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CURSO 2014/15

TEMA 1: Funciones elementales 8.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN: Una función es una ley que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro. Con esto una función hace que estos dos elementos estén relacionados. En el caso de ambos conjuntos sean los números reales se llamará función real de variable real. Habitualmente lo expresamos y = f(x) y se lee: “ y es igual a f de x “ ó “ y es función de x”, asimismo la “x” se llama variable independiente y la “y” variable dependiente. 8.1.1. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES Función polinómica de grado 1 ó 0 Son todas aquellas del tipo f (x ) = ax + b (grado 1) ó f (x ) = b (grado 0) Su representación gráfica coincide con una recta, oblicua en el primer caso y horizontal en el segundo. El número a se llama pendiente de la recta y representa la inclinación, que como ya estudiamos en el curso pasado coincide con la tangente trigonométrica del ángulo que forma con el eje x , y el número b se llama ordenada del origen, y es el punto por donde corta al eje y. Para representarlas basta hacer una pequeña tabla de valores o bien interpretar los conceptos de pendiente y de ordenada del origen. Ejemplo 1: Representar la función y = 2x − 3

Si utilizamos la tabla de valores, bastara con dar dos valores de la variable x y obtener los correspondientes de y, luego se sitúan en unos ejes coordenados y se traza la recta.

x 0 2

y -3 1

Si utilizamos el concepto de pendiente, tendremos en cuenta que partimos del valor -3 en el 2 eje y. Y luego la inclinación es de ; es decir cada unidad de avance en el eje x supone dos de 1 avance en el eje y

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Función polinómica de grado 2 Son las del tipo f (x ) = ax 2 + bx + c , su representación gráfica se llama parábola.

El valor a representa si es cóncava o convexa y el valor c, es también la ordenada del origen. Para representarla bastará con −b ) y los puntos de corte con el eje x (resolver la ecuación determinar el vértice ( xv = 2a ax 2 + bx + c = 0 )

Ejemplo 2: Representar la función y = x 2 + x − 2

En este caso a = 1; es decir la parábola es cóncava.

Para determinar el punto vértice hacemos: −b −1 = y sustituimos este valor 2a 2 en la ecuación de la parábola, es decir: xv =

2

1 5  −1 yv =   + −2 = − 2 4  2 

Y, por último, para los puntos de corte hacemos:

Con el eje X: Resolvemos la ecuación: x 2 + x − 2 = 0 , que tiene por soluciones x = 1, x = -2 Con el eje Y: Basta sustituir la variable por x = 0 y se obtiene que y = -2

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Funciones racionales Son un conjunto muy amplio de funciones, aquí estudiaremos solamente las del tipo f(x) =

k xn

Si n es impar, su representación gráfica se llama hipérbola y estará en los cuadrantes primero y tercero o en el segundo y cuarto, según el valor de K que sea positivo o negativo. Para n par, no tiene nombre específico, pero siempre estará en los cuadrantes primero y segundo o bien en el tercero y cuarto. Su representación gráfica puede hacerse a partir de una pequeña tabla de valores o bien “a ojo” porque ya sabemos que tiene que salir.

Funciones exponenciales Solamente estudiaremos aquí las del tipo f (x ) = k ·a x .

Puesto que a x es un número positivo independientemente del valor de x, su gráfica estará o totalmente por encima del eje x (k > 0) o totalmente por debajo (k < 0). Se diferencia de las otras en el comportamiento para valores muy grandes o muy pequeños de x, que en general no es igual, mientras por un lado toma valores muy grandes, por el otro toma valores muy próximos a cero. Para representarlas o hacemos una pequeña tabla de valores o la dibujaremos a ojo, porque ya sabemos qué forma va a tener.

Funciones logarítmicas Son las del tipo: f (x ) = loga (x ) Teniendo en cuenta que y = loga x ⇔ a y = x , se ve claramente que es la inversa de la función anterior. Una propiedad importante de los logaritmos: loga 1 = 0 , nos indica que corta al eje X en el punto (1, 0). Para dibujarlas podemos hacer una pequeña tabla de valores, aunque “a ojo” es más sencillo porque todas son similares.

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Funciones trigonométricas A partir de las tablas de la circunferencia goniométrica y de las razones de los ángulos conocidos del primer cuadrante, con una pequeña tabla de valores es muy sencillo la representación. Las tres funciones son cíclicas, es decir, se va repitiendo según una secuencia determinada.

Otras funciones importantes:

Función valor absoluto.

 x x≥0 f(x) = x =  − x x < 0

Su gráfica es:

f(x)=|x|

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 f(x) f(x) ≥ 0 . − f(x) f(x) < 0

En general: f(x) = 

Para representar gráficamente la función anterior, primero representamos f(x), y luego, por simetría, la gráfica que se encuentre en la parte negativa del eje Y, la colocamos en la parte positiva del eje Y. Veámoslo con un ejemplo. Ejemplo :

f(x) = x − 4

Por definición

=

x−4≥0  x−4 x≥4  x−4 =  − (x − 4 ) x − 4 < 0 − x + 4 x < 4

Dom f = Dom(x − 4 ) = ℜ Veamos su gráfica:

f(x)=|x−4|

4 4 −4

Función parte entera. La parte entera de un número real x es el mayor número entero menor o igual que el número x. Por lo que, por ejemplo: E[3´48] = 3

E[0] = 0

E[−0´36] = −1E[−2´3] = −3

Con esto, la función parte entera queda definida como sigue:

...  ...  − 2 − 2 ≤ x < −1  − 1 − 1 ≤ x < 0  0≤x