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Teoremas del punto jo María Guadalupe García 17 de abril de 2013
1
ÍNDICE
Índice 1. Introducción
3
2. Preliminares
4
2.1. Nociones Topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Espacios vectoriales topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Espacios localmente convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 6 7
3. Teorema del punto jo de Schauder
12
4. Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski
20
3.1. Teorema del punto jo de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2. Teorema del punto jo de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3. Aplicación: Teorema de Lomonosov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.1. Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.2. Aplicación: Existencia de la medida de Haar sobre un grupo compacto . . . . . . . . 23
Trabajo Final de Análisis Funcional
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1. Introducción Consideremos una aplicación T de un conjunto M en si mismo. Nos preguntamos si existe algún punto en M que es aplicado en si mismo, es decir si la ecuación T (x) = x tiene solución. Si esto ocurre al punto x se lo llama punto jo de T . Los teoremas del punto jo garantizan la existencia del mismo bajo ciertas condiciones sobre T y M . Como consecuencia de teoremas del punto jo pueden ser obtenidos algunos de los resultados sobre existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales, soluciones de sistemas con in nitas ecuaciones e incógnitas, medidas invariantes, existencia de subespacios invariantes, entre otros. En el presente trabajo vamos a estudiar dos teoremas del punto jo, los cuales se pueden considerar como una extensión del Teorema del punto jo de Brouwer y forman parte del Análisis Funcional no Lineal. Comenzaremos introduciendo algunas nociones necesarias para poder demostrar los teoremas. En la tercer sección enunciaremos y demostraremos el Teorema del punto jo de Schauder (1930), el cual extiende el dominio de validez del Teorema de Brouwer a espacios normados de dimensión in nita pidiendo alguna condición adicional a la aplicación. Luego, como una aplicación veremos el Teorema de Lomonosov (1973) sobre la existencia de espacios invariantes no triviales para operadores acotados sobre espacios de Banach. En la cuarta sección probaremos el Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski (1967) sobre puntos jos simultaneos de semigrupos de aplicaciones a nes sobre espacios localmente convexos. Para ello utilizaremos el Teorema del punto jo de Marcov-Kakutani (1936) sobre puntos jos comunes de familias de aplicaciones a nes. Por último, demostraremos la existencia de la medida de Haar sobre grupos topológicos compactos aplicando el Teorema de Ryll-Nardzewski.
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2 PRELIMINARES
2. Preliminares En esta sección se encuentran de niciones y resultados de topología y análisis funcional necesarios para demostrar los teoremas y desarrollar los ejemplos en el presente trabajo.
2.1. Nociones Topológicas De nición 2.1.1. Sea X un conjunto. Una topología sobre X es una colección τ las siguientes propiedades:
⊆ P(X) que veri ca
1. ∅, X ∈ τ, 2. Si {Uα }α ⊆ τ entonces
[
Uα ∈ τ,
α
3. Si
{Uk }nk=1
⊆τ
entonces
n \
Uk ∈ τ .
k=1
Es decir, τ es una topología si contiene a ∅ y a X, es cerrada por uniones arbitrarias y por intersecciones nitas. Al par (X, τ ) se lo llama espacio topológico y a los elementos de τ conjuntos abiertos de X. Además, diremos que un conjunto A ⊆ X es un entorno de x ∈ X si existe U ∈ τ tal que x ∈ U ⊆ A. A lo largo de este trabajo usaremos la siglas ET para referirnos a espacios topológicos.
De nición 2.1.2. Una subbase S para una topología sobre X es una colección de subconjuntos de X cuya unión es igual a X. La topología generada por la subbase S se de ne como la colección τ de todas las uniones de intersecciones nitas de elementos de S . De nición 2.1.3. Un espacio topológico (X, τ ) se denomina espacio de Hausdor si para cada par x1 , x2 de puntos dintintos de X, existen entornos disjuntos U1 y U2 de x1 y x2 , respectivamente. De nición 2.1.4. Sea numerable.
(X, τ )
un ET. Se dice que X es separable si tiene un subconjunto denso
De nición 2.1.5. Un espacio topológico (X, τ ) se dice localmente compacto en x si existe algún subespacio compacto C de X que contenga un entorno de x. Si X es localmente compacto en cada uno de sus puntos, X se dice localmente compacto. Lema 2.1.6. Si Y es un subespacio compacto de un espacio de Hausdor X y x0 un punto que no pertenece a Y entonces existen conjuntos abiertos disjuntos U y V tales que x0 ∈ U e Y ⊆ V. Demostración. Sea x0 un punto de X\Y . Por ser X un espacio de Hausdor, para cada y ∈ Y existen entornos disjuntos Uy y Vy de x0 e y , respectivamente. La colección {Vy }y∈Y es un cubrimiento de Y por conjuntos abiertos de X. Por la compacidad de Y podemos tomar una cantidad nita de conjuntos Vy1 , ..., Vyn que cubren Y . De nimos V =
n [
V yi y U =
i=1
conjuntos abiertos disjuntos que contienen a x0 e Y , respectivamenete.
n \
Uyi . Luego, U y V son
i=1
Teorema 2.1.7. Sea X un espacio de Hausdor. Entonces X es localmente compacto si, y sólo si dados x ∈ X y un entorno U de x existe un entorno V de x tal que V es compacto y V ⊂ U . Trabajo Final de Análisis Funcional
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2.1 Nociones Topológicas
Demostración. ⇐) Si de nimos C = V , entonces C es un conjunto compacto y contiene al entorno V de x. ⇒) Sean X un espacio localmente compacto, x ∈ X y U un entorno de x. Tomamos la compacti cación por un punto Y de X y de nimos C = Y\U . Entonces C es cerrado en el espacio de Hausdor Y y por lo tanto C es un subespacio compacto de Y. Por el Lema 2.1.6 podemos tomar conjuntos abiertos disjuntos V y W tales que x ∈ V y C ⊂ W . Entonces V es compacto en Y y además V ∩ C = ∅, por lo tanto V ⊂ U .
Teorema 2.1.8. (Teorema de Baire). Sea (X, τ ) un espacio topológico. Si X es localmente compacto Hausdor entonces para toda familia numerable {Fn }n∈N de conjuntos cerrados de X se tiene que ! ◦
Fn◦
=∅
para todo n ∈ N implica que
[
Fn
= ∅.
n∈N
Esta condición se puede enunciar de las siguientes dos maneras: !◦
1. Si
[
Fn
6= ∅
entonces Fn◦ 6= ∅ para algún n ∈ N.
n∈N
2. Dada la sucesión {Gn }n∈N de conjuntos abiertos densos, se tiene que
\
Gn
también es densa.
n∈N
Demostración. Probaremos el enunciado 2. Observar que, dados Fn como en el enunciado 1, si consideramos Gn = X\Fn para cada n ∈ N, tenemos que !◦ Gn = X\Fn◦ y
\
Gn = X\
n∈N
[
Fn = X\
n∈N
[
Fn
.
n∈N
Sean x ∈ X y U un entorno de x. Dado que G1 es denso en X, U ∩G1 6= ∅. Sea y ∈ U ∩G1 . Como U ∩ G1 es abierto y X es localmente compacto, por el Teorema 2.1.7 existe un entorno V1 de y tal que V1 es compacto y V1 ⊂ V1 ⊂ U ∩ G1 . Ahora, dado que G2 es denso en X, V1 ∩ G2 6= ∅ entonces existe un entorno V2 de algún punto de V1 ∩ G2 tal que V2 es compacto y V2 ⊂ V2 ⊂ V1 ∩ G2 . Luego, V2 ⊂ G1 ∩ G2 . Procediendo de esta manera, construimos una sucesión de conjuntos abiertos {Vn }n∈N tal que: 1. Vn es compacto para todo n ∈ N, 2. Vn+1 ⊂ Vn+1 ⊂ Vn ⊂ Vn ⊂ V1 ⊆ U , 3. Vn ⊆
\
Gk .
k∈N
Ahora, dado que V1 es compacto y la colección Vn n∈N tiene la propiedadde la intersección nita, \ \ existe z ∈ Vn . Entonces, z ∈ U ∩ Gn . Como U era un entorno arbitrario de x, tenemos que
n∈N
x∈
\
n∈N
Gn .
n∈N
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2 PRELIMINARES
2.2. Espacios vectoriales topológicos De nición 2.2.1. Un espacio vectorial topológico es un espacio topológico (X, τ ) en el cual X es un F-espacio vectorial, la topología τ es de Hausdor y tal que con respecto a dicha topología a)la aplicación de X × X → X dada por (x, y) 7→ x + y es continua; b)la aplicación de F × X → X dada por (α, x) 7→ αx es continua. Usaremos las letras EV T para referirnos a espacio vectorial topológico. De nición 2.2.2. Sea X es un espacio vectorial sobre F y A ⊆ X. Se dice que 1. A es balanceado si αA ⊆ A para todo α ∈ F con |α| ≤ 1; 2. A es absorbente si para cada x ∈ X existe ε > 0 tal que tx ∈ A para 0 < t < ε.
De nición 2.2.3. Sea X un espacio vectorial sobre F y A ⊆ X. Entonces A es convexo si, y sólo si la linea recta [a, b] = {(1 − t)a + tb : 0 ≤ t ≤ 1} ⊆ A, donde a, b ∈ A. De nición 2.2.4. Sean X un EVT y A ⊆ X. El conjunto A es acotado si para cada entorno U de cero existe s > 0 tal que A ⊆ t U para todo t > s. Proposición 2.2.5. Sea X un EVT y V un entorno de cero. Entonces, 1. V contiene un entorno balanceado de cero; 2. Sea {rn }n ⊆ F una sucesión estrictamente creciente. Si rn −n→∞ −−→ ∞ entonces X =
∞ [
rn V.
n=1
Demostración. 1. Sea V cualquier entorno de cero. Por la continuidad de la aplicación de F × X → X dada por (α, x) 7→ αx en el origen, existen δ > 0 y un [entorno W de cero tal que αW ⊆ V para todo α ∈ F con |α| < δ . Si consideramos U = αW entonces U es un entorno balanceado de cero y está contenido en V .
|α| nm . Trabajo Final de Análisis Funcional
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2.3 Espacios localmente convexos
2.3. Espacios localmente convexos De nición 2.3.1. Sea que:
X
es un EV sobre F. Una seminorma es una función p : X → [0, ∞) tal
1. p (x + y) ≤ p (x) + p (y), 2. p (αx) = |α| p (x). Puede pasar que p (x) = 0 aunque x 6= 0. Sean X un espacio vectorial y P una familia de seminormas sobre X. Si τ es la topología sobre X que tiene como subbase los conjuntos {x : p (x − x0 ) < ε} donde p ∈ P , x0 ∈ X y ε > 0 entonces un subconjunto U de X es abierto si, y sólo si para todo x0 ∈ U existen p1 , ..., pn ∈ P y ε1 , ..., εn > 0 tal que
n \
{x ∈ X : pi (x − x0 ) < εi } ⊆ U . Con esta topología X es un EV T .
i=1
De nición 2.3.2. Un espacio localmente convexo es un espacio \ vectorial topológico X cuya topología está de nida por una familia de seminormas P tales que {x : p (x) = 0} = {0}. p∈P
Abreviaremos espacio localmente convexo con las letras ELC. \ Observación 2.3.3. La condición {x : p (x) = 0} = {0} hace que la topología de nida por la p∈P
familia de seminorma P sea de Hausdor. En efecto, si x, y ∈ X son puntos distintos, existe p ∈ P tal que p (x − y) = 6 0 . Entonces p (x − y) > ε , para algún ε > 0 . Si U = z : p (x − z) < 2ε y V = z : p (y − z) < 2ε entonces U y V son entornos disjuntos de x e y , respectivamente. 4
De nición 2.3.4. Sea K un subconjunto de un espacio vectorial X. 1. Un subconjunto A es extremal en K si para cada x, y ∈ K se cumple que [x, y] ∩ A 6= ∅ ⇒ x, y ∈ A
donde [x, y] = {(1 − t)x + t y : t ∈ (0, 1)} es el segmento abierto que une x con y. 2. z ∈ K es un punto extremal si el conjunto {z} es extremal en K, es decir si para cada par de puntos x, y ∈ K se tiene que z ∈ [x, y] ⇒ x = y = z.
Denotaremos por Ext(K) al conjuntos de los puntos extremales de K . De nición 2.3.5. Sea X un F-espacio vectorial. El espacio dual algebraico de X es el conjunto 0 X = {ϕ : X → F : ϕ es lineal}. Si (X, τ ) es un espacio vectorial topológico, se denomina dual topológico de X al conjunto n o 0 X∗τ = (X, τ )∗ = ϕ ∈ X : ϕ es τ -continua .
El espacio X∗τ tiene estructura de espacio vectorial, de nimos el elemento (α ϕ + ψ) ∈ X∗τ como (α ϕ + ψ)(x) = α ϕ(x) + ψ(x) para x ∈ X, con α ∈ F y ϕ, ψ ∈ X∗τ . 0 Si X es un C-espacio vectorial entonces denotaremos por XR y (X, τ )∗R a sus duales pensándolos como R-espacios vectoriales. Departamento de Matemática - UNLP
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2 PRELIMINARES
De nición 2.3.6. Sea X es un ELC y X∗τ su dual topológico. A la topología sobre X inducida por la familia de seminormas {pϕ : ϕ ∈ X∗τ } ,
donde pϕ (x) = |ϕ(x)| , x ∈ X
se la denomina topología débil de X y se la denota por ”wk” ó σ(X, X∗τ ). A la topología sobre X∗τ inducida por la familia de seminormas {px : x ∈ X} ,
donde px (ϕ) = |ϕ(x)| , ϕ ∈ X∗τ
se la denomina topología débil * de X∗τ y se la denota por ”wk∗ ” ó σ(X∗τ , X).
Observación 2.3.7. Un subconjunto U es débilmente abierto en X si, y sólo si para todo x0 ∈ U existen ϕ1 , ..., ϕn ∈ X∗τ y ε > 0 tales que n \
{x ∈ X : |ϕi (x − x0 )| < ε} ⊆ U.
i=1
Una red {xi }i∈I ⊆ X converge débil a x0 si, y sólo si ϕ(xi ) converge a ϕ(x0 ) para toda ϕ ∈ X∗τ . De forma similar, un subconjunto U es abierto en X∗τ con la topología débil * si para toda ϕ0 ∈ U existen x1 , ..., xn ∈ X y ε > 0 tales que n \
{ϕ ∈ X∗τ : |(ϕ − ϕ0 )(xi )| < ε} ⊆ U.
i=1
y una red {ϕi }i∈I ⊆ X∗τ converge débil * a ϕ si, y sólo si ϕi (x) converge a ϕ(x) para todo x ∈ X. 4
Lema 2.3.8. Si S1 ⊂ K es un conjunto extremal de entonces S2 es un conjunto extremal de K .
K
y S2 ⊂ S1 es un conjunto extremal de S1
Demostración. Sean x, y ∈ K y t ∈ (0, 1) tales que (1 − t)x + ty ∈ S2 . Dado que S2 ⊂ S1 y S1 es un conjunto extremal de K , x, y ∈ S1 . Ahora, como S2 es un conjunto extremal de S1 , concluimos que x, y ∈ S2 .
Lema 2.3.9. Sean X un espacio vectorial, A ⊂ X y f ∈ X0 tal que s = sup {f (x) : x ∈ A} < ∞. Si Af = {x ∈ A : f (x) = s} = 6 ∅ entonces Af es un conjunto extremal de A. Demostración. Sean x, y ∈ A y t ∈ (0, 1) tales que (1 − t)x + ty = z ∈ Af . Si x ∈/ Af entonces f (x) < s, por lo tanto f (z) = (1 − t)f (x) + tf (y) < s. Análogamente, si y ∈ / A entonces f (z) < s. Por lo tanto z ∈/ Af , llegamos a una contradicción.
De nición 2.3.10. Sea X un EV y A un subconjunto de X. La cápsula convexa de A es el conjunto co(A) =
\
{C : A ⊆ C, C
es convexo}.
Si X es un EVT, llamamos cápsula convexa cerrada de A al conjunto co(A) =
\
{C : A ⊆ C, C
es convexo y cerrado}.
Es decir, co(A) es la clausura de co(A). Trabajo Final de Análisis Funcional
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2.3 Espacios localmente convexos
Proposición 2.3.11. En un espacio normado la cápsula convexa de todo conjunto nito es compacta. Demostración. Sea (X, kk) un espacio normado y {x1 , ..., xn } ⊆ X. Por la de nición de cápsula convexa, ( n ) n X X co({x1 , ..., xn }) = αi xi : αi = 1 con αi ∈ [0, 1] para i = 1, ..., n i=1
i=1
y puede expresarse como la imagen del conjunto compacto n X n (α1 , ..., αn ) ∈ R : αi = 1 con αi ∈ [0, 1] para i = 1, ..., n
(
)
i=1
mediante la aplicación continua dada por (α1 , ..., αn ) 7→ ta.
n X
αi xi . Luego, co({x1 , ..., xn }) es compac-
i=1
Vamos a utilizar el corolario del siguiente Teorema de Hahn-Banach para demostrar el Teorema de Krein-Milman. Se puede encuentra una demostración de los mismos en [9].
Teorema 2.3.12. (Teorema de separación de Hahn-Banach). Sea (X, τ ) un EV T . Si U y V son subconjuntos convexos, disjuntos y no vacíos de X tales que U es abierto, entonces existen ϕ ∈ (X, τ )∗ y t ∈ R tales Re(ϕ(x)) < t < Re(ϕ(y)) para todo par x ∈ U, y ∈ V. Corolario 2.3.13. Sea (X, τ ) un ELC . Si K y F son dos subconjuntos convexos, disjuntos y no vacíos de X tales que K es compacto y F es cerrado entonces existen ϕ ∈ (X, τ )∗R , ε > 0 y t ∈ R tales que ϕ(x) ≤ t − ε < t ≤ ϕ(y) para todo par x ∈ K, y ∈ F. Teorema 2.3.14. (Teorema de Krein-Milman). Si X un ELC y convexo y no vacío de X entonces Ext(K) 6= ∅ y K = co(Ext(K)).
K
un subconjunto compacto,
Demostración. Veamos que Ext(K) 6= ∅. Sea C la colección de todos los subconjuntos extremales, compactos y no vacíos de K ordenada parcialmente por la inclusión al revés, es decir si A, B ∈ C , A ≤ B si, y sólo si B ⊆ A. La colección C es no vacía ya que K ∈ C . \ Sea A una subcolección de C totalmente ordenada y consideremos S = A. Dado que A A∈A
está totalmente ordenada, tiene la propiedad de la intersección nita, y como los elementos de A son cerrados y K es compacto, S 6= ∅. Además, S es compacto por ser un subconjunto cerrado de K , y es un conjunto extremal de K , pues si x, y ∈ K y t ∈ (0, 1) con (1 − t) x + t y ∈ S , entonces (1 − t) x + t y ∈ A para todo A ∈ A. Como los elementos de A son conjuntos extremales de K , tenemos que x, y ∈ A, para todo A ∈ A. Luego, x, y ∈ S , y por lo tanto A tiene una cota superior. Entonces, por el Lema de Zorn, C tiene un elemento maximal, es decir existe M ∈ C tal que B ≤ M (M ⊆ B) para todo B ∈ C . Veamos que M tiene un único punto. Si aplicamos el Lema 2.3.9 a cada f ∈ X∗τ el conjunto Mf es compacto y extremal de M . Entonces, por el Lema 2.3.8, Mf es extremal de K para toda f ∈ X∗τ , luego por la maximalidad de M tenemos Departamento de Matemática - UNLP
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2 PRELIMINARES que Mf = M, ∀f ∈ X∗τ . Por lo tanto, cada f ∈ X∗τ es constante sobre M . Luego, como X∗τ separa puntos tenemos que M contiene un solo elemento, que es un punto extremal de K . Ahora veamos que K = co(Ext(K)). Sea H = co(Ext(K)). ⊇) Como K es compacto y convexo, H ⊆ K , y por lo tanto H también es compacto. ⊆) Supongamos que existe x0 ∈ K\H . Dado que {x0 } es cerrado y H es compacto, por el Corolario 2.3.13, existen f : X → R lineal y continua, t ∈ R y ε > 0 tales que para todo x ∈ H f (x) ≤ t − ε < t ≤ f (x0 ).
Entonces, f (H) < t ≤ f (x0 ). Por el Lema 2.3.9, Kf = {x ∈ K : f (x) = supx∈K f (x)} ⊆ K es extremal de K . Por lo visto en la primera parte de la demostración, Kf tiene un punto extremal, al cual llamamos e. Por el Lema 2.3.8, e es extremal de K . En particular, Kf ∩ Ext(K) 6= ∅, pero por la desigualdad vista antes, f (e) = supx∈K f (x) ≥ f (x0 ) ≥ t > f (Ext(K)).
Así obtenemos una contradicción. Por lo tanto, K ⊆ co(Ext(K)).
Lema 2.3.15. Sea X un espacio localmente convexo. Si K1 , ..., Kn son subconjuntos compactos y convexos de X enntonces co(K1 ∪ ... ∪ Kn ) = co(K1 ∪ ... ∪ Kn ). Demostración. Veamos que co(K1 ∪ ... ∪ Kn ) es cerrado. Dado que X es un espacio de Hausdor, basta ver que co(K1 ∪ ... ∪ Kn ) es compacto. Sea ( n ) n X X K= αi xi : αi ∈ [0, 1], αi = 1 y xi ∈ Ki , i = 1, ..., n . i=1
i=1
Si α ∈ [0, 1] y x, y ∈ K , entonces αx + (1 − α)y = α
n X
n X αi xi + (1 − α) βi yi
i=1
=
n X
i=1
(ααi xi + (1 − α)βi yi )
i=1 n n X X con αi , βi ∈ [0, 1] tales que αi = 1, βi = 1 y xi , yi ∈ Ki para i = 1, ..., n. Si de nimos i=1
i=1
ri = ααi + (1 − α)βi para cada i = 1, ..., n entonces
n X
ri = 1,
i=1
αx + (1 − α)y =
n X ααi xi + (1 − α)βi yi i=1
ri
ri ,
i yi y por la convexidad de cada Ki , ααi xi +(1−α)β ∈ Ki . Entonces αx + (1 − α)y ∈ K , y por lo tanto ri K es convexo. Luego, K = co(K1 ∪ ... ∪ Kn ).
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2.3 Espacios localmente convexos Ahora, sea {ei }ni=1 la base canónica de Rn y consideremos el conjunto ( n ) n X X C= αi ei : αi ∈ [0, 1] y αi = 1 . i=1
i=1
Sea f : C × K1 × ... × Kn → K la aplicación dada por f ((α1 , ..., αn , x1 , ..., xn )) =
n X
αi xi .
i=1
Dado que f es continua, el conjunto C × K1 × ... × Kn es compacto, por ser producto nito de conjuntos compactos, y f (C × K1 × ... × Kn ) = K , tenemos que K es compacto.
Teorema 2.3.16. Sean X es un espacio localmente convexo y K un subconjunto compacto y convexo de X. Si F ⊂ K tal que K = co(F ) entonces Ext(K) ⊆ F . Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que F es cerrado. Sea x0 ∈ Ext(K)\F . Dado que F es cerrado y no contiene a x0 , existe una seminorma continua p sobre X tal que F ∩ {x ∈ X : p (x − x0 ) < 1} = ∅. Sea U0 = x ∈ X : p (x) < 13 , entonces (x0 + U0 ) ∩ (F + U0 ) = ∅, por lo tanto x0 ∈/ (F + U0 ). Como F es compacto podemos tomar y1 , ..., yn ∈ F tales que F ⊆
n [
(yk + U0 ). Consideremos
i=1
Kk = co(F ∩ (yk + U0 )). Entonces Kk ⊆ yk + U0 y Kk ⊆ K . Como K1 , ..., Kn son conjuntos compactos y convexos, por el Lema 2.3.15 co(K1 ∪ ... ∪ Kn ) = co(K1 ∪ ... ∪ Kn ). Por lo tanto, K = co(F ) = co(K1 ∪ ... ∪ Kn ).
Como x0 ∈ K , tenemos que x0 =
n n X X αk = 1. Pero x0 es punto αk xk con xk ∈ Kk , αk ≥ 0 y k=1
k=1
extremal de K , entonces x0 = xk para algún k. Esto implica que x0 ∈ Kk ⊆ yk + U0 ⊆ F + U0 , llegamos a una contradicción.
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3 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE SCHAUDER
3. Teorema del punto jo de Schauder En la presente sección vamos a trabajar sobre subconjuntos convexos de espacios de Banach y las funciones no serán asumidas lineales ó a nes.
3.1. Teorema del punto jo de Brouwer Teorema 3.1.1. (Teorema del punto jo de Brouwer) . Si 1 ≤ d < ∞, B es la bola unitaria cerrada de Rd y f : B → B es una función continua, entonces existe un punto x en B tal que f (x) = x. Existe distintas demostraciones del Teorema del punto jo de Brouwer (1912), entre ellas se encuentran algunas analiticas [4], otras que utilizan geometría diferencial [1] o topología algebraica [8].
Observación 3.1.2. El Teorema de Brouwer vale para cualquier conjunto K homeomorfo a la bola unitaria cerrada B ⊂ Rn . En efecto, si f : K → K es una función continua y g : K → B es un homeomor smo entonces la aplicación h := g ◦ f ◦ g−1 : B → B es continua. Por el Teorema del punto jo de Brouwer, existe x ∈ B tal que h(x) = x, luego, y = g−1 (x) es punto jo de f . En particular, vale para cualquier conjunto compacto y convexo de un espacio normado de dimensión nita como veremos en el corolario 3.1.4. 4 Antes de enunciar el corolario 3.1.4 vamos a probar una proposición necesaria para su demostración.
Proposición 3.1.3. Si H es un espacio del Hilbert, K es un subconjunto cerrado, convexo y no vacío de H, y h ∈ H, entonces existe un único punto k0 ∈ K tal que kh − k0 k = dist(h, K) ≡ inf {kh − kk : k ∈ K} .
Demostración. Basta considerar el caso h = 0. En se cumple para h = 0, n efecto, si la Proposición o ˜ ˜ ˜ ˜ dado h ∈ H, como el conjunto K := K − h = k − h : k ∈ K es convexo, cerrado y no vacío,
n
o
˜ = inf kkk : k ∈ K ˜ . Entonces podemos aplicarle la Proposición y hallar k˜ tal que
k˜
= dist(0, K) ˜ es el elemento buscado. k0 = k˜ + h Supongamos que h = 0 y sea d := dist(0, K) = inf {kkk : k ∈ K}. Por de nición de ín mo, dado n ∈ N existe una sucesión {kn }n ⊆ K que converge en norma a d. Por la regla del paralelogramo,
kn − km 2 1
kn + km 2 2 2
=
kkn k + kkm k −
2 2 2
2
m m kn −km y dado que K es convexo, kn +k , 2 ∈ K , entonces kn +k ≥ d2 . Dado ε > 0, sea n0 ∈ N tal 2 2 2 1 2 2 que ∀n ≥ n0 , kkn k < d + 4 ε . Luego, por la desigualdad anterior, si n, m ≥ n0 entonces
kn − km 2 1 1 2 1 2
< 2d + ε − d2 = ε2 .
2 2 2 4
Por lo tanto, {kn }n es de Cauchy. Entonces, dado que H es completo y K es cerrado, existe k0 ∈ K tal que kkn − k0 k −−−→ 0. Además, kkn k −−−→ kk0 k, entonces por unicidad del límite, kk0 k = d. n→∞
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n→∞
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3.1 Teorema del punto jo de Brouwer
Para ver la unicidad, supongamos que existe k˜0 ∈ K tal que kk0 k =
k˜0
= d. Por convexidad, ˜0 k0 +k 2
∈ K . Entonces
k + k˜ 1
0
0 d≤ kk0 k + k˜0 = d,
≤
2 2
y por la regla del paralelogramo,
k + k˜ 2
k − k˜ 2
0 0 0 0 d2 =
= d2 −
.
2
2
˜
2
Luego,
k0 −2 k0
= 0, por lo tanto k0 = k˜0 .
Corolario 3.1.4. (Corolario del Teorema de Brouwer). Si K es un subconjunto convexo, compacto y no vacío de un espacio normado de dimensión nita X y f : K → K es una función continua, entonces existe un punto x en K tal que f (x) = x. Demostración. Dado que X es un espacio normado de dimensión nita, es isomorfo a Cd o Rd , y por lo tantoes homeomorfo a R2d o Rd . Entonces, basta considerar X = Rd , con 1 ≤ d < ∞. Si K = x ∈ Rd : kxk ≤ r el resultado se deduce del Teorema de Brouwer pues la aplicación g : K → B dada por g(x) = xr es un homeomor smo, Si K es cualquier subconjunto convexo de Rd , tomamos r > 0 tal que K ⊆ B ≡ x ∈ Rd : kxk ≤ r . Sea φ : B → K la función dada por φ(x) = yK , donde yK es el único punto de K que satisface que kx − yK k = dist(x, K). La aplicacion φ está bien de nida por la Proposición 3.1.3 y cumple que φ(x) = x para todo x ∈ K . Veamos que φ es continua. Sea {xn }n una sucesión en B y x ∈ B tal que xn −−−→ x, entonces n→∞ dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que d(xn , x) < 2ε , ∀n ≥ n0 . Si jamos n ≥ n0 , por la de nición de φ, tenemos que d(xn , φ(xn )) ≤ d(xn , φ(x)) y d(x, φ(x)) ≤ d(x, φ(xn )).
Entonces, d(xn , φ(xn )) ≤ d(xn , φ(x)) ≤ d(xn , x) + d(x, φ(x)) ≤
ε + d(x, φ(x)). 2
Por lo tanto, d(x, φ(x)) ≤ d(x, φ(xn )) ≤ d(x, xn ) + d(xn , φ(xn )) ε < + d(xn , φ(xn )) < ε + d(x, φ(x)). 2
Con lo cual, d(x, φ(x)) ≤ d(x, φ(xn )) < ε + d(x, φ(x)).
Luego, limn→∞ d(x, φ(xn )) = d(x, φ(x)). Departamento de Matemática - UNLP
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3 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE SCHAUDER Dada la sucesión {φ(xn )}n ⊆ K , por la compacidad de K , existe una subsucesión {φ(xnk )}k convergente. Sea y ∈ K tal que φ(xnk ) → y . Entonces, por la continuidad de la función distancia, d(x, φ(xnk )) converge a d(x, y). Luego, por la unicidad del límite, d(x, y) = d(x, φ(x)). Como y ∈ K , por la de nición de φ, tenemos que y = φ(x). Por lo tanto, φ es continua. Dado que φ es continua y φ(x) = x, la composición f ◦ φ : B → K ⊆ B es una función continua. Entonces, por el Teorema de Brouwer, existe x ∈ B tal que (f ◦φ)(x) = x, pero como (f ◦φ)(B) ⊆ K , tenemos que x ∈ K . Luego, x = f (φ(x)) = f (x).
3.2. Teorema del punto jo de Schauder El Teorema del punto jo de Schauder fué generalizado a espacios topológicos localmente convexos en lugar de espacios normados por Tychono en 1935. En 2001, Cauty demostró que todo subconjunto convexo y compacto de un espacio vectorial topológico (sin la necesidad de suponer convexidad local) tiene la propiedad del punto jo. Este problema estuvo abierto desde 1930, cuando Schauder demostró el teorema original del punto jo, y era conocido como la conjetura de Schauder. El Teorema del punto jo de Schauder se puede considerar como una generalización del Teorema del punto jo de Brouwer en dimensión in nita, aunque es falsa si no se pide una condición adicional a la función, como veremos en los siguientes ejemplos. El primero de ellos se debe a Kakutani (1943).
Ejemplo 3.2.1. Consideremos el espacio de Hilbert H := L2 (−π, π) con la base ortonormal {en }n∈Z , int donde en (t) = √e 2π . De nimos la aplicación lineal T : H → H dada por ! X
T
xn e n
=
n∈ Z
X
xn en+1 ,
n∈ Z
la cual es una isometría. La función f : H → H dada por f (x) = además si kxk ≤ 1, kf (x)k ≤
1−kxk 2
e0 + T (x),
es continua y
1 − kxk 1 − kxk + kT (x)k ≤ + kxk ≤ 1, 2 2
es decir f (B1 (0)) ⊂ B1 (0). Sin embargo, f no tiene un punto jo en la bola unitaria. Supongamos que existe x˜ ∈ B1 (0) tal que f (˜x) = x˜, entonces x˜ 6= 0. Además, k˜xk < 1, pues en caso contrario f (˜x) = T (˜x) y por lo tanto T (˜x) = x˜, pero esto es absurdo ya que el único punto jo de ˜ ∈ H, admite un único desarrollo en serie de Fourier dado por XT es x = 0. Dado que x x ˜= xn en , donde xn = hx, en i. Como x ˜ = T (˜ x), tenemos que n∈Z
1 − k˜ xk 1 − k˜ xk x ˜ − T (˜ x) = x ˜ − f (˜ x) − e0 = e0 , 2 2
es decir, X
(xn − xn−1 ) en =
n∈Z
1 − k˜ xk e0 . 2
Luego, por unicidad de la serie, tenemos que xn − xn−1 =
Trabajo Final de Análisis Funcional
0 1−k˜ xk 2
si n 6= 0 . si n = 0 Hoja 14 de 27
3.2 Teorema del punto jo de Schauder
Por lo tanto, X xj = x−12 6= x0 = xi , ∀j ≤ −2 y ∀ i ≥ 1, lo que es absurdo pues por la identidad de Parseval, x2n = k˜ xk < ∞. n∈Z
Ejemplo 3.2.2. Sea H = l2 y B = x ∈ l2 : kxk ≤ 1 . Consideremos la aplicación f : B → B q dada por f (x) = ( 1 − kxk2 , x1 , x2 , ...). Entonces, f es continua y kf (x)k = 1. Si existe x˜ ∈ B tal que f (˜x) = x˜ entonces kf (˜x)k = k˜xk = 1, y por la de nición de f ,
q f (˜ x) = ( 1 − k˜ xk2 , x ˜1 , x ˜2 , ...) = (0, x ˜1 , x ˜2 , ...) = x ˜.
Por lo tanto, 0 = x˜1 = x˜2 = ..., es decir x˜ = 0 lo cual es absurdo. Luego, f no tiene un punto jo.
De nición 3.2.3. Sean X un espacio normado y E ⊆ X. Una función f : E → X se dice compacta si f es continua y f (A) es compacta, siendo A un subconjunto acotado de E . Observación 3.2.4. Si E es un subconjunto compacto de X entonces toda función f : E → X es compacta. En efecto, si A es un subconjunto acotado de E entonces f (A) es un subconjunto cerrado en el conjunto compacto f (E), por lo tanto es compacto. 4 Vamos a necesitar el siguiente Lema para demostrar del Teorema de Schauder.
Lema 3.2.5. Sean K unSsubconjunto compacto de un espacio normado X, ε > 0 y A un subconjunto nito de K tal que K ⊆ {B(a, ε) : a ∈ A}. De nimos la aplicación φA : K → X dada por P {ma (x)a : a ∈ A} φA (x) = P , {ma (x) : a ∈ A}
donde ma (x) = 0 si kx − ak ≥ ε y ma (x) = ε−kx − ak si kx − ak ≤ ε. Entonces, φA es una función continua y kφA (x) − xk < ε para todo x ∈ K. Demostración. Por de nición ma (x) ≥ 0 para cada a ∈ A y {ma (x)a : a ∈ A} > 0 para todo x ∈ K , entonces φA está bien de nida sobre K . Además, φA es continua, pues para cada a ∈ A, ma : K → [0, ε] lo es. En efecto, sean ε˜ > 0, x1 ∈ B(a, ε) y x2 ∈ K\B(a, ε) tales que d(x1 − x2 ) < δ . Si tomamos 0 < δ ≤ ε˜ entonces P
|ma (x1 ) − ma (x2 )| = |ε − kx1 − ak| ≤ |kx2 − ak − kx1 − ak| ≤ kx2 − x1 k < δ ≤ ε˜.
Por otra parte, P φA (x) − x =
{ma (x)(a − x) : a ∈ A} P , {ma (x) : a ∈ A}
y si ma (x) > 0 entonces kx − ak < ε. Por lo tanto, P kφA (x) − xk ≤
{ma (x) ka − xk : a ∈ A} P < ε. {ma (x) : a ∈ A}
Teorema 3.2.6. (Teorema del punto jo de Schauder). Sea E un subconjunto convexo, cerrado y acotado de un espacio normado X. Si f : E → X es una aplicación compacta tal que f (E) ⊆ E , entonces existe x ∈ E tal que f (x) = x. Departamento de Matemática - UNLP
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3 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE SCHAUDER
Demostración. Si de nimos K = f (E), entoncesS por hipótesis K ⊆ E . Para cada n ∈ N, sean An un subconjunto nito de K tal que K ⊆ {B(a; 1/n) : a ∈ A} y φn = φAn la aplicación de nida en el Lema anterior. Luego, por la de nición de φn y la convexidad de E tenemos que φn (K) ⊆ co(K) ⊆ E , entonces fn ≡ φn ◦ f aplica E en si mismo. Además, por el Lema 3.2.5, kfn (x) − f (x)k < 1/n
para todo x ∈ E . Sea Xn el espacio lineal generado por el conjunto An y de nimos En = E ∩ Xn . Entonces, Xn es un espacio normado de dimensión nita, En es un subconjunto convexo por de nición y compacto de Xn ya que En es cerrado relativo de Xn , siendo este último un espacio de Hausdor, y fn : En → En es continua por ser composición de funciones continuas. Por el Corolario 3.1.4 , existe un punto xn ∈ En tal que fn (xn ) = xn . Dado que {f (xn )}n∈N es una sucesión en el conjunto campacto K , existe una subsucesión f (xnj ) j∈N y un punto x0 ∈ K tal que f (xnj ) −−−→ x0 . Dado que fnj (xnj ) = xnj , tenemos j→∞
que
xn − x0 ≤ fn (xn ) − f (xn ) + f (xn ) − x0 ≤ 1 + f (xn ) − x0 . j j j j j j nj
Luego, xnj −−−→ x0 y, dado que f es una función continua, f (x0 ) = limn→∞ f (xnj ) = x0 . j→∞
Otra forma de demostrar el Teorema del punto jo de Schauder es probar que el conjunto compacto a un subconjunto compacto y convexo H del cubo de Hilbert y convexo2 E es homeomorfo 1 H0 = {xn }∞ ∈ ` : |x | ≤ y que si ϕ : H → H es una aplicación continua entonces existe n n=1 2n−1 x ∈ H tal que ϕ(x) = x. Luego, utilizar el hecho que la propiedad del punto jo se preserva por homeomor smos Se puede encontrar la demostración detallada en [8].
3.3. Aplicación: Teorema de Lomonosov Lomonosov demostró en 1973 que un operador T sobre un espacio de Banach, el cual no es múltiplo de la identidad y conmuta con un operador compacto no nulo, tiene un subespacio invariante no trivial. Cuando este resultado apareció causo gran interés tanto por la conclusión como por la simplicidad de su prueba utilizando el Teorema del punto jo de Schauder. En particular, cualquier operador compacto en un espacio de Banach tiene un subespacio invariante no trivial.
De nición 3.3.1. Si X e Y son espacios de Banach y A : X → Y es una transformación lineal, entonces A es compacto si A(B(X)) es compacto en Y, siendo B(X) la bola unitaria en X. Denotamos con B0 (X, Y) al conjunto de todos los operadores compactos de X en Y; B0 (X) = B0 (X, X). De nición 3.3.2. Sean X es un espacio de Banach y T ∈ B(X). Un subespacio invariante de T es un subespacio lineal cerrado M de X tal que T (x) ∈ M para todo x ∈ M. El subespacio M es no trivial si es distinto de (0) ó X. Denotamos TLat(T ) a la colección de todos los subespacios invariantes de T . Si A ⊆ B(X) entonces Lat(A) = {Lat(T ) : T ∈ A}. Teorema 3.3.3. (Teorema de Mazur). Si X es un espacio de Banach y K es un subconjunto compacto de X entonces co(K) es compacto. Trabajo Final de Análisis Funcional
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3.3 Aplicación: Teorema de Lomonosov
Demostración. Dado que co(K) es completo, basta ver que es totalmente acotado. Como K es compacto, dado ε > 0 podemos tomar una cantidad nita x1 , x2 , ..., xn de elementos de K tales que K ⊆
n [
ε B(xj , ). Sea C = co {x1 , x2 , ..., xn }. Por la Proposición 2.3.11, C es 4
j=1
compacto entonces nuevamente existen y1 , y2 , .., ym ∈ C tales que C ⊆
m [
ε B(yi , ). Si w ∈ co(K), 4
i=1
l l X X existe z ∈ co(K) tal que kw − zk < 4ε , además z = αr zr , con zr ∈ K, αr ≥ 0 y αr = 1. Ahora, r=1 r=1
para cada zr existe xj(r) tal que xj(r) − zr < 4ε . Entonces,
l l l
X
X X
ε
αr xj(r) = αr (zr − xj(r) ) ≤ αr zr − xj(r) < .
z −
4 r=1
Dado que
l X r=1
αr xj(r)
r=1
r=1
l
X
∈ C , existe yi ∈ C tal que αr xj(r) − yi < 4ε .
r=1
Por la desigualdad triangular, co(K) ⊆
m [
B(yi , ε). Por lo tanto, co(K) está totalmente acotado.
i=1
Lema 3.3.4. (Lema de Lomonosov). Si A es una subálgebra de B(X) tal que el operador identidad I ∈ A, Lat(A) = {(0), X} y K es un operador compacto no nulo sobre X entonces existe A ∈ A tal que ker(AK − I) 6= (0). Demostración. Sea K un operador compacto no nulo y supongamos, sin perdida de generalidad, que K kKk = 1 (en caso contrario podemos tomar el operador kKk ). Tomemos x0 ∈ X tal que kK(x0 )k > 1 y sea S = {x ∈ X : kx − x0 k ≤ 1} la bola unitaria centrada en x0 . Entonces, 0 ∈/ S , pues si 0 ∈ S entonces kx0 k ≤ 1, por lo tanto 1 < kK(x0 )k ≤ kKk kx0 k ≤ 1 lo cual es una contradicción. Además, si x ∈ S entonces kK(x0 ) − K(x)k ≤ kKk kx0 − xk ≤ 1, pero kK(x0 )k > 1, por lo tanto K(S) está acotado lejos de cero, luego 0 ∈/ K(S). Dado que K es un operador compacto, K(S) es compacto. Como A es un álgebra, para todo elemento no nulo x ∈ X, {T (x) : T ∈ A} es un subespacio invariante para A y contiene un elemento no nulo, pues dado que I ∈ A, x = I(x) ∈ {T (x) : T ∈ A}, por lo tanto {T (x) : T ∈ A} ∈ Lat(A). Luego, por hipótesis, {T (x) : T ∈ A} = X. Entonces, para cada elemento no nulo x[ ∈ X , en particular para todo y ∈ K(S), existe T ∈ A tal que kT (y) − x0 k < 1, es decir K(S) ⊆ {y : kT (y) − x0 k < 1}, siendo {y : kT (y) − x0 k < 1} conjuntos abierto. Entonces, por T∈A
la compacidad de K(S) podemos tomar una cantidad nita de operadores T1 , T2 , ..., Tn ∈ A tal que K(S) ⊆
n [
{y : kTj (y) − x0 k < 1}. Ahora, para cada y ∈ K(S) y 1 ≤ j ≤ n, sea
j=1
aj (y) = max {0, 1 − kTj (y) − x0 k} .
Dado que Tj es continua, aj es continua en la bola cerrado B1 (x0 ) y se anula en el borde, como además se anula en (B1 (x0 ))c , por el Lema del Pegamiento, aj resulta continua. Por la elección del Departamento de Matemática - UNLP
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3 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE SCHAUDER n X subcubrimiento, para cada y ∈ K(S) existe al menos una función aj > 0, por lo tanto aj (y) > 0 j=1
y la aplicación bj : K(S) → R dada por bj (y) =
aj (y) n X
aj (y)
j=1
está bien de nida y además es continua pues aj lo es. De nimos ψ : S → X por ψ(x) =
n X
bj (K(x))Tj K(x).
j=1
Dado que bj , K y Tj son continuas, ψ también lo es. Veamos que ψ(S) ⊆ S . Si x ∈ S entonces K(x) ∈ K(S). Si bj (K(x)) > 0 entonces aj (K(x)) > 0 y por lo tanto tenemos que kTj (K(x)) − x0 k < 1. Luego, Tj K(x) ∈ S , si bj (K(x)) > 0. Además,
n X bj (K(x)) = 1 para todo j=1
x ∈ S , entonces ψ(x) es una combinación convexa de elementos de S , luego por ser S un conjunto convexo, ψ(S) ⊆ S . El operador Tj K ∈ B0 para todo j . En efecto, si B es un conjunto acotado de X, dado que K es compacto, K(B) es compacto y como Tj es continuo, Tj (K(B)) también lo es. Ahora, dado que Tj (K(B) es cerrado y está contenido en Tj (K(B)), también es compacto y como la unión de n [ conjuntos precompactos es un conjunto precompacto, Tj K(S) tiene clausura compacta. Por el j=1
Teorema de Mazur 3.3.3, co(
n [
Tj K(S)) es compacto. Pero este conjunto convexo contiene a ψ(S),
j=1
ya que es combinación lineal de elementos de Tj K(S), entonces, ψ(S) es compacto, ya que es un conjunto cerrado contenido en un conjunto compacto. Luego, ψ es una aplicación compacta sobre S . Por el Teorema del punto jo de Schauder 3.2.6, existe x1 ∈ S tal que ψ(x1 ) = x1 . Ahora, sean βj = bj (K(x1 )) y A =
n X
βj Tj . Entonces, A ∈ A y además
j=1
A(K(x1 )) =
n X
βj Tj (K(x1 )) = ψ(x1 ) = x1 .
j=1
Como x1 6= 0 pues 0 ∈/ S , y x1 ∈ ker(AK − I), tenemos que ker(AK − I) 6= 0.
De nición 3.3.5. Sea T ∈ B(X). Un subespacio hiperinvariante para T es un subespacio M de X 0 tal que AM ⊆ M para todo operador A en el conmutante T de T , es decir AM ⊆ M si AT = T A. Observación 3.3.6. Todo subespacio hiperinvariante para T es invariante. 4 Teorema 3.3.7. (Teorema de Lomonosov). Sea T ∈ B(X). Si T no es un múltiplo de la identidad y T K = KT para algún operador compacto no nulo K , entonces T tiene un subespacio hiperinvariante no trivial. Trabajo Final de Análisis Funcional
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3.3 Aplicación: Teorema de Lomonosov
Demostración. Sea A = T . Supongamos que T no admite un subespacio hiperinvariante no trivial, es decir Lat(A) = {(0), X}. Dado que A es un álgebra que contiene al operador identidad I , por el Lema de Lomonosov 3.3.4 existe un operador A ∈ A tal que N = ker(AK − I) 6= (0). Además, N ∈ Lat(AK) y AK|N es el operador identidad, en efecto si x ∈ N , 0
AK(x) = AK(x) − x + x = (AK − I)(x) + x = x.
Como ya vimos en la demostración del Lema anterior AK ∈ B0 , entonces AK|N ∈ B0 . Esto implica que BN (0, 1) = AK(BN (0, 1)) es compacto, donde BN (0, 1) es la bola unitaria de N . Por lo tanto, N debe tener dimensión nita. Además, dado que A y K conmutan con T , para cada x ∈ N , AK(T (x)) = T (AK(x)) = T (x) entonces T (x) ∈ N , es decir N es invariante para T . Ahora, como N tiene dimensión nita, T|N tiene un autovalor λ entonces M = ker(T −λI) 6= (0), pero si M = X entonces T = λI lo cual contradice que T no es múltiplo de la identidad. Además, si S ∈ A, para todo x ∈ M, (T − λI)(S(x)) = T S(x) − λS(x) = S(T (x)) − λS(x) = S((T − λI)(x)) = S(0) = 0.
Entonces S(x) ∈ M, por lo tanto S(M) ⊆ M. Luego, M es un subespacio no trivial hiperinavariante para T .
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4 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE RYLL-NARDZEWSKI
4. Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski 4.1. Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski El resultado de este Teorema fué anunciado por el matemático Ryll-Nardzewski en 1962, quién lo demostró con argumentos probabilísticos en 1967 ([7]). La demostración que seguiremos es una prueba geométrica dada por Namioka y Asplud en 1967 ([5]).
De nición 4.1.1. Sea K un conjunto convexo y V un espacio vectorial. Una aplicación T se dice afín si
n n X X T ( αj xj ) = αj T (xj ), j=1
donde xj ∈ K , αj ≥ 0 y
j=1
n X αj = 1.
:K→V
j=1
El siguiente Teorema del punto jo para una familia de aplicaciones a nes lo utilizaremos para demostrar el Teorema de Ryll-Nardzewski.
Teorema 4.1.2. (Teorema del punto jo de Markov-Kakutani). Si K es un subconjunto convexo, compacto y no vacío de un espacio localmente convexo X y F es una familia abeliana de aplicaciones continuas y a nes T : K → K , entonces existe x0 ∈ K tal que T (x0 ) = x0 para toda T ∈ F . Demostración. Si T ∈ F y n ≥ 1 de nimos la aplicación T (n) : K → K como n−1
T
(n)
1X k T . = n k=0
Si S, T ∈ F y n, m ≥ 1 entonces = T (m) S (n) . En efecto, dado que F es abeliana, ST = T S . Supongamos que S (n−1) T = T S (n−1) para n ∈ N jo, entonces S (n) T (m)
S (n) T = SS (n−1) T = ST S (n−1) = T SS (n−1) = T S (n) .
Ahora, si S (n) T (m−1) = T (m−1) S (n) para m ∈ N jo, entonces S (n) T (m) = S (n) T (m−1) T = T (m−1) S (n) T = T (m−1) T S (n) = T (m) S (n) . Sea K = T (n) (K) : T ∈ F, n ≥ 1 . Por la continuidad de T y la compacidad de K , cada conjunto en K es compacto. Además, por ser T una aplicación afín y K un conjunto convexo, cada conjunto T (n) (K) es convexo. Si T1 , T2 , ..., Tr ∈ F y n1 , n2 , ...., nr ≥ 1, entonces por la conmutativir \ dad de la familia F , T1(n1 ) ...Tr(nr ) (K) ⊆ Tj(nj ) (K), es decir K tiene la propiedad de la intersección j=1
nita. Por la compacidad de K , existe x0 ∈ {B : B ∈ K}. Si T ∈ F entonces x0 ∈ T (n) (K) para n ≥ 1. Por lo tanto, existe un punto x ∈ K tal que T
x0 = T (n) (x) =
i 1h x + T (x) + .... + T (n−1) (x) . n
Entonces, i 1 1h T (x) + ... + T (n) (x) − x + T (x) + ... + T n−1 (x) n n i 1 1 h (n) = T (x) − x ∈ [K − K] . n n
T (x0 ) − x0 =
Trabajo Final de Análisis Funcional
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4.1 Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski Ahora, dado que K es compacto y K − K es la imagen del conjunto compacto K × K por la aplicación continua φ(x, y) = x − y , tenemos que K − K también es compacto. Por la Proposición 2.2.6, K − K está acotado. Entonces dado un entorno abierto U de cero en X, existe un entero n ≥ 1 tal que n1 [K − K] ⊆ U . Lo cual implica que T (x0 ) − x0 ∈ U , para cualquier entorno abierto de cero. entonces T (x0 ) − x0 = 0. Luego, como T era un elemento arbitratio de F , concluimos que x0 es punto jo para toda aplicación en F .
De nición 4.1.3. Sean p una seminorma sobre X y A ⊆ X. De nimos el p − diámetro de A como el escalar dado por p − diam(A) ≡ sup {p (x − y) : x, y ∈ A} . Lema 4.1.4. Si X es un ELC , K es un subconjunto convexo, separable, débilmente compacto y no vacío de X y p es una seminorma continua sobre X, entonces para todo ε > 0 existe un subconjunto cerrado y convexo C de K tal que a)C 6= K ; b)p − diam(K\C) ≤ ε. ω
Demostración. Sea S = x ∈ X : p(x) ≤ 4ε y sea D = Ext(K) [ ⊂ K . Dado que K es separable, existe un subconjunto A ⊆ K denso numerable entonces K ⊆ (S + a). Además, como S es
a∈A
débilmente cerrado, cada conjunto a + S también lo es. Dado que D es un subconjunto del espacio de Hausdor X y es débilmente cerrado en K compacto, D es de Hausdor y débilmente compacto. Entonces, dado que (an + S) ∩ D es cerrado relativo de D y D =
∞ [
((an + S) ∩ D), por el Teorema
n=1
de Baire (2.1.8), existe a ∈ A tal que ((a + S) ∩ D)◦ 6= ∅. Entonces existe un conjunto débilmente abierto W de X tal que W ∩ D ⊆ (a + S) ∩ D y W ∩ D = 6 ∅. Sean K1 = co(D\W ) y K2 = co(D ∩ W ). Dado que K1 y K2 son conjuntos compactos y convexos y K1 ∪ K2 contiene los puntos extremales de K , por el Teorema de Krein-Milman 2.3.14 y el Lema 2.3.15 tenemos que K = co(K1 ∪ K2 ). Además, K1 6= K , pues si K1 = K tenemos que K = co(D\W ). Entonces, por el Teorema 2.3.16, Ext(K) ⊆ D\W , por lo tanto D ⊆ D\W , con lo cual D ∩ W = ∅. Esto contradice lo visto antes. Ahora, dado que (a + S) ∩ D es un conjunto cerrado y convexo que contiene a D ∩ W , tenemos que K2 ⊆ a + S . Entonces, por de nición de S , p − diam(K2 ) ≡ sup {p (x − y) : x, y ∈ K2 } ≤ 2ε . Sea r ∈ (0, 1] y de nimos fr : K1 ×K2 ×[r, 1] → K por fr (x1 , x2 , t) = tx1 +(1−t)x2 . Entonces, fr es continua y dado que (K1 ×K2 ×[r, 1]) es débilmente compacto y convexo, Cr ≡ fr (K1 ×K2 ×[r, 1]) también lo es. Además, Cr 6= K para todo r ∈ (0, 1], en efecto si Cr = K y z ∈ Ext(K) entonces existen x1 ∈ K1 , x2 ∈ K2 , t ∈ [r, 1] tales que z = tx1 + (1 − t) x2 . Como t 6= 0, z = x1 , por lo tanto Ext(K) ⊆ K luego K1 = K , tenemos una contradicción. Si y ∈ K\Cr , por de nición de Cr y dado que K = co(K1 ∪ K2 ), existen x1 ∈ K1 , x2 ∈ K2 tales que y = tx1 + (1 − t) x2 con t ∈ [0, r). Entonces, p (y − x2 ) = p (t(x1 − x2 )) = t p (x1 − x2 ) ≤ r d,
donde d = p − diam(K). Luego, si y˜ = t˜x˜1 + (1 − t˜) x˜2 ∈ K\Cr entonces ε p (y − y˜) ≤ p (y − x2 ) + p (x2 − x ˜2 ) + p (˜ x2 − y˜) ≤ 2rd + p − diam(K2 ) ≤ 2rd + . 2 ε Tomando r = 4d y C = Cr queda demostrado el Lema.
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4 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE RYLL-NARDZEWSKI
De nición 4.1.5. Sea X un espacio localmente compacto y Q un subconjunto no vacío de X. Si S es una familia de aplicaciones no necesariamnete lineales de Q en Q, entonces se dice que S es una familia no contráctil de aplicaciones si dados dos puntos distintos x, y ∈ Q se tiene que 0∈ / {T (x) − T (y) : T ∈ S}.
Lema 4.1.6. Sean X un ELC , Q ⊆ X y S una familia de aplicaciones de Q en Q. Entonces, S es una familia no contráctil si y sólo si para todo par de puntos distintos x, y ∈ Q existe una seminorma continua p tal que inf {p (T (x) − T (y)) : T ∈ S} > 0. Demostración. ⇒) Sean x, y ∈ Q puntos distintos y F una familia de seminormas que induce la topología sobre X. Si S es una familia no contráctil entonces existen una seminorma p ∈ F y ε > 0 tales que {z ∈ X : p (z) < ε} ∩ {T (x) − T (y) : T ∈ S} = ∅. Por lo tanto, p (T (x) − T (y)) ≥ ε para toda aplicación T ∈ S . Luego, inf {p (T (x) − T (y)) : T ∈ S} > 0. Además, dado que 0 ∈ {x ∈ X : p (x) < 1}◦ , la seminorma p es continua. ⇐) Si x e y son puntos distintos de Q y p es una seminorma continua tal que
inf {p (T (x) − T (y)) : T ∈ S} > 0 entonces existe ε > 0 tal que p (T (x) − T (y)) ≥ ε para toda T ∈ S . Por lo tanto, el conjunto U = {z ∈ X : p (z) < ε} es un entorno de cero tal que U ∩ {T (x) − T (y) : T ∈ S} = ∅. Luego, 0∈ / {T (x) − T (y) : T ∈ S}.
Teorema 4.1.7. (Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski). Si X es un espacio localmente convexo, Q es un subconjunto convexo, débilmente compacto de X y S es un semigrupo no contráctil de aplicaciones a nes y débilmente continuas de Q en Q, entonces existe un punto x0 ∈ Q tal que T (x0 ) = x0 para toda T en S . Demostración. Por la compacidad de Q basta ver que todo subconjunto nito de S tiene un punto jo común en Q. Sea {T1 , T2 , ..., Tn } ⊆ S . De nimos T0 = (T1 + ... + Tn )/n, entonces T0 : Q → Q y es una aplicación débilmente continua y afín. Luego, por el Teorema de Markov-Kakutani (4.1.2) existe x0 ∈ Q tal que T0 (x0 ) = x0 . Veamos que Tk (x0 ) = x0 para 1 ≤ k ≤ n. Si Tk (x0 ) 6= x0 para algún k, podemos reordenar los Tk de manera que estos aparezcan primeros en la suma, es decir existe m ∈ N tal que Tk (x0 ) 6= x0 para todo k ≤ m y Tk (x0 ) = x0 para todo k > m. Entonces 1 1 x0 = T0 (x0 ) = (T1 (x0 ) + ... + Tn (x0 )) = (T1 (x0 ) + ... + Tm (x0 )) + n n
Trabajo Final de Análisis Funcional
n−m n
x0 .
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4.2 Aplicación: Existencia de la medida de Haar sobre un grupo compacto Si Te0 = (T1 + ... + Tm )/m tenemos que 1 Te0 (x0 ) = (T1 (x0 ) + ... + Tm (x0 )) m n 1 (T1 (x0 ) + ... + Tm (x0 )) = mn n n−m = x0 − x0 m n = x0 .
Por lo tanto, podemos suponer que Tk (x0 ) 6= x0 para 1 ≤ k ≤ n pero T0 (x0 ) = x0 . Ahora, dado que S es una familia no contráctil, por el Lema 4.1.6 existen una seminorma continua p sobre X y ε > 0 tales que para todo T ∈ S y 1 ≤ k ≤ n, p (T (Tk (x0 )) − T (x0 )) > ε.
(∗)
Si S1 es el semigrupo generado por {T1 , ..., Tn } entonces S1 ⊆ S y S1 = {Tl1 ...Tlm : m ≥ 1, 1 ≤ lj ≤ n}. Por lo tanto, S1 es un subsemigrupo numerable de S . Si K = co {T (x0 ) : T ∈ S1 }, entonces K es un subconjunto débilmente compacto, convexo y separable de Q. Luego, por el Lema 4.1.4 existe un subconjunto convexo y cerrado C de K tal que C 6= K y p − diam(K\C) ≤ . Dado que C 6= K existe S ∈ S1 tal que S(x0 ) ∈ K\C , entonces como T0 (x0 ) = x0 tenemos que S(x0 ) = ST0 (x0 ) =
1 [ST1 (x0 ) + ... + STn (x0 )] ∈ K\C. n
Luego, por la convexidad de C debe existir algún 1 ≤ i ≤ n tal que STi (x0 ) ∈ K\C . Entonces, p (STi (x0 ) − S(x0 )) ≤ p − diam(K\C) ≤ ε.
Esto contradice la desigualdad (*). Por lo tanto, Tk (x0 ) = x0 para 1 ≤ k ≤ n. Ahora, sea F la colección de todos los subconjuntos nitos no vacíos de S . Si F ∈ F, de nimos QF = {x ∈ Q : T (x) = x, ∀T ∈ F }. Por lo visto antes, QF 6= ∅ para todo F ∈ F. Además, dado que todo T ∈ S es débilmente continuo y afín, QF es convexo y déblimente compacto. La colección {QF : F ∈ F} de subconjuntos de Q tiene la propiedad de la intersección nita, en efecto tomemos una colección nita {QF1 , ..., QFr } y consideremos el conjunto F = {T : T ∈ Fi para todo i = 1, ...r}. Dado que cada Fi es nito, F también lo es y entonces QF 6= ∅. Por lo tanto, existe x ∈ Q tal que T (x) = x para todo T ∈ F , lo cual implica que
r \
QFi 6= ∅. Luego, por la compacidad de Q,
i=1
\
QF 6= ∅, es decir existe x0 tal que T (x0 ) = x0 para toda aplicación T ∈ S .
F∈F
4.2. Aplicación: Existencia de la medida de Haar sobre un grupo compacto La medida de Haar fué introducida por Haar en 1932, quién prueba la existencia de una medida invariante a izquierda sobre grupos topológicos localmente compactos y separables. El Teorema de Haar fué generalizado por Weil a grupos topológicos localmente compactos y von Neumann demuestra que dicha medida está unívocamente determinada salvo factores constantes. En esta sección demostraremos la existencia y unicidad de la medida de Haar sobre grupos topológicos compactos aplicando el Teorema de Ryll-Narzewski. La operación sobre todos los grupos y semigrupos será denotada por multiplicación. Departamento de Matemática - UNLP
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4 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE RYLL-NARDZEWSKI
De nición 4.2.1. Sean G un conjunto con una operación binaria · : G × G → G y τ una familia de subconjuntos de G. Decimos que G es un grupo topológico si 1. (G, ·) es un grupo, 2. (G, τ ) es un espacio topológico, 3. las aplicaciones φ : G × G → G y ψ : G → G dadas por φ(x, y) = x · y, ψ(x) = x−1 son continuas.
Teorema 4.2.2. Si G es un grupo topológico compacto, entonces existe una única medida positiva regular de Borel m sobre G tal que 1. m(G) = 1, 2. Si U es un subconjunto abierto no vacío de G entonces m(U ) > 0, 3. Si A es un subconjunto de Borel de G y x ∈ G, entonces m(A) = m(Ax) = m(xA) = m(A−1 ) −1 −1 donde Ax = {ax : a ∈ A} , xA = {xa : a ∈ A} , A = a : a ∈ A . La medida m se llama madida de Haar para G. Si G es un grupo topológico compacto, M (G) denota el espacio de todas las medidas regulares Borel sobre G. Entonces, una medida de Haar para un grupo G es un punto del conjunto Q := {µ ∈ M (G) : µ(G) = 1}
el cual es jo bajo la familia de aplicaciones F = {Rx : x ∈ G}∪{Lx : x ∈ G} donde Rx , Lx : Q → Q están dadas por Rx (µ) = µ(x ·) y Lx (µ) = µ(· x). Para poder aplicar el Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski queremos ver a Q como un subconjunto de un espacio vectorial topológico adecuado. Utilizando el Teorema de representación e de C(G)∗ y trasladar los de Riesz ([2]) podemos identi car el conjunto Q con un subconjunto Q e a Q. resultados obtenidos para Q
Teorema 4.2.3. (Teorema de representación de Riesz). Si G es un espacio localmente compacto y µ ∈ M (G), de nimos Fµ : C0 (G) → F como Z Fµ (f ) =
f dµ. G
Entonces, Fµ ∈ C0 (G)∗ y la aplicación Φ : M (G) → C0 (G)∗ tal que µ 7→ Fµ es un isomor smo isométrico. e := Φ(Q) ⊂ C0 (X)∗ , es decir Dado que G es compacto, C0 (G)∗ = C(G)∗ . Sea Q e = Φ(Q) = {F ∈ C(G)∗ : F > 0 y F (1) = 1} = U1 (0) ∩ i−1 (1) ∩ Q 1
\
+ i−1 f (R0 ),
f ≥0
donde U1 (0) es la bola unitaria de C(G)∗ e if : C(G)∗ → C es el funcional dado por if (F ) = F (f ), para f ∈ C(G)∗ . Como if es ω ∗ -continua para toda f ∈ C(G) y U1 (0) es ω ∗ -compacta por el Teorema Trabajo Final de Análisis Funcional
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4.2 Aplicación: Existencia de la medida de Haar sobre un grupo compacto e es ω ∗ -compacto. Además, Q e es convexo. Luego, Q e es un subconjunto de Alaoglu, el conjunto Q ∗ convexo y compacto del espacio localmente convexo (C(G) , τω∗ ). La medida µ ∈ Q es un punto jo de n la familiaoF , nes decir unao medida de Haar, si y sólo e e x : x ∈ G donde R ex = ΦRx Φ−1 | y si Fµ ≡ Φ(µ) es un punto jo de F = Rex : x ∈ G ∪ L e Q e x = ΦLx Φ−1 | . Es decir, R ex Fµ (f ) = Fµ (f (x ·)) y L e x Fµ (f ) = Fµ (f (· x)) para f ∈ C(G). L e Q Para poder aplicar el Teorema del punto jo de Ryll-Nardzewski necesitamos un conjunto de e en Q e que contenga al conjunto Fe y sea un semigrupo con respecto a la composición. funciones de Q e El conjunto F no es un semigrupo pero si lo es el conjunto generado por este, D E n o ex L e y : x, y ∈ G S = Fe = R e y conmutan y R ex R ey = R eyx , L es L et = L e st . Además, todas las funciones de S mapean Q e pues Rex y L e. en Q Para comprobar que S satisface las hipótesis del Teorema es necesario el siguiente Lema.
Lema 4.2.4. Sea
e ⊂ C(G)∗ . G un grupo topológico compacto y F ∈ Q ex L e y )(F ) es continua. ρ : G × G → (C(G)∗ , τω∗ ) dada por ρ(x, y) = (R
Entonces la aplicación
Demostración. Queremos ver que la aplicación (x, y) 7→ F (f (x·y)) es continua para toda f ∈ C(G), donde f (x · y) es una aplicación de G en F tal que z 7→ f (xzy). Dado que F es continua sobre C(G), basta ver que (x, y) 7→ f (x · y) es continua para cada f ∈ C(G). Sean f ∈ C(G) ja, x, y ∈ G y ε > 0, queremos ver que existen entornos Ux y Uy de x e y , respectivamente, tales que para todo xe ∈ Ux e ye ∈ Uy , se tiene que |f (e xze y ) − f (xzy)| < ε para z ∈ G. Para esto veamos que dado ε > 0 existe un entorno V de e (e es la identidad G) tal que para todo w ∈ G, |f (w) e − f (w)| < ε, si w e ∈ V wV . Sea ε > 0, dado que f es continua, para todo w ∈ G existe un entorno Uw de w tal que si w e ∈ Uw entonces |f (w) e − f (w)| < 2ε . Por la continuidad de la aplicación φ : G × G → G dada por φ(u, v) = uwv en (e, e), existe un entorno Ww de e tal que Ww wWw ⊂ Uw . Por la continuidad de la aplicación (u, v) 7→ uv , existe un entorno Vw de la identidad tal que Vw2 ⊂ Ww y Vw ⊂ Ww . Como el conjunto G es compacto y {Vw wVw }w∈G es un cubrimiento por abiertos de G, podemos tomar una cantidad nita w1 , ..., wn ∈ G tal que G =
n [
Vwi wi Vwi . Consideremos V =
i=1
n \
Vwi , el
i=1
cual es un entorno de la identidad. Sean w ∈ G y we ∈ V wV , y tomemos r ∈ {1, 2, ..., n} tal que w ∈ Vwr wr Vwr . Entonces, w ∈ Uwr y w e ∈ V Vwr wr Vwr V ⊂ Wwr wr Wwr , por lo tanto |f (w) e − f (w)| ≤ |f (w) e − f (wr )| + |f (wr ) − f (w)| < ε.
Ahora, sean ε > 0 y x, y ∈ G. Por lo visto en el párrafo anterior, si w = xzy , podemos tomar un entorno V de e tal que, para todo z ∈ G, |f (w) ˜ − f (xzy)| < ε si w ˜ ∈ V wV . Si consideramos Ux = V x y Uy = yV , entonces para todo x ˜ ∈ Ux , y˜ ∈ Uy , z ∈ G se tiene que f |(˜ xz y˜) − f (xzy)| < ε.
Ahora, veamos que el conjunto S satisface las hipótesis del Teorema del punto jo de RyllNardzewski 4.1.7. Los elementos de S son aplicaciones a nes ya que son composición de las aplicaciones a nes Rex e y Ly . Departamento de Matemática - UNLP
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4 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE RYLL-NARDZEWSKI e como un subconjunto de (C(G)∗ , τω∗ ), Toda aplicación S ∈ S es continua. En efecto, consideremos Q e tal que Fk → 0, entonces ik (Fk ) = Fk (f ) → 0 con la topología relativa. Sea {Fk }k una red en Q e para toda f ∈ C(G), por lo tanto Fk (f (x·)) = Rx Fk (f ) → 0 para toda f ∈ C(G). Lo cual implica e y es continua para todo que Rex Fk → 0. Luego, Rex es continua. Analogamente se demuestra que L y ∈ G. Entonces, todo elemento de S es una aplicación continua por ser composición de funciones continuas. e con La familia S es no contráctil, es decir 0 ∈/ {S(I) − S(J) : S ∈ S} para todo I, J ∈ Q e e I 6= J . Como Rx y Ly son inyectivas, toda aplicación S ∈ S también lo es, por lo tanto si I 6= J , 0∈ / {S(I) − S(J) : S ∈ S}. Por de nición de S , tenemos que n o ex L e y (I) − R ex L e y (J) : x, y ∈ G , {S(I) − S(J) : S ∈ S} = R e y (J) ∈ C(G)∗ . Por el Lema e y (I)− R ex L entonces es la imagen de G×G por la aplicación ρ(x, y) = Rex L 4.2.4, la aplicacion ρ es continua. Luego, {S(I) − S(J) : S ∈ S} es cerrado por ser la imagen del conjunto compacto G × G por una aplicación continua en el espacio de Hausdor C(G)∗ . Luego, por e . Entonces, si F = Φ(µ), el Teorema de Ryll-Nardzewski 4.1.7 la familia S tiene un punto jo F ∈ Q la medida µ ∈ Q es una medida de Haar.
Por último veamos la unicidad. Supongamos que existe otra medida de Haar ν sobre G. Entonces, para toda f ∈ C(G), Z
Z Z
Fµ (f ) =
f dµ =1 f (x)dµ(x)dν(y) Z Z Z Z =2 f (yx)dµ(x)dν(y) =3 f (yx)dν(y)dµ(x) Z Z Z =4 f (y)dν(y)dµ(x) =5 f dν = Fν (f ).
Las igualdades 1 y 5 son válidas pues µ(G) = ν(G) = 1, las igualdades 2 y 4 por la invarianza de estas medidas y la igualdad 3 por el Teorema de Fubini (las medidas son nitas y f es continua sobre G).
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BIBLIOGRAFÍA
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