´lisis Complejo. G. Vera Lecciones de Ana

A.3.

280

Convergencia uniforme

Sea X un conjunto no vac´ıo, (E, ρ) un espacio m´etrico y E X el conjunto de todas las funciones f : X → E. Si ∅ = 6 K ⊂ X y f, g ∈ E X se define ρK (f, g) = sup{ρ(f (x), g(x)) : x ∈ K}

(≤ +∞)

Definici´ on A.3.1 Una sucesi´on fn en E X converge puntualmente hacia f ∈ E X si l´ımn ρ(fn (x), f (x)) = 0 para cada x ∈ X. Si adem´ as se verifica que l´ımn ρK (fn , f ) = 0 se dice que fn converge hacia f uniformemente sobre K Proposici´ on A.3.2 Si E es un espacio m´etrico completo, una condici´ on necesaria y suficiente para que la sucesi´on (fn ) sea uniformemente convergente sobre K es que se cumpla la condici´on de Cauchy para la convergencia uniforme: Para cada ǫ > 0 existe nǫ ∈ N tal que si q > p ≥ nǫ entonces ρK (fp fq ) < ǫ. Dem: La necesidad se sigue de la desigualdad. ρK (fp , fq ) ≤ ρK (fp , f ) + ρK (f, fq ). Para probar que la condici´on es suficiente obs´ervese que para cada x ∈ K es ρ(fp (x), fq (x)) ≤ ρK (fp , fq ) luego (fn (x)) es una sucesi´on de Cauchy que converge hacia un punto f (x) ∈ E. Dado ǫ > 0 tomando q > p ≥ nǫ se cumple que ρ(fp (x), fq (x)) < ǫ para todo x ∈ K. Fijando x ∈ K y pasando al l´ımite en la u ´ ltima desigualdad cuando q → + ∞ se obtiene que para todo x ∈ K y todo p > n(ǫ) se verifica ρ(fp (x), f (x)) ≤ ǫ es decir p > n(ǫ) implica ρK (fp , f ) ≤ ǫ. Teorema A.3.3 Si X es un espacio topol´ ogico y fn : X → E una sucesi´ on de funciones continuas que converge hacia f : X → E uniformemente sobre X entonces f es continua. Dem: La prueba de que f es continua en cualquier punto a ∈ X se basa en la desigualdad triangular: ρ(f (x), f (a)) ≤ ρ(f (x), fn (x)) + ρ(fn (x), fn (a)) + ρ(fn (a), f (a))

(A.1)

Dado ǫ > 0 en virtud de la convergencia uniforme existe n ∈ N tal que para todo x ∈ X es ρ(fn (x), f (x)) ≤ ǫ/3. Por la continuidad de fn existe un entorno Va de a tal que para todo x ∈ Va se cumple ρ(fn (x), fn (a)) ≤ ǫ/3. Entonces, con la desigualdad A.1 se concluye que para todo x ∈ Va se cumple ρ(f (x), f (a)) ≤ ǫ/3 + ǫ/3 + ǫ/3 = ǫ Realmente, para obtener la continuidad de la funci´on l´ımite de una sucesi´on de funciones continuas basta que haya convergencia uniforme local, e.d. cada x ∈ X posee un entorno Va sobre el que la sucesi´on converge uniformemente. Cuando X es un espacio m´etrico, para obtener la continuidad de la funci´on l´ımite f basta que la sucesi´on sea uniformemente convergente sobre cada compacto K ⊂ X. Para funciones P∞ con valores reales o complejos (E = R ´o C) se pueden considerar series de funciones n=1 fn , donde fn : X → E. La serie se dice que converge puntualmente Pm (resp. uniformemente) sobre K si la sucesi´on de sumas parciales Sm (x) = n=1 fn (x) tiene la correspondiente propiedad. En ese caso queda definida sobre K la funci´on suma ∞ X f (x) = fn (x) n=1

´lisis Complejo. G. Vera Lecciones de Ana

281

Proposici´ on A.3.4 [Criterio de Weierstrass] Una condici´ on suficiente para que la serie P f (x) sea uniformemente convergente sobre K es que exista m ∈ N tal que n=1 n ∞ X

n≥m

kfn kK < +∞

P∞ Dem: Para cada x ∈ K la serie num´erica absolutamente convergente n=1 fn (x) esP porque |fn (x)| ≤ kfn kK . Si f : K → C es su suma y Sn = nk=1 fk , para todo n ≥ m y todo x ∈ K se cumple X X X |f (x) − Sn (x)| = | fk (x)| ≤ |fk (x)| ≤ kfk kK k>n

k>n

k>n

P

luego kf − Sk kK ≤ ǫn donde ǫn := k>n kfk kK es una sucesi´on que tiende hacia 0. Esto significa que Sn converge hacia f uniformemente sobre K. Al aplicar el criterio de Weierstrass, generalmente no es preciso calcular P∞ expl´ıcitamente los valores kfn kK . Basta encontrar una serie num´erica convergente n=1 Mn tal que, desde un valor de n en adelante, se cumpla |fn (x)| ≤ Mn para todo x ∈ K. Los criterios de Abel y Dirichlet proporcionan condiciones suficientes bastante u ´ tiles para establecer convergencia uniforme de series de funciones que no son absolutamente convergentes: Teorema A.3.5 (Abel y Dirichlet) Sea fn (z) = an (z)bn (z) una sucesi´ on de funciones complejas definidas en un conjunto P K. Cada una de las siguientes condiciones es suficiente para que la serie de funciones ∞ n=1 fn (z) sea uniformemente convergente sobre K: P a) La serie ∞ on de funciones n=1 an converge uniformemente sobre K y bn es una sucesi´ reales uniformemente acotada sobre K tal que para cada z ∈ K la sucesi´ on bn (z) es mon´otona. P b) La serie ∞ n=1 an converge uniformemente sobre K y existe C > 0 tal que para todo z ∈ K se cumple ∞ X |b1 (z)| + |bn (z) − bn+1 (z)| ≤ C n=1

Pm

c) La sucesi´on de sumas n=1 an est´ a uniformemente acotada sobre K, la sucesi´on bn converge hacia 0 uniformemente sobre K y para cada z ∈ K la sucesi´ on bn (z) es mon´otona. P d) La sucesi´on de sumas m a uniformemente P acotada sobre K, la sucesi´on bn n=1 an est´ converge hacia 0 uniformemente sobre K y la serie ∞ n=1 |bn (z) − bn+1 (z)| converge uniformemente sobre K. Dem: La prueba se basa en la f´ormula de sumaci´on parcial de Abel: Fnm (z)

=

bm (z)Am n (z)

+

m−1 X j=n

Ajn (z)(bj (z) − bj+1 (z))

[*]

´lisis Complejo. G. Vera Lecciones de Ana donde Fnm (z)

=

m X

fj (z), y

Am n (z)

282

=

j=n

m X

aj (z)

j=n

Para establecerla se supone, por comodidad, que n = 1:

bm (a1 +a2 +· · ·+am )+a1 (b1 −b2 )+(a1 +a2 )(b2 −b3 )+· · ·+(a1 +a2 +· · ·+am−1 )(bm−1 −bm ) = = a1 (b1 − bm ) + a2 (b2 − bm ) + a3 (b3 − bm ) + · · · + am−1 (bm−1 − bm ) + bm (a1 + a2 + · · · + am ) = a1 b1 + a2 b2 + · · · + am bm = f1 + f2 + · · · + fm = F1m

Utilizando [*] se va a demostrar si se cumple b) o c) entonces se cumple la condici´on de Cauchy para la convergencia uniforme sobre K: Para ello se introducen las sucesiones ǫ(n) = sup kAm n kK ; m≥n

δ(n) = sup kFnm kK m≥n

P b) La condici´on de Cauchy para la convergencia uniforme sobre K de la serie n an (z) se traduce en que l´ımn ǫ(n) = 0. Por otra parte, para todo z ∈ K y todo m ∈ N se verifica |bm (z)| ≤ |b1 (z)| + |bm (z) − b1 (z)| ≤ |b1 (z)| +

m−1 X i=1

|bi+1 (z) − bi (z)| ≤ C

Para cada j ≥ n y todo z ∈ K se cumple |Ajn (z)| ≤ ǫ(n) y aplicando [*] se obtiene |Fnm (z)|

≤ ǫ(n)C + ǫ(n)

m−1 X j=1

|bj (z) − bj+1 (z)| ≤ 2Cǫ(n)

luego δ(n) ≤ 2Cǫ(n) y por lo tanto l´ımn δ( n) = 0, lo que significa que la serie cumple la condici´on de Cauchy para la convergencia uniforme sobre K.

P

n

fn (z)

d) Seg´ un la hip´otesis existe R > 0 tal que para todo z ∈ K y todo m ∈ N se cumple m |A1 (z)| ≤ R, luego |Am n (z)| ≤ 2R para todo z ∈ K y todo m ≥ n. Utilizando [*] se obtiene que para z ∈ K y m ≥ n se verifica: ! ∞ X |Fnm (z)| ≤ 2R kbm kK + |bj (z) − bj+1 (z)| j=n

luego δ(n) ≤ 2C(α(n) + β(n)) donde las sucesiones α(n) = sup z∈K

∞ X j=n

|bj (z) − bj+1 (z)|, β(n) = sup kbm kK m≥n

convergen hacia 0 en virtud P de las hip´otesis. Se sigue que l´ımn δ(n) = 0 y se concluye como antes que la serie n fn (z) cumple la condici´on de Cauchy para la convergencia uniforme sobre K.

´lisis Complejo. G. Vera Lecciones de Ana

283

Para terminar basta ver que a) ⇒ b) y que c) ⇒ d): Si se cumple a) y |bn (z)| ≤ M para todo n ∈ N y todo z ∈ K como la sucesi´on bn (z) es decreciente se tiene: m X n=1

|bn (z) − bn+1 (z)| = b1 (z) − b2 (z) + b2 (z) − b3 (z) + · · · + bm (z) − bm+1 (z) = = b1 (z) − bm+1 (z) ≤ 2M

P∞

luego |b1 (z)| + n=1 |bn (z) − bn+1 (z)| ≤ M + 2M = 3M para todo z ∈ K. Por otra parte, si P se cumple c) y la sucesi´on bn (z) es decreciente para cada z ∈ K, entonces la sucesi´on m n=1 |bn (z) − bn+1 (z)| = b1 (z) − bm+1 (z) converge uniformemente sobre K hacia b1 (z) y por lo tanto se verifica d). nota: El apartado a) del teorema A.3.5 proporciona el cl´asico criterio de Abel, [2, Ejer.9.13]; y el apartado b) es una ligera mejora de este. El apartado c) es el cl´asico criterio de Dirichlet, [2, teo. 9.15], y el apartado d) es una versi´on algo m´as general del mismo.

A.3.1.

Ejercicios

Los siguientes ejercicios sobre convergencia uniforme de sucesiones sirven, entre otras cosas, para insistir en el manejo y las propiedades de las funciones elementales de variable compleja. Se suponen conocidas la funci´on exponencial ez , la validez de la ecuaci´on funcional ez+w = ez ew , la funci´on Log(1 + z), su desarrollo en serie de potencias alrededor de 0 as´ı como las funciones sen z =

eiz − e−iz eiz + e−iz sen z cos z , cos z = , tg z = , cot z = 2i 2 cos z sen z

Ejercicio A.3.6 Se supone que la sucesi´ on fn : K → C converge uniformemente sobre K hacia una funci´on f = u + iv cuya parte real u est´ a acotada superiormente sobre K. Demuestre que la sucesi´on efn (z) converge uniformemente sobre K. ´n solucio Se supone que u(z) ≤ M para todo z ∈ K. Entonces cuando z ∈ K se cumple |efn (z) − ef (z) | = |ef (z) ||efn (z)−f (z) − 1| ≤ ≤ eu(z) |efn (z)−f (z) − 1| ≤ eM |efn (z)−f (z) − 1|

Como ez es continua en z = 0, dado ǫ > 0 existe δ > 0 tal que |w| < δ ⇒ |ew − 1| < ǫe−M .

Por la convergencia uniforme de fn existe n(δ) ∈ N tal que si n ≥ n(δ) entonces para todo z ∈ K se cumple |fn (z) − f (z)| < δ. Combinando las dos afirmaciones anteriores se concluye que para todo n ≥ n(δ) y todo z ∈ K se verifica |efn (z) − ef (z) | ≤ eM |efn (z)−f (z) − 1| ≤ eM ǫe−M = ǫ

´lisis Complejo. G. Vera Lecciones de Ana

284

Ejercicio A.3.7 Establezca las desigualdades  m  |z| |z|2 e|z| z m |z| |e − 1 + |≤e − 1+ ≤ m m m z

Deduzca de ellas que, para cada R > 0, la sucesi´ on (1 + z/n)n converge hacia ez uniformemente sobre {z : |z| ≤ R}. ´n solucio ez − (1 + z/m)m = Dm + Rm donde Dm (z) =

m X zn n=0

 z m − 1+ , n! m

Rm (z) =

+∞ X zn . n! n=m+1

Usando la f´ormula del binomio de Newton       m−1 z3 (m − 1)(m − 2) zm m! z2 1− + 1− +···+ 1− m Dm (z) = 2! m 3! m2 m! m Aplicando la desigualdad triangular y teniendo en cuenta que en la expresi´on anterior los par´entesis son positivos se obtiene que |Dm (z)| ≤ Dm (|z|). Por otra parte, es inmediato que |Rm (z)| ≤ Rm (|z|), luego  m  z m |z| z |z| e − 1 + ≤ Dm (|z|) + Rm (|z|) = e − 1 + m m En virtud de la desigualdad 1 + x ≤ ex , v´alida para todo x ∈ R, se cumple   x m x m 1+ ≤ ex , 1− ≤ e−x , m m

y cuando 0 ≤ x ≤ m se obtienen las desigualdades  h  x m x m i 0 ≤ ex − 1 + ≤ ex 1 − e−x 1 + ≤ m m   m  h  x m  x m i x2 x x ≤e 1− 1− = 1+ =e 1− 1− 2 m m m "    2  m−1 # 2 2 2 2 x x x x = ex 2 1 + 1 − 2 + 1 − 2 + · · · + 1 − 2 ≤ m m m m x2 x2 ex ≤ ex 2 m = m m Con x = |z| se obtiene la segunda desigualdad del enunciado. En virtud de las desigualdades establecidas, si |z| ≤ R, se verifica  z m R2 eR z e − 1 + ≤ m m

´lisis Complejo. G. Vera Lecciones de Ana

285

luego

 z m l´ım 1 + = ez uniformemente en {z : |z| ≤ R}. m m nota: En el ejercicio A.3.8 se puede ver otra soluci´on que utiliza el desarrollo en serie de potencias de Log(1 + z)

Ejercicio A.3.8 Para cada w ∈ C \ {0} sea fw (z) la determinaci´ on principal de la pow tencia (1 + z/w) , definida para |z| < |w|. Demuestre que l´ımw→∞ fw (z) = ez , y que el l´ımite es uniforme sobre compactos. ´n solucio La determinaci´on principal de (1 + z/w)w es ew Log(1+z/w) , luego |fw (z) − ez | = |ez ||ehw (z) − 1|, donde hw (z) = w Log(1 + z/w) − z. Si |z| < |w|, usando el desarrollo en serie de potencias de Log(1 + z) en el disco D(0, 1) se obtiene 1 z2 1 z3 1 z4 hw (z) = − + − +··· 2w 3 w2 4 w3 Si |w| > 2R, para todo z ∈ D(0, R) se cumple R2 |hw (z)| ≤ |w|



1 1 |z| 1 |z|2 + + +··· 2 3 |w| 4 |w|2



∞ X C 1 2 ≤ con C = R < +∞ |w| n2n−2 n=2

Como ez es continua en z = 0, dado ǫ > 0, existe δ > 0 tal que |a| < δ ⇒ |ea − 1| < ǫ/eR . Cuando |w| > m´ax{2R, C/δ} se cumple |hw (z)| < δ para todo z ∈ D(0, R), luego |fw (z) − ez | ≤ eR |ehw (z) − 1| ≤ eR e−R ǫ = ǫ es decir, l´ımw → ∞ fw (z) = ez uniformemente sobre D(0, R). (Un resultado an´alogo se puede ver en el ejercicio A.3.7.) Ejercicio A.3.9 Demuestre que l´ımn→∞ tg nz = −i, y que para cada ǫ > 0 el l´ımite es uniforme sobre el semiplano Hǫ := {z : Im z < −ǫ}. ´n solucio

tg nz =

sen nz 1 einz − e−inz 1 ei2nz − 1 = = cos nz i einz + e−inz i ei2nz + 1

luego | tg nz + i| = tg nz −

1 ei2nz − 1 2 = i2nz − 1 = i2nz i e +1 e + 1

´lisis Complejo. G. Vera Lecciones de Ana

286

de donde se sigue que para todo z ∈ Hǫ se verifica | tg nz + i| ≤

2 |ei2nz |

−1

=

2 e−2ny

−1

≤

2 −1

e2nǫ

Como la sucesi´on 2/(e2nǫ − 1) converge hacia 0, la u ´ ltima desigualdad nos asegura que l´ımn tg nz = −i, uniformemente sobre Hǫ . Ejercicio A.3.10 Demuestre que la sucesi´ on fn (x) = cotg(x + in) converge hacia −i uniformemente en R. Deduzca que para todo m ∈ N la sucesi´ on αn (x) = [cot(x + in)]m converge uniformemente sobre compactos hacia (−i)m . ´n solucio Para todo z = x + iy se cumple iz −2y e + e−iz 2ei2z ≤ 2e | cotg z + i| = i iz + i = ei2z − 1 1 − e−2y e − e−iz

donde la funci´on h(y) = 2e−2y /(1 − e−2y ) converge hacia 0 cuando y → + ∞. Como para todo x ∈ R se cumple la desigualdad | cot(x + in) + i| ≤ h(n) se concluye que la sucesi´on fn (x) = cot(x + in) converge hacia −i uniformemente respecto de x ∈ R. La segunda afirmaci´on se obtiene, por inducci´on sobre m, utilizando que el producto de dos sucesiones de funciones continuas que convergen uniformemente sobre compactos tambi´en converge uniformemente sobre compactos. A continuaci´on se expone un repertorio de ejercicios sobre convergencia uniforme relacionados con las series de potencias. Los recursos para resolverlos son, esencialmente, el criterio de Weierstrass A.3.4 y los criterios de Abel-Dirichlet A.3.5 P∞ n converge uniforEjercicio A.3.11 Demuestre que la serie de potencias nz P∞ n=0 an−1 memente en cada conjunto donde la serie derivada na z es uniformemente n n=1 convergente. ´n solucio Basta aplicar el apartado a) de A.3.5. Ejercicio A.3.12 Sea an ∈ R una on decreciente que converge hacia cero. DeP∞sucesi´ n muestre que la serie de potencias converge uniformemente sobre n=0 an z Aδ = {z : |z| ≤ 1, |z − 1| ≥ δ},

0 1. Se dice que M ⊂ D(0, 1) es un conjunto de Stolz si M ⊂ Er para alg´ un r > 1. Si M est´a contenido en un conjunto como el indicado en la figura, compruebe que M es un conjunto de Stolz.

0

1 M

´n solucio P La convergencia de la serie ∞ n=0 an implica que ρ ≥ 1. Cuando ρ > 1 es inmediato que hay convergencia uniforme sobre el compacto Er ⊂ D(0, ρ). Si ρ = 1 la serie tambi´en converge uniformemente sobre Er . En efecto, para cada z ∈ Er se cumple 1+

∞ X n=0

|z n − z n+1 | = 1 + |z − 1|

∞ X n=0

|z|n = 1 +

|z − 1| ≤1+r 1 − |z|

y aplicando el criterio de Dirichlet (apartado c) de A.3.5) se obtiene la convergencia uniforme sobre Er . Usando la condici´on de Cauchy es claro que la convergencia uniforme sobre Er implica la convergencia uniforme sobre Er . En virtud de la convergencia uniforme, la funci´on suma f es continua sobre Er . Entonces, teniendo en cuenta que 1 ∈ Er (pues r > 1 ⇒ [0, 1) ⊂ Er ) se obtiene l´ım f (z) = f (1) =

Er ∋z→1

∞ X

an

n=0

Para demostrar que el conjunto M de la figura es un conjunto de Stolz basta ver que la funci´on h(z) = |z − 1|/(1 − |z|) est´a acotada sobre M. Como h es continua sobre el compacto M \ D(1, δ), 0 < δ < 1, basta ver que h est´a acotada sobre M ∩ D(1, δ) para alg´ un δ > 0. Si m = v/(1 − u) y z = x + iy ∈ M se verifica |y/(1 − x)| ≤ m, luego z = x + i(1 − x)p con |p| ≤ m. Por lo tanto p √ |1 − x| 1 + p2 |1 − z| |1 − x| 1 + m2 p p = ≤ = ϕ(x) 1 − |z| 1 − x2 + (1 − x)2 p2 1 − x2 + (1 − x)2 m2

´lisis Complejo. G. Vera Lecciones de Ana

289

√ Como l´ımx → 1 ϕ(x) = 1 + m2 se obtiene δ ∈ (0, 1) tal que h est´a acotada en [1 − δ, 1), lo que lleva consigo que h est´a acotada sobre M ∩ D(1, δ). w = u + iv z = x + iy 0

1

M

W

δ


P 1/2 n Ejercicio A.3.15 Demuestre que la serie de potencias ∞ n=0 n z converge absoluta y uniformemente sobre {z : |z| ≤ 1}. Deduzca de ello que existe una sucesi´ on de polinomios reales que converge hacia |x| uniformemente sobre [−1, 1]. ´n solucio
verifica l´ımn |an /an+1 | = 1, luego el radio de convergencia de la serie La sucesi´on an = 1/2 n de potencias es 1. Seg´ un el criterio Pde Weierstrass para obtener la convergencia uniforme sobre {z : |z| ≤ 1} basta ver que ∞ n=0 |an | < +∞. Para todo n ≥ 1 se cumple an = (−1)n+1 |an |, lo que permite calcular, para 0 < r < 1, la suma de la serie ∞ X n=0

n

|an |r = 1 −

∞ X n=1

√ √ an (−r)n = 1 − ( 1 − r − 1) = 2 − 1 − r ≤ 2

Pm n La desigualdad P alida n=0 |an |r ≤ 2 es v´ P para todo m ∈ N y pasando al l´ımite cuando m r → 1 se obtiene n=0 |an | ≤ 2, luego ∞ n=0 |an | ≤ 2. de lo que se acaba de establecer y del criterio de Weierstrass la serie P∞En virtud n n=0 an t converge √ uniformemente sobre [−1, 1] donde define una funci´on continua√f que verifica f (t) = 1 + t, si |t| < 1. Por continuidad tambi´en se cumple que f (t) = 1 + t para todo t ∈ [−1, 1]. Entonces, si x ∈ [−1, 1] se tiene t = x2 − 1 ∈ [−1, 1], luego |x| =

p

1+

(x2

− 1) =

∞ X n=0

an (x2 − 1)n

Pm 2 n es decir, √ |x| = l´ımn Sm (x − 1) donde Sm (t) = n=0 an t . Como Sm (t) converge 2hacia f (t) = 1 + t uniformemente en [−1, 1] se sigue que la sucesi´on de polinomios Sm (x −1) converge hacia |x| uniformemente sobre [−1, 1]. Ejercicio A.3.16 Sea Ω = {z : |z(1 + z)| < 2} y fn (z) = (z(1 + z)/2)4 . P i) Demuestre que la serie f (z) = ∞ n=0 fn (z) converge uniformemente sobre cada subconjunto compacto de Ω y que su suma f admite un desarrollo en serie de potencias alrededor de 0 con radio de convergencia 1. n

´lisis Complejo. G. Vera Lecciones de Ana

290

P n ii) Sea Am (z) = m on de las sumas parciales de la serie de potenn=0 an z la sucesi´ cias considerada en i). Compruebe que la subsucesi´ on Am(n) (z), con m(n) = 22n+1 , converge hacia f (z) uniformemente sobre cada compacto K ⊂ Ω. ´n solucio Dado un compacto K ⊂ Ω, como est´a recubierto por la sucesi´on creciente de abiertos Ωk = {z : |z(z + 1)| < 2 − 1/k}, existe m ∈ N tal que K ⊂ Ωm , luego para todo z ∈ K y todo n ∈ N se cumple   4n 1 1 n |fn (z)| ≤ 2− = ρ4 2 m con ρ < 1. Aplicando el criterio de Weierstrass se concluye que la serie del enunciado converge uniformemente sobre K. Desarrollando fn (z) mediante la f´ormula del binomio, la serie se escribe as´ı: 1 1 1 (z + z 2 ) + 4 (z 4 + 4z 5 + 6z 6 + 4z 7 + z 8 ) + 16 (z 16 + 16z 17 + · · · + 16z 31 + z 32 ) + · · · 2 2 2 donde las potencias de z en los P sucesivos par´entesis no se solapan. Quitando los par´entesis n resulta una serie de potencias ∞ n=0 an z que cumple n X

fk (z) = Am(n) (z) con m(n) = 22n+1 .

k=0

Si 0 < r < 1 entonces r ∈ Ω, luego m(n)

X k=0

m(n) k

|ak |r =

X

ak r k = Am(n) (r) =

k=0

n X k=0

fk (r) ≤ f (r) < +∞

P k Se sigue que ∞ k=0 |ak |r < +∞, de modo Pn que el radio de convergencia es ≤ 1. Por otra parte, como Am(n) (1) = k=0 fk (1) = n + 1, la serie de potencias no converge en z = 1, luego su radio de convergencia es exactamente 1. Obs´ervese que en los puntos donde la serie de potencias converge se cumple ∞ X k=0

k

ak z = l´ım Am(n) (z) = l´ım n

n

n X

fk (z) = f (z)

k=0

nota: La frontera de Ω es un ´ovalo de Casini (el lugar geom´etrico de los puntos del plano cuyo producto de distancias a los puntos 1 y −1 es constante = 2) y es claro que Ω ⊃ D(0, 1) \ {1}. Aunque la serie de potencias no converge en Ω \ D(0, 1), sin embargo existe una subsucesi´on de sumas parciales que converge uniformemente sobre compactos en Ω. P∞ −1 2 n Ejercicio A.3.17 Obtenga la regi´ on de convergencia de la serie y n=1 n (1 − z ) estudie la convergencia uniforme sobre compactos. Obtenga la suma de la serie f (z) y su desarrollo en serie de potencias alrededor de z = 1.

´lisis Complejo. G. Vera Lecciones de Ana

291

´n solucio P∞ −1 n Seg´ un el ejercicio A.3.12 para cada δ > 0 la serie de potencias n=1 n w converge uniformemente sobre Aδ = {w : |w| ≤ 1, |w − 1| ≥ δ}. Como δ > 0 es arbitrario, la regi´on de convergencia de esta serie de potencias es A = {w : |w| ≤ 1, w 6= 1} y la regi´on de convergencia de la serie del enunciado es B = {z : |z 2 − 1| ≤ 1, z 6= 0} √ − 2

√

A

2

1

−1

La convergencia es uniforme sobre cada compacto K ⊂ B. En efecto, como H = {1 − z 2 : z ∈ K} subconjunto compacto de A, existe δ > 0 tal que H ⊂ Aδ , luego la P es un −1 n serie ∞ n w converge uniformemente sobre H y se sigue que la serie del enunciado n=1 converge uniformemente sobre K. P −1 n Por otra parte, utilizando que ∞ n=1 n w = − Log(1 − w) se obtiene la suma de la serie f (z) = − Log z 2 El desarrollo de f (z) en serie de potencias alrededor de z = 1 se obtiene f´acilmente a partir del desarrollo de su derivada ∞ X −2 2 (1 − z)n si |z − 1| < 1 = −2 f (z) = − = z 1 − (1 − z) n=0 ′

Como f (1) = 0, se concluye que f (z) =

∞ X 2(−1)n n=0

n

(z − 1)n .

nota: El radio de convergencia de esta serie de potencias es 1, luego la serie converge en puntos donde no est´a definida f .