De los números naturales a los números enteros

Exposición de contenidos matemáticos

Sobre el número cardinal

Introducción: Usos del número: Se reconocen distintos usos del número natural. Los usos o significados del número más destacados son: 1º. Para medir o describir el tamaño de un conjunto 2º. Para describir la posición de un elemento en una sucesión Los números con los que describimos el tamaño o la numerosidad de los conjuntos se llaman números cardinales. Los números con los que describimos la posición de un elemento en una sucesión se llaman números ordinales. Los números ordinales son los números que empleamos para contar y ordenar.

I. Número cardinal La exposición está dividida en dos partes: Ideas generales sobre el número cardinal, para el caso de conjuntos finitos Ideas generales sobre el número cardinal, para el caso de conjuntos infinitos

PRIMERA PARTE. Ideas generales sobre el número cardinal para el caso de conjuntos finitos

El cardinal indica la cantidad de elementos constitutivos de un conjunto

Hay dos maneras de interpretar la frase

‘cantidad de elementos de un conjunto’  Primer sentido o ámbito de interpretación: ‘tener la misma (mayor o menor) cantidad de elementos’ o ‘la misma cardinalidad’.  Segundo sentido o ámbito de interpretación. Asignación específica de un número cardinal a un conjunto.

Primer sentido o ámbito de interpretación: ‘tener la misma (mayor o menor) cantidad de elementos’ o ‘la misma cardinalidad’.

Se trata del ‘sentido comparativo’ del término. En este caso, la cantidad de elementos se mide a través de una comparación.

Por ejemplo,

Si A = { a , c, d , w , l }

Y

B= { 1 , 2, 3 , 4 , 5 }

Entonces A y B tienen el mismo número de elementos. Tienen la misma cardinalidad.

¿Cómo se puede saber que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad ?: A través de la existencia de una biyección entre los dos conjuntos. Si existe esa biyección se puede decir que los conjuntos tienen la misma cardinalidad.

Definición: si es posible establecer una biyección entre los elementos de dos conjuntos, entonces se dice que los conjuntos son equivalentes.

Pero ¿qué hay detrás de esa biyección?

Para establecer una biyección (y cualquier aplicación o función entre dos conjuntos) es necesario introducir un orden para que los elementos de ambos conjuntos sólo sean considerados una sola vez. Así que al establecer la biyección se van ordenando los elementos de los conjuntos. Pero, ¿es necesario un cierto tipo de orden o puede ser cualquiera? Es decir, ¿el cardinal depende de cómo ordenemos al conjunto?

Claro que no

Por ejemplo A’={ c , d , w , l , a } tiene la misma cardinalidad que

A = { a , c, d , w , l }

(es posible establecer una biyección entre ellos).

De lo anterior podemos colegir los siguientes resultados: Resultado 1: El cardinal de un conjunto no depende de su orden. Resultado 2. Para establecer una biyección con el objeto de decidir si dos conjuntos son equivalentes es necesario ordenarlos. Pero ese orden es variable (o vicariante, para emplear terminología piagetiana) ya que el cardinal resultante no depende de un orden en particular.

Segundo sentido o ámbito de interpretación El segundo sentido que se le puede dar a la expresión ‘la cantidad de elementos de un conjunto’ se refiere a la asignación específica de un número cardinal. P or e jem p lo: Si A = { a , c, d , w , l } e n t on ce s e l ca r d in a l d e A o ca r d ( A ) ó # ( A ) e s 5 Si B = { ca b a llo, p er r o, g a t o } En t on ce s e l ca r d in a l d e B ó ca r d ( B ) ó # ( B ) e s 3. Si C= e s e l con ju n t o v a cío e n t on ce s e l ca r d in a l d e C ó ca r d ( C ) ó # ( C) e s 0 Si D = { 1 , 2 } e n t on ce s e l ca r d ( D ) ó # ( D ) e s 2 .

Pregunta ¿Cómo se determina el cardinal de un conjunto?

El cardinal de un conjunto se establece mediante el conteo (También se establece mediante la ‘cardinación súbita’ o la subutización, que consiste en….

Eso nos lleva a otra pregunta:

¿Qué hacemos en realidad cuando contamos?

i.

Establecemos una correspondencia uno a uno: Entre un ‘segmento inicial’ del conjunto de los números naturales (segmento inicial de N es un subconjunto finito de N que inicia en el 1) Y El conjunto A que queremos ‘medir’ o conocer su numerosidad o cardinalidad. ii. Asignamos al conjunto contado el último número del proceso de conteo.

Por ejemplo, cuando contamos el conjunto A = { a, c, d, w, l } Lo que hacemos fue establecer una biyección entre este conjunto y un ‘segmento’ del conjunto de los número naturales: N = { 1, 2, 3, 4, 5 } (segmento inicial de N que termina en 5)

a c d w l

1 2 3 4 5

Y definimos como el cardinal de A, el último número de nuestro conteo (el 5).

Es decir, concluimos que card(A) = 5.

Qué se hace durante ese proceso?

i.

A

ii.

En el paso i (en el que se establece una biyección con el segmento inicial de N equivalente a A) se ordenan los elementos de con base en la serie numérica

En el paso ii se asigna a A el número natural 5. pero.. ¿por qué este número y no otro de la lista?

Recordemos qué son los números naturales y qué denotan:

El número ‘5’ es el símbolo ‘más eficiente y sofisticado’ (hasta el momento y en comparación con otros posibles registros o representaciones) que designa la cantidad de elementos de todos los conjuntos equivalentes al conjunto {1,2,3,4,5}

ó al conjunto

{1, s(1), s(s(1)), s(s(s(1))), s(s(s(s(1)))} (donde s(1) significa el sucesor de 1)

Es decir, el número ‘5’ es el cardinal de todos los conjuntos equivalentes a los antes dados. Así que un número cardinal lo asociamos a toda una familia de conjuntos: a los que son equivalentes entre sí.

Para comprender mejor este papel del ‘5’ recordemos (un posible) proceso evolutivo del número (algunos aspectos han sido tomados de Bernardo Gómez, 1993): ◊Identificación de una unidad, es decir, la abstracción de las cualidades materiales o físicas de los objetos para concebirlos sólo en su singularidad (definición de una unidad). ◊Comparación directa –mediante correspondencias uno a uno- de la cantidad de objetos concretos pertenecientes a dos conjuntos distintos (por ejemplo, el conjunto de pieles y el grupo de personas en una tribu; o las hachas que se tienen a disposición y los hombres de la tribu). Establecimiento de la cardinalidad en el sentido comparativo (igual, más, menos elementos que). ◊ Elaboración de un registro ‘concreto’ o físico de la cantidad de elementos de un conjunto dado (el conjunto registro es equivalente al conjunto dado). El conjunto registro puede estar formado por piedras o por muescas en un hueso. Establecimiento de la cardinalidad en el sentido comparativo (igual, más, menos elementos que).

◊Definición de modelos o prototipos de registro de los conjuntos equivalentes. Por ejemplo, la mano se convierte (en muchos casos) en un modelo típico para conjuntos equivalentes (que en lenguaje moderno tienen cardinalidad ‘cinco’). ◊Colocación de una etiqueta a cada representación de conjuntos con cantidades específicas (una etiqueta para la cantidad que hoy denotamos como ‘cinco’ pudo haber sido ‘mano’). ◊Imposición de un orden en los modelos o registros, conforme a un orden de sucesión y en el que la diferencia entre uno y otro es la unidad. ◊Construcción de un sistema de numeración con un número finito de símbolos que haga referencia a los modelos o registros y que conserven su orden. ◊Proceso de conteo: para esto se recurre a la secuencia ordenada de palabras-número, que es la secuencia contadora. Contar resulta de la comparación con un conjunto de referencia, en particular el conjunto de los nombres número “1,2,3,4,5,6…” y la recitación y emparejamiento de sus elementos con los del conjunto dado hasta que se agote.

Es importante considerar el doble papel de la serie de los números naturales: 

Los números naturales permiten ordenar a un conjunto o conocer la posición de un elemento de un conjunto (ver definición de ordinal arriba).

Los números naturales representan a los números ordinales.  Los números naturales permiten determinar la cardinalidad de un conjunto. Los números naturales también representan a los números cardinales. Una parte de los problemas que tenemos para comprender los procesos inherentes a los usos del número provienen de los distintos significados y papeles que le asignamos a la serie de los números naturales, en particular, como ordinales o como cardinales. Así que la serie numérica y el 5 (en particular) juega un doble papel en el proceso de conteo:

Juega el papel de ordenador del conjunto a numerar (A) y permite determinar su ‘ultimo elemento’. Este elemento se define con base en el orden que se ha impuesto al conjunto A a través de la serie numérica. Este proceso es el que se describió en el inciso i. Y sirve también para medir el tamaño del conjunto A, es decir, sirve como cardinal, por lo que se dijo en ii.

SEGUNDA PARTE

Ideas generales sobre el número cardinal para el caso de conjuntos infinitos

Sobre los conjuntos infinitos En la primera parte de este módulo definimos una función biyectiva de en el conjunto de los pares mediante la siguiente regla: f(x)=2x. En este caso asociamos a cada número natural, su doble: 1 2 3 4 5 & etc.

2 4 6 8 6

Esto nos deja ver varias cosas: Que el conjunto de los naturales es equivalente al conjunto de los pares Que el conjunto de los naturales N tiene un subconjunto propio (menor que él mismo, el conjunto de los pares,) que es equivalente a N.

¿A qué otros conjuntos les sucede esto mismo? que contienen equivalentes a sí mismos

subconjuntos

propios

que

son

Por ejemplo, ¿esto les sucede a los conjuntos finitos?

Es decir, podemos hallar un subconjunto propio de un conjunto finito que sea equivalente al conjunto dado?

¿Cómo se argumentaría la respuesta?

Con base en lo anterior

Se define:

Un conjunto A es infinito si contiene algún subconjunto propio que es equivalente a A.

Reflexión: En la noción común VIII de Los Elementos de Euclides se establece que: el todo es mayor que las partes. ¿Qué es lo que pasa entonces con la anterior definición?

!Conjuntos numerables Un conjunto es numerable si es equivalente al conjunto de los números naturales Esto significa que tienen el mismo número de elementos que N. Veamos, ¿qué conjuntos tienen el mismo número de elementos que N? Los pares, los impares, los enteros, los primos, Todos esos, son conjuntos que tienen el mismo tamaño. Pero ¿cómo medimos el tamaño de los conjuntos infinitos? O dicho de otra manera ¿Qué número cardinal les asociamos?

Recordemos cómo asociamos un cardinal a un conjunto finito: Mediante el proceso de conteo… eligiendo el último número… Pero ¿cuál es el último número en el caso de los naturales?, es decir, ¿Cuál es el número que sigue después de la serie infinita 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , …? ¡No hay tal número dentro de la serie! Se tiene que buscar fuera de ella! Cantor, que fue quien edificó la teoría de los números ‘transfinitos’, llamó al número cardinal que designa la cantidad de elementos de un conjunto numerable: Aleph cero, que se denota como:

Es muy importante destacar que cuando se habla de la cardinalidad de los conjuntos infinitos se está considerando al conjunto infinito en su sentido actual, es decir, como una totalidad que posee una estructura. Esto es muy distinto al infinito potencial que está presente cuando se enlista a los números naturales, pero no se les considera como una totalidad completa y actual. Euclides en Los Elementos incluyó un tratamiento potencial del infinito (posiblemente influido por las posturas aristotélicas sobre el infinito).

¿Qué otros conjuntos numerables se pueden destacar? Por ejemplo, los racionales

serán numerables…?

De entrada no lo parece, ya que aparentemente el conjunto contiene a muchísimos más números, pero… Considérese el siguiente arreglo:

Sígase la trayectoria comenzando por (1,1) y asociando a cada paso un número natural. Lo anterior nos indica que hay tantas fracciones en la tabla como números naturales! (y en la tabla hay incluso más fracciones que números racionales)

Así que los números racionales son numerables, es decir, hay tantos números naturales como racionales, es decir, es equivalente a es decir, tienen la misma cardinalidad, tienen el mismo número de elementos. Pero… ¿habrá sólo un tamaño de infinito? ¿o habrá algún número cardinal mayor que ? Sí, en efecto. Por ejemplo, el conjunto de los números contenidos en el segmento [0,1] no es numerable, es infinito pero su cardinalidad es mayor que la de . La cardinalidad de este tipo de conjuntos (la cardinalidad del continuo) Cantor la definió como o como aleph 1:

No contento con todo lo anterior… Cantor definió después a una sucesión infinita de sucesiones infinitas de números cardinales…