UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE BOLIVAR UNIDAD DE ESTUDIOS BASICOS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS AREA DE MATEMATICA

CURVATURA EN COLUMNAS

Presentado por: Prof. Cristian Castillo  Olivera Ricardo C.I. 20557339 Sección 02  Jimenez Ángel C.I. 21007479  Urban Marines C.I. 21110248

Ciudad Bolívar, Marzo 2010

Curvatura en Columnas En el siglo XVIII Leonhard Euler fue uno de los primeros matemáticos en estudiar un problema de valores propios al analizar cómo se curva una columna elástica esbelta sometida a una fuerza axial de compresión. Una columna es un elemento estructural vertical diseñado para soportar cargas. Examinemos una columna vertical larga y esbelta de sección transversal uniforme de longitud L la cual está asegurada en los puntos 0 y R. Esta viga está inicialmente derecha de modo que su eje (o curva elástica) coincide con el eje x tomado en la dirección hacia abajo como se muestra en la figura

a.

Debido a una carga axial de

magnitud constante P suponga que la viga sufre una deflexión como se muestra exagerada en la figura b.

0 0

R

Fig. a

R

Fig. b

Formulación matemática: para encontrar la magnitud de esta deflexión. Sea y(x) la curvatura de la columna al aplicarle una fuerza vertical de compresión, o carga P, en su extremo superior (Fig. b). Al comparar los momentos flexionantes en cualquier punto de la columna obtenemos:

Donde E y l son constantes, siendo E es el módulo de elasticidad de Young, l es el momento de inercia de una sección transversal con respecto a una recta vertical por el centroide y M(x) es el momento flexionante de una sección de la viga a la distancia x del extremo 0. Este momento flexionante se ve de la figura que tiene una magnitud igual a la fuerza P multiplicada por la distancia y de la sección a la línea de acción de la 2

2

fuerza. Sin embargo, puesto que la tasa de cambio de la pendiente (esto es, d y/dx ) se ve que es negativa, debemos tener M(x) = - Py así que:

Puesto que el extremo de la viga tiene cero deflexión en x = 0 y x = L, debemos también tener y(o)= 0 ; y(L) = 0

Para determinar la desviación de una columna homogénea, delgada y vertical de altura L, sometida a una carga axial P constante. La columna se encuentra articulada en sus dos extremos.

SOLUCIÓN El problema de valor en la frontera que se debe resolver es:

Donde

y

= 0 es una solución válida para este problema. Tiene la sencilla

interpretación que si la carga P no es suficientemente grande, no hay deflexión. La pregunta, entonces, es la siguiente: ¿Para qué valores de P se curva la columna?

Hacemos la sustitución λ = P/EI y vemos que:

Cuando λ > 0, la solución general de

Como antes,

es:

conduce a A = 0, pero

Si B = 0, se tiene y = 0; pero, si B ≠ 0, entonces

implica que:

. La última

condición indica que el argumento de la función seno ha de ser un múltiplo entero de π.

Por lo tanto, para todo real B distinto de cero,

es una solución

del problema para cada n. Puesto que la ecuación diferencial es homogénea, no necesitamos escribir B si así lo deseamos; en otras palabras, para un número dado de la sucesión:

La función correspondiente en la sucesión:

Es una solución no trivial del problema original. Como las curvas de desviación son a los valores propios:

que corresponden

Esto qu5iere decir, físicamente, que la columna se desvía solo cuando la fuerza de compresión tiene uno de los valores

Esas fuerzas se llaman cargas críticas. La curva de deflexión que corresponde a la mínima carga crítica,

se denomina carga de Euler y es:

Esta función se conoce como primer modo de desviación. Donde los coeficientes que pueden depender de n se denotan por Bn.

En las siguientes figuras vemos las curvas de desviación que corresponden a n =1, n =2 y n = 3. Si la columna original tiene algún tipo de restricción física o guía en x = L/2, la carga critica mínima será

, y la curva de deflexión será la de la

mostrada en la figura (2). Si se ponen guías a la columna en la columna no se desviará sino hasta aplicarle la carga crítica

y en

, y la

curva de desviación será la que se ilustra en la figura (3).

Interpretación: Físicamente, los valores de P (eigenvalores) dados por la ecuación 1 representan las cargas críticas P1, P2, P3, para las cuales las correspondientes deflexiones (eigenfunciones) están dadas por la ecuación 2. Para una carga dada P< P1 la cual es la carga crítica más pequeña, la deflexión es cero, así que la viga puede soportar tal carga. Para P= P, la viga se pandeará como se indica en la Figura 1(o en la dirección opuesta), esto es, la viga fallará a soportar la carga P. Para prevenir tal pandeo es necesario proporcionarle un apoyo en el punto medio x = L/2 de la viga para que no ocurra deflexión. Si esto se hace la viga no se pandeará como se muestra en la Figura 1 hasta que se alcance la carga crítica P. La carga P, hace que la viga se pandee de la manera como se muestra en la Figura 2 de modo que la viga falla a soportar la carga P. Para prevenir este doblamiento, sin embargo, podemos proveer dos apoyos adicionales en x = L/3 y x = 2L/3. Si esto se hace la viga no se doblará hasta que se alcance la

carga crítica P, y esto a su vez causa pandeo como se muestra en la Figura 3. Continuando el proceso de apoyos adicionales se permiten cargas críticas más grandes.

y

L

Fig. 1

Fig. 2

X

X

y

Fig. 3

Ejercicio: Discuta el problema de pandeo de viga para los casos a) n = 4; (b) n =5.

-.Solución:

Si la columna original tienen algún tipo de restricción física o guía en

x=L⁄4 , x=L⁄2 y x=3L⁄4 Para n=4 y la carga crítica será de:

Para el valor de n=5 la columna original tienen algún tipo de restricción física o guía en

la carga crítica será: