Pontificia Universidad Cat´olica de Chile Escuela de Ingenieria / Facultad de F´ısica IEE1133/FIZ1433 Materiales El´ectricos Profesor: Roberto Rodriguez

Ayudant´ıa 7: Diodo Schottky y fotodetecci´ on. Joaqu´ın Arancibia: [email protected] Fabi´an C´adiz: [email protected]

1.

Curvatura de bandas

Supongamos que a un electr´on en un cristal semiconductor se le superpone el efecto de un potencial exterior φ(~x) que var´ıa muy lentamente en comparaci´on a la distancia interat´omica. Esto equivale a agregar al hamiltoniano una perturbaci´on de la forma −eφ(~x), y se obtiene entonces una nueva ecuaci´on de Schrodinguer:   0 ˆ H0 − eφ(~x) ψn,~k (~x) = En,~k ψn,~k ˆ 0 es el hamiltoniano del cristal. Los niveles de energ´ıa y los autoestados ser´an levemente donde H modificados en la medida que la perturbaci´on sea peque˜ na. Es posible demostrar que a primer orden, para un paquete de ondas electr´onico centrado en ~x y de momentum cristalino ~k, las energ´ıas en la banda de conducci´on y de valencia est´an dadas por: Ec (~k, ~x) ≈ Ec +

~2 k 2 − eφ(~x) 2mc

~2 k 2 Ev (~k, ~x) ≈ Ev − − eφ(~x) 2mv Se ve entonces que la energ´ıa de un electr´on en el cristal depende ahora del espacio, y la estructura de bandas var´ıa entonces con la posici´on, obteni´endose as´ı una curvatura en la estructura de bandas. En una cierta posici´on del cristal, digamos ~x, la estructura de bandas 2 2 tiene la forma Ec + ~2mkc − eφ(~x), es decir, se ha agregado una constante respecto al caso en que φ = 0. Al equilibrio termodin´amico, el nivel de Fermi debe ser constante en todo el cristal, de forma que la densidad de electrones en la banda de conducci´on en la posici´on ~x ser´a: n(~x) = Nc e

−

Ec (~ x)−EF kB T

= Nc e

−

Ec −EF kB T

eφ(~ x)

e kB T

eφ(~ x)

n(~x) = n0 e kB T donde n0 es la densidad de electrones que existir´ıa en la ausencia del potencial externo φ. An´alogamente, para la densidad de agujeros: p(~x) = Nv e

Ev −EF kB T

e

eφ(~ x) BT

−k

= p0 e

eφ(~ x) BT

−k

En la figura ?? se muestra el m´ınimo de la banda de conducci´on y el m´aximo de la banda de valencia en funci´on de la posici´on (coordenada horizontal) para un cierto potencial arbitrario φ(~x). Cuando eφ(~x) es positivo, la densidad de electrones aumenta respecto al caso φ = 0, mientras que la de agujeros disminuye, se dice entonces que existe una acumulaci´on de electrones. Al contrario, si eφ(~x) es negativo, en esa zona existen m´as agujeros y menos electrones que en el caso sin perturbaci´on, se tiene entonces una depleci´on de electrones.

A partir de esto podemos notar que al imponer variaciones de potencial en un semiconductor, se puede modular la densidad local de portadores (y por lo tanto la conductividad el´ectrica) en decenas de o´rdenes de magnitud. En efecto, si eφ(~x) = −1 V olt, a temperatura ambiente kB T = 25 meV , y entonces eeφ/kB T = e−30 ≈ 3 × 10−18 !!!. Esto explica por qu´e se utilizan semiconductores para aplicaciones l´ogicas: diferencias de potencial relativamente peque˜ nas cambian dr´asticamente la conductividad del material. Se puede observar adem´as que se sigue teniendo: n(~x)p(~x) = Nc Nv e−Eg /kB T = n2i

2.

Juntura metal-semiconductor

Esta estructura, llamada contacto o juntura Schottky, est´a constitu´ıda por una capa met´alica depositada sobre un semiconductor de tipo n o p (dopado). Esta juntura juega un rol importante en ciertos transistores a efecto campo. Antes de entender su funcionamiento, debemos enunciar ciertas definiciones para los metales y los semiconductores. Para un metal, la funci´ on de trabajo eφm es la energ´ıa necesaria para remover un electr´on desde el metal al vac´ıo. La funci´on de trabajo est´a relacionada con la energ´ıa de Fermi del metal, y en la siguiente tabla se muestra la funci´on de trabajo para distintos metales. Metal eφm Plata Aluminio Cobre Oro N´ıquel

(eV) 4,26 4,28 4,7 5,1 5,15

Para un semiconductor, la afinidad electr´ onica es la diferencia entre el vac´ıo y el extremo de la banda de conducci´on, Ec . La siguiente tabla muestra la afinidad electr´onica eχ para distintos semiconductores.

2

Semiconductor eχ (eV) AlAs 3,5 Si 4,01 GaAs 4,07 Ge 4,13 Imaginemos ahora separadamente un metal con cierta funci´on de trabajo eφm , nivel de fermi EF al equilibrio termodin´amico, y un semiconductor dopado (por ejemplo, tipo n), caracterizado por una afinidad electr´onica eχ y un nivel de Fermi en r´egimen extr´ınseco EF > EF i (Donde EF i es el nivel de Fermi intr´ınseco). Esta situaci´on se ilustra en la figura 1.

Figura 1: Un metal (izquierda) y semiconductor tipo n (derecha) al equilibrio termodin´amico. Al unir el metal con el semiconductor, intercambiar´an part´ıculas hasta que el nivel de fermi sea constante en toda la estructura. En efecto si eφm > eφs = eχ + (Ec − EF ), en la cercan´ıa de la juntura los electrones del semiconductor saltan al metal (ya que el nivel de Fermi del semiconductor es mayor que el del metal, antes del equilibrio), produci´endose en esta zona una regi´on en donde la densidad de electrones libres baja dr´asticamente, llamada zona de depleci´ on. Un potencial electrost´atico no homog´eneo (y por lo tanto un campo el´ectrico) se crea en el semiconductor, que se anula suficientemente lejos de la juntura, donde la densidad de electrones es la misma que habr´ıa sin la existencia del metal. En el equilibrio termodin´amico, la corriente de difusi´on desde el semiconductor hacia el metal se cancela con la corriente generada por el campo el´ectrico en la zona de depleci´on, que mueve electrones desde el metal hacia el semiconductor. Esta situaci´on se ilustra en la figura 2. La distancia banda de conducci´on-nivel de Fermi, que gobierna la densidad de electrones libres, es necesariamente m´as grande en la vecindad de la interfaz (en la zona de depleci´on) en comparaci´on a la parte neutra del semiconductor. Aparece entonces una curvatura hacia arriba en la banda de conducci´on, y una curvatura equivalente en la banda de valencia, ya que el gap Eg es constante. En el metal, hay una acumulaci´on de electrones en la interfaz, la carga total Q en el metal ser´a igual y de signo opuesto a la carga que aparece en el semiconductor. Los electrones en el metal deben superar una barrera de potencial eφB0 = eφm −eχ para pasar al semiconductor. Los electrones en el semiconductor deben superar una barrera eVbi = eφB0 −eφn , donde φn fue calculado en la ayudant´ıa anterior, para un semiconductor tipo n en el r´egimen extr´ınseco:   Nc φn = Ec − EF = kB T ln Nd

3

Figura 2: La juntura Schottky al equilibrio termodin´amico.

3.

Ancho de la zona de depleci´ on

Para el c´alculo exacto del ancho de la zona de depleci´on (llamado W ), debemos encontrar el potencial electrost´atico al interior del semiconductor e imponer las condiciones de borde φ(0) = φa (superficie met´alica) y φ(W ) = 0. La densidad de carga en la zona de depleci´on est´a dada por:
ρ(x) = e ND+ − n(x) con n(x) la densidad de electrones, y hemos despreciado la densidad de agujeros. En el r´egimen extr´ınseco, ND+ = ND , y n(x) = ND eeφ(x)/kB T , luego:
ρ(x) = eND 1 − eeφ(x)/kB T El campo el´ectrico al interior de la zona de depleci´on est´a dado por la ley de Gauss: d ρ(x) E(x) = dx 0 r y como

dφ dx

= −E, se obtiene:
eND d2 φ(x) = − 1 − eeφ(x)/kB T 2 dx 0 r

En la pr´actica, no es una ecuaci´on f´acil de resolver anal´ıticamente. Por esto constru´ımos una soluci´on aproximada: dado que la densidad de electrones var´ıa bruscamente (exponencialmente) con el potencial, consideramos que en la zona de depleci´on la densidad de electrones es despreciable, y entonces:  0 x>W ρ(x) = eND 0 < x < W El campo el´ectrico es entonces: d ρ E(x) = dx 0 r d φ(x) = −E(x) dx

 D E(x) = eN (x − W ) x>0 0 r E(x) = 0 0