizontal del plano. - Su proyección vertical es paralela a LT.

2- RECTA FRONTAL DEL PLANO PV

P’ r’

PH

r

P

H

- Es una recta que, perteneciendo al plano, es paralela al PV. - Su proyección vertical es paralela a la traza vertical del plano. - Su proyección horizontal es paralela a LT.

3- RECTA DE MÁXIMA PENDIENTE PV

V’

P’ r’

PH

r

P H - Es una recta que, perteneciendo al plano, forma el máximo ángulo posible con el PH. Esto sucede cuando la recta es perpendicular a la traza horizontal del plano. - Su proyección horizontal de la recta es perpendicular a la traza horizontal del plano.

4- RECTA DE MÁXIMA INCLINACIÓN PV

P’ V’ r’ PH

r

H

P - Es una recta que, perteneciendo al plano, forma el máximo ángulo posible con el PV. Esto sucede cuando la recta es perpendicular a la traza vertical del plano. - Su proyección vertical de la recta es perpendicular a la traza vertical del plano.

9

elementos diédrico

10

FORMAS DE DEFINIR UN PLANO

elementos diédrico

- Traza horizontal del plano P: es la intersección del plano con el plano horizontal de proyección. Por tanto, es una recta contenida en el PH. - Traza vertical del plano P’: es la intersección del plano con el plano vertical de proyección. Por tanto, es una recta contenida en el PV.

1- POR SUS TRAZAS P’

PV

P’

P PH

P

2- POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN

r’

s’

r s

3- POR UN PUNTO Y UNA RECTA r’

A’

A

r

4- POR TRES PUNTOS NO ALINEADOS.

B’ A’ C’

C

B A

1

INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS

intersecciones diédrico

La intersección de dos planos es una recta que pertenece a los dos planos; por ello, las trazas de la recta intersección deben estar contenidas en las trazas homónimas de cada uno de los planos.

1-INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS OBLICUOS PV

P’ Q’

P’

Q’ V’ I PH

i’

i

P

P

H

Q

Q - Donde se cortan las trazas horizontales (P y Q) de los planos tendremos H (la traza horizontal de la recta intersección). - Donde se cortan las trazas verticales (P’ y Q’) de los planos tendremos V’ (la traza vertical de la recta intersección).

2- INTERSECCIÓN DE UN PLANO CUALQUIERA CON OTRO PROYECTANTE PV

P’ V’

Q’

Q’

P’

i’

I PH

Q

H

i

Q

P

P

- El proceso a seguir es el mismo que en el caso anterior. Lo único que debemos tener en cuenta es que la proyección horizontal de cualquier elemento situado en un plano proyectante horizontal se encuentra en la traza horizontal de dicho plano, y viceversa. - La proyección vertical de cualquier elemento situado en un plano proyectante vertical se encuentra en la traza vertical del plano.

3- INTERSECCIÓN DE UN PLANO CUALQUIERA CON OTRO PARALELO A LOS DE PROYECCIÓN (SÓLO TIENE UNA TRAZA: Plano Frontal o Plano Horizontal) PV

P’

P’ i’

Q’

I

V’

Q’ i

PH

P P La recta intersección será paralela al plano de proyección referido. - En el caso de Plano oblicuo con plano Horizontal, la recta intersección es una recta horizontal (paralela al PH).

2

INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS

intersecciones diédrico

3- INTERSECCIÓN DE UN PLANO CUALQUIERA CON OTRO PARALELO A LOS DE PROYECCIÓN (SÓLO TIENE UNA TRAZA: Plano Frontal o Plano Horizontal) PV

P’ i’

I P’ PH

i

Q

P

H

Q P - En el caso de Plano oblicuo con plano Frontal, la recta intersección es una recta frontal (paralela al PV).

3- INTERSECCIÓN DE UN PLANO CUALQUIERA CON OTRO PARALELO A LOS DE PROYECCIÓN (SÓLO TIENE UNA TRAZA: Plano Frontal o Plano Horizontal)

P’

P’

I

i’

Q Q

iH

P

- En el caso de Plano Vertical con plano Frontal, la recta intersección es una recta vertical (paralela al PV).

P

4- INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS PARALELOS A LA LÍNEA DE TIERRA. plano auxiliar (plano de perfil)

PV

P’’ P’ i’’

Q’’

Q’ I

i’ i

PH

P Q

P’ Q’

P Q La recta intersección será una recta paralela a LT. - Dos planos paralelos a LT tienen sus trazas paralelas a ella y, por tanto, las trazas no se cortan; por esta razón no puede aplicarse el caso general. - Para solucionar el problema se acude a un tercer plano auxiliar; en este caso recurrimos a un plano de perfil que corta a los anteriores según dos rectas que, a su vez se cortan en un punto. Dado que la recta intersección de dos planos paralelos a la línea de tierra es una recta paralela a la línea de tierra, basta con el punto hallado para trazar la solución. Cualquier otro plano que no sea de perfil se puede utilizar igualmente como plano auxiliar.

3

INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS

intersecciones diédrico

5- INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS QUE PASAN POR EL MISMO PUNTO DE LT. PV

P’

Q’ i’

Q’

plano auxiliar

P’

I N

J’ i

Q

PH

P - Cuando no se pueda disponer de la intersección de las trazas horizontales o de las trazas verticales de los dos planos, como ocurre en este caso, utilizaremos un tercer plano auxiliar (horizontal o vertical) que corta a los anteriores según dos rectas; estas a su vez se cortan en un punto común a los tres planos y, por tanto, perteneciente a la recta intersección de los dos planos dados. - En este caso la recta intersección es una línea que corta a LT.

Q P

5- INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS CUANDO ALGUNA O AMBAS TRAZAS SE CORTAN FUERA DE LOS LÍMITES DEL PAPEL. P’ Q’

Se resuelve como en el caso anterior: utilizando uno o dos planos auxiliares (horizontales o verticales) que corte a las trazas de los planos.

Q P

INTERSECCIÓN DE 3 PLANOS

P’

Q’

W’

I

M I

P La intersección de tres planos es un punto. Dos procedimientos a elegir: - Se halla la recta r de intersección de dos de los planos. Después se halla el punto de intersección de la recta con el tercer plano. - Se halla la recta intersección de dos de los planos; se halla la recta intersección de otros dos planos. El punto de intersección de las rectas intersección es el punto buscado.

W

Q

4

INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO

intersecciones diédrico

1- INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO DEFINIDO POR SUS TRAZAS plano auxiliar que contenga a la recta

PV

R

r’

P’

P’

Q’

r’

m’ V’

i’

M

I r

m

Q

PH

i

P

r H

P

La intersección de una recta y un plano, salvo que sean paralelos entre sí, siempre es un punto. Procedimiento general: - Se traza un plano auxiliar (proyectante) que contenga a la recta. - Se halla la recta intersección del plano dado y del plano auxiliar. - El punto de intersección de la recta dada y la recta intersección es el punto de intersección buscado.

2- INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO DADO POR TRES PUNTOS O POR DOS RECTAS QUE SE CORTAN Método directo del plano de corte proyectante Se sigue el mismo procedimiento que en el caso anterior cuando se conocían las trazas del plano; el denominado método del plano de corte proyectante. - Trazando un plano auxiliar proyectante que contenga a la recta.

r’ B’ A’

- En los ejercicios de intersección de recta y plano se supone que el plano es opaco; lo que trae consigo que a partir de un punto común de la recta con el plano (donde pincha), ésta quede oculta. EL ANÁLISIS DE LA POSICIÓN RELATIVA DE LA RECTA Y EL PLANO, permite determinar la visibilidad de la recta en proyección. Este análisis se efectúa mediante la observación de las coordenadas relativas de un punto de la recta, aparentemente común con el plano. Así para analizar las partes vistas y ocultas en la proyección vertical (alzado), se verifica su correspondencia de alejamientos relativos sobre la proyección horizontal (planta): será visto el elemento geométrico más proximo al observador (con mayor alejamiento). Análogamente, para obtener las partes vistas y ocultas en la proyección horizontal (planta), se verificará su correspodencia relativa de cotas en la proyección vertical (alzado): será visto el elemento más alto (con mayor cota).

C’ C

B A r

INTERSECCIÓN DE 2 PLANOS DADOS POR TRES PUNTOS A’ R’

P’

El procedimiento es similar al de intersección de recta y plano visto en el ejercicio anterior: Método directo de plano de corte proyectante. - El método consiste en hallar dos puntos de la recta común a ambos planos (M y N), los cuales se obtienen mediante la intersección de una recta perteneciente a uno de ellos con el otro, por partida doble. - Una vez determinados los dos puntos M y N y con ello el segmento MN común a los dos planos, se determinan las partes vistas y ocultas de cada uno de ellos con el análisis de las distancias relativas en la zona común.

B’ C

Q’ R A

C’

P

B

Q

1

PARALELISMO

paralelismo, perpendicularidad, distancias diédrico

1-PARALELISMO ENTRE RECTAS Para que dos rectas sean paralelas: - Sus proyecciones horizontales deben ser paralelas. - Sus proyecciones verticales deben ser paralelas.

- En las rectas de perfil además deben ser paralelas sus terceras proyecciones.

Por un punto A trazar una recta paralela a otra dada. V’

r’ a’

r’ a’ r

a H

r

a

2- PARALELISMO ENTRE PLANOS - En planos paralelos cuyas trazas son paralelas a LT, debemos obtener sus terceras proyecciones para comprobar si son paralelas.

Para que dos planos sean paralelos: sus trazas homónimas deben ser paralelas. Por un punto A pasar un plano paralelo a otro dado.

P’

P’ a’

a’

a

a

P

P

P’ Q’ ¿son planos paralelos? P Q

3-PARALELISMO ENTRE RECTA Y PLANO Una recta r es paralela a un plano si en este existe al menos una recta paralela a la recta r. (Para que una recta esté contenida en un plano, las trazas de la recta deben estar contenidas en las trazas homónimas del plano). Por un punto A trazar una recta paralela a un plano dado. P’

a’

a P

PERPENDICULARIDAD

2

paralelismo, perpendicularidad, distancias diédrico

1-PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO. - Las proyecciones de la recta tienen que ser

perpendiculares a las trazas del plano homónimas.

Trazar por un punto, un recta perpendicular al plano definido por sus trazas:

Trazar un plano perpendicular a la recta R dada y que contenga el punto A:

P’ r’ a’

a’

a

a

r P

2- RECTA PERPENDICULAR A OTRA RECTA - En general, las proyecciones de dos rectas perpendiculares en el espacio son dos rectas oblicuas. - Únicamente, si una de las dos rectas es paralela a uno de los dos planos de proyección, las proyecciones de ambas, sobre este plano, son dos rectas perpendiculares. Trazar una recta perpendicular a otra recta s desde un punto A exterior.

Trazar una recta perpendicular a una recta s paralela al PV desde un punto A exterior.

r’ s’ a’ a’

a

s

a

r

3-PLANO PERPENDICULAR A OTRO PLANO Plano perpendicular a otro plano pasando por un punto. (Por un punto A se pueden pasar un nº infinito de planos perpendiculares a un plano dado P. Todos estos planos forman un haz que contiene a la perpendicular trazada desde A al plano P).

Plano perpendicular a otro plano pasando por una recta. (Por una recta R pasa un único plano que sea perpendicular a otro dado).

P’

P’

r’

a’

r

a P P

3

PERPENDICULARIDAD

paralelismo, perpendicularidad, distancias diédrico

Plano perpendicular a otros dos planos pasando por un punto A. Q’ P’

a’

a Q P

DISTANCIAS. OBTENCIÓN DE LA VERDADERA MAGNITUD DE LA MÍNIMA DISTANCIA QUE EXISTE ENTRE DOS ELEMENTOS

1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS - La distancia la obtendremos hallando la Verdadera Magnitud del segmento que determinan. - Se halla la VM del segmento obtenido. - Método de cotas o alejamientos relativos entre sus extremos. b’

b’

a’

a’

a

a b

b

2- DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO - La distancia la obtendremos trazando la perpendicular desde el punto al plano. El punto M de intersección al punto dado es el segmento buscado. - Se halla la VM del segmento obtenido. P’

a’

a

P

4

DISTANCIAS

paralelismo, perpendicularidad, distancias diédrico

3- DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA - La distancia la obtendremos trazando la perpendicular desde el punto a la recta dada. - Para ello, pasaremos por el punto dado un plano perpendicular a la recta dada, obteniendo un punto de intersección (M). Este punto se une con el punto dado. - Se halla la VM del segmento obtenido. r’ a’

a

r

4- DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS - La distancia la obtendremos trazando un plano perpendicular a las dos rectas y hallando el punto intersección de cada recta con el plano (M y N). Unimos los dos puntos y - se halla la VM del segmento MN.

r’

s’

r

s

5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS - La distancia la obtendremos trazando una recta perpendicular a los dos planos, hallando los puntos de intersección M y N. - Se halla la VM del segmento MN. Q’

P’

P

Q