Fco. Javier

DomInGuez

S.

Curso de Hidrauhca General (Continuacion)

18. Variaci6n de la suma de Bernoulli en corrientes abiertas. Escurrimiento crjttee. Velocidad de propagacion de las ondasv=Como se ha heche notar en el

ejemplc anterior,

los canales

en

corrientcs eblertas que

0

movimiento permanente, 18 cota piezome­ trica que corresponde a cada Iilete es la cota del eje hi­ escurren

con

draulico,

en

la seccion, si descartamos la altura de pre­ suma de Bernoulli, B,

si6n armosferlca. De modo que Ia refer ida al fondo, vale: (Fig. 20)

B=h

Fig.

U' i+

cos

20

a--

2g

En las corrientes abiertas el angulo i que elias forman con la horizontal es siempre muy pequefio: luego el coseno vale practicamente la unidad. De modo que sin error apreciable puede ponerse siempre:

U'

B=h+a2g A la

permanencia del

escurrimiento

corresponde

(21

la invariabilidad del gasto:

Q=!J U=cte. St suponemos que h

disrninuir tendiendo

aumenta cero.

Si

tendtendo

(J

a

infinite.

como

U crece con

h, U debe

U2/2 g tambien

10 es: por 10 tanto, la suma de Bemou IIi se reduce al primer sumando y vale infinite. S i a la tnversa, h tiendc acero, U tiende a infinite, y en consecuencia, 1a suma de Bernoulli tam­ a

es

cera,

bien vale infinite en este caso. Entre estes dos valores extremos de h, B tiene va­ lares finites, y hay, par 10 tanto, un valor de h para e] cual B es un mfnimo. Para encontrar la condicion de minimo del Bernoulli, 0 sea la de le

energ'ia

CursD de H idratdica General minima por unidad de peso,

iguaIar

a

a

123

gasto constante, bastara derivar la ecuaci6n (21,

e

la dertvade:

cera

dB

U

dU

-�l+--�O dh

Hernos considerado constante

es

igual

e

igual a Ia unidad para' hecer la derivada.· Como el gasto U, tenemos:

a

n

a

dh

e

dU dO dQ -�O�Il-+U­ dh

dh

dh

de deride

a dll

dU

dh�-f!dh Un elemento de seccion dO

el

es

producto del ancho superficial

l por Ia al­

elemental dh, Luego:

tura

dll

l�� dh

y por 10

tanto

dU I ��-U­ dh

Introduciendo

este

II

valor arriba, tendremos:

G'

1

l�-­ !l g

.

U�

=t vn

{22

Las corrientes naturales no escurren, en general, con velocidades tan grandes la dada por esta expresi6n. Si lIega la Naturaleza a producirlas y en corrten­ vartadas artificiales provienen de una aceleraci6n de la corriente ;' de modo que

como

tes a

vale

practicamente

La razon

nIl es tangulo de superficie E] gasto es

uno, una

como se

longitud;

acept6. es

la

Q y ancho 1. Por

profundidad H eso se

Ie suele

que

corresponde a un rec­ projundidad media.

Ilamar

(23

ecuacton que

das las

revela que para cada gasto y forma de lecho dadcs, quedan defini­ n y del ancho superficial l que corresponden a la energia

magnitudes de

minima.

Anal.. del lmiituto de Ingeni8rw d. Chil4

124

La altura de velocidad que

corresponde

t»

la velocidad del minima de energia eo:

a

H

n

(24

--=--=-

21

2g La

de Bernoulli minima

sums

2

es entonces

n

(2f

B=h+21

La

de Bernoulli minima separa las corrfentes

suma

en

dos grupos de

o

torrerdes,

altura

dismmuyen

aumenta.

su suma

EI transite de

de Bernoulli, contada

t.ipo de

un

verifiea

tanto, el escurrtmlento

que

escurrinliento critico. La

profundidad de el,

se

corriente a suma

con

como

carac­

llama­

corresponde, menor profundidad desde e! fondo, cuandc su otro es una crisis; por 10

teres antagonlcos: las de: profundided mayor que 18 que a esta das rios, aumentan de energia unitaria con Ia altura; y las de

de Bernoulli minima tambien

su

se

velocidad,

llama

son

Ila­

madas crlticas. no es pues Cualqutera energia unitar-ia 0 suma de Bernoulli de Ia corriente de un canal dado; pues esa suma de Bernoulli no puede el can gasto compatible

descender del valor crftico. En consecuencla, 51 las condiciones de escurrimiento

abajo, y hay aguas arriba de aque­ fondo es mas alta, puede suceder que a esca lla otra de menor ancho 0 cuya cota de de de la aguas abajo, un Bernoulli minima mayor que corresponda, referido al fondo fijan

nos

el

el Bernoulli

en

una

seccion de aguas

existence en la seccion de aguas

noulli minima

abajo, En

la secci6n de aguas arriba

en

estas

condiciones debe exist.ir, Ber­

(1).

EI razonamiento anterior, que es una aplicaci6n del principia de minimo efecto, esta ampliamente demostrado por Ia experiencia. Esto equivale a decir que hay cases encontrar en que el escurrimiento se desllga, como dice BOss, y es inutil pretender la velocldad,

a'guas arriba, a craves de la Bernoulli, sin antes haberse cerciorado dicha conservaci6n es posible porque las sumas de Ber­

profundidad, etc., de

ecuacion de Ia conservacion de la que

en

noulli

todas las

Juego, no

de

que Ja crlnce. Muy a menudo se encuentra la Naturaleza, Es frecuente en vertederos y

son mayores

eje hidraulico como

secclones

seccion de

una

suma

en

esta en

desligaz6n del

angostarnientos,

el que se produce bajo las pilas de un puente, Es uti! hacer ncter, desde Ia frecuencia con que se ha errado al no considerar esta circunstancia y que Iremos viendo, en usarse muchas f6rmulas que no Ia comen en cuenta.

pueden

(I) Analogos

ractoclnios hacen M.

Casler

en

Transactions of American Society of Civil Engi­

. pug. 12; y Bliss en esra ins­ Berecbuung der .Wasserspiegellege (Karlsruhe 1919), pegs. 36, 52 y en todo el folletc que en la pagina 5Z de su en estas ideas demostradas cxperimentalmente. Es, como dice Boss neers=-tcmo

94-Afio 1930--en

un articulo

pirado

folleto. efecto.

una

extension

a

Ia Hldraullca del principia de Gauss, de Ia maxima economta

0

del minima

125

Curso de H idrauUca General

ejemplos, durante el Curso, este interesante asunto y de paso harernos la de algunas expresiones expertmentales que no la tuvieron en vista (1), caracteriza tamblen el escurrtmiento

Otro hecho rna con se

que

avanza

una

crlrlco:

su

velocidad

onda de traslacion. Como las variaciones de

trasmiten por media de ondas positivas

a

negativas de traslacion,

los rfos, cuya velocidad

es

una se

crftica la mis­

corriente

sigue de

que la crit.ica,

aquf que estas que podran no podrfin hacerlo en los torrentes, y que por 10 tanto, los rfos dependen de varia­ clones de aguas abajo y 105 torrentes no. Prcductdo en una secctcn e1 escurrimientc critico, aguas arriba quedara aislado de aguas abajo. Una onda de traslaclon es una elevacion 0 inturnescencia (onda posit iva) 0 una depreston (onda negative} que se propaga conservando su forma geometrica. Debe su origen, en el primer caso, a la agregacicn brusca de un volurnen de agua 0 a la reman tar

tnrroducctcn de

un

cuerpo

solido,

y la onda

negativa

a

es menor

la extraccion repentina de

parte del ague Las ondas

trasladendo y, al

se van

mismo

tlempo, extingulendo por efeeto de

las resistencias paslvas. Su paso por una seccion exige un movimiento en el agua, en el misrno sentido de la traslacion de ella en la onda posit iva y en sent.ide inverse en

Ia negativa. El movirnlento real del agua es de velocidad u mucho menor que con que Ia onda se propaga. Esta ultima es la velocidad de ia forma geome­

la V

trlca y para

confundirla

no

el movfmiento del agua

con

ropidez de traslacion. (Fig. 21). St

por

hipotesis,

para

se

le llama celeridad

0

simplicidad de la demos-

� I

"

:t-u

:

"

, , '

" "

Pi.; iO

Fig.

tracion,

suponemos

un

••

Qt.:) lx-.

2Q 4-,

21

canal de seccion 0 de forma

cualquiera,

P1S0 de la onda ; esta de altura despreciable E (negative el canal adquiere a] paso de la onda una velociriad H, igual

en

repose

antes

del

Ia onda

negative}, y en toda Ia seccton. si lla­ mamos I el ancho superficial y consideramcs la masa lfquida comprendida entre una seccion anterior a [a onda y otra en el rnedio de ella, desprcciando e l, [II lado de 1) en

,

podremos eacribir

,

Vdtel=udl(l

expresion

(1) zones

deb ida

Cuande

a

en un

Indicadas, el

en

que

un

angostarnicnto

exceso

de

estc

tiempo dl el volumen de la

0

sob�e

una

barrera

se

produce

).

la

Bernoulli cfftico por las

ra­

Bernoulli sobrc el de agu.:!s

ncejo, sc gaste en remounos de eje expertmentaoos por Rehbock en Karls­

vertical y horizontal. Estos rcmolinos ha» side ubrcadcs y ruhe (dcsoe 1917 haste ahora ), que los llama rodillos, (en aleman traducen ltteretmente erollerss

en

intumescencta

Mils adelante aludiremos

a

ellos.

«Weben-,

que los americanos

Anaks del /",tituto de ingenie'03 de Chile

126

onda posltiva, de que ha aumentado la masa considerada, ha sido obtenido porque ha entrado en forma de un prisma de altura u dt y de seccion n. En la onda negativa, por Ia

volumen V dt u

eft n. De

csa

e

l

en

depresion, la

tiCl11PO' at,

el

expreston

se

masa

dice que la rezon

u=---

n

la celeridad de la onda y 1a velocidad real de las la relaci6n de Ia seccion total n del canal con la de la entre

molecules liquidas guarda onda e l, por hipctesis, despreciable. Para encontrar el valor de V aplicamos el mlento

la

a

mass

un

prisma

Vel

un

nos

un

obtiene:

V�­ d

que

considerada he disminuido

!o que ha originado la salida de

teorema

de las carrtidades de movi­

liquida. 'Y

V dt

-

g

cubierta

por 18

ondc

en

el tiempo de

masa en

es

el

t iempo

(0 +

e

I)

dt. El incremento develoctdad que recfbe esta hacienda la proveccion sabre un eje hori­ u

la velocidad

zontal, despreciando :::;. al lado de 0, dades de movimiento sera:

,

Ia derivada respecto al tiempo de las canti­

'Y

-VO

u

g

o

reemplazando el valor de

u

Las fuerzas que dan proyeccion son las presiones hidrostaticas en las caras terminales, en la anterior desde el nivel libre del canal y en Ia posterior desde el nivel

en

medic de In onda. La diferencia entre ambas presiones totales

volvernos

a

despreciar

E

l al Indo de 11. El teorema

'Y

'Y Q

es

e

,

81

dice, finalmente:

.

-Vzel='YQe g

de donde

que es

V�

Vg�

(26

la expresion de Is veloctdad critka. .

este

Las experiencias de Baem comprueban con gran exactitud la formula anterior. exper-imentador comparando con las celer-idades medidas Ia expreston

127

Curso de !-iidraulica General

(26a

no

encontr6

discrepancies

dad del canal, que

en sus

all,.) %. En csta expresion U experiencias no estaba en repose, Y €, como que excedan

es se

la veloci­

ha cliche,

la altura de Ia onda.

EJEr...1PLo.-En que remontan

un

canal

la corriente

rectangular de ),5

can

m.

veloc icad de 1,8

de ancho

m :

se

han medido ondas

seg. 'i ondas descendcntes con

m .seg. Determiner el gasto del canal. St He:mamos U la velocidad media del canal y V la vclocidad de la cnda,

veloctdad de 3,3 nemos

las

te­

ecuaciones:

V+ U=3,3 v- U=I,8

V=2,55 m.seg.

de donde

reemplazando el valor de n

rectangular

es

-

I

igual

V de la formula

Ia pro fund idad h,

a

V

(26

=

VIJ �c

notanda que

en

seccion

I

se

tendra:

2,55'=Vgh

La seccton del canal es. pues, n=2,5 X 0,662=1,655 m" Y

cida del sistema de ecuaciones.

EI gasto del canal,

Q

en

=

es

U

=

0,7.'

consecuencia, II

U

=

1,655

m :

su

veloclded, dedu­

seg.

es:

X

0,75 =1 ,24 )TIl

:

scg

profundidad critics y del Bernoulli critico. Ejemplos y apliea­ generalrnente en las cuest.iones de Hldracltca el calculo de 1a pro­ co­ y de la suma de Bernoulli critica que correspond en a un gasto

19. Caleulo de la

elonesv+Iriteresa

fundidad critica nocldo

en

una

cuncta 0

St Ia seccion miento tica

cr itico se

Ile. Se tiene,

lccho de forma dada.

rectangular de ancho I, las condiciones de escurr i­ simplifican, pues la profundidad media 1-1. es la profundidad crt­ es

de forma

pues:

_�L�� 2 g

2

(27

128

Anales del -Irutituto de ingeniero.s de Chile El gasto

en

Llamando

Q=l he -v

crisis valdra:

Q= -

g

he

o ___:::_, el gasto por unidad de ancho,

se

tiene;

I

(23

expresion

que

revela que Ia profundidad crit.ica 5610 depende del gasto per unidad

de ancho. En la TablaN," I, la tercera COiUIT1L'3 da los gastos par metro de ancho a las alturas criticas de 1."1 primera colurnr-a

corres­

pondientes

En los canales

parabolicos

en

que:

2

la seccion

Ia

,

raaon

Il�--lh

es:

3

Il

T

2 �-n

Il

vale:

3'

I

la velocidad crltica

'

es:

Ja altura de- veloc.idad crttica

es:

4 la

suma

B�-h

de Bernoulli critica:

c

J

(29

c

el gasto critico:

'y

la

profundtdad crfrica:

(30 �

3

I

n

o sea

es

�-

c

2

Q!

Q2

VV­ gil' -

decir, que 18 profundidad crft.ica de de igual ancho superficial.

=070

(30a

[I

urt

lecho

parabolico

es

los '3/1 de Ia del

rec­

tangulo

Las secciones cuando la altura

en

segmentcs de circulos son asimilables a secciones parab61icas que el radio. Tembien 10 seran los segmentos de pequefia

es menor

flecha de los Jechos naturales.

12'1

Curso de i-iidraulica General La Tabla N. e 2 de los elementos necesarios para el calculo de

:riticas

en

profundidades

lechos de forma circular: Estes elementos aparecen, dividiendo

nitud que interesa, la pctencia del radio

neccsar ia

para dar

un

superficial, van divididos por r y n por �, interpolacion. grafico Las secciones triangulares que tienen poce importancia practica, En elias la seccion es: para estudiar las: secciones trapeciales. as]' h, altura, vl, ancho

co,

tabla

tg

a:

son

es

la inclinacion de 0

la

Ia altura media

de los lades

uno

semi suma de

El ancho superficial

ellas si

es:

!l

h

I

2

nos

serviran

la vertical si ambas inclmaciones

con

distintas.

a

u�lfih: ,

•

VT

=.!i_

U.:·

Ia altura de velocidad crttica:

suma

son

l=2 h tg

es:

la velocidad crftica:

la

la mage

numen­ Adjunto a la

que facilita la

va un

iguales

a

coefictente

4

2 g

(J/

de Bernoulli critice:

el gastc crfticc' es, por 10 tanto,

Llamaremos gasto per unidad de inclinacion

o.IX

�..!l_�h' '

tg a

La

profundidad

critica vale

h,=

1

f27F

V g,g;;-

=

a

V"

la raz6n

h,

'"

{),728

2

Qa.�

La Tabla N.o 1 da los gastos por unided de inclinacion a las alturas de Ia primers.

(32

en

Ia cuarta columna,

correspondientes

Las secciones han de

tener

una

trapeciales, suma

profundidadea criticas

compuestas de parte

rectangular y parte triangular, comprendida entre i ,5 y 1,25 he Y las correspondientes a rectangulos de igual

de Bernoulli critica

menores

que

Analea del 1113tituto de

130

base. La seccton del trapecio

es:

de las inclinaciones de los

rna

La velccidad critica

Q=b h + h2 tg

lados)

(b es la base y tg a la semi superficial es: l=b + 2 h tg a.

a,

EI ancho

,

de Chile

lrigenieros

su­

es:

b

hc+hc3 tg b+2hctga

De todo

esta

ecuacion

se

podrti

obtener par

a

tanteos

h,

si

se conoce

Q;

cosa en

larga. suposicion

caso

La

de que eI gasto que pasa per la seccion trapecial en crisis es la de los gastos que con la rnisma altura pasan por el rectengulo de ancho b y los triangulos de inclmacion tg a, da un error maximo de 5 % por defecro en el

suma

caso

mas desfavorable que

se

produce cuando

el ancho

superficial l=2,7S6

b

(1).

Esta suposici6n darla:

Mas facil

aproximada propuesta por el profesor profundidad critica es igual a la suma de los inverses de los cuadrados de las profundidades criticas que producirfa todo el gasto pasando por el rectangulo y todo el gasto pasando par el doble triangulc de los extremes, Salas Edwards

es

calcular

(2)

con

Ia f6rmula

que dice que el inverso del cuadradc de Ia

(33

h' ,

Esta expresi6n que evidentemente tg 01=0,

produce

un error

que en el

exacta

es

caso

en

los

casas

mas desfavorable

extremes

(hb/hr:t.

=

b=O y

C,50) llega a1

por ciento del valor exacto de he. En Ia Tabla N. 1 se encuentran en la ul­ tima columna los valores de 1/h2 correspondientes a todos los gastos por unidad '"

tres

de ancho y por unidad de inclinaci6n

(1)

Vease cscurrirnicnto venedo=-Salas

(2) Escuenrntentc var-iado, pag.

�.

h,;'

Q'

Edwards-!9ZJ-pagina

64. Esee ecuacton

J

1

(3),

(l3.

es.:

J

+

( gb�/--)l (....!..'!__)�

4,S6

1,89

�-,--+--.qIl

Qa.r,

(33a

glg�a,

(3) King, en Handbook of Hydraulics (1929), trae tables para el calculc de profundtdedes cruicas en eecctones trapeclales (Tabla 109. pag. 349).

·

EjEMPLOS.---Por a

la tengente

pasa

gasto de

un

seccion

una

.horizontal

131

Curso de H idr6.ulica General

parab6lica cuya ecuacion, refer ida el punto mas bajo es

a

18 vertical y

que pasa por

0,425 ma/seg. Calcular la profundidad crit ica. la profundidad crit.ica en Iechos parabolicos dada

La expresion de mente.

o

anterior­

es:

sea,

Ponfendo

aqui el valor de

I de la

nuestro

ejemplo

Q2

27

h'=-c 8

tendremos

de

cuneta

---

16 g

ReempJazando valores

h,�

i, Cudl

tangular

es

de 2

la

i. Cual

m.

la

rQ=0,383

98 8 X 16 X, de

un

y(),425�O,250

gastc de 1

ms :

seg.

m.

en una

rec­

.

frente al

metro

gasto por

interpolacion. profundidad critica de

de ancho q

=

J /2

=

0,.']0, est€!

una

un

gasto de 2

m- :

seg.

en una

de base y taludes de J de base por 2 de altura? pecial Usando la Tabla N.· 1 se encuentra: de J ,6

cuneta

de ancho t

hacienda es

-

-r:

profundidad critica

En Ia Tabla N. Q 1

hc=O,295,

V

27

m.

2

EI gasto por unidad de aneho

q�--�125 .r 1,6 »

m- i s

1

-=3,04

h,' 2

EI gasto por unidad de inelinaei6n

Q.�

�

T

4m':.

cuneta tra­

Anales del Instituto de Ingenieros de Chile

132

1 �.

h7 y

1a tabla

segon Con

este

se

he

encuentra

valor de

0,50

=

4,02

m.

si verificamos el gasto

he'

dado, tendremos:

1 n

=

1,6XO,5 + OYX

0,925

.=

T

m=

1 I

=

1,6 +

2 X

0,5 X

=

T

.?,1

m.

n

=044

-

'

m

.

1

Y-1!l

=

u,

Q

en vez

de 2

rna

verdadera he

es

g

=!l

=

yg �

2,OS

=

m : s

1,94

3 % debido en parte a la interpolaci6n. La diferencta de la anterior en 2,34 % unicamente.

seg. con un error de

:

0,5 J 2

m.

que

se

la profundidad critica del gastc circular de 1,5 m. de diametro ?

�Cual

mr : seg.

es

Se resuelve por

tanteos

de.1

ma :

s

pasando

ddndose alturas, de las cuales

se

de la Tabla N,o 2 que

-

nos

da los demas valores:

n

adjunto

van

los

Y

-

r

r

dro

pasa a Ia altura re-

n

h Iartva

por un acueducto

-1-'

En el

tanteos,

h

!l

r

r'

h

!l

(l

V---n' !lV g-

(l

lr

g

I

0,75

1,0

1,571

0,884

0,785

0';89

2,40

2,12

0,375

0,5

0,614

0,346

0,353

0,2M

1,62

0,573

0,500

0,666

0.930

0,523

0,481

0,360

1,88

0,983

La ultima columna del cuadro to a

Q=l

hc=O,5 ms i

s

nos

da el gasto

corresponde Q =0,983. Interpolando corresponde hc=O,Sl m. m.

cua-

r

en

crisis. En

se encuentra

nuestro

�

acueduc­

que para el gasto

Curso de H Idraulica Ceneral La figum 22 Se

profundidad.

graficamente Ia variacion

muestra

que la

ve

curve

B =h

U2/2g

la inversa sl h=O,

de

suma

pues cuando h

abscisas; h

de Ia

asintotas: la

tiene dos

=

=

Bernoulli: con la y el

eje de las

DO, U' / 21, DO

=

0 y

a

Y B=CXJ.

T ambien, como se sabe, la curva man i­ fiesta Ia rapida variacion de h sin variaci6n de B

apreciable de la

suma

en

las cercanias

Conociendo la

suma

de Bernoulli

den calcular

se conoce

Fig.

Notanda que

se

en

pue­

de ancho L, en que factlmente el gasto por unidad de

sin resolver Ia ecuacion de tercer gra­

ancho: do

se

de corrientes abier­

profundidades de seccion rectangular

tas

-----

f

del minima

de Bernoulli.

tv:

22

segun la ecuaci6n (28:

reemplazando:

obtiene

h:

II

�

h +

Util resulta dividir esta ecuacion por

---'--

2 h'

h,,:

(34 En la Tabla N. 3 estan tabulados los valores de relatives

profundidades puede

bla tambien

EI

hjh,.

grafico adjunto objeto (1).

a

la

B/h, correspondientes

'In, ensancha gasto

la

a

2

que

profundidad

de 2

sin

m.

escurre

el

de 1,2

es

de ancho (fig. 23) so fonda varfe de cota. EJ m.

m.

y

cs

Se

m3/seg.

Ia seccion de 1

en

de l,fO

m. es

que

I

m.

aplicable

st

en

Ia

al teorema de Ber­

-

2m.

t_________j

pide determiner

de encho

las

r-I

usarse con ese

EJEMPLO.-- Un canal de

a

ta­

!

----4

LlJljc=I.lO

r-,lACiQ Q ;Uk ----;.I

noulli.

,

..

...

Fig. (I) King

en

Handbook of Hydraulics (1929),

de Igual Berncull! bla 107, pags. 346.

en

secctones

317

y

tree

tablas para determiner las

23

profundidades

rcctangulares (Tabla 106, pag. 345); en secclones trapeciaies (Ta­ 348). y aun en seeciones triangulares, (Tabla N.o 108. p1ig.349).

1�4

Anal.. del lnstltuto d. Ing.niero. de Chile

La velocidad

en

la

secci6n

segunda

es

1,2

U

=

=

-

2,2 y

0545 mtseg.

la Tabla N.' 1

segun

t»

=O,OJ5m.

--

2 g

La

de Bernoulli

suma

es

prescindiendo

pues, B=

profundidad en profundidad critics en ella.

Ia

a:

1.10+0,015 =1,1I5

Para calcular la mero

de

EI gasto por unidad de ancho

la seccicn de 1

m.

de ancho, buscaremos pri­

m.

es:

1.20

q=--=J20m-: