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Sistemas S ste as de Pérdidas é d das y la a Fórmula ó ua de Erlang-B Jhon Jairo Padilla A., PhD.
Introducción
Ahora se considerará la teoría de teletráfico clásica desarrollada por Erlang (Dinamarca), Engset (Noruega) y Fry & Molina (USA). Esta teoría ha sido aplicada satisfactoriamente durante más de 80 años a sistemas de pérdidas. La base de toda esta teoría es la fórmula Erlang-B.
La Fórmula Erlang-B Erlang B
La fórmula Erlang-B está basada en el siguiente modelo:
Tráfico (Comportam. Usuarios)
Estructura (Hardware)
Estrategia (Software)
La Fórmula de Erlang B
A esta situación se le llama Modelo d Pé de Pérdidas did de d Erlang El o Modelo M d l BCC (Blocked Calls Cleared)
Estructura: Se considera un sistema de n canales idénticos (servidores, troncales, ranuras) trabajando en paralelo. A esto se le llama un grupo Homogéneo. Estrategia: Cuando llega una ll llamada d all sistema, esta es comunicaciones/seg aceptada para darle servicio si al menos hay un canal ocioso. Si todos los canales están ocupados, el sistema estará congestionado y el intento de llamada será bloqueado. Ell intento de llamada bloqueada desaparece sin dejar efecto.
s seg/comunicación s 1 s 2 s n
n Servidores
Búsqueda de canales
La búsqueda de un canal ocioso dentro del conjunto de canales puede hacerse de varias formas:
Búsqueda aleatoria: Se escoge aleatoriamente entre los canales ociosos. En media, cada canal tendrá el mismo tráfico. Búsqueda ordenada: Los canales son numerados 1,2,…,n 1 2 n y se busca un canal ocioso en este orden, iniciando por el canal uno (búsqueda ordenada con punto inicial). También se conoce como búsqueda secuencial. Por tanto, los primeros canales tendrán en media más tráfico que los últimos canales. Búsqueda cíclica: Es similar a la búsqueda ordenada pero sin ppunto inicial. Se continúa la siguiente g búsqueda q partiendo p del punto p donde quedó la anterior. En media, cada canal tendrá el mismo tráfico.
Se asume que las búsquedas toman un instante de tiempo y si no hay canales se bloquea la llamada, por lo que no afectan la probabilidad de bloqueo.
La fórmula de Erlang B
Tráfico:
Se asume que los tiempos de servicio son exponencialmente distribuidos, con tasa de servicio (tiempo de servicio 1/). El proceso d de llegadas ll d es un Proceso P de d Poisson P con tasa de d llegadas . A este tipo de tráfico se lo conoce como PCT-I PCT I (Pure Chance Traffic type One)
Definición del tráfico ofrecido
Es el tráfico transportado cuando el número de canales es infinito f ( puede transportar todo el tráfico (se áf de los usuarios). ) El tráfico ofrecido será entonces el número medio de ll llamadas d por ell ti tiempo d de servicio i i medio: di Si ell número ú d de canales l es iinfinito, fi i la l distribución di ib ió d de salidas lid será de Poisson. Si el número de canales es finito, finito la distrib distribución ción de salidas será una Distribución de Poisson Truncada. Este modelo es insensible a la distribución del tiempo de servicio. Sólo afecta el valor medio del tiempo de servicio.
Medidas del rendimiento
Para sistemas de pérdidas, las medidas de rendimiento más importantes son:
E: Congestión de Tiempo B: Congestión de llamadas C: Congestión de tráfico (carga)
Estos parámetros son iguales para el modelo de pérdidas de Erlang debido a al propiedad PASTA del proceso de ll d d llegadas de Poisson. P i
Proceso de llegadas
Se asume un proceso de llegadas de Poisson y que los tiempos de servicio están distribuidos exponencialmente. Se asume que el número de canales es infinito (por tanto, nunca habrá congestión).
Proceso de Poisson
Proceso de Poisson
Diagrama de transición de estados:
Se define el estado del sistema como el número de canales ocupados d (i). (i) Estado: Se representa como un círculo en el diagrama de transición de estados. Transición: Se representa como una flecha etiquetada con el valor de la tasa media de llegadas/salidas:
Una llegada U ll d hace h que ell sistema it pase de d un estado t d all siguiente. i i t Una salida hace que el sistema pase al estado anterior.
Proceso de Poisson
Es un proceso simple: Las transiciones sólo ocurren entre estados vecinos. Se asume que el sistema está en equilibrio estadístico: El sistema estará en el estado [i] una proporción de tiempo p(i). p(i) es la probabilidad de observar el sistema en el estado [i] en un instante d tiempo aleatorio, de l es d decir, es un tiempo medio. d Cuando el sistema está en el estado [i], saltará veces por unidad de tiempo al estado [i+1] y i veces por unidad de tiempo al estado [i-1] El estado siguiente del sistema sólo depende del estado actual y no de otros estados anteriores: Propiedad de Markov (falta de memoria).
Obtención de Ecuaciones
Las notas que describen los estados del sistema bajo el supuesto de equilibrio estadístico pueden describirse de dos maneras:
Ecuaciones de Nodo Ecuaciones de Corte
Ecuaciones de equilibrio estadístico
Ecuaciones de Nodo:
En equilibrio, el número de transiciones de llegada por unidad de tiempo hacia el estado [i] es igual al número de transiciones d salida de lid desde d d ell estado t d [i]. [i] p(i) denota la proporción de tiempo que el proceso pasa en el estado [i]. [i] El número medio de saltos desde el estado [0] al estado [1] es p(0). p( ) El número medio de saltos desde el estado [1] al [0] es p(1). Por tanto, para el estado cero:
Ecuación de equilibrio para nodos
En general, para el estado i tendremos la ecuación de equilibrio:
Transiciones de entrada
Transiciones de salida
Las ecuaciones de nodo son aplicables p siempre, p incluso ppara diagramas de transición de estados en varias dimensiones.
Ecuaciones de equilibrio para cortes
Ecuaciones de Corte:
Algunos diagramas de transición de estados son bastante simples, simples lo que simplifica las expresiones que lo describen. Si se hiciera un corte transversal entre los estados i-1 e i; por ejemplo, entre el estado 0 y el 1, ó entre el 1 y el 2, etc, se obtendría una expresión para el estado de equilibrio. En estado de equilibrio, el número de cambios desde i-1 a i es igual al número de cambios desde i a i-1. Corte transversal
La expresión de corte para el estado de equilibrio será:
Comparación nodos vs vs. cortes
Las ecuaciones de nodo son aplicables a cualquier diagrama de transición de estados. Las ecuaciones de corte, son aplicables sólo a diagramas de transición de estados unidimensionales Las ecuaciones de nodos involucran tres estados, mientras que las ecuaciones de corte involucran sólo dos estados. Las ecuaciones de corte son más simples de aplicar. l
Restricción de normalización
Como el sistema siempre estará en alguno de los estados, se tiene que:
Expresión que puede usarse para completar el conjunto de ecuaciones de equilibrio. q
Obtención de las probabilidades de estado
Aplicando las ecuaciones de corte, se obtienen las siguientes g ecuaciones de balance:
Obtención de las probabilidades de estado
De las ecuaciones de balance, podemos expresar la probabilidad de cada estado en función de p(0). Además se reemplaza A=/:
Expresion para la probabilidad en una distribución de Poisson
Reemplazando cada p(i) en la ecuación de restricción de normalización, obtendremos p(0):
Así, obtenemos la expresión de la probabilidad para la Así distribución de Poisson:
Número de Canales ocupados en un sistema con infinitos servidores:
Por tanto, el número de canales ocupados p en un instante de tiempo aleatorio tiene una distribución de Poisson.
Características de tráfico de la distribución de Poisson
Desde un punto de vista de dimensionamiento, el sistema con capacidad ilimitada no es muy interesante. Sin embargo, podemos resumir las características de tráfico más importantes de un sistema de pérdidas:
Tiempo de congestión Congestión de llamadas
Tráfico transportado
Tráfico T áf perdido dd Congestión de tráfico
Otras características de la distribución de Poisson
Intensidad de picos:
Se define como la razón entre la varianza y la media. También llamada índice de dispersión de conteos.
La intensidad de p picos tiene dimensiones (número ( de canales)) y es diferente del coeficiente de variación (que no tiene dimensiones).
D Duración ió del d l estado t d [i]: [i]
Como se mencionó antes, un proceso de llegadas de Poisson tiene una distribución de tiempo p exponencial p entre llegadas. g Por tanto, este tiempo tendrá una distribución de la forma:
Ejemplo: Aloha Puro
El protocolo acceso al medio Aloha Puro es un ejemplo de un proceso de Poisson Puro. Puro En un sistema Aloha puro los usuarios transmiten paquetes que supondremos de longitud fija h. La tasa de servicio sería entonces 1/h. La tasa media a la que llegan paquetes al medio de transmisión es . Por tanto, la intensidad de tráfico ofrecido será A=/=h U paquete se transmitirá Un i i á completamente l si:i
El medio no tiene paquetes por transmitir (estado 0) No llegan otros paquetes en ese mismo instante de tiempo (proceso de Poisson)
Luego:
Ejemplo: Aloha Puro
Para hallar la máxima cantidad de tráfico que se puede transportar, derivamos e igualamos a cero:
Es decir, se obtiene un máximo del 18% de tráfico transportado. Comparando con la solución Aloha ranurada estudiada previamente, esta ú última ofrece f un 36% de tráfico áf transportado y es más eficiente.
Distribución st buc ó de Poisson o sso Truncada u cada
Punto de partida
Cuando se considera un número de canales infinito, se tiene la distribución de Poisson. Ahora, limitaremos el número de canales a un valor finito, n. Por tanto, el número de estados será n+1 y el diagrama de transición de estados será,
Probabilidades de estado
De forma similar al caso de la distribución Poisson, se obtiene la probabilidad de cada estado en función de la probabilidad p(0). Luego, de la ecuación de restricción de normalización (La suma total de probabilidades es 1), se obtiene:
Finalmente, se reemplaza esta expresión en la expresión de probabilidad para el estado i : Distribución de Poisson Truncada ó Primera Fórmula de Erlang
Fórmula de Erlang B Características de tráfico
Congestión en el Tiempo
La probabilidad de que todos los n canales estén ocupados en un instante i de d tiempo i dado d d es igual i l a la l proporción ió del d l tiempo i que todos los canales están ocupados (tiempo medio). Esto se obtiene de la primera expresión de Erlang haciendo i=n:
Esta es la famosa fórmula B de Erlang (1917). Esta se denota como En(A)=E1,n(A). La segunda forma se refiere al nombre alternativo de primera fórmula de Erlang.
Congestión de Llamadas
LLa probabilidad b bilid d de d que una llamada ll d aleatoria l i se pierda i d es igual i l a la l proporción de intentos de llamada bloqueados
Tráfico Transportado:
Usando la ecuación de corte entre los estados [i-1] e [i], obtenemos:
Donde A es el tráfico ofrecido.
Tráfico perdido:
Congestión g de tráfico:
Por tanto, E=B=C. Esto se debe a que la intensidad de llegadas () es independiente del estado. estado Esto es la propiedad PASTA, que es válida para todos los procesos de Poisson: Poisson Arrivals See Time Averages. Averages
Variación de la probabilidad de bloqueo con el tráfico ofrecido. Curvas para diferente número de canales.
Utilización (ai ) del i-ésimo i ésimo canal
Es el tráfico transportado por el i-ésimo canal. Depende d la de l técnica é i d de bú búsqueda d de d canales: l
Búsqueda aleatoria y búsqueda cíclica:
Todos los canales transportan en media el mismo tráfico El tráfico transportado total es independiente de la estrategia de búsqueda de canales. L utilización La ili ió será: á
Búsqueda Secuencial:
El tráfico transportado por el canal i es independiente del número de canales después de i en la búsqueda.
Utilización de los canales
Se observa que para un valor de congestión E dado, se obtiene bi una alta utilización para grupos de canales grandes.
Función de mejoramiento
Describe el incremento en el tráfico cuando el número d canales de l se incrementa i en uno desde d d n hasta h n+1: +1
Por tanto, tenemos que: P La función de mejoramiento se emplea en el principio de Moe cuya utilidad se ve en el dimensionamiento Moe, económico.
Función de mejoramiento j
Intensidad de Picos
Recordemos que es la varianza sobre la media Las unidades son “número de canales” Para la Distribución truncada de Poisson, Z es:
Duración del estado i
De igual manera que para la Distribución de Poisson, Poisson el tiempo en un estado tiene una distribución exponencial. De la ecuación de nodos, nodos la tasa de salida es (+i). ) Por tanto, la f.d.p. del tiempo pasado en el estado i será:
Generalizaciones de la fórmula de Erlang B
Insensibilidad:
Un sistema es insensible a la distribución del tiempo de servicio si las probabilidades de estado del sistema sólo d dependen d del d l valor l medio di del d l tiempo ti de d servicio. i i La distribución de Poisson y la distribución de Poisson truncada son insensibles. insensibles La fórmula de Erlang B es válida para distribuciones de tiempo de servicio arbitrarias, no solo p para distribuciones exponenciales. Se puede demostrar que todo sistema de pérdidas es insensible a la distribución del tiempo de servicio.
Generalizaciones de la fórmula de Erlang B
El supuesto fundamental para la validez de la fórmula de Erlang B es que el proceso de llegadas es un proceso de Poisson. Esto se cumple cuando el tráfico es originado por muchas fuentes independientes (Teorema de Palm). Esto se cumple en sistemas telefónicos ordinarios bajo condiciones de tráfico normal. La fórmula es muy robusta. Los procesos de llegadas y de tiempo de servicio se describen por medio de un único parámetro (A). Esto explica la amplia aplicación de la fórmula B en el pasado y ahora.
Generalizaciones de la fórmula de Erlang B
Número contínuo de Canales:
La fórmula de Erlang B funciona incluso para números de canales no enteros y para números de canales negativos. L fó La fórmula l de d Erlang El B es útil ú l cuando d se quiere encontrar ell número de canales necesarios para soportar un tráfico ofrecido A con una probabilidad de bloqueo E. E
Procedimiento oced e to Ge General e a para pa a los os diagramas de transición de estados
Introducción
La herramienta más importante en la teoría de teletráfico es la formulación y solución de modelos por medio de diagramas de transición de estados. Como se ha logrado identificar hasta ahora, existe un procedimiento estándar para obtener las fórmulas a partir de d los l diagramas d d de transición ó de d estados. d Este procedimiento también se aplica a diagramas de estados d multi-dimensionales. l d l
Procedimiento general
Construcción del diagrama de transición de estados:
Definir los estados del sistema en una forma única Dibujar los estados como círculos Considere los estados uno a la vez y dibuje todas las posibles flechas para las transiciones que salen de dicho estado. Las transiciones son debidas a:
El proceso de llegadas (nueva llegada) El proceso de salida (finalización del tiempo de servicio)
Definir las ecuaciones que describen el sistema:
Si se satisface la condición de equilibrio estadístico, las ecuaciones ppueden obtenerse como:
Ecuaciones de nodo (método general) Ecuaciones de corte
Procedimiento general
Resolver las ecuaciones de balance asumiendo equilibrio estadístico:
Expresar todas las probabilidades de estado en función de la probabilidad b bilid d del d l estado d 0: 0 p(0). (0) Encontrar p(0) de la ecuación de restricción de normalización (sumatoria de probabilidades es 1). 1)
Calcular las medidas de rendimiento expresadas con base en las probabilidades de estado. estado
Fórmula recursiva para el cálculo de la congestión en el tiempo
Fórmula general:
Es aplicable a cualquier proceso con las siguientes condiciones:
Tasas de llegadas dependientes del estado Servidores homogéneos
Fórmula recursiva para la expresión Erlang B:
Ó también, una fórmula más estable:
Donde
Principios de dimensionamiento
Objetivos
Cuando se dimensionan sistemas de servicio se deben balancear los requerimientos del grado de servicio y las restricciones económicas. En sistemas de telecomunicaciones hay diferentes medidas para caracterizar el servicio provisto:
Calidad de servicio: Calidad de la voz, retardos, pérididas, confiabilidad, etc G d d Grado de Servicio: S i i P Parámetros á t de d rendimiento di i t de d la l red, d representados por parámetros de la capacidad de la red.
Dimensionamiento con probabilidad de bloqueo fija
Para una operación apropiada, un sistema de pérdidas debería tener una probabilidad de bloqueo baja. En la práctica, se elige el número de canales para que la probabilidad de bloqueo esté alrededor del 1%.
Dimensionamiento en sistemas de pérdidas
Si se deja fija la probabilidad de bloqueo en el 1%, se obtendrán valores de tráfico áf transportado para n canales, como los que se muestran en la parte superior de la tabla. L tabla La t bl muestra t también t bié lla utilización tili ió media di d de llos canales. l La parte inferior de la tabla muestra la probabilidad de bloqueo para cuando se incrementa el tráfico en un 20%. 20%
Dimensionamiento en sistemas de pérdidas
Con respecto a la utilización (ai), se puede observar:
Para una EE=P Pb dada, la utilización aumenta con el número de canales. Con una Pb=1%, se puede usar un canal al menos 36 segundos por hora (en media). Los grupos de canales grandes son más sensibles a un porcentaje de sobrecarga que los grupos de canales pequeños. Esto se explica por la baja utilización de los grupos pequeños. ñ Por tanto:
El uso de grupos de canales pequeños brinda una capacidad sobrante con respecto al uso de un ggrupo p de canales grande. g Hay un dilema cuando se dimensiona un grupo de canales: Podríamos elegir entre una alta sensibilidad a la sobrecarga o una baja utilización de los canales.
Ejemplo de dimensionamiento: Sistemas celulares
Un usuario es un móvil Un recurso puede ser:
Ranura de tiempo Un radiocanal (frecuencia) Un código
Hay N recursos Hayy M usuarios
La duración media de una llamada es, es H=1/ Si cada móvil efectúa en promedio L llamadas en la BH, la tasa de oferta de llamadas es, =ML/3600 ML/3600 A= /=MLH/3600 (Erlangs)
Ejemplo: Dimensionamiento de sistemas i celulares l l Como los sistemas PMT son sistemas troncales de pérdidas, p la expresión p de Erlangg B p para obtener el GoS, se aplica GoS= 100p p = 100 B(N,A) ( , ) En los sistemas PMT el GoS suele ser del 1% al 2% y el tráfico por terminal (a) es de 17 a 25 mErlang
Ejemplo: Dimensionamiento de sistemas i celulares l l El p problema Directo: Cálculo del número de radiocanales (N) para un GoS dado y un tráfico ofrecido conocido (se conoce M, M L L, H) Solución: 1. Se calcula el tráfico ofrecido como A= MLH/3600 = Ma 2. Se obtiene N a prueba y error de la expresión GoS= 100p = 100 B(N,A) o de la tabla de Erlang B.
Ejemplo:
Calcular el número de canales necesario para dar servicio a un conjunto de 500 terminales con una intensidad de tráfico por terminal de 20mErlang y un GoS d l 1% del 1%.
Ejemplo: Dimensionamiento de sistemas i celulares l l El p problema ob e a Inverso: ve so: Cálculo del número de terminales ppara un GoS determinado y un número de canales conocido
Solución: 1. Se calcula A a prueba y error de la expresión, GoS= 100p = 100 B(N,A) o de la tabla de Erlang B. 2. Se calcula M como M M=Int(A/a) Int(A/a)
Ejemplo:
Una portadora GSM ofrece 7 canales de tráfico. Calcular el número de terminales a los que puede dar servicio con un GoS del 1%, si el tráfico por terminal es 25mErlang.
Principio de mejora (Principio de Moe)
Está basado en la función de mejoramiento Fn(A). Fn(A) describe el incremento en el tráfico cuando el número de canales se incrementa en uno desde n hasta n+1:
Por tanto, tenemos que:
Si se deja constante el mejoramiento y se varía n, se puede observar que:
El tráfico transportado aumenta con el número de canales. La probabilidad de bloqueo disminuye drásticamente con el número de canales
Modelo económico
Considérese un intervalo de tiempo (p.ej. Una unidad de tiempo) Denótense las entradas por erlang transportado por unidad de tiempo, como g. El costo de un cable con n canales se asume como una función lineal:
Modelo económico
Los costos totales para un número ú de canales determinado es entonces el costo del cable más el costo debido a el tráfico perdido:
Se puede observar que:
Los costos totales tienen un mínimo para cierto valor de n (debe aproximarse a un valor entero)
Valor de mejoramiento
Se denota por FB y se define como:
Mide los beneficios al incluir un nuevo canal.l Restricción:
La gráfica muestra la variación i ió d de la l probabilidad b bilid d de bloqueo cuando el tráfico aumenta y se varía FB.