Matemáticas II

Profesora: María José Sánchez Quevedo

RESUMEN DE FUNCIONES. LIMITE Y CONTINUIDAD DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto D de los números reales en un subconjunto I de los números reales, tal que, a cada elemento del conjunto D, que notaremos genéricamente x, variable independiente, le hace corresponder un único elemento de I, que notaremos y o f(x) llamado variable dependiente. f :DI donde D  R, I  R x  y  f ( x)

Si corresponde a la gráfica de una función.

No corresponde a la gráfica de una función.

DOMINIO DE DEFINICIÓN Y CONJUNTO IMAGEN D f  x  R /  f  x   Im f   y  R /  x  D f / f  x   y

D f  R \ 1

Df  R

Im f   , 4   0,  

Im f   5,  

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sean f y g dos funciones reales de variable real, la función compuesta f  g se define como f  g x   f g x 

Df

g

 x  Dg /  f ( g ( x))

FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA Sean f una función real de variable real, la función recíproca de f, y se escribe f 1 , es tal que f f 1  x   x El dominio de definición de la función f pasa a ser el recorrido de la recíproca f 1 y el recorrido de la directa f pasa a ser el dominio de definición de la recíproca f 1 .

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No existe la recíproca de una función si para un valor de la variable “y” existen dos valores para la variable “x”. Esto es, para que una función tenga recíproca a un valor de la imagen no pueden corresponderles dos valores distintos de x:

Para un valor de “y” hay varios valores de “x” tal f(x) = y. No tiene recíproca.

Para un valor de “y” hay un único valor de “x” tal f(x) = y. Tiene recíproca.

Como un punto (a, b) de f le correspondería el punto (b, a) en f 1 , entonces se tendrá que la grafica de la función directa f y la de su recíproca f 1 son simétricas respecto de la bisectriz primer-tercer cuadrante

MONOTONÍA  Se dice que la función f es monótona creciente en el intervalo [a, b] si se verifica  x1 , x2  a, b / x1  x2  f x1   f x2  Si la desigualdad f x1   f x2  es estricta se dice que es estrictamente creciente. 

Se dice que la función f es monótona decreciente en el intervalo [a, b] si se verifica  x1 , x2  a, b / x1  x2  f x1   f x2  Si la desigualdad f x1   f x2  es estricta se dice que es estrictamente decreciente. TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO [a, b] Se define la Tasa de Variación Media de la función f en un intervalo [a, b] como: f (b)  f (a) TVM  f ( x), [a, b]  ba representa el valor de la pendiente de la recta que une los puntos P = [a, f(a)] y Q = [b, f(b)], 2

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esto es, el valor de la tangente del ángulo que forma la recta con eje OX+. Desde el punto de vista físico la TVM  f (x),[a, b] representa lo que ha variado la función “en media” en el intervalo [a, b]. SIMETRÍA  Función Par Una función f se dice par o simétrica respecto del eje OX (abcisas) cuando f ( x)  f ( x) Ejemplo: Comprobar que la función f ( x)  x 2 es par. En efecto: f ( x)   x   x 2  f x  2

 Función Impar Una función f se dice impar o simétrica respecto del origen O de coordenadas cuando f ( x)   f ( x) Ejemplo: Comprobar que la función f ( x)  x 3 es impar. En efecto: f( x)   x    x 3   f  x  3

SIGNO DE UNA FUNCIÓN Una función f es definida positiva en un intervalo [a, b] si para todo “x” de dicho intervalo se verifica que f(x) es mayor o igual a 0: f ( x) definida positiva en [a, b] si x  [a, b], f ( x)  0

Una función f es definida negativa en un intervalo [a, b] si para todo “x” de dicho intervalo se verifica que f(x) es menor o igual a 0: f ( x) definida negativa en [a, b] si x  [a, b], f ( x)  0

PERIODICIDAD Una función f es T-periódica si para todo “x” de su campo de existencia se tiene que: f ( x)  f ( x  T )  f ( x  2T )  ........  f ( x  kT ) con T  R

Ejemplo: la función f ( x)  sen x es periódica de periodo T  2 puesto que: f ( x  2 )  sen ( x  2 )  sen x  f ( x) ACOTACIÓN

K es cotasuperior de f (x)  x D es f (x)  K

Cualquier nº mayor que una cota superior también es una cota superior. A la menor de las cotas superiores se le denomina supremo. Si la función alcanza, para algún valor de “x”, el valor del supremo, entonces se le denomina máximo absoluto. 3

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Ejemplo: consideremos la función f ( x)  sen x , observamos que alcanza un máximo  absoluto para los puntos de la forma x   2 2

K es cota inferior de f ( x)  x  D

es

f ( x)  K

Cualquier nº menor que una cota inferior también es una cota inferior. A la mayor de las cotas inferiores se le denomina ínfimo. Si la función alcanza, para algún valor de “x”, el valor del ínfimo, entonces se le denomina mínimo absoluto. Ejemplo: consideremos la función f ( x)  sen x , observamos que alcanza un mínimo 3 absoluto para los puntos de la forma x   2 2

Si existe cota superior se dice entonces que la función f está acotada superiormente, si existe cota inferior se dice que está acotada inferiormente y si estén ambas se dice entonces que f está acotada. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se dice que límite cuando “x” tiende al valor “a” de f(x) es “L” si cuando los valores de abcisas se aproximan al valor “a” entonces las respectivas ordenadas tienden a aproximarse al valor “L”, se escribe: lim f ( x)  L x a

LIMITE EN EL INFINITO Diremos que el límite cuando “x” tiende a “+∞” de f(x) es “L” si cuando los valores de abcisas se hace cada vez más grandes a “+∞” entonces las respectivas ordenadas tienden a aproximarse al valor “L”, se escribe: lim f ( x)  L análogamente lim f ( x)  L x 

x 

Diremos que el límite cuando “x” tiende a “∞” de f(x) es “∞” si cuando los valores de abcisas tienden a “∞” entonces las respectivas ordenadas tienden a “∞”, esto es, se hacen cada vez más grandes (positivas o negativas), se escribe: lim f ( x)   x 

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0  CASOS DE INDETERMINACIÓN  ,  , 0   ,    , 0 0 , 1 ,  0  0  RESOLUCIÓN: p( x)  0  0 1. INDETERMINACIÓN   (cociente de funciones polinómicas) lim   x a q ( x) 0 0 Se divide el numerador y el denominador por x – a aplicando Rufini.

Tener en cuenta los casos en los que hay que distinguir límites laterales porque sale K (signo  signo ?  0 p ( x)     2. INDETERMINACIÓN   (cociente de func polinómicas) lim   x   q( x)     Para resolver la indeterminación se divide el numerador y el denominador por la potencia de “x” de mayor grado. Regla:   

Cuando el grado del numerador es mayor que el del denominador el límite es más o menos infinito, según el signo del cociente “+” o “– “ de los términos directores del numerador/denominador. Si son de igual grado, el límite es el cociente entre los coeficientes de los términos directores. Cuando el grado del numerador es inferior al del denominador, el límite es 0.

p( x)  0  0 3. INDETERMINACIÓN   (con expresiones radicales) lim   x  a q( x)  0  0 Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por la expresión radical conjugada.

4. INDETERMINACIÓN     (diferencia de infinitos del mismo signo con expresiones radicales) Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por la expresión radical con jugada. Si posteriormente queda una indeterminación   entonces se divide nume rador y denominador por la mayor potencia.

 

 5. INDETERMINACIÓN 1

n

1  Se resuelve, teniendo en cuenta que lim  1    e n  n  La indeterminación la resolveremos de la siguiente forma: lim g ( x )  f ( x ) 1

lim f ( x) g ( x )  1  e xx0

x  x0

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CONTINUIDAD Se dice que una función f es continua en el punto x = a, cuando al pasar por las “inmediaciones” de “a”, no se levanta el trazo del papel.  f (a) , esto es, la función está definida en x = a  lim f ( x)  l x a

f (a)  l

f x   C x   lim f ( x)  f (a) x a

Las funciones polinomicas son continuas en todo su dominio. Las funciones racionales son continuas en todos los puntos excepto en aquellos que anulan al denominador. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO [a, b] Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] cuando: 1. Es continua en el abierto (a, b): f ( x)  C a, b 2. En el extremo x = a es continua por la derecha: f ( x)  C a  , esto es: lim f ( x)  f (a)

 

x a 

3. En el extremo x = b es continua por la izquierda: f ( x)  C b  esto es: lim f ( x)  f (b)

 

x b 

TIPOS DE DISCONTINUIDAD Recordamos que

f (x) C  x    lim f (x)  f (a) x a

DISCONTINUIDAD EVITABLE

 lim f ( x)  l x a

pero l  f (a)

Se denomina evitable porque se puede definir una función que sea continua en x = a asignándole el valor “l” en x = a:  f ( x) si x  a g ( x)   si x  a l

1

DISCONTINUIDAD DE SALTO FINITO

 lim f (x)  l   lim f (x)  l  pero l   l  x a

x a

Salto  l   l  6

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DISCONTINUIDAD DE SALTO INFINITO Al menos, uno de los límites laterales es infinito.

lim f (x)   o

x a

lim f (x)  

x a

DISCONTINUIDAD ESENCIAL

Diremos que una función f tiene una discontinuidad de tipo esencial en x = a, si alguno de los límites laterales no existe (no es finito ni infinito), independientemente de que la función esté definida o no en ese punto. 1 NO EXISTE EL lim f ( x)  lim sen   x 0 x 0  x RESULTADO Queremos obtener el lim f ( x)  g  x  x a

y es tal que lim f ( x)  0 y no existe lim g ( x) x a

x a

pero la función g(x) permanece acotada en un entorno de a, entonces se verifica que: lim f ( x)  g  x   0 x a

Ejercicio: Estudia la continuidad de la función f definida por:

1 f x   x 3  sen    x

1 1º)  x  R / xf  x   x3  sen   x La función no está definida en x = 0 por tanto Estudiemos el límite cuando x  0

 1 1 x 3  sen    lim x 3  lim sen    0   m  0  xlim  0 x 0 x 0  x   x     Tiende a 0 No existe el limite, pero  está acotada -1  m  1 1 lim f ( x)     lim x 3  sen    0 x 0 x 0  x  lim x 3  sen  1   lim x 3  lim sen  1   0   m  0     x 0 x 0 x 0  x   x     Tiende a 0 No existe el limite, pero está acotada -1  m  1  En x  0 la función presenta una discontinuidad de tipo evitable definiendo f(0)  0 Ejercicio: Estudia la continuidad de la función f definida por:

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1  x 1  e x0  1 f x    x 1  e 0 x0 1 x0 está bien definida x

1

Veamos si se anula el denominado r

1

1

1 e x  0  1  e x

 e0  e x



1 0 x

 x  0 f x   C x  por estar bien definida la función y ser continua en su campo de existencia. Veamos si es continua la función en x = 0: 1 1     x x  1 e   1 e  1  1 1  1   1   ex   ex ex  1 e x 1 e0 1  e        lim   lim      xlim 1 1    1 1 x  0  0 x  0 1  e         x x 1 e x 1 e0  1 e   1 e  1 1 1      ex   ex ex      1    1x    0 e  1  e  1      e  1   0  1  1  lim  1    1   x 0      0   e   1  0  1 x  e  1  e  1     1 1    1  e x  1  e 0   1  e   1  0  lim      1 1 1    x 0  1 0   1  e    x 0 1 e  1 e 

Por tanto no existe el lim f ( x) , x0

f x   C 0 , presenta en x = 0 una discontinuidad

de salto finito: s   1  1  2 Ejercicio: Estudia la continuidad de la función f definida por:  1  sen  x     x0 f x    1 x  1 e  0 x0 

x0

1 está bien definida x

Veamos si se anula el denominado r  1  e

1 x

1 x

1 e  0 1 x

pero no es posible pues e  0

1 x

Luego 1  e  0  x  0 8

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Por lo tanto, se tiene que  x  0 f x   C x  por estar bien definida la función y ser continua en su campo de existencia. Veamos si es continua la función en x = 0:

f 0   0    lim  x 0    lim f ( x)   x 0     lim  x 0   

1 1 sen   sen    x   lim  x   lim 1 1   1 e x

x 0

1 e x

 1 1   lim sen      1 1 x 0 x 0  x   x 0    1  e No existe el limite pero  1  e  1

Tiende a 0

    m    

está acotada -1  m  1

1  1     1    m       m        m   0  m  0    1 e   1     1 sen    x   lim 1  lim sen  1     1   m  No existe el lim ite    1 1   x 0  x 0  x 1  e      1 e x 1  ex Noexiste  el limite pero Tiende a 1

Por tanto no existe el lim f ( x) , x0

está acotada -1  m  1

f x   C 0 , presenta en x = 0 una discontinuidad

esencial TEOREMA DE BOLZANO Sea f una función continua en un intervalo cerrado a, b y tal que en los extremos toma valores de signos opuestos, esto es f a   f b  0 , entonces existe al menos un punto x0  a, b  en el que la función f se anula: f x   Ca, b / f a   f b  0   x0  a, b / f x0   0

Ejercicio: Demostrar que la ecuación  x  e tiene una solución en el intervalo 0, 1 Consideramos la función f x    x  e en el intervalo 0, 1 , tenemos que:

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Hipótesis del Teorema de Bolzano : f x   C x 

  f 0    e  1  e  0    x0  0, 1 / f x0   0 esto es :  x0  e  0   x0  e f 1   1  e    e  0 0

Por lo tanto queda demostrado que la ecuación  x  e tiene solución el el intervalo 0, 1

TEOREMA DE DARBOUX Sea f una función continua en un intervalo cerrado a, b (supongamos que f a   f b ) y sea “   R ” tal que f a     f b , entonces existe al menos un punto x0  a, b  tal que f x0    :



f x   Ca, b,   R / f a     f b    x0  a, b  / f x0   

x0 TEOREMA Sea f una función continua en un intervalo cerrado a, b entonces la función f está acotada en dicho intervalo: f x   Ca, b  f x  está acotada en dicho intervalo TEOREMA DE BOLZANO-WEIRSTRASS Toda función f continua en un intervalo cerrado a, b alcanza el valor máximo y el valor absoluto en dicho intervalo: f x   Ca, b  f x  alcanza en a, b el M a y el m a

M absoluto

mabsoluto



f    M absoluto f    mabsoluto



¿Dónde puede alcanzar la función el valor máximo y mínimo absolutos? 1. En los extremos del intervalo, para ello, evaluaremos f(a) y f(b).

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2. En puntos del interior del intervalo en donde f es derivable, estarán, de entre los puntos que anulan a la primera derivada. Evaluaremos la función en esos puntos. 3. En puntos del interior del intervalo en donde f no es derivable, con derivadas laterales de signos contrarios. Evaluaremos la función en esos puntos. 4. De la evaluación de todos los “candidatos anteriores” deduciremos en qué puntos lo alcanza.

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