(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

DESARROLLO DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL EN SERIES DE POTENCIAS Una “Serie de Potencias en ∞

∑a x n= 0

n

n

x ” se define como:

= a0 + a1x + a2 x 2 + " + an x n + "

la que es evidente que converge si x = 0 . Para determinar otros valores de " x " donde se presente la convergencia de estas series de potencias, se emplea con frecuencia la prueba de la razón o criterio de D’Alembert, que ya se demostró y que se enuncia como: Considérese la serie de potencias nulos y sea

n a x ∑ n con términos no

an+1 lim =L n→∞ a n Entonces:

i) L < 1 ⇒ absoluta convergencia ii) L > 1 ⇒ divergencia ⎧ absoluta convergencia ⎪ iii) L = 1 ⇒ ⎨convergencia condicional ⎪divergencia ⎩

También se vio que para estas series se cumple una de las siguientes afirmaciones: i) La serie converge sólo si x = 0 . ii) La serie es absolutamente convergente para toda " x " . iii) Existe un radio de convergencia " r " tal que la serie es absolutamente

convergente

convergencia) y divergente si

si

x > r.

x r . absolutamente convergente si

También ya se estudió que una serie de potencias

∑ an xn

o

∑ an ( x − c)

n

puede

ser

utilizada

para

representar una cierta función f cuyo dominio es el intervalo de convergencia de la serie. Y que para toda " x " en el intervalo de convergencia de una serie

∑a x n

n

también son

válidas las series correspondientes a su derivada y a su integral, esto es, ∞

f ' ( x ) = ∑ nan x n−1 = a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + " + nan x n−1 + " n=1

y

∫

x

0

an n+1 1 1 1 x = a0 x + a1x 2 + a2 x 3 + " + an x n+1 + " 2 3 n +1 n= 0 n + 1 ∞

f ( t ) dt = ∑

En el tema de Series se trataron también las de Taylor y Maclaurin, que son, respectivamente,

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

3

f ( x ) = f ( c ) + f ' ( c )( x − c ) +

f '' ( c ) 2!

( x − c)

2

+"+

n f ( ) ( c)

n!

( x − c)

n

+"

y

f ( x ) = f (0) + f '( 0) x +

f '' ( 0 ) 2!

x2 + " +

n f( ) ( 0)

n!

xn + "

Como ya se dijo, en estas series es posible también aplicar el criterio de D’Alembert o de la razón para estudiar su naturaleza. Ahora se realizará una serie de ejercicios para ilustrar todo lo aquí expresado, con las funciones logaritmo natural y exponencial. Ejemplo.

Verificar que la función

f ( x ) = ex

se representa

con la serie de potencias:

x2 x3 xn e = 1+ x + + +"+ +" n! 2! 3! x

Solución. Considérese que la función se representa por la serie dada, luego es posible escribir que:

xn x2 x3 xn = 1+ x + + +"+ +" f ( x) = ∑ 2! 3! n! n= 0 n! ∞

Si se deriva se obtiene:

n x n−1 ∞ x n−1 x2 x3 xn f '( x) = ∑ =∑ = 1+ x + + +"+ +" n! n! 2! 3! n=1 n=1 ( n − 1) ! ∞

lo que significa que la derivada de la serie de potencias dada es igual a la función, esto es,

f '( x ) = f ( x )

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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Como se observa, esta serie cuya derivada es igual a ella misma y que representa a la función

f ( x ) = ex ,

que es la

única función en Cálculo cuya derivada es igual a la función misma. Hay un teorema que dice que si f es una función diferenciable de " x " tal que f > 0 ∀ x ∈ \ , entonces, si la

dy = cy dx " c " , se cumple que f ( x ) = f ( 0 ) ecx Si c = 1 es posible escribir que: f ( x ) = f ( 0 ) ex derivada de la función es

para una constante

02 0n +"+ +" Como f ( 0 ) = 1+ 0 + n! 2! entonces

f ( x ) = ex

Esta serie de potencias ya se había analizado con la prueba de la razón, de donde:

lim n→∞

x n+1 ( n + 1) ! xn n!

x n+1 n! 1 x = 0⋅ x = 0 = lim n = lim n→∞ x n →∞ n +1 ( n + 1) !

luego es absolutamente convergente para todo valor de " x " . Luego,

f ( x ) = ex

∀ x∈\

que es lo que se quería probar. De ahí que el número puede expresar como:

e = 1 + 1+

" e " se

1 1 1 + +"+ +" 2! 3! n!

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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Ejemplo. Dada la siguiente integral definida, aproximar su valor a cinco cifras decimales, mediante una serie de potencias:

∫

0.12

0

2

e− x dx

Solución. Del ejemplo anterior, se sabe que la función exponencial se representa como:

2 3 n x x x e x = 1+ x + + +"+ +" 2! 3! n! 2 Si en ella se hace x = −t , en esta serie de potencias, se

tiene:

2

e− t = 1 − t 2 +

( −1) t t t − +"+ 2! 3! n! 4

n 2n

6

+"

Dado el intervalo de convergencia de la función exponencial, −∞, ∞ , esta serie representa a la función

(

)

f ( t ) = e− t para todo valor real de " x " . Si se integra, se llega 2

a:

∫

0.12

0

0.12

0.12

⎡ t3 ⎤ ⎡ t5 ⎤ −x −t e dx = ∫ e dt = ⎡⎣t ⎤⎦ 0 − ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ 0 ⎣ 3 ⎦0 ⎣10 ⎦ 0 3 5 0.12 0.12 0.12 2 ( ) + ( ) −" −x 0.12 e dx = − ∫0 3 10 2

0.12

0.12

2

−"

Se consideran los primeros dos términos para aproximar la suma de esta serie alternada convergente y se obtiene:

∫

0.12

0

2

e− x dx ≈ 0.12 −

( 0.12 )

El tercer término es:

3

( 0.12 ) 10

3

≈ 0.12 − 0.000576 ≈ 0.119424

5

≈ 0.000002488 PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

6

Luego, al tomar los dos primeros términos, el error es menor que el tercer término, por lo que se concluye que, con sus primeras cinco cifras decimales, el valor exacto de la integral definida es:

∫

0.12

0

2

e− x dx = 0.119424

Ejemplo. Obtener una serie de potencias para representar a la función:

f ( x ) = x 2 e−3 x

Solución.

En la serie de potencias que representa a la

función exponencial

"− 3x "

f ( x ) = ex se sustituye la " x " por

y se tiene que:

x2 x3 xn + +"+ +" e = 1+ x + n! 2! 3! 2 3 n − 3 x − 3 x − 3 x ( ) + ( ) +"+ ( ) +" e−3 x = 1+ ( −3 x ) + 2! 3! n! 2 3 n n x 2 x 3 x −3 x e = 1− 3 x + 3 −3 + " + ( −3 ) +" n! 2! 3! 2 Ahora se multiplican ambos miembros por x y de llega a: 4 5 n+ 2 n x 2 −3 x 2 3 2 x 3 x x e = x − 3x + 3 −3 + " + ( −3 ) +" n! 2! 3! x

que finalmente se expresa como: ∞

x 2 e−3 x = ∑ ( −3 ) n= 0

n

x n+2 n!

Ejemplo. Obtener una serie de potencias para representar a la función

f ( x ) = e2 x

2

y decir en qué intervalo la representa.

Hacerlo de dos maneras diferentes, mediante la serie de Maclaurin y a partir de la serie que representa a la función exponencial. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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Solución. Si se utiliza la serie de Maclaurin, se tiene que:

f ( x ) = e2 x

2

f ' ( x ) = 4 xe2 x

⇒

f ''' ( x ) = 64 x e

2 x2

3

2 x2

+ 32 xe

f ''' ( x ) = 64 x 3 e2 x + 48 xe2 x 2

2

f '' ( x ) = 16 x 2 e2 x + 4e2 x 2

⇒ 2 x2

+ 16 xe

2

f iv ( x ) = 256 x 4e2 x + 192 x 2 e2 x + 192 x 2 e2 x + 48e2 x 2

2

2

( x ) = 256x e + 384 x e + 48e f v ( x ) = 1024 x 5e2 x + 1024 x 3e2 x + 1536 x 3 e2 x f

iv

4

2 x2

2

2 x2

2

2

2

2

2 x2

2

2

2

+768 xe2 x + 192 xe2 x 2 2 2 f v ( x ) = 1024 x 5e2 x + 2560 x 3e2 x + 960 xe2 x f vi ( x ) = 4096 x6e2 x + 5120 x 4e2 x + 10240 x 4 e2 x 2

2

2 x2

2

2

2 x2

2

2 x2

+7680 x e + 3840 x e + 960e vi 6 2 x2 4 2 x2 2 2 x2 2 x2 f ( x ) = 4096 x e + 15360 x e + 11520 x e + 960e … de donde

f (0) = 1 ;

f iv ( 0 ) = 48

f '( 0) = 0 ;

;

fv (0) = 0

f '' ( 0 ) = 4 ;

;

f ''' ( 0 ) = 0

f vi ( 0 ) = 960

luego, al aplicar la serie de Maclaurin se obtiene: ( n)

f ( x ) = f ( 0) + f '( 0) x + 2

f '' ( 0 ) 2!

2

x +"+

f

( 0 ) xn + "

n!

4 2 0 3 48 4 0 5 960 6 x + x + x + x + x +" 2! 3! 4! 5! 6! 4 2 48 4 960 6 = 1+ x + x + x +" 2! 4! 6! 4 48 4 960 6 = 1+ x 2 + x + x +" 2! 4! 6!

e2 x = 1+ 0 x + 2 x2

e

2 x2

e

PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

2x ) 2x ) ( ( + + 2

2

2 x2

e

= 1+ 2 x

2

2

2!

Se aplica el criterio de la razón y,

(2x ) 2

lim n→∞

(2x

2x ) ( +"+ 2

n

n!

+"

n+1

2 x ) n! ( 2x = lim = lim = 0