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Límites y Continuidad
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos
Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 2: Límites y Continuidad
Propiedades Discontinuidades
Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico
Límites y Continuidad
Esquema
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
1 Límites
Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones 2 Continuidad
Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Límites y Continuidad
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Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
1 Límites
Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones 2 Continuidad
Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Límites y Continuidad
Límites
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito
En esta clase repasaremos las nociones de límite y continuidad para una función.
Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
La noción de límite para una función es central en el Cálculo. Es la idea que permite formalizar los dos conceptos centrales: derivada e integral de una función. Los nombres asociados al desarrollo de esta noción son los de Bolzano, Cauchy y Weierstrass.
Límites y Continuidad
Límites
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Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Definición (Límite de una función en un punto) Supongamos que la función f (x) está definida para todos los puntos que están cerca del punto c, es decir f está definida para 0 < |x − c| < α para algún α > 0. Decimos que la función tiende al límite L ∈ R cuando x tiende a c si para cualquier número positivo ε, por pequeño que este sea, es posible encontrar un número positivo δ tal que para todos los valores de x diferentes de c que satisfacen 0 < |x − c| < δ se tiene que |f (x) − L| < ε
Límites y Continuidad
Límites
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Continuidad Definición y Ejemplos
Si L es el límite de la función f cuando x tiende a c, usamos la notación lim f (x) = L x→c
Propiedades Discontinuidades
o también f (x) → L
cuando
x → c.
Si el límite de la función f (x) cuando x → c existe, decimos que la función converge (cuando x → c). En caso contrario decimos que diverge.
Límites y Continuidad
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Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
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Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Ejemplo Veamos que lim (3x + 1) = 7. x→2
Demostración. Supongamos que ε > 0 está dado, queremos hallar un valor de δ tal que si x está a una distancia menor que δ de 2, entonces |f (x) − 7| = |3x + 1 − 7| = |3x − 6| < ε Para que esta desigualdad se satisfaga es necesario que 3|x − 2| < ε y para esto basta que |x − 2| < ε/3. Por lo tanto si tomamos δ = ε/3 tenemos que |x − 2| < δ ⇒ |f (x) − 7| < ε
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
Límites Definición y Ejemplos Propiedades
Ejemplo
Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Como segundo ejemplo vamos a calcular el límite de la función x2 − 4 f (x) = x −2 en x = 2. Observamos que la función no está definida en este punto. Demostraremos que este límite vale 4. Tenemos que demostrar que, para cualquier valor de ε, sin importar lo pequeño que sea, podemos hallar un valor de δ tal que se cumple la desigualdad x2 − 4 − 4 < ε x −2 siempre que |x − 2| < ε.
(1)
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
Límites Definición y Ejemplos
(x^2−4)/(x−2)
Propiedades
6
Límite infinito Límites Laterales
5
Indeterminaciones
●
3
f(x)
Definición y Ejemplos
4
Continuidad
1 0
Discontinuidades
2
Propiedades
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
Para hallar el límite en x = 2 no necesitamos considerar la función en este punto, basta con considerar los valores en los puntos cercanos a x = 2. Por lo tanto, si x 6= 2, la fracción que define la función se puede simplificar y la condición (1) se puede escribir |(x + 2) − 4| = |x − 2| < ε.
(2)
Límites y Continuidad
Límites
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Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Definición (Límite de una función en infinito) Decimos que la función f tiende al límite L ∈ R cuando x → +∞ si para cualquier número positivo ε, por pequeño que este sea, es posible encontrar un número positivo K tal que para todos los valores de x que satisfacen x > K se tiene que |f (x) − L| < ε Usamos la notación lim f (x) = L
x→∞
o también f (x) → L cuando x → +∞. De manera análoga se define limx→−∞ f (x) = L.
Límites y Continuidad
Límites
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Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Ejemplo Veamos que 1 = 0. x→∞ x lim
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito
1.0
Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad
0.8
Definición y Ejemplos Propiedades
0.0
0.2
0.4
1/x
0.6
Discontinuidades
2
4
6 x
8
10
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito
1.0
Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad
0.8
Definición y Ejemplos Propiedades
0.0
0.2
0.4
1/x
0.6
Discontinuidades
0
20
40
60 x
80
100
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito
1.0
Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad
0.8
Definición y Ejemplos Propiedades
0.0
0.2
0.4
1/x
0.6
Discontinuidades
0
200
400
600 x
800
1000
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Límites
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Ejemplo
Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Veamos que 1 = 0. x Para ver esto sea ε > 0 dado, queremos ver que se cumple la desigualdad 1 (3) < ε, x siempre que |x| > K , donde el valor de K puede depender de ε. La desigualdad (3) se satisface siempre que |x| > 1/ε = K . lim
x→∞
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Continuidad Definición y Ejemplos
Principales propiedades de los límites: Supongamos que limx→c f (x) = K , limx→c g(x) = L, donde K , L ∈ R. 1
El límite, si existe, es único.
2
El límite de la suma de dos funciones es la suma de los límites:
Propiedades Discontinuidades
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = K + L.
x→c 3
x→c
x→c
El límite de la diferencia entre dos funciones es la diferencia de los límites: lim (f (x) − g(x)) = lim f (x) − lim g(x) = K − L.
x→c
x→c
x→c
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Límites Propiedades
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Continuidad Definición y Ejemplos
Principales propiedades de los límites: Supongamos que limx→c f (x) = K , limx→c g(x) = L, donde K , L ∈ R. 1
El límite, si existe, es único.
2
El límite de la suma de dos funciones es la suma de los límites:
Propiedades Discontinuidades
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = K + L.
x→c 3
x→c
x→c
El límite de la diferencia entre dos funciones es la diferencia de los límites: lim (f (x) − g(x)) = lim f (x) − lim g(x) = K − L.
x→c
x→c
x→c
Límites y Continuidad
Límites Propiedades
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Continuidad Definición y Ejemplos
Principales propiedades de los límites: Supongamos que limx→c f (x) = K , limx→c g(x) = L, donde K , L ∈ R. 1
El límite, si existe, es único.
2
El límite de la suma de dos funciones es la suma de los límites:
Propiedades Discontinuidades
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = K + L.
x→c 3
x→c
x→c
El límite de la diferencia entre dos funciones es la diferencia de los límites: lim (f (x) − g(x)) = lim f (x) − lim g(x) = K − L.
x→c
x→c
x→c
Límites y Continuidad
Límites Propiedades
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Continuidad Definición y Ejemplos
Principales propiedades de los límites: Supongamos que limx→c f (x) = K , limx→c g(x) = L, donde K , L ∈ R. 1
El límite, si existe, es único.
2
El límite de la suma de dos funciones es la suma de los límites:
Propiedades Discontinuidades
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) = K + L.
x→c 3
x→c
x→c
El límite de la diferencia entre dos funciones es la diferencia de los límites: lim (f (x) − g(x)) = lim f (x) − lim g(x) = K − L.
x→c
x→c
x→c
Límites y Continuidad
Límites Propiedades
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4
Continuidad Definición y Ejemplos
El límite del producto de dos funciones es el producto de los límites:
Propiedades
lim (f (x)g(x)) = ( lim f (x))( lim g(x)) = KL.
Discontinuidades
x→c 5
x→c
x→c
El límite del cociente entre dos funciones es el cociente de los límites si el límite del denominador es distintos de 0: f (x) limx→c f (x) K lim = = , x→c g(x) limx→c g(x) L si L 6= 0.
Límites y Continuidad
Límites Propiedades
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4
Continuidad Definición y Ejemplos
El límite del producto de dos funciones es el producto de los límites:
Propiedades
lim (f (x)g(x)) = ( lim f (x))( lim g(x)) = KL.
Discontinuidades
x→c 5
x→c
x→c
El límite del cociente entre dos funciones es el cociente de los límites si el límite del denominador es distintos de 0: f (x) limx→c f (x) K lim = = , x→c g(x) limx→c g(x) L si L 6= 0.
Límites y Continuidad
Límites Propiedades
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6
Indeterminaciones
Si f (x) ≤ g(x) para los valores de x cerca del punto c (para |x − c| < ε para algún ε > 0) entonces
Continuidad Definición y Ejemplos
lim f (x) = K ≤ L = lim g(x).
Propiedades
x→c
Discontinuidades
7
x→c
Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x cerca de c y se tiene que lim f (x) = lim h(x) = L x→c
x→c
entonces lim g(x) = L
x→c 8
lim f (x)
x→c
g(x)
= ( lim f (x))(limx→c g(x)) = K L x→c
Límites y Continuidad
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6
Indeterminaciones
Si f (x) ≤ g(x) para los valores de x cerca del punto c (para |x − c| < ε para algún ε > 0) entonces
Continuidad Definición y Ejemplos
lim f (x) = K ≤ L = lim g(x).
Propiedades
x→c
Discontinuidades
7
x→c
Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x cerca de c y se tiene que lim f (x) = lim h(x) = L x→c
x→c
entonces lim g(x) = L
x→c 8
lim f (x)
x→c
g(x)
= ( lim f (x))(limx→c g(x)) = K L x→c
Límites y Continuidad
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6
Indeterminaciones
Si f (x) ≤ g(x) para los valores de x cerca del punto c (para |x − c| < ε para algún ε > 0) entonces
Continuidad Definición y Ejemplos
lim f (x) = K ≤ L = lim g(x).
Propiedades
x→c
Discontinuidades
7
x→c
Si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x cerca de c y se tiene que lim f (x) = lim h(x) = L x→c
x→c
entonces lim g(x) = L
x→c 8
lim f (x)
x→c
g(x)
= ( lim f (x))(limx→c g(x)) = K L x→c
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Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades
9 10
Discontinuidades
lim log f (x) = log lim f (x) = log K .
x→c
x→c
Si f (x) es una función constante igual a a entonces para cualquier c en el dominio de la función lim f (x) = a
x→c 11
Si limx→c f (x) = L y a ∈ R entonces lim af (x) = a lim f (x) = aL.
x→c
x→c
Límites y Continuidad
Límites Propiedades
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9 10
Discontinuidades
lim log f (x) = log lim f (x) = log K .
x→c
x→c
Si f (x) es una función constante igual a a entonces para cualquier c en el dominio de la función lim f (x) = a
x→c 11
Si limx→c f (x) = L y a ∈ R entonces lim af (x) = a lim f (x) = aL.
x→c
x→c
Límites y Continuidad
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Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades
9 10
Discontinuidades
lim log f (x) = log lim f (x) = log K .
x→c
x→c
Si f (x) es una función constante igual a a entonces para cualquier c en el dominio de la función lim f (x) = a
x→c 11
Si limx→c f (x) = L y a ∈ R entonces lim af (x) = a lim f (x) = aL.
x→c
x→c
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Límites
Límites Propiedades
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Las propiedades anteriores también son válidas si en lugar de considerar límites cuando x → c consideramos límites cuando x → +∞ o cuando x → −∞.
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
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Ejemplo Hallar el límite cuando x → 0 de la función
Continuidad Definición y Ejemplos
f (x) = (3x 2 + 2x 3 + x 16 )/(x 2 )
Propiedades Discontinuidades
Tenemos que 3x 2 + 2x 3 + x 16 3x 2 2x 3 x 16 = + 2 + 2 = 3 + 2x + x 14 . x2 x2 x x Tomando ahora límite cuando x → 0 tenemos que lim f (x) = lim 3 + lim 2x + lim x 14 = 3.
x→0
x→0
x→0
x→0
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Continuidad Definición y Ejemplos
Ejemplo Veamos que
Propiedades Discontinuidades
x +1 1 = lim 1 + = 1. x→∞ x→∞ x x lim
Usando las propiedades de límites y el resultado de un ejercicio anterior tenemos lim
x→∞
1+
1 1 = 1 + lim = 1. x→∞ x x
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito
Ejemplo
Límites Laterales Indeterminaciones
Hallar
Continuidad
3x 3 + 2x 2 − 6 x→∞ 2x 3 lim
Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Usando las propiedades de límites tenemos 3x 3 2x 2 6 3x 3 + 2x 2 − 6 = lim + lim − lim 3 3 3 x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ 2x 2x 2x 2x 3 1 3 3 = + lim − lim 2 x→∞ x x→∞ x 3 3 = 2 lim
Límites y Continuidad
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Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Ejemplo Hallar
3x 3 + 2x 2 − 6 x→∞ 2x 4 + 3x lim
Para hallar el límite de esta función racional buscamos el mayor exponente en todos los términos presentes en numerador y denominador. En este caso el mayor exponente es 4 y dividimos tanto numerador como denominador por x 4 : 3x 3 + 2x 2 − 6 (3x 3 /x 4 ) + (2x 2 /x 4 ) − (6/x 4 ) = 2x 4 + 3x (2x 4 /x 4 ) + (3x/x 4 ) (3/x) + (2/x 2 ) − (6/x 4 ) = 2 + (3/x 3 )
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
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Continuidad Definición y Ejemplos
Ejemplo Ahora usamos las propiedades de límites que vimos
Propiedades Discontinuidades
3x 3 + 2x 2 − 6 (3/x) + (2/x 2 ) − (6/x 4 ) = lim x→∞ x→∞ 2x 4 + 3x 2 + (3/x 3 ) limx→∞ (3/x) + limx→∞ (2/x 2 ) − limx→∞ (6/x 4 ) = 2 + limx→∞ (3/x 3 ) 0 = = 0. 2 lim
Límites y Continuidad
Límites Límite infinito
Límites Definición y Ejemplos Propiedades
Extensión de la noción de límite: límites infinitos.
Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Definición (Límite infinito de una función en un punto) Supongamos que la función f (x) está definida para todos los puntos que están cerca del punto c, es decir f está definida para 0 < |x − c| < α para algún α > 0. Decimos que la función tiende a ∞ cuando x tiende a c si para cualquier número positivo M, por grande que este sea, es posible encontrar un número positivo δ tal que para todos los valores de x diferentes de c que satisfacen 0 < |x − c| < δ se tiene que |f (x)| > M
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
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Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Ejemplo Veamos que 1 =∞ x→0 x lim
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
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10
Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos
−5 −10
1/x
Discontinuidades
0
5
Propiedades
−2
−1
0 x
1
2
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
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100
Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos
−50 −100
1/x
Discontinuidades
0
50
Propiedades
−1.0
−0.5
0.0 x
0.5
1.0
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito
1000
Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad
−500
1/x
Discontinuidades
−1000
Propiedades
0
500
Definición y Ejemplos
−0.2
−0.1
0.0 x
0.1
0.2
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
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Ejemplo
Indeterminaciones
Continuidad
Veamos que
Definición y Ejemplos
lim
Propiedades
x→0
Discontinuidades
1 =∞ x
En efecto, para cualquier M > 0 tenemos que 1 >M x siempre que |x| = |x − 0| <
1 =δ M
Límites y Continuidad
Límites
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Continuidad Definición y Ejemplos
Si la función f (x) tiende a infinito tomando sólo valores positivos escribimos
Propiedades Discontinuidades
lim f (x) = +∞
x→c
Si en cambio lo hace tomando sólo valores negativos escribimos lim f (x) = −∞ x→c
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
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Ejemplo Veamos que 1 = +∞ x→1 (1 − x)2
Indeterminaciones
lim
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades
6000 4000 2000 0
f(x)
8000 10000
Discontinuidades
0.6
0.8
1.0 x
1.2
1.4
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
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Continuidad Definición y Ejemplos
Ejemplo Para cualquier M > 0 tenemos que
Propiedades
1 >M (1 − x)2
Discontinuidades
siempre que (1 − x)2 <
1 , M
1 |1 − x| < √ = δ. M
La función f (x) = 1/(1 − x)2 sólo toma valores positivos, por lo que el límite es +∞.
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos
Ejemplos de funciones que no tienen límite. La función f (x) = sen(x) no tiene límite cuando x → ∞.
Propiedades Discontinuidades
0.0 0.5 1.0 −1.0
sen(t)
La función seno
−20
−10
0 t
10
20
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
Límites Definición y Ejemplos Propiedades
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Ejemplos de funciones que no tienen límite. La función f (x) = sen(1/x) está definida para todos los valores de x excepto para x = 0 y no tiene límite cuando x → 0. 0.0 0.5 1.0
Indeterminaciones
sin(1/x)
Límites Laterales
−1.0
Límite infinito
−1.0
−0.5
0.0 x
0.5
1.0
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
Límites Definición y Ejemplos
Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Ejemplos de funciones que no tienen límite. Un tercer ejemplo, de naturaleza distinta, es la siguiente función definida a trozos: ( x 2 si x ≤ 2, f (x) = 5 si x > 2.
f(x)
Límite infinito
0 1 2 3 4 5 6
Propiedades
● ●
−2
0
2
4
x En este caso el comportamiento de la función en x = 2 depende de si nos acercamos a este punto por la derecha o por la izquierda.
Límites y Continuidad
Límites
Límites Ejemplos
Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades
Si nos acercamos por la derecha, la función toma el valor constante 5 y por lo tanto el valor del límite debería ser 5
Discontinuidades
En cambio, si nos acercamos por la inquiera, el valor de la función es x 2 , que tiende a 4 cuando x se acerca a 2 (por la izquierda). Como estos dos valores son distintos el límite no existe en el punto x = 2.
Límites y Continuidad
Límites Límites laterales
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
El ejemplo anterior sugiera la definición de los límites laterales
Definición Decimos que el límite de la función f (x) cuando x tiende a c por la izquierda es L si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ (c − δ, c) entonces |f (x) − L| < ε. En este caso usamos la notación limx→c − f (x) = L. Decimos que el límite de la función f (x) cuando x tiende a c por la derecha es L si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ (c, c + δ) entonces |f (x) − L| < ε. En este caso usamos la notación limx→c + f (x) = L.
Límites y Continuidad
Límites Límites laterales
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales
En el ejemplo anterior tenemos
Indeterminaciones
lim f (x) = 4;
Continuidad Definición y Ejemplos
x→2−
lim f (x) = 5.
x→2+
Propiedades Discontinuidades
Esto sugiere el siguiente el siguiente resultado, que es cierto pero demostraremos en este curso.
Teorema La función f tiene límite L en c si y sólo si los límites laterales lim f (x) y lim+ f (x) x→c −
ambos existen y son iguales a L.
x→c
Límites y Continuidad
Límites Indeterminaciones
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Cuando las propiedades de los límites que consideramos anteriormente no nos permiten calcular un límite decimos que hay una indeterminación. Usando notación simbólica las indeterminaciones son ∞ − ∞,
0 · ∞,
0 , 0
∞ , ∞
00 ,
∞0 ,
1∞
En estos casos no es posible saber a priori cual es el valor del límite y hay que usar otros métodos para resolver la indeterminación.
Límites y Continuidad
Límites
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales
Ejemplo Si consideramos los límites de las funciones
Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades
x ; x2
x ; x
x2 x
Discontinuidades
cuando x → 0, obtenemos la indeterminación 0/0 en todos los casos; sin embargo x 1 = lim = ∞ 2 x→0 x x→0 x x lim = 1 x→0 x x2 lim = lim x = 0 x→0 x x→0 lim
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito
Ejemplo
Límites Laterales Indeterminaciones
x 3 − 27 0 = 2 0 x→0 x − 9
Continuidad
lim
Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Esta indeterminación se resuelve factorizando los polinomios: (x − 3)(x 2 + 3x + 9) x 3 − 27 = lim (x − 3)(x + 3) x→0 x→0 x 2 − 9 2 x + 3x + 9 = lim x +3 x→0 27 9 = = 6 2 lim
Límites y Continuidad
Límites
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Las indeterminaciones de tipo ∞/∞ causadas por el cociente de polinomios se resuelven dividiendo numerador y denominador por la potencia mayor de la variable. En estos casos se obtiene si m > n, 0 an x n + · · · + a1 + a0 a n = bm lim si n = m, x→±∞ bm x m + · · · + b1 x + b0 ±∞ si m < n.
Límites y Continuidad
Límites
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Las indeterminaciones de tipo 0/0 o ±∞/ ± ∞ pueden resolverse usando la regla de L’Hôpital, que requiere el uso de derivadas. Las indeterminaciones 00 , (±∞)0 , 1±∞ se pueden transformar a una del tipo 0 · (±∞) tomando logaritmos.
Límites y Continuidad
Límites
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
En ocasiones algunas de las indeterminaciones se pueden resolver usando los llamados infinitésimos equivalentes, que son funciones cuyo límite vale 0 y que se pueden sustituir una por otra si están multiplicando o dividiendo dentro de un límite sin que éste se modifique. Algunos ejemplos cuando f (x) → 0: sen f (x) ≈ f (x)
tan f (x) ≈ f (x)
log(1 + f (x)) ≈ f (x)
ef (x) − 1 ≈ f (x)
1 − cos f (x) ≈
(f (x))2 2
Límites y Continuidad
Límites Ejemplos
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos
Ejemplo
Propiedades Discontinuidades
lim
x→0
sen(3x) 3 sen(3x) = lim = 3. x 3x x→0
(cos x − 1)2 (−x 2 /2)2 x4 = lim = lim = 0. x→0 x→0 x→0 4x 2 x2 tan2 x lim
Límites y Continuidad
Esquema
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
1 Límites
Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones 2 Continuidad
Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Límites y Continuidad
Continuidad
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades
La noción intuitiva de continuidad para una función a valores reales es que su gráfica puede trazarse sin levantar el lápiz del papel.
Discontinuidades
Para formalizar esta noción necesitamos el concepto de límite que estudiamos en la sección anterior. Muchas de las propiedades de las funciones continuas son consecuencia de las propiedades de límites.
Límites y Continuidad
Continuidad Definición
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Definición Sea f una función definida en el intervalo (a, b) y sea c un punto de (a, b). Decimos que la función f es continua en c si 1
Existe lim f (x), y
2
f (c) = lim f (x).
x→c
x→c
Equivalentemente, lim f (c + h) = f (c). h→0
Límites y Continuidad
Continuidad Definición
Límites Definición y Ejemplos
Una definición alternativa para la continuidad es la siguiente
Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Definición Sea f una función definida en el intervalo (a, b) y sea c un punto de (a, b). Decimos que la función f es continua en c si dado cualquier valor ε > 0 podemos encontrar un δ > 0 tal que si |x − c| < δ se tiene que |f (x) − f (c)| < ε.
Límites y Continuidad
Continuidad Ejemplos
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Ejemplo La función f (x) = x 2 es continua en cualquier punto c ∈ R. Sea h cualquiera, tenemos que f (c + h) = (c + h)2 = c 2 + 2ch + h2 Por lo tanto lim f (c + h) = lim (c 2 + 2ch + h2 ) = c 2 = f (c)
h→0
h→0
de modo que la función es continua en c.
Límites y Continuidad
Continuidad
Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
( x2 f (x) = 4
si x ≤ 2, si x > 2.
f(x)
Definición y Ejemplos
Continuidad
0 1 2 3 4 5 6
Límites
●
−2
Definición y Ejemplos
0
Discontinuidades
2
4
x
Propiedades
En este caso la función está definida a trozos y para ver la continuidad en x = 2 tenemos que calcular los límites laterales y ver si coinciden entre sí y si coinciden con el valor de la función en x = 2, que es 4. lim f (x) = lim x 2 = 4
x→2−
x→2−
lim f (x) = lim+ 4 = 4
x→2+
x→2
de modo que la función es continua en x = 2.
Límites y Continuidad
Continuidad Propiedades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales
Propiedades de las funciones continuas:
Indeterminaciones
Continuidad
1
Si la función f es continua en c y a ∈ R, la función a · f (x) también es continua en c.
2
Si las funciones f y g son continuas en el punto c entonces su suma, su diferencia y su producto también son continuas en c.
3
Si las funciones f y g son continuas en c y g(c) 6= 0 entonces la función f /g también es continua en c.
4
Si la función f es continua en c y la función g es continua en d = f (c), la función compuesta (g ◦ f )(x) = g(f (x)) es continua en el punto c.
Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Límites y Continuidad
Continuidad Propiedades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales
Propiedades de las funciones continuas:
Indeterminaciones
Continuidad
1
Si la función f es continua en c y a ∈ R, la función a · f (x) también es continua en c.
2
Si las funciones f y g son continuas en el punto c entonces su suma, su diferencia y su producto también son continuas en c.
3
Si las funciones f y g son continuas en c y g(c) 6= 0 entonces la función f /g también es continua en c.
4
Si la función f es continua en c y la función g es continua en d = f (c), la función compuesta (g ◦ f )(x) = g(f (x)) es continua en el punto c.
Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Límites y Continuidad
Continuidad Propiedades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales
Propiedades de las funciones continuas:
Indeterminaciones
Continuidad
1
Si la función f es continua en c y a ∈ R, la función a · f (x) también es continua en c.
2
Si las funciones f y g son continuas en el punto c entonces su suma, su diferencia y su producto también son continuas en c.
3
Si las funciones f y g son continuas en c y g(c) 6= 0 entonces la función f /g también es continua en c.
4
Si la función f es continua en c y la función g es continua en d = f (c), la función compuesta (g ◦ f )(x) = g(f (x)) es continua en el punto c.
Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Límites y Continuidad
Continuidad Propiedades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales
Propiedades de las funciones continuas:
Indeterminaciones
Continuidad
1
Si la función f es continua en c y a ∈ R, la función a · f (x) también es continua en c.
2
Si las funciones f y g son continuas en el punto c entonces su suma, su diferencia y su producto también son continuas en c.
3
Si las funciones f y g son continuas en c y g(c) 6= 0 entonces la función f /g también es continua en c.
4
Si la función f es continua en c y la función g es continua en d = f (c), la función compuesta (g ◦ f )(x) = g(f (x)) es continua en el punto c.
Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Límites y Continuidad
Continuidad Propiedades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio. Si una función f es continua en todos los puntos de su dominio D, decimos simplemente que es continua. Si el dominio de la función es un intervalo cerrado I = [a, b], decimos que la función es continua si es continua en el sentido usual en el intervalo (a, b) y en los extremos la función es continua cuando consideramos los límites laterales apropiados: f (a) = lim+ f (x), x→a
f (b) = lim f (x). x→b−
Límites y Continuidad
Continuidad Propiedades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos
5
Si la función f (x) es continua en el intervalo [a, b], siempre existe al menos un punto x1 ∈ [a, b] tal que para todo x ∈ [a, b] se satisface la desigualdad
Propiedades
f (x1 ) ≥ f (x).
Discontinuidades
También existe siempre un punto x2 ∈ [a, b] tal que para todo x ∈ [a, b] se satisface la desigualdad f (x2 ) ≤ f (x). Resumiendo se tiene que f (x2 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 )
Límites y Continuidad
Continuidad Propiedades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
El valor de f (x1 ) = M se conoce como el máximo del a función mientras que el valor de f (x2 ) = m se conoce como el mínimo.
Continuidad
1.0
M
0.0
Discontinuidades
El resultado (teorema) anterior se puede enunciar diciendo que una función continua f en [a, b] alcanza al menos una vez su máximo y su mínimo.
f(x)
Propiedades
−1.0
Definición y Ejemplos
m −6
−4
−2
0 x
2
4
6
Límites y Continuidad
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos
Continuidad 6
Sea f (x) una función continua definida sobre el intervalo [a, b]. Si la función toma valores f (a) = A, f (b) = B en los extremos del intervalo y los valores A y B son distintos, dado cualquier valor C entre A y B, siempre existe al menos un punto c tal que
Propiedades Discontinuidades
A
−2
f(x)
2
4
6
f (c) = C
C
−6
B c −2
−1
0 x
1
2
Límites y Continuidad
Continuidad
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos
El resultado anterior se conoce como el Teorema del Valor Intermedio, y se debe al matemático checo Bernard Bolzano
Propiedades Discontinuidades
Si en el resultado anterior tenemos que A y B tienen signos distintos, tomando C = 0 vemos que existe al menos un punto c ∈ [a, b] donde la función se anula. Si la función f (x) es continua en el intervalo [a, b] sabemos por la propiedad 5 que alcanza su máximo y su mínimo. La propiedad 6 nos dice que la función toma todos los valores intermedios.
Límites y Continuidad
Continuidad Discontinuidades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Si la función f no es continua en un punto c decimos que la función f es discontinua en c.
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Hay varias razones por las cuales una función f puede ser discontinua en un punto c: 1
Existe lim f (x) pero o bien la función toma un valor x→c
distinto al límite en este punto, o bien no está definida en c. 2
No existe lim f (x) x→c
En el primer caso decimos que la discontinuidad es evitable, pues es posjble redefinir el valor de la función en el punto c para hacer que la función sea continua.
Límites y Continuidad
Continuidad Discontinuidades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Si la función f no es continua en un punto c decimos que la función f es discontinua en c.
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Hay varias razones por las cuales una función f puede ser discontinua en un punto c: 1
Existe lim f (x) pero o bien la función toma un valor x→c
distinto al límite en este punto, o bien no está definida en c. 2
No existe lim f (x) x→c
En el primer caso decimos que la discontinuidad es evitable, pues es posjble redefinir el valor de la función en el punto c para hacer que la función sea continua.
Límites y Continuidad
Continuidad Discontinuidades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Si la función f no es continua en un punto c decimos que la función f es discontinua en c.
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Hay varias razones por las cuales una función f puede ser discontinua en un punto c: 1
Existe lim f (x) pero o bien la función toma un valor x→c
distinto al límite en este punto, o bien no está definida en c. 2
No existe lim f (x) x→c
En el primer caso decimos que la discontinuidad es evitable, pues es posjble redefinir el valor de la función en el punto c para hacer que la función sea continua.
Límites y Continuidad
Continuidad Discontinuidades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Si la función f no es continua en un punto c decimos que la función f es discontinua en c.
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
Hay varias razones por las cuales una función f puede ser discontinua en un punto c: 1
Existe lim f (x) pero o bien la función toma un valor x→c
distinto al límite en este punto, o bien no está definida en c. 2
No existe lim f (x) x→c
En el primer caso decimos que la discontinuidad es evitable, pues es posjble redefinir el valor de la función en el punto c para hacer que la función sea continua.
Límites y Continuidad
Continuidad Discontinuidades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Ejemplo La función f (x) =
Continuidad Definición y Ejemplos Propiedades Discontinuidades
x2 − 4 x −2
no está definida en x = 2, pero vimos anteriormente que el límite en este punto existe y lim f (x) = 4.
x→2
Por lo tanto, si redefinimos la función de la siguiente manera ( 2 x −4 si x 6= 2 f (x) = x−2 4 si x = 2. la función es continua.
Límites y Continuidad
Continuidad Discontinuidades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos
Cuando no existe el límite de la función f en el punto c, hay dos situaciones posibles.
Propiedades Discontinuidades
1
Los limites laterales de la función f existen en el punto c pero no coinciden. En este caso decimos que la discontinuidad es de primer tipo o de primera especie.
2
Alguno (o ambos) de los límites laterales no existe. En este caso decimos que la discontinuidad es de segundo tipo o de segunda especie.
Veamos ejemplos de ambos casos.
Límites y Continuidad
Continuidad Discontinuidades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos
Cuando no existe el límite de la función f en el punto c, hay dos situaciones posibles.
Propiedades Discontinuidades
1
Los limites laterales de la función f existen en el punto c pero no coinciden. En este caso decimos que la discontinuidad es de primer tipo o de primera especie.
2
Alguno (o ambos) de los límites laterales no existe. En este caso decimos que la discontinuidad es de segundo tipo o de segunda especie.
Veamos ejemplos de ambos casos.
Límites y Continuidad
Continuidad Discontinuidades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos
Cuando no existe el límite de la función f en el punto c, hay dos situaciones posibles.
Propiedades Discontinuidades
1
Los limites laterales de la función f existen en el punto c pero no coinciden. En este caso decimos que la discontinuidad es de primer tipo o de primera especie.
2
Alguno (o ambos) de los límites laterales no existe. En este caso decimos que la discontinuidad es de segundo tipo o de segunda especie.
Veamos ejemplos de ambos casos.
Límites y Continuidad
Continuidad Discontinuidades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos
Cuando no existe el límite de la función f en el punto c, hay dos situaciones posibles.
Propiedades Discontinuidades
1
Los limites laterales de la función f existen en el punto c pero no coinciden. En este caso decimos que la discontinuidad es de primer tipo o de primera especie.
2
Alguno (o ambos) de los límites laterales no existe. En este caso decimos que la discontinuidad es de segundo tipo o de segunda especie.
Veamos ejemplos de ambos casos.
Límites y Continuidad
Continuidad Discontinuidades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad Definición y Ejemplos
La función f definida en el intervalo [0, 4] por ( x + 3 si 0 ≤ x ≤ 2 f (x) = x2 si 2 < x ≤ 4.
Propiedades Discontinuidades
Es continua en todo su dominio salvo en el punto x = 2 porque si calculamos los límites laterales obtenemos lim f (x) = lim x + 3 = 5
x→2−
x→2−
lim f (x) = lim+ x 2 = 4
x→2+
x→2
y como los límites existen pero son distintos, la discontinuidad es de primera especie.
Límites y Continuidad
Continuidad Discontinuidades
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito Límites Laterales Indeterminaciones
Continuidad
La función f (x) = sen(1/x) definida para x 6= 0 es continua en todo su dominio. Si buscamos los límites laterales de la función en 0 vemos que no existen.
Definición y Ejemplos Propiedades
0.0 0.5 1.0 −1.0
sin(1/x)
Discontinuidades
−1.0
−0.5
0.0
0.5
x
Por lo tanto la discontinuidad es de segunda especie
1.0
Límites y Continuidad
Límites Definición y Ejemplos Propiedades Límite infinito
Continuidad Discontinuidades
La función f (x) = (1/(x − 2)2 ) definida salvo en x = 2 también tiene una discontinuidad de segundo tipo pues
Límites Laterales Indeterminaciones
lim f (x) = lim+ f (x) = +∞
x→2−
Continuidad
x→2
Definición y Ejemplos Propiedades
1500 1000 500 0
f(x)
2000
2500
Discontinuidades
1.0
1.5
2.0 x
2.5
3.0