CONTINUIDAD

MATEMÁTICAS II

TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES 1. Continuidad de una función en un punto Entre las primeras propiedades de las funciones aparece el concepto de continuidad. Durante mucho tiempo fue asumida como una idea intuitiva la siguiente definición: “Una función es continua en un intervalo cuando al trazar su gráfica no es necesario levantar el lápiz del papel”.

La idea de función continua está relacionada con la idea de límite: “Diremos que una función es continua en un punto xo si existe el límite de la función en ese punto y coincide con el valor de f(x) en ese punto”, es decir:

lim f ( x) = f ( x0 )

x → x0

Esta definición implica que se verifiquen tres condiciones: 1. Existe la imagen: f(xo) 2. Existe el lim f ( x) y es finito x→ x0

3. Esos dos valores deben coincidir: lim f ( x) =f(xo) x→ x0

2x + 3 x < 1 Ejemplo1: Comprueba que la función f ( x) =  2 es continua en xo=1. x + 4 x ≥ 1

2. Continuidad en un intervalo A) Continuidad lateral 1. Una función f es continua por la izquierda en un punto a si se verifica: lim− f ( x) = f (a) x→a

2. Una función f es continua por la derecha en un punto a si se verifica: lim+ f ( x) = f (a) x→a

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IBR-IES LA NÍA

CONTINUIDAD

MATEMÁTICAS II

B) La definición de continuidad puede ser ampliada a un intervalo. Para que f(x) sea continua en un intervalo: 1. Debe ser continua en todos los puntos de su interior ]a,b[ (intervalo abierto). 2. Si el intervalo tiene algún extremo cerrado, por ejemplo [a,b], puesto que sólo se puede calcular un límite lateral, se debe cumplir: lim+ f ( x) = f (a) y lim− f ( x) = f (b) (es continua por la derecha en a y por la x→a

x →b

izquierda en b) Ejercicios: 1º) Observa la gráfica de la función y contesta si f(x) es continua o no en los intervalos siguientes: ]a,b[, [a,b], [a,b[, ]a,b], ]b,c[, [b,c[ ]b,c], ]c,d], [c,d], [b,d[, ]b,d]

x ≤ −2 1  2 2º) Estudia la continuidad en el intervalo [-2,1] de f ( x) =  x − 2 < x ≤1 3 x >1  3º) Estudia la continuidad de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: x −2  x − 5 5 x=3   2 c. f ( x) =  x − 2 x − 3 x≠3  x − 3 d.

f ( x) = x 2 − 1

9º) Dada la función f ( x) = en x=−1.

2x + 2 , razona qué valor debería tener f(-1) para que f(x) fuera continua x2 −1

10º) Halla los valores de k para que f ( x) = salto infinito en x=−2. [ k ≠ 4 ]

3x 2 + 4 x − k tenga una discontinuidad no evitable de 2x + 4

 x  x