SEMANA 10

CURSO: CONTROL AUTOMATICO PROFESOR: MSC. CESAR LOPEZ AGUILAR

TRANSFORMADA DE LA PLACE

I. OBJETIVO Solucionar ecuaciones diferenciales mediante la transformada de la

place. III. BIBLIOGRAFIA

W. Bolton, Año 2001 Ingeniería de Control. Cap. 4

CONTENIDO 1. INTRODUCCION 2. LA TRANSFORMADA DE LA PLACE PARA UNA FUNCION ESCALON 3. REGLAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 4. EMPLEO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES. 5. PRACTICA CALIFICADA

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1. INTRODUCCION La transformada de Laplace es un método que transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Este método transforma el comportamiento del circuito en el dominio del tiempo, en el dominio de s, en el cual se pueden realizar manipulaciones algebraicas.; s es una constante con unidades de 1/tiempo

Así una función f(t) se representa en con la transformada de Laplace como. ∞

F (s) = ∫o f (t) e –st dt Ejemplo : Considere un Resistor R a través de la cual circula una corriente i, la diferencia de potencial v, en general se escribiría: V= Ri , 25/10/2014

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1. INTRODUCCION Puesto que tanto v como i son funciones del tiempo, la ecuación ideal será: v(t)=R i(t) , La tensión en el tiempo, aplicada en circuito de resistencia R, genera un corriente en función del tiempo. Si se toman las transformadas de Laplace de i y v , la ecuación se convierte en

V (s) = R I (s)

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2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA UNA FUNCION ESCALON

Para ilustrar como una transformada de Laplace se puede desarrollar a partir de los primeros principios, considere una función escalón, como se muestra en la figura La función escalón se describe como un cambio abrupto en alguna cantidad, y con frecuencia se emplea para describir el cambio en la entrada al sistema cuando se hace un cambio súbito en su valor; por ejemplo el cambio aplicado en el voltaje aplicado a un circuito cuando éste se enciende de manera súbita. f(t)

La fig.1 muestra la forma que tomaría una entrada escalón cuando tiene lugar un cambio abrupto en la entrada en el tiempo t=0 y la magnitud del escalón es 1. La ecuación para esta función es: f(t) = 1

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Tiempo t

0 Fig. 1 Una función escalón de altura 1

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2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA UNA FUNCION ESCALON La ecuación anterior es válida para todos los valores t mayores que 0. Para los valores de t menores que 0 la ecuación es:

f(t) = 0. La transformada de Laplace de esta función escalón, para valores mayores que 0, es

F (s) = ∫∞ 1 e –st dt = -1/s [e –st ] ∞ 0

0

Puesto que cuando t=∞, el valor de e ∞=0 y cuando t=o, el valor e -0 = -1, entonces : F(s) = 1 s f(t) Suponga ahora que la señal de entrada de altura de 1 unidad se tiene uno de “a” unidades, como se muestra en la siguiente figura. La transformada de Laplace de esta función es

a1

∞

F (s) = ∫0 a e –st dt

F(s) = a s que solo es a multiplicado por la transformada del escalón unitario. 25/10/2014

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Tiempo t

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EJERCICIO 1 a. Determinar, a partir de los primeros principios, la transformada de la place de la función e –at , donde a es una constante. Respuesta La ecuación en función del tiempo f(t) = e–at La transformada de Laplace de esta función es ∞ ∞ –at –st F (s) = ∫ 0 e e dt = F(s) = ∫0 e–(s-a)t dt = ∞

F(s) = - 1 [e –(s-a)t ] 0 (s-a)

cuando t = ∞, el término en los corchetes se convierte en 0 y cuando t=0, éste se se convierte en -1. De este modo

F(s) = - 1__ (s-a) . 25/10/2014

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3. REGLAS BASICAS DE LA TRANSFORMADA DE LA PLACE a. La adición o sustracción de dos funciones se convierte en la adición de sus dos transformadas de Laplace. f1(t) + f2(t) = F1 (s) + F2(s) f1(t) - f2(t) = F1 (s) - F2(s) b. La multiplicación de una función por una constante se convierte en la multiplicación de la transformada de La Place de la función por la misma constante. a f1(t) = a F1 (s)

c. La primera derivada de una función se convierte en s multiplicada por la Transformada de Laplace de la función, menos el valor f(t) en t = 0 d f(t) se convierte en s F(s) – f(0) dt donde f(0) es el valor de la función en t=0 . 25/10/2014

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3. REGLAS BASICAS DE LA TRANSFORMADA DE LA PLACE d. La segunda derivada de una función se convierte en s² multiplicada por la Transformada de Laplace de la función, menos s multiplicada por la Transformada de Laplace de la función en t = 0, menos el valor de la primera derivada de f(t) en t=0 d² f(t) se convierte en s² F(s) – sf(0) – df(0) dt² dt donde sf(0) es s multiplicada por el valor de la función en t=0 y df(0)/dt es la primera derivada de la función en t=0 e. La primera integral de una función, entre el tiempo cero y el tiempo t, se convierte en (1/s) multiplicada por la transformada de Laplace de la función. ∞ ∫0 f (t) se convierte en 1/s F(s)

La tabla 4.1 contiene algunas transformadas de Laplace más comunes y sus correspondientes funciones del tiempo. 25/10/2014

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4. EMPLEO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES Para utilizar la transformada de Laplace en la solución de una ecuación diferencial, se adopta el siguiente procedimiento: a)Transformar cada término de la ecuación diferencial en su equivalente en transformada de Laplace, es decir, se cambia la función del tiempo en función de (s). b)Realizar todas las operaciones algebraicas, por ejemplo, considerar que pasa cuando al sistema se aplica una entrada escalón. c) Convertir otra vez la función de Laplace resultante en una ecuación que dé una función del tiempo, es decir, la operación inversa de la transformada de Laplace. A fin de emplear las tablas para hacer la conversión, a menudo es necesario primero realizar una expansión en fracciones parciales para obtener de éstas formas estándares dadas en las tablas. 25/10/2014

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EJEMPLO. Emplear la transformada de Laplace para resolver la siguiente ecuación diferencial

3dx/dt + 2x = 4

con x=0 en t=0

SOLUCION La transformada de Laplace de 3dx/dt es 3 veces la transformada de Laplace de dx/dt. La transformada de Laplace de 2x es 2 veces la transformada de Laplace de x. La transformada de Laplace de 4 es 4/s, puesto que éste se puede considerar una función de escalón de altura 4. De este modo: 3[sX(s) –x(0) ] + 2X (s) = 4/s

Donde X(s) es la transformada de Laplace de x. Debido a que x(0) = 0, entonces 3[sX(s) –0 ] + 2X (s) = 4/s ; así 3 s² X(s) + 2sX(s) = 4 X(s) =

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4 = 3 s² +2s

2 (2/3) s[s+2/3]

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Ahora se necesita encontrar las funciones de darían las transformadas de Laplace de esta forma para obtener la transformada inversa y obtener x. Puesto que la transformada inversa de a es (1- e–at), entonces: s(s+a)

X = 2(1- e-2t/3)

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PRACTICA DE TEORIA 1. Determinar, a partir de los primeros principios, la transformada de la place de la función t 2. Determinar, a partir de los primeros principios, la transformada de la place de la función te –at

3. Determinar, a partir de los primeros principios, la transformada de la place de la función sen wt. 4. Determinar, con base a la tabla 4.1 la transformada inversa de Laplace para: a) 2/s b) 3/(2s+1) c) 2(s-5)

d) a/[s(s+a)]. e) s/(s²+w²) 25/10/2014

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5. Determinar, con base a la tabla 4.1 de nuestra bibliografía, la transformada de Laplace para: a)Un escalón de voltaje de magnitud de 4 v, que empieza en t=0.

b)Un escalón de voltaje de magnitud de 4 v, que empieza en t=2 seg. c) Una rampa de voltaje que empieza en t=0 y se incrementa a razón de 3 v/s d)Una rampa de voltaje que empieza en t=2 s y se incrementa a razón de 3 v/s. e)Un impulso de voltaje de magnitud 4 V que empieza en t=3s

f) Un voltaje senoidal de amplitud 2 V y frecuencia angular de 10 Hz. Para ambos casos graficar la señal en función del tiempo.

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6. Emplear la transformada de Laplace para resolver las siguientes ecuaciones a) 4 dx/dt + 8x = 5 b) V = RC dVc/dt + Vc

circuito eléctrico RC serie

c) K dØ0/dt = Øi – Øo donde Øi es la temperatura de entrada escalón a un termómetro, Ø0 es la salida de lectura del termómetro.

d) dh = k(H-h) dt

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donde : dh/dt es la razón de cambio de la altura y k, una constante

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