Cap´ıtulo 24

Teoremas de Convergencia El teorema de la convergencia mon´otona (Lema 21.3) establece ciertas condiciones sobre una sucesi´ R on de funciones medibles para que se puedan permutar los s´ımbolos “ ” y “ lim ”, es decir para que Z Z (24.1) lim fk = lim fk . En este cap´ıtulo consideraremos otras condiciones bajo las que sea cierta la f´ormula 24.1. A lo largo de ´el hemos de tener presente que siempre que unas determinadas hip´otesis conduzcan a la validez de la igualdad anterior, esas hip´otesis restringidas a un conjunto medible B garantizan tambi´en, si no se dice nada en contra, la validez de la misma sobre B, es decir Z Z (24.2) lim fk = lim fk , B

B

De igual modo, estas hip´otesis s´olo deber´an ser verificadas normalmente en casi todo punto.

Convergencia mon´ otona El teorema de la convergencia mon´ otona para funciones no negativas proporciona, invirtiendo las hip´otesis, un teorema de convergencia para funciones no positivas. Por lo que, hasta aqu´ı, tendr´ıamos un teorema de convergencia para sucesiones no decrecientes de funciones no negativas (0 ≤ fk %), y otro para sucesiones no crecientes de funciones no positivas (0 ≥ fk &). En general las hip´otesis de estos dos teoremas no podr´an ser intercambiadas. As´ı, para una sucesi´on no creciente de funciones no negativas (0 ≤ fk &) no es seguro que la f´ormula 24.1 sea v´alida: 239

240

Teoremas de Convergencia

24.1

Ejemplo 24.1 Sea {fk } la sucesi´on de funciones fk (x) = 1/k. Esta sucesi´on es claramente no decreciente, todas las funciones son no positivas y converge puntualmente a 0. Es inmediato comprobar que Z fk = +∞, ∀k, y por tanto

Z +∞ = lim

Z fk 6=

Z lim fk =

0 = 0.

No obstante, manteniendo la monoton´ıa de la sucesi´on pero sin hacer referencia alguna al signo de las funciones, a´ un es posible obtener un buen teorema de convergencia: Teorema 24.2 (De la convergencia mon´ otona generalizado) Sea {fk } una sucesi´on mon´otona (da igual que sea creciente o decreciente) de funciones medibles. Si alguna de las de esta sucesi´on es integrable, R funciones R entonces las dos expresiones, lim fk y lim fk , existen y Z Z lim fk = lim fk .

on. Supongamos, para concretar, que la sucesi´on es no decrecienDemostraci´ te y que la funci´on fk es integrable. Consideremos entonces la sucesi´on no decreciente de funciones medibles y no negativas, definida c.s., {fs − fk }s≥k . Si llamamos f = lim fs , es claro que 0 ≤ fs − fk % f − fk (c.s.) luego, por el teorema de la convergencia mon´ otona para funciones no negativas, Z Z lim (fs − fk ) = (f − fk ) s→∞

y, por tanto, si fuese cierto que Z Z Z Z Z Z (24.3) (fs − fk ) = fs − fk ; (f − fk ) = f − fk ,

24.3

Teoremas de Convergencia

se tendr´ıa

Z lim

Z fs −

Z fk =

Z f−

241

Z fk ⇒ lim

Z fs =

f.

Veamos pues que 24.3 se verifica: Escribamos fs = (fs − fk ) + fk . Entonces, puesto que fk es integrable y (fs − fk ) ≥ 0, se satisfacen las condiciones de la proposici´on 23.13 para deducir que Z Z Z Z Z Z fs = (fs − fk ) + fk ⇒ (fs − fk ) = fs − fk . R R R De igual modo se demuestra que (f − fk ) = f − fk . El resultado siguiente nos servir´a de lema para la demostraci´on de otro teorema de convergencia muy utilizado, el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. Teorema 24.3 (Lema de Fatou) (a) Si {fk } es una sucesi´on de funciones medibles no negativas, entonces Z Z limfk ≤ lim fk . (b) Si {fk } una sucesi´on de funciones medibles no positivas negativas, entonces Z Z limfk ≥ lim fk . V Demostraci´ on. (a) Sea gk = j≥k fj . Obviamente, {gk } es una sucesi´on no decreciente de funciones medibles y no negativas y lim gk = limfk , luego

Z

Z

Z Z lim gk = lim gk ≤ lim fk , R R donde la desigualdad, lim gk ≤ lim fk , se obtiene as´ı: De la definici´ on de gk se deduce que gk ≤ fj , para cada j ≥ k, por tanto Z Z Z Z Z Z gk ≤ fj , ∀j ≥ k ⇒ gk ≤ inf fj ⇒ lim gk ≤ lim fk . limfk =

j≥k

(b) Resulta de (a) aplicado a la sucesi´on {−fk }.

242

Teoremas de Convergencia

24.4

Convergencia dominada Teorema 24.4 Sea {fk } una sucesi´on de funciones medibles que converge puntualmente a la funci´on f y supongamos que existe una funci´on integrable F tal que |fk | ≤ F , entonces (a) f es integrable. Z Z (b) f = lim fk . Demostraci´ on. De la condici´on |fk | ≤ F y la convergencia puntual de la sucesi´on fk hacia la funci´on f , se deduce trivialmente que |f | ≤ F , lo que implica (por F integrable) que on fk y f son funciones integrables. R R cada funci´ Veamos que f = lim fk . Tenemos por hip´ otesis que −F ≤ fk ≤ F , para todo k. Aplicando entonces el lema de Fatou (a) a la sucesi´ on de funciones no negativas {fk + F }, resulta Z Z Z (f + F ) = lim(fk + F ) ≤ lim (fk + F ), de donde se deduce, haciendo uso de la linealidad del operador integral, que Z Z f ≤ lim fk . An´alogamente, aplicando de nuevo el teorema de Fatou, ahora a la sucesi´on de funciones no positivas {fk − F }, obtendr´ıamos Z Z f ≥ lim fk . y uniendo ambas desigualdades, teniendo en cuenta que el l´ımite inferior de una sucesi´on de numeros reales es menor o igual que el l´ımite superior, se tiene ya Z Z Z Z f ≤ lim

fk ≤ lim

fk ≤

f,

lo que implica que todas las desigualdades anteriores son, en realidad, igualR dades y por tanto, que existe lim f (por coincidir el l´ımite superior y el k R inferior) y es igual a f . El corolario siguiente proporciona una versi´ on “fuerte”del teorema de la convergencia dominada.

24.6

Teoremas de Convergencia

243

Corolario 24.5 Sean {fk } y f como en el teorema anterior. Entonces Z lim |fk − f | = 0.

Demostraci´ on. Vamos a aplicar lo obtenido antes a la sucesi´on {|fk − f |}. Por hip´otesis la sucesi´on de funciones {|fk − f |} converge a 0 en cada uno de los puntos x en que est´en definidas las funciones |fk − f |, luego en c.t.p., pues fk y f son funciones integrables. |fk − f | ≤ 2 F , siendo la funci´on 2 F integrable, luego Z lim

|fk − f | = 0.

En el teorema anterior hemos hecho referencia a una versi´ on fuerte del mismo, pareciendo indicar con ello que Z Z Z lim |fk − f | = 0 ⇒ lim fk = f ? k→∞

k→∞

Z Esto es verdad, pero siempre que existan las integrales

fk , concretamente:

Proposici´ onR 24.6 Sean {fk } y f funciones medibles y supongamos que para cada k, fk 6= ∞ − ∞, entonces Z Z Z Z lim |fk − f | = 0 ⇒ f 6= ∞ − ∞, y lim fk = f. k→∞

k→∞

R Demostraci´ on. Para ε > 0 sea ν ∈ N tal que |fk − f | < ε si k ≥ ν. Supongamos en primer lugarRque todas las fk , k ≥ ν son integrables. R funciones R Entonces, se tiene que (fk − f ) = fk − f , por lo que podemos escribir Z Z Z Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ fk − f ¯ = ¯ (fk − f )¯ ≤ |fk − f | < ε, R R luego, limk→∞ fk = f . R Supongamos que existe p ≥ ν tal que fp = ∞ y escribamos f = (f − fp ) + fp . De las hip´otesis y del R teorema de aditividad de la integral (Proposici´on 23.13) se deduce que f existe y Z Z Z (24.4) f = (f − fp ) + fp = ∞.

244

Teoremas de Convergencia

24.6

Por otra parte, escribiendo fk = (fk − f ) + f R vemos que fkR = ∞, para todo k ≥ ν. Luego, tambi´en en este caso, R limk→∞ fk = f . R Ejemplos triviales que muestran que laR condici´on limk→∞ |fk − f | = 0 no implica la existencia de las integrales fk , pueden construirse sin m´as que tomar fk = f para todo k, y f una funci´on medible, cuya integral no existe (por ejemplo f (x) = −1, si x ≤ 0; f (x) = 1, si x > 0). R R Por otra parte, el nuevo Rejemplo prueba que la condici´on limk→∞ fk = f no implica que limk→∞ |fk − f | = 0. Ejemplo. Sea fk = −1/k X[−k,0] + 1/k X[0,k] ; f = 0. R Como fk = 0, se tiene que Z Z lim fk = f = 0. k→∞

En cambio,

Z lim

k→∞

|fk − f | = 2 6= 0.

Vamos a ver a continuaci´ on dos casos particulares del teorema de la convergencia dominada: Corolario 24.7 Sea B un conjunto medible y de medida finita, y sea {fk } una sucesi´on de funciones medibles sobre B, que converge puntualmente sobre B a una funci´on f . Supongamos que se satisface una de las dos condiciones siguientes: (i) Existe una constante M tal que |fk (x)| ≤ M , para cada x ∈ B. (ii) La sucesi´on {fk } converge uniformemente en B a la funci´on f . Entonces,

Z lim

k→∞ B

|fk − f | = 0.

on. La condici´on i) significa que Demostraci´ |fk XB | ≤ M XB .

24.9

Teoremas de Convergencia

245

R Puesto que la funci´on F = M XB es integrable ( M XB = M ·m(B) < ∞) y {fk XB } → f , aplicando el teorema de la convergencia dominada, se tiene que Z Z 0 = lim

k→∞

|fk XB − f XB | = lim

k→∞ B

|fk − f |.

De la condici´on ii) se deduce que, dado ε > 0, |fk − f |XB ≤ εXB para k suficientemente grande. Por lo que, aplicando de nuevo el teorema de la convergencia dominada, resulta lo que queremos.

Consecuencias 24.8 Si {fk } es una sucesi´on de funciones medibles, no negativas, entonces Z X XZ fk . fk =

Para probarlo s´olo hay que aplicar el teorema de la convergencia mon´otona on de funciones no negativas y la aditividad del operador integral a la sucesi´ gk =

k X

fi .

i=1

24.9 Si {Bk } es una sucesi´on de conjuntos medibles disjuntos dos a dos, f una funci´on medible sobre ∪Bk , y suponemos que existe su integral sobre ∪Bk , entonces Z XZ f= f. ∪Bk

Bk

Si f ≥ 0, entonces, del resultado anterior y la igualdad X f X∪Bk = f XBk , se deduce que

Z f X∪Bk =

XZ

f XBk =

XZ Bk

f.

246

Teoremas de Convergencia En el caso general, supongamos por ejemplo que Z

Z

Z +

f= ∪Bk

f −

f

∪Bk

−

=

XZ

∪Bk

24.9

R

+

∪Bk

f −

f + < ∞, entonces

XZ

Bk

f −,

Bk

R que nos dice que ∪Bk f es la diferencia de dos series de t´erminos positivos, siendo la primera de ellas convergente. Se tiene entonces que Z Z XZ XZ XZ XZ + − + − f= f − f = ( f − f )= f. ∪Bk

Bk

Bk

Bk

Bk

Bk

Para escribir las igualdades anteriores hemos utilizado el siguiente resultado, cuya demostraci´on constituye un sencillo ejercicio: P P Si ak , bk son dos series de t´erminos positivos, y suponemos que una de ellas es convergente, entonces X

ak −

X

bk =

X (ak − bk ).

24.10 Sea B1 ⊂ B2 ⊂ . . . una sucesi´on no decreciente de conjuntos medibles, y supongamos que f es una funci´on medible cuya integral sobre ∪Bk existe, entonces Z Z f = lim f. ∪Bk

k→∞ Bk

Si f ≥ 0, la demostraci´on resulta de aplicar el teorema de la convergencia mon´otona a la sucesi´on no decreciente {f XBk }. En el caso general se procede como antes. 24.11 Sea B1 ⊃ B2 ⊃ . . . una sucesi´on no creciente de conjuntos medibles, y supongamos que f es una funci´on integrable sobre alg´ un Bk , entonces Z Z f = lim f. ∩Bk

k→∞ Bk

En caso de ser f ≥ 0, la demostraci´ on resultar´a de aplicar el teorema 24.2 a la sucesi´on {f XBk }, de ah´ı la necesidad de la hip´ otesis f integrable sobre alg´ un Bk . El caso general, como en los resultados precedentes.

24.13

Teoremas de Convergencia

247

24.12 Sea {Bk } una sucesi´on de conjuntos medibles, tal que lim m(Bk ) = 0. Entonces, si f es una funci´on integrable, se tiene que Z lim f = 0.

k→∞

k→∞ Bk

on. El resultado es evidentemente cierto si f es una funci´on Demostraci´ acotada, pues entonces Z Z ¯ ¯ ¯ ¯ |f | ≤ c ⇒ f ≤ |f | ≤ cm(Bk ) → 0. Bk

Bk

En general, denotemos por Cα = {x : |f (x)| ≥ α}. Entonces Z

Z

Z

|f | = Bk

Z

|f | +

Por tanto

|f | ≤ c Bk ∩Cα

Bk ∩Cα

Z |f | ≤ Bk

Z lim

|f | , ∀α > 0, Cα

Z |f | ≤

Bk

|f | + αm(Bk ).

Z

lim en particular,

Cα

|f | , ∀p = 1, 2, . . . Cp

R Pero la sucesi´on de integrales, Cp |f |, tiende a 0 en virtud de 24.11, ya que R obviamente C1 ⊃ C2 ⊃ . . .. Se deduce pues que lim Bk |f | = 0. Corolario 24.13 (Continuidad absoluta) Si f es una funci´on integrable, entonces para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que Z ¯ ¯ ¯ m(B) < δ ⇒ f ¯ < ε. B

on. De lo contrario, existir´ıa un ε > 0 y una Demostraci´ ¯ R sucesi´ ¯ on de conjuntos {Bk } tales que m(Bk ) < 1/k, mientras que ¯ Bk f ¯ > ε, lo cual contradice 24.12.

248

Teoremas de Convergencia

24A

Ejercicios 24A Sea f una funci´on integrable y Bp = {x : |f (x)| ≥ p}. (a) Probar que limp→∞ p m(Bp ) = 0. (b) Probar que ∞ X p m(Bp+1 \ Bp )) < +∞. p=0

(c) Probar que la condici´on sobre f en el apartado (a) no implica f integrable. La condici´on en el apartado (b) implica que f es integrable si {x : f (x) 6= 0} es de medida finita. 24B Encontrar sucesiones mon´otonas {fk } que no satisfagan las hip´otesis de ninguno de los teoremas de convergencia mon´otona y tales que R • fk = ∞ − ∞ , ∀k. R R • lim fk 6= lim fk R R • lim fk = lim fk 24C (a) Probar que si {fk } es una sucesi´on de funciones integrables que converge uniformemente a una funci´on f sobre un conjunto B de medida finita, entonces f es integrable sobre B y Z Z f = lim fk . B

B

(b) Demostrar que la condici´on del apartado anterior, B de medida finita, no se puede quitar. (c) Construir una sucesi´on de funciones {fk } que converja uniformemente en un conjunto de medida finita B y tal que para todo k Z fk = ∞ − ∞. B

24D Probar que si Bk y B son conjuntos medibles tales que m(Bk ∆B) → 0, entonces Z Z lim f= k→∞

Bk

B

para toda f integrable. 24E Demostrar que si f es una funci´on integrable entonces Z ∞ 2 lim e−m sen x · f (x) = 0. m→∞

0

24K

Teoremas de Convergencia

249

24F Consideremos la sucesi´on de funciones px2 1 cos . px − y px − y

fp (x, y) =

(a) Probar que se trata de una sucesi´on de funciones medibles que converge c.s. ¿hacia qu´e funci´on? (b) ¿Se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada en B = {(x, y) : 0 < y < x < 1}. 24G Probar que si f es una funci´on medible sobre el intervalo [a, b] y para cada Rx c.s. x ∈ [a, b] se tiene que a f =R0, entonces f = 0. ´ n. Observar que I f = 0 para cada semintervalo contenido en [a, b] y indicacio utilizar la continuidad absoluta de la integral. 24H Sea f ∈ L 1 (R) derivable en 0 y tal que f (0) = 0. Probar que la funci´on g(x) = f (x)/x es integrable en R. que converge 24I Sea fk una sucesi´on mon´otona de funciones reales e integrables R puntualmente a una funci´on f . ¿Es cierto entonces que limk→∞ |f − fk | = 0? 24J Sea fk una sucesi´on de funciones mediblesR que converge puntualmente a una R funci´on f . Probar que si existe M > 0 tal que |fk | ≤ M entonces |f | ≤ M . 24K Sea fk una sucesi´on de funciones medibles “no negativas”que converge puntualmente a una funci´on integrable f y sea para cada k, Bk = {x : f (x) ≥ fk (x)}. (a) Probar que

Z lim

k→∞

(b) Probar que

Z

(f − fk ) = 0. Bk

Z |f − fk | =

Z (f − fk ) + 2

(f − fk ). Bk

(c) Deducir de los apartados anteriores que R R si, adem´as de las R hip´otesis iniciales sobre {fk } y f , se tiene que lim fk = f , entonces lim |f − fk | = 0. ¿Puede suprimirse la hip´otesis fk ≥ 0 para cada k? y la hip´otesis f integrable?