POTENCIAL ELECTRICO El potencial eléctrico (V) en un punto es el trabajo requerido para mover una carga unitaria q (energía o trabajo por unidad de carga) desde ese punto hasta el infinito, donde el potencial es cero. Matemáticamente se expresa por:

La energía por unidad de carga por lo general es más útil para aplicaciones eléctricas que la energía potencial mutua. Esta magnitud se determina utilizando una carga de prueba positiva, la cual se puede utilizar para hacer el mapeo de un campo eléctrico. Para tal carga de prueba qo localizada a una distancia r de una carga q, la energía potencial electrostática mutua es:

De manera equivalente, el potencial eléctrico es = Considérese una carga puntual q en presencia de un

campo eléctrico. La carga experimentará una fuerza eléctrica Ahora bien, si se pretende mantener la partícula en equilibrio, o desplazarla a velocidad constante, se requiere de una fuerza que contrarreste el efecto de la generada por el campo eléctrico. Esta fuerza deberá tener la misma magnitud que la primera, pero dirección contraria, es decir: (1)

Partiendo de la definición clásica de trabajo, en este caso se realizará un trabajo para trasladar la carga de un punto a otro. De tal forma que al producirse un pequeño desplazamiento dl se generará un trabajo dW. Es importante resaltar que el trabajo será positivo o negativo dependiendo de cómo se realice el desplazamiento en relación con la fuerza . El trabajo queda, entonces, expresado como: Nótese que en el caso de que la fuerza no esté en la

dirección del desplazamiento, sólo se debe multiplicar su componente en la dirección del movimiento. Será considerado trabajo positivo el realizado por un agente externo al sistema carga-campo que ocasione un cambio de posición y negativo aquél que realice el campo. Teniendo en cuenta la expresión (1): Por lo tanto, el trabajo total será: Si el trabajo que se realiza en cualquier trayectoria cerrada es igual a cero, entonces se dice que estamos en presencia de un campo eléctrico conservativo. Expresándolo matemáticamente: Ahora bien, sea una carga q que recorre una determinada trayectoria en las inmediaciones de una carga Q tal como muestra la figura.

El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector desplazamiento dl,

tangente a la trayectoria, o sea: Donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la carga q en la dirección radial. Para calcular el trabajo total, se integra entre la posición inicial A, distante rA del centro de fuerzas y la posición final B, distante rB del centro fijo de fuerzas: De lo anterior se concluye que el trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la posición A a la posición B. lo cual implica que la fuerza de atracción F, que ejerce la carga Q sobre la carga q es conservativa. La fórmula de la energía potencial es: Por definición, el nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, o sea, para . Potencial eléctrico  Considérese una carga de prueba positiva en presencia de un campo eléctrico y que se traslada desde el punto A al punto B conservándose siempre

en equilibrio. Si se mide el trabajo que debe hacer el agente que mueve la carga, la diferencia de potencial eléctrico se define como: El trabajo WAB puede ser positivo, negativo o nulo. En estos casos el potencial eléctrico en B será respectivamente mayor, menor o igual que el potencial eléctrico en A. La unidad mks de la diferencia de potencial que se deduce de la ecuación anterior es Joule/Coulomb y se representa mediante una nueva unidad, el voltio, esto es: 1 voltio = 1 Joule/Coulomb. Un electrón volt (eV) es la energía adquirida para un electrón al moverse a través de una diferencia de potencial de 1V, 1 eV = 1,6x10^-19 J. Algunas veces se necesitan unidades mayores de energía, y se usan los kiloelectrón volts (keV), megaelectrón volts (MeV) y los gigaelectrón volts (GeV). (1 keV=10^3 eV, 1 MeV = 10^6 eV, y 1 GeV = 10^9 eV). Aplicando esta definición a la teoría de circuitos y desde un punto de vista más intuitivo, se puede decir que el potencial eléctrico en un punto de un circuito representa la energía que posee cada unidad de carga

al paso por dicho punto. Así, si dicha unidad de carga recorre un circuito constituyendóse en corriente eléctrica, ésta irá perdiendo su energía (potencial o voltaje) a medida que atraviesa los diferentes componentes del mismo. Obviamente, la energía perdida por cada unidad de carga se manifestará como trabajo realizado en dicho circuito (calentamiento en una resistencia, luz en una lámpara, movimiento en un motor, etc.). Por el contrario, esta energía perdida se recupera al paso por fuentes generadoras de tensión. Es conveniente distinguir entre potencial eléctrico en un punto (energía por unidad de carga situada en ese punto) y corriente eléctrica (número de cargas que atraviesan dicho punto por segundo). Usualmente se escoge el punto A a una gran distancia (en rigor el infinito)de toda carga y el potencial eléctrico a esta distancia infinita recibe arbitrariamente el valor cero. Esto permite definir el potencial eléctrico en un punto poniendo y eliminando los índices: Siendo el trabajo que debe hacer un agente exterior para mover la carga de prueba desde el infinito al

punto en cuestión. Obsérvese que la igualdad planteada depende de que se da arbitrariamente el valor cero al potencial en la posición de referencia (el infinito) el cual hubiera podido escogerse de cualquier otro valor así como también se hubiera podido seleccionar cualquier otro punto de referencia. También es de hacer notar que según la expresión que define el potencial eléctrico en un punto, el potencial en un punto cercano a una carga positiva aislada es positivo porque debe hacerse trabajo positivo mediante un agente exterior para llevar al punto una carga de prueba (positiva) desde el infinito. Similarmente, el potencial cerca de una carga negativa aislada es negativo porque un agente exterior debe ejercer una fuerza para sostener a la carga de prueba (positiva) cuando la carga positiva viene desde el infinito. Por último, el potencial eléctrico queda definido como un escalar porque y son escalares. Tanto WAB como son independientes de la trayectoria que se siga al mover la carga de prueba desde el punto A hasta el punto B. Si no fuera así, el

punto B no tendría un potencial eléctrico único con respecto al punto A y el concepto de potencial sería de utilidad restringida.

Una carga de prueba se mueve desde A hasta B en el campo de carga q siguiendo una de dos trayectorias. Las flechas muestran a E en tres puntos de la trayectoria II Es posible demostrar que las diferencias de potencial son independientes de la trayectoria para el caso especial representado en la figura. Para mayor simplicidad se han escogido los puntos A y B en una recta radial. Una carga de prueba puede trasladarse desde A hacia B siguiendo la trayectoria I sobre una recta radial o la trayectoria II completamente arbitraria. La trayectoria II puede considerarse equivalente a una trayectoria quebrada formada por secciones de arco y secciones radiales alternadas. Puesto que estas secciones se pueden hacer tan pequeñas como se

desee, la trayectoria quebrada puede aproximarse a la trayectoria II tanto como se quiera. En la trayectoria II el agente externo hace trabajo solamente a lo largo de las secciones radiales, porque a lo largo de los arcos, la fuerza y el corrimiento son perpendiculares y en tales casos es nulo. La suma del trabajo hecho en los segmentos radiales que constituyen la trayectoria II es el mismo que el trabajo efectuado en la trayectoria I, porque cada trayectoria está compuesta del mismo conjunto de segmentos radiales. Como la trayectoria II es arbitraria, se ha demostrado que el trabajo realizado es el mismo para todas las trayectorias que unen A con B. Aún cuando esta prueba sólo es válida para el caso especial ilustrado en la figura, la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria para dos puntos cualesquiera en cualquier campo eléctrico. Se desprende de ello el carácter conservativo de la interacción electrostática el cual está asociado a la naturaleza central de las fuerzas electrostáticas.

Superficies equipotenciales 

Las líneas negras muestran cuatro trayectorias a lo largo de las cuales se desplaza una carga de prueba entre superficies equipotenciales. El lugar geométrico de los puntos de igual potencial eléctrico se denomina superficie equipotencial. Para dar una descripción general del campo eléctrico en una cierta región del espacio, se puede utilizar un conjunto de superficies equipotenciales, correspondiendo cada superficie a un valor diferente de potencial. Otra forma de cumplir tal finalidad es utilizar las líneas de fuerza y tales formas de descripción están íntimamente relacionadas. No se requiere trabajo para mover una carga de prueba entre dos puntos de una misma superficie

equipotencial, lo cual queda manifestado por la expresión: puesto que WAB debe ser nulo si VA − VB = 0. Esto es válido porque la diferencia de potencial es independiente de la trayectoria de unión entre los dos puntos aún cuando la misma no se encuentre totalmente en la superficie considerada. La figura muestra un conjunto arbitrario de superficies equipotenciales. El trabajo necesario para mover una carga siguiendo las trayectorias I y II' es cero porque comienzan y terminan en la misma superficie equipotencial. El trabajo que se necesita para mover una carga según las trayectorias I' y II no es cero, pero tiene el mismo valor porque las trayectorias unen el mismo par de superficies equipotenciales. Las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las líneas de fuerza y, por consiguiente, a . Si no fuera así, el campo tendría una componente en ella y, por consiguiente, debería hacerse trabajo para mover la carga en la superficie. Ahora bien, si la misma es equipotencial, no se hace

trabajo en ella, por lo tanto el campo debe ser perpendicular a la superficie. Para un par de placas paralelas en las cuales se cumple que V = Ed, donde d es la distancia entre las placas paralelas y E es el campo eléctrico constante en la región entre las placas. Potencial e intensidad de campo  Campo eléctrico uniforme Sean A y B dos puntos situados en un campo eléctrico uniforme, estando A a una distancia d de B en la dirección del campo, tal como muestra la figura.

Una carga de prueba q se mueve de A hacia B en un campo eléctrico uniforme E mediante un agente exterior que ejerce sobre ella una fuerza F.

Considérese una carga de prueba positiva q moviéndose sin aceleración, por efecto de algún agente externo, siguiendo la recta que une A con B. La fuerza eléctrica sobre la carga será qE y apunta hacia abajo. Para mover la carga en la forma descrita arriba, se debe contrarrestar esa fuerza aplicando una fuerza externa F de la misma magnitud pero dirigida hacia arriba. El trabajo realizado por el agente que proporciona esta fuerza es: Teniendo en cuenta que: sustituyendose obtiene: Esta ecuación muestra la relación entre la diferencia de potencial y la intensidad de campo en un caso sencillo especial. El punto B tiene un potencial más elevado que el A. Esto es razonable porque un agente exterior tendría que hacer trabajo positivo para mover la carga de prueba de A hacia B.

Una carga de prueba q se mueve de A hacia B en un campo eléctrico no uniforme E mediante un agente exterior que ejerce sobre ella una fuerza F. Campo eléctrico no uniforme En el caso más general de un campo eléctrico no uniforme, este ejerce una fuerza sobre la carga de prueba, tal como se ve en la figura. Para evitar que la carga acelere, debe aplicarse una fuerza que sea exactamente igual a para todas las posiciones del cuerpo de prueba. Si el agente externo hace que el cuerpo de prueba se mueva siguiendo un corrimiento a lo largo de la trayectoria de A a B, el elemento de trabajo desarrollado por el agente externo es . Para

obtener el trabajo total hecho por el agente externo al mover la carga de A a B, se suman las contribuciones al trabajo de todos los segmentos infinitesimales en que se ha dividido la trayectoria. Así se obtiene:

Como obtiene que

, al sustituir en esta expresión, se

Si se toma el punto A infinitamente alejado, y si el potencial al infinito toma el valor de cero, esta ecuación da el potencial en el punto B, o bien, eliminando el subíndice B, Estas dos ecuaciones permiten calcular la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera si se conoce . Definición matemática  El potencial eléctrico suele definirse a través del campo eléctrico a partir del teorema del trabajo de la fisica

donde E es el campo eléctrico vectorial generado por una distribución de carga eléctrica. Esta definición muestra que estrictamente el potencial eléctrico no está definido sino tan sólo sus variaciones entre puntos del espacio. Por lo tanto, en condiciones de campo eléctrico nulo el potencial asociado es constante. Suele considerarse sin embargo que el potencial eléctrico en un punto infinitamente alejado de las cargas eléctricas es cero por lo que la ecuación anterior puede escribirse: En términos de energía potencial el potencial en un punto r es igual a la energía potencial entre la carga Q: El potencial eléctrico también puede calcularse a partir de la definición de energía potencial de una distribución de cargas:

Ejemplos de potencial eléctrico asociados a   diferentes distribuciones de carga  Potencial debido a una carga puntual

Una carga de prueba q, se mueve, mediante un agente exterior de A hasta B en el campo producido por una carga q0 Considérense los puntos A y B y una carga puntual q tal como muestra la figura. Según se muestra, apunta a la derecha y , que siempre está en la dirección del movimiento, apunta a la izquierda. Por consiguiente: Ahora bien, al moverse la carga una trayectoria dl hacia la izquierda, lo hace en la dirección de la r decreciente porque r se mide a partir de q como origen. Así pues:

Por lo cual: Combinando esta expresión con la de E para una carga punto se obtiene: Escogiendo el punto de referencia A en el infinito, esto es, haciendo que , considerando que en ese sitio y eliminando el subíndice B, se obtiene:

Esta ecuación muestra claramente que las superficies equipotenciales para una carga puntual aislada son esferas concéntricas a la carga puntual.

Superficies equipotenciales producidas por una carga puntual Potencial debido a dos cargas puntuales El potencial en un punto P debido a dos cargas es la suma de los potenciales debido a cada carga individual en dicho punto. Siendo y las distancias entre las cargas y y el punto P respectivamente. Potencial eléctrico generado por una distribución discreta de cargas El potencial en un punto cualquier debido a un grupo de cargas punto se obtiene calculando el potencial debido a cada carga, como si las otras cargas no existieran, y sumando las cantidades así obtenidas, o sea: Siendo el valor de la enésima carga y la distancia de la misma al punto en cuestión. La suma que se

efectúa es una suma algebraica y no una suma vectorial. En esto estriba la ventaja de cálculo del potencial sobre la de intensidad del campo eléctrico. Las superficies equipotenciales cortan perpendicularmente a las líneas de campo. En el gráfico se representa la intersección de las superficies equipotenciales con el plano XY.

La ecuación de las líneas equipotenciales es:

Potencial eléctrico generado por una distribución continua de carga Si la distribución de carga es continúa y no una colección de puntos, la suma debe reemplazarse por una integral:

Siendo dq un elemento diferencial de la distribución de carga, r su distancia al punto en el cual se calcula V y dV el potencial que dq produce en ese punto. Potencial eléctrico generado por un plano infinito Un plano infinito con densidad de carga de superficie σ crea un potencial eléctrico saliente en la dirección perpendicular al plano de valor constante Si x es la dirección perpendicular al plano y éste se encuentra en x=0 el potencial eléctrico en todo punto x es igual a: Donde se ha considerado como condición de contorno V(x)=0 en x=0 Esfera conductora cargada Sea Q la carga total almacenada en la esfera conductora. Por tratarse de un material conductor las cargas están situadas en la superficie de la esfera siendo neutro su interior.

Potencial en el exterior de la corteza: El potencial en el exterior de la corteza es equivalente al creado por una carga puntual de carga Q en el centro de la esfera Donde r es la distancia entre el centro de la corteza y el punto en el que medimos el potencial eléctrico.

LEY DE GAUSS Cuando tenemos un elemento de área cualquiera podemos admitir que siempre se podrá dividir en un elemento sumamente pequeño tal que ese elemento se pueda considerar plano y despreciable la variación de E. El flujo en un pequeña área DAi con un campo normal En será Df = En.DAi Y para obtener el flujo total que atraviesa la superficie se

debería hacer lo siguiente Y se cumple lo mismo que en el caso de un plano con campo uniforme. Lo que normalmente interesa es calcular el flujo total o neto que atraviesa una superficie cerrada el que puede ser positivo o negativo según predomine el E saliente o entrante. Como el flujo es proporcional al número de líneas de fuerza que atraviesan una superficie cualquiera, el flujo neto es proporcional al número neto de líneas de fuerza que atraviesa a la superficie (suma y resta de líneas entrantes y salientes). Cuando la suma de infinitos términos se hace en una superficie cerrada, se indica con el símbolo Por lo tanto el flujo neto será APLICACIÓN

Flujo Neto que atraviesa una superficie esférica

Se procederá a calcular el FLUJO NETO que atraviesa una superficie esférica de radio r que encierra una carga q. Sabemos que el campo a una distancia r de una carga puntual q es y además el campo eléctrico es normal a la superficie considerada pues tiene la dirección radial, la cual es siempre perpendicular a la superficie de la esfera Þ Como el valor es constante en la integral se puede sacar de factor común fuera de la misma y por lo tanto pero

es el área total de una esfera Þ Por lo tanto

pero como

el flujo neto total será

El resultado se puede generalizar para cualquier superficie cerrada, que encierre una carga q dado que el número de líneas que sale de una carga es el mismo o sea que la superficie es atravesada por el mismo flujo. Enunciado de la Ley de Gauss:

El flujo neto que atraviesa una superficie que encierra totalmente una carga q es numéricamente igual a la carga q dividida por la constante de permitividad del vacío εo. Si dentro de la superficie se encierran más de una carga la expresión de la ley de Gauss pasa a ser de la siguiente manera Es decir que se sustituye la carga unica por la suma de las cargas obteniéndose la carga neta

encerrada en la superficie de Gauss. Cálculo de E a partir de Gauss Para aplicar la Ley de Gauss debemos seguir los siguientes pasos: 1.- A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo eléctrico. 2.- Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular el flujo. 3.- Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada. 4.- Aplicar el teorema de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico Caso 1) Campo Electrico debido a una carga lineal uniforme (l) de longitud infinita

Debido a la simetría que existe en cuanto a las cargas distribuidas a lo largo del conductor respecto a un punto, el campo debe ser perpendicular a la línea cargada y solamente

puede depender de r, lo cual pasaremos explicar.

Para hallar el campo en un punto a cierta distancia del conductor cargado, observamos que si trazamos la perpendicular desde el punto al conductor, nos encontraremos que a ambos lados de dicho punto sobre el conductor existirán siempre cargas iguales y simétricas respecto a dicho punto. Debido a esa simetría como se ve en la figura de la derecha, la suma de los vectores campo de puntos simétricos como el a y el b darán una resultante que siempre será perpendicular al conductor, esto se puede repetir para todos los puntos que uno desee, por lo tanto E solo puede depender de r. Llamando l a la densidad lineal de carga

definiremos un cilindro de Gauss con la generatriz paralela al conductor ( como se observa en la figura de la izquierda) y aplico a dicha superficie cerrada el Teorema de Gauss. Para ello calculo el flujo total que atraviesa la superficie total del cilindro que consta de dos caras y la superficie lateral. Siendo por lo tanto el flujo neto total la suma de los flujos netos que atraviesan las caras o bases y la superficie lateral. f neto = f sup. lateral + f sup. caras como el flujo es saliente y perpendicular a la línea de carga, el f caras = 0 dado que las líneas de fuerza resultan rasantes a las caras y no las atraviesan. Þ f neto = f sup. lateral = En . 2p. r .L y entonces de acuerdo al Teorema de Gauss f neto = En . 2p r L =

ÞE=

=

Þ E=

Donde la Sq (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual al producto l.L es decir el producto de la carga por unidad de longitud multiplicada por la longitud

del conductor encerrada dentro del cilindro de Gauss. Si se elimina K y se sustituye por su equivalencia en función de la constante de permitividad del vacío nos quedaría que k=

Þ =

Þ E=

=

o en función de k Es la fórmula que nos permite calcular dicho campo donde se observa claramente que la intensidad de campo eléctrico es directamente proporcional a la densidad lineal de carga l e inversamente proporcional a la distancia al conductor r y desde el punto de vista vectorial por simetría como ya se explicó el vector campo es perpendicular al conductor, alejándose de él si está cargado positivamente o acercándose si la carga es negativa. Caso 2) Campo Electrico o debido a un plano infinito de distribución uniforme de carga

Se define densidad superficial de carga s al

cociente entre la carga total del plano y su superficie s = q/A y se mide en (N/m2). Por razones de simetría deducimos que el campo debido a su carga produce líneas de fuerza perpendiculares al mismo y que salen hacia ambas caras. Se aplica aquí criterio similar en cuanto a simetría que en el caso del conductor cargado, simplemente que la simetría se da en infinitas rectas que se ubican sobre el plano, pasando por el pie de la perpendicular trazada desde el punto (donde se quiere calcular el campo) al plano. Para ello hallaremos el flujo total que atraviesa un cilindro imaginario de Gauss que tenga características que hagan cómodo el cálculo del flujo total, por ello se traza con caras paralelas al plano y generatriz perpendicular al mismo. Como las líneas de fuerza son perpendiculares al plano, resultan paralelas a la generatriz del cilindro, por lo que son rasantes a la superficie lateral que no atraviesan, solamente serán atravesada las bases del cilindro. Por lo tanto el flujo total o neto será

Þ Donde la Sq (sumatoria de la carga encerrada dentro del cilindro de Gauss) es igual al producto s.A es decir el producto de la carga por unidad de superficie multiplicada por la superficie del plano encerrada dentro del cilindro de Gauss.

De la fórmula para calcular dicho campo donde se observa claramente que la intensidad de campo eléctrico es directamente proporcional a la densidad superficial de carga s y es independiente de la distancia al plano cargado. El campo existe a ambos lados del plano. Si la carga del plano es positiva el vector campo se alejará del plano y se la carga es negativa, se dirigirá hacia el plano. Caso 3) Campo eléctrico debido una corteza esferica cargada de radio r Creamos una esfera de Gauss, esta superficie se elige para envolver la carga de modo que el flujo sea siempre perpendicular en todo punto a la superficie

que envuelve a la corteza cargada. Siendo R el radio de la esfero de Gauss. Para estudiar el campo en el exterior de la corteza R debe ser mayor que r por lo tanto R>r corteza

siendo Q la carga total de la

Þ

Þo En el interior de la corteza R < r y haciendo una esfera de Gauss interior a la corteza nos da un flujo neto por lo tanto si el flujo es cero también será cero el campo E. El campo en el interior de la esfera es 0 debido a que el flujo neto en una superficie cerrada en dicho interior da cero. En el exterior de la corteza el campo se comporta igual que si fuera una carga puntual colocada en el centro de la corteza esférica

Siendo Q la carga total de la corteza esférica, por lo tanto el campo es directamente proporcional a la carga

total Q e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del centro de la corteza al punto considerado R. Caso 4) Campo eléctrico debido dos planos infinitos cargados y paralelos El campo en el exterior de los planos es cero dado que son vectores campo iguales y opuestos, por lo tanto su suma es cero. Ya se vio el valor del campo creado por un plano cargado en forma uniforme En el interior el campo es la suma de los campos creados por los dos planos cargados por lo tanto nos queda que:

DIFERENCIAR LA CORRIENTE ELECTRICA   CONTINUA Y ALTERNA  La razón del amplio uso de la corriente alterna viene determinada por su facilidad de transformación, cualidad de la que carece la corriente continua La enegia electrica viene dada por el producto de la

tension, la intensidad y el tiempo. Dado que la sección de los conductores de las líneas de transporte de energía eléctrica depende de la intensidad, podemos, mediante un transformador, elevar el voltaje hasta altos valores(alta tension). Con esto la misma energía puede ser distribuida a largas distancias con bajas intensidades de corriente y, por tanto, con bajas pérdidas por causa del efecto joule Una vez en el punto de utilización o en sus cercanías, el voltaje puede ser de nuevo reducido para su uso industrial o doméstico de forma cómoda y segura. HALLAR EL VALOR DE INTENSIDAD DE LA CORRIENTE Veamos ahora qué ocurre con la intensidad de la corriente si la resistencia, en lugar de tener 3 ohm, como en el ejemplo anterior, tiene 6 ohm. En este caso la incógnita a despejar sería el valor de la corriente "A", por tanto tapamos esa letra:

Sustituimos a continuación la V por el valor de la tensión de la batería, es decir, 1,5 V y la R por el

valor de la resistencia (6 ) y efectuamos la operación matemática dividiendo el valor de la tensión o voltaje entre el valor de la resistencia:

En este resultado podemos comprobar que, efectivamente, la resistencia es inversamente proporcional al valor de la corriente, porque al aumentar el valor de "R", de 3 a 6 ohm, la intensidad "A" de la corriente varió también, disminuyendo su valor de 0, 5 a 0,25 ampere. Resistencia Ley de OHM Las cargas se mueven en un conductor para producir una corriente bajo la acción de undentro del Campo electricoconductor. Un Campo electrico puede existir en el conductor en este caso debido a que estamos tratando con cargas en movimiento, una situación no electrostatica.. Considere un conductor de área transversal A que conduce una corriente I. La densidad de corriente J en el conductor se define como la corriente por unidad de área. Puesto que la corriente I=nqvdA, la densidad de corriente es:

Donde J tiene unidades del Sistema Internacional A/m2. La expresión es válida sólo si la densidad de corriente es uniforme y sólo si la superficie del área de la sección transversal A es perpendicular a la dirección de la corriente. En general, la densidad de corriente es una cantidad vectorial: A partir de esta definición, vemos otra vez que la densidad de corriente, al igual que la corriente, está en la dirección del movimiento de los portadores de carga negativa. Una densidad de corriente J y un campo eléctrico E se establece en un conductor cuando se mantiene una diferencia de potencial a través del conductor. Si la diferencia de potencia es constante, la corriente también lo es. Es muy común que la densidad de corriente sea proporcional al campo eléctrico. (27.7) Donde la constante de proporcionalidad σ recibe el nombre de conductividad del conductor. Los materiales que obedecen la ecuación 27.7 se dice que cumplan la ley de ohm en honor de Simon Ohm (1787-1854). Más específicamente, la ley de ohm

establece que En muchos materiales (incluidos la mayor parte de los metales, la proporción entre la densidad de corriente y el campo eléctrico es una constante, σ, que es independiente del campo eléctrico productor de la corriente. Los materiales que obedecen la ley de Ohm y que, en consecuencia, presentan este Comportamiento lineal entre E y J se dice que son óhmicos. El Comportamiento eléctrico de la mayor parte de los materiales es bastante lineal para pequeños cambios de la corriente. Experimentalmente, sin embargo, se encuentra que no todos los materiales tienen esta propiedad. Los materiales que no obedecen la ley de Ohm se dice que son no óhmicos. La ley de Ohm no es una ley fundamental de la naturaleza sino más bien una relación empírica válida sólo para ciertos materiales. ELECTRODINAMICA

LEYES DE KIRCHOFF Aunque el concepto de generador y fuerza electromotriz se verá

en otro capítulo, adelantaremos que la fuerza electromotriz (f.e.m.) es la tensión que suministra un generador (pila o bateria) cuando no se le conecta ninguna resistencia. Concepto de malla: Se llama malla en un circuito a cualquier camino cerrado.

FIG. 1 En el ejemplo de la figura hay tres mallas: ABEF BCDE ABCDEF El contorno de la malla está formado por ramas. Hay tres ramas: EFAB BE BCDE Concepto de nudo: Se llama nudo en un circuito a cualquier punto en el que concurren más de dos ramas. En el ejemplo de

la figura hay dos nudos: los puntos B y E. Se fijan en cada malla un sentido de referencia arbitrario, que no tiene por qué ser el mismo en todas las mallas. En el ejemplo se ha escogido el sentido de las agujas del reloj para ambas. Basta con tomar las mallas que sean independientes. La ABCDEF no es independiente, porque está formada por las otras dos. Se conviene en asignarle a los generadores signo positivo cuando tienden a producir corriente en el mismo sentido que el de referencia, y negativo en caso contrario. 1ª Ley de Kirchoff o ley de mallas A lo largo de una malla, la suma de fuerzas electromotrices es igual a la suma de las diferencias de potencial producidas en las resistencias. Otra manera de expresar esto es: la suma algebraica de las tensiones a lo largo de una malla es cero. Obsérvese que esta ley no es sino la ley de Ohm generalizada. 2ª Ley de Kirchoff o ley de nudos En un nudo, la suma de las corrientes que entran es igual a las de que salen. O vien, la suma algebraica de corrientes en un nudo es nula. Esto es evidente, ya que los electrones no se pueden acumular

en un nudo, ni tampoco pueden producirse allí. Como aplicación, se resolvera el jemplo propuesto: (ver Fig. 1) Aplicamos la 1ª ley de Kirchoff a la malla I : - 3 V + 5 V = I1 x 1 + I1 x 2 + I1 x 5 - I3 x 3 2 V = I1 x 8 - I3 x 3 ( I ) Aplicamos la 1ª ley de Kirchoff a la malla II : 0 V = I2 x 2 + I2 x 4 + I2 x 1 + I3 x 3 0 V = I2 x 7 + I3 x 3 ( II ) Aplicamos la 2ª ley de Kirchoff al nudo B: I1 + I3 = I2 ( III ) Resolviendo el sistema de ecuaciones ( I ) ( II ) ( III ) I1 = 20 / 101 = 0,198 A. I2 = 6 / 101 = 0,0594 A. I3 = -14 / 101 = - 0,138 A. El signo negativo de I3 quiere decir que, en realidad, dicha corriente tiene sentido contrario al que hemos supuesto y dibujado en nuestra figura 1. Recordemos la asociación de resistencias en serie y paralelo: A) Asociación en serie

E = VI + VII + VIII En este montaje tenemos UNA sola malla. No hay, por lo tanto, nudos. La corriente I que circula por la única malla es la MISMA para todas las resistencias. Lo que cambia es la tensión en cada una de ellas. La suma de todas las tensiones será igual a la f.e.m. E producida por el generador (1ª Ley de Kirchoff)

La flecha que he puesto al lado de E significa que el generador nos eleva la tensión en el valor que tenga E. Las flechas puestas encima de las VI ,VII , VIII significan que la tensión disminuye en esos valores.La corriente I circula en el sentido del polo positivo de la bateria (el supeior en la figura) al negativo atravesándo las resistencias.

B) Asociación en paralelo

I= I1 + I2 + I3

Circuitos RLC en corriente alterna. En este artículo se hará un repaso de los circuitos básicos, formados por resistencias (R), condensadores (C) y bobinas (L), cuando se alimentan por una fuente de tensión alterna senoidal. En corriente alterna aparecen dos nuevos conceptos relacionados con la

oposición al paso de la corriente eléctrica. Se trata de la reactancia y la impedancia. Un circuito presentará reactancia si incluye condensadores y/o bobinas. La naturaleza de la reactancia es diferente a la de la resistencia eléctrica. En cuanto a la impedancia decir que es un concepto totalizador de los de resistencia y reactancia, ya que es la suma de ambos. Es por tanto un concepto más general que la simple resistencia o reactancia. El más simple y sencillo: Empezaremos con un circuito formado por una resistencia alimentada por una fuente de tensión alterna senoidal:

La tensión vg tendrá un valor instantáneo que vendrá dado en todo momento por En corriente alterna la oposición al paso de la corriente eléctrica tiene dos componentes, una real y otra imaginaria. Dicha oposición ya no se llama

resistencia sino impedancia, Z. La impedancia se expresa mediante un número complejo, por ejemplo de la forma a + jb, siendo a la parte real del número complejo y b su parte imaginaria. Pues bien, una resistencia presenta una impedancia que sólo tiene componente real, ya que la su componente imaginaria es de valor cero. Tendremos entonces que en el caso que nos ocupa la impedancia total del circuito será igual al valor que presente la resistencia R, ya que no existe ningún otro elemento en el circuito. Así pues:

Tras lo visto, podemos calcular el valor de la corriente i que circula por el circuito aplicando la Ley de Ohm:

Tenemos pues que i será, al igual que la tensión vg, de tipo alterna senoidal. Además, como el argumento de la función seno es el mismo en ambos casos, la corriente i estará en fase con la tensión vg:

El condensador en corriente alterna: El circuito base para el estudio del condensador en corriente alterna es el siguiente:

En este circuito el condensador presentará una oposición al paso de la corriente alterna. Dicha oposición se llama reactancia capacitiva. ¿Cuál es la naturaleza de la reactancia capacitiva? Este tipo de oposición al paso de la corriente eléctrica es de carácter reactivo, entendiendo tal cosa como una "reacción" que introduce el condensador cuando la tensión que se le aplica tiende a variar lentamente o nada. Cuando el condensador está totalmente

descargado se comporta como un cortocircuito. Cuando está totalmente cargado como una resistencia de valor infinito. Para valores intermedios de carga se comportará como una resistencia de valor intermedio, limitando la corriente a un determinado valor. Como en corriente alterna el condensador está continuamente cargandose y descargandose, mientras más lentamente varíe la tensión (frecuencia baja) más tiempo estará el condensador en estado de casi carga que en estado de casi descarga, con lo que presentará de media una oposición alta al paso de la corriente. Para variaciones rápidas de la tensión (frecuencias altas) el efecto será el contrario y por tanto presentará una oposición baja al paso de la corriente. Podemos decir, por tanto, que la naturaleza de este tipo de oposición es de carácter electrostático: la carga almacenada en el condensador se opone a que éste siga cargándose y esta oposición será mayor cuanto más carga acumule el condensador. El circuito presentará una impedancia al paso de la corriente alterna dada por: donde Xc es la reactancia capacitiva que se calcula así:

Como puede apreciarse, la impedancia que presenta un condensador sólo tiene componente imaginaria o reactiva. ¿Qué podemos decir de la corriente que circula por el circuito? Partamos de la conocida expresión que relaciona la tensión en extremos de un condensador, su capacidad eléctrica y el valor de la carga que almacena dicho condensador: La tensión en extremos del condensador será vg, con lo que podemos poner que:

Si ahora derivamos respecto al tiempo la expresión anterior, resulta que Reordenando términos, y teniendo en cuenta que cos a = sen ( a + 90º ), obtenemos finalmente que La expresión anterior supone un desfase de 90º en adelanto de la corriente que circula por el circuito respecto de la tensión en extremos del condensador.

Esto se puede ver claramente en la siguiente gráfica:

La bobina en corriente alterna: Al igual que en los casos anteriores, el circuito sobre el que se estudia el comportamiento básico de la bobina en corriente alterna es el siguiente:

La bobina presentará oposición al paso de la corriente eléctrica y ésta será reactiva, de manera similar al caso capacitivo. Sin embargo, la naturaleza de la reactancia inductiva no es de carácter electrostático, sino de carácter electromagnético. Una bobina inducirá en sus extremos (debido a su autoinducción) una tensión que se opondrá a la tensión que se le aplique, al menos

durante unos instantes. Ello provoca que no pueda circular corriente libremente. Cuanto mayor sea la velocidad de variación de la tensión aplicada mayor valor tendrá la tensión inducida en la bobina y, consecuentemente, menor corriente podrá circular por ella. Así, a mayor frecuencia de la tensión aplicada mayor será la reactancia de la bobina y, a la inversa, a menorfrecuencia de la tensión aplicada menor será la reactancia de la bobina. La impedancia que presenta la bobina, y por ende el circuito, será la siguiente: siendo Xl la reactancia inductiva de la bobina (que viene a ser la oposición que ésta presenta al paso de la corriente alterna) que se calcula así: Veamos ahora qué valor tendrá la corriente que circula por el circuito. Igual que en el caso del condensador, partiremos de una expresión que debiera ser conocida, la que se suele usar para definir la autoinducción: Como vg es la tensión en extremos de la bobina podemos poner lo siguiente:

Integrando los dos miembros de la igualdad resulta que que tras reordenar y tener en cuenta la igualdad trigonométrica - cos a = sen ( a - 90º ), queda lo siguiente: Por tanto, la bobina en corriente alterna atrasa la corriente 90º respecto a la tensión presente en sus extremos. Esto se puede ver en la siguiente gráfica:

El circuito RC serie en corriente alterna

Por el circuito circulará una sola corriente i. Dicha corriente, como es común a todos los elementos del circuito, se tomará como referencia de fases. La impedancia total del circuito será la suma (circuito serie) de las impedancias de cada elemento del mismo. O sea, Por tanto, la intensidad que circula por el circuito será:

que como puede apreciarse tendrá parte real y parte imaginaria. Esto implica que el desfase de i respecto a vg no será ni cero (que sería el caso de circuito resistivo puro) ni 90º (caso capacitivo puro), sino que estará comprendido entre estos dos valores extremos:

La gráfica roja es la de la tensión de alimentación del circuito. La gráfica azul corresponde con la tensión vc. Por último, la gráfica verde es la corriente i que circula por el circuito. A partir de la expresión en forma binómica de la corriente es posible expresarla en otra forma cualquiera de las posibles para un número complejo. Quizás la más útil para nuestros fines sea la expresión en forma polar o módulo-argumental. Para hacer la conversión de una a otra forma de expresión se ha de seguir el siguiente método:

m es el módulo del número complejo e indica cuan

grande es el vector comlejo. Por otro lado, j es el argumento y representa el ángulo que forma el vector comlejo respecto al eje positivo de "las x", que en nuestro caso se corresponde con el ángulo de desfase. Tomando esta forma de expresar los números complejos, el módulo de i será

y su argumento o ángulo de desfase respecto a vg es Como este ángulo será positivo, y recordando que la referencia de fases es la propia i (y por tanto su desfase será cero por definición), la tensión vg estará desfasada respecto a i un ángulo -j, o sea, vg estará atrasada un ángulo j respecto a i. Conocida la corriente que circula por el circuito, veamos las tensiones de la resistencia y del condensador. El caso de la resistencia es muy sencillo, ya que como vimos antes no introduce ningún desfase entre tensión en sus extremos y corriente que la atraviesa. Por tanto, la tensión de la resistencia, vr, tendrá un desfase cero respecto a i y su módulo vendrá dado por

El condensador sí introduce desfase entre la tensión en sus extremos y la corriente que circula por el circuito en el que se intercala. Ese desfase ya sabemos que es de 90º de adelanto de la intensidad respecto a la tensión, o lo que es lo mismo, de 90º de atraso de la tensión respecto de la intensidad. Por tanto, vc estará atrasada 90º respecto a i y su módulo se calculará como

El circuito RL serie en corriente alterna:

El análisis de este circuito es comletamente similar al del circuito RC serie. Así, el valor de la impedancia será: El módulo de la intensidad que circula por el circuito

es

y su ángulo de defase respecto a vg es

que evidentemente será negativo, indicando con ello que la tensión vg está adelantada respecto a i (ya que según el signo de este ángulo i está atrasada respecto a vg). En cuanto a las tensiones de la resistencia y la bobina, las técnicas de cálculo son idénticas a las vistas anteriormente, es decir, se aplica la Ley de Ohm generalizada para corriente alterna. En concreto:

La tensión de la resistencia estará en fase con la corriente y la de la bobina estará adelantada 90º respecto a dicha corriente.

El circuito RLC serie en corriente alterna:

El valor de la impedancia que presenta el circuito será:

O sea, además de la parte real formada por el valor de la resistencia, tendrá una parte reactiva (imaginaria) que vendrá dada por la diferencia de reactancias inductiva y capacitiva. Llamemos X a esa resta de reactancias. Pues bien, si X es negativa quiere decir que predomina en el circuito el efecto capacitivo. Por el contrario, si X es positiva será la bobina la que predomine sobre el condensador. En el primer caso la corriente presentará un adelanto sobre la tensión de alimentación. Si el caso es el segundo entonces la corriente estará atrasada respecto a vg. ¿Qué ocurre si X es cero? Este sería un caso muy especial que veremos en el siguiente apartado. Conocida Zt, la corriente se puede calcular mediante

la Ley de Ohm y su descompocisión en módulo y ángulo de desfase no debería suponer mayor problema a estas alturas. Así,

También por Ley de Ohm se calculan los módulos de las tensiones de los diferentes elementos (las fases respecto a i son siempre las mismas: 0º para vr, 90º para vl y -90º para vc). Concretamente,

Resonancia en circuitos serie RLC: Como se comentaba más arriba, existe un caso especial en un circuito serie RLC. Éste se produce cuando Xc=Xl y por lo tanto X=0. En un circuito de este tipo dicha circunstancia siempre se podrá dar y ello ocurre a una frecuencia muy determinada (recordemos la dependencia de Xc y Xl respecto de la frecuencia f de la tensión de alimentación). Cuando tal ocurre decimos que el circuito está en resonancia, y la frecuencia para la que ello ocurre se llamará frecuencia de resonancia. ¿Cuál será el valor de dicha

frecuencia? Igualando Xc y Xl podremos conocer su valor: A la frecuencia de resonancia el circuito se comportará como resistivo puro, ya que los efectos capacitivos e inductivos se anulan mutuamente. Una representación gráfica del fenómeno de la resonancia es la siguiente:

Lo aquí representado es el valor del módulo de la corriente que recorre el circuito según sea la frecuencia de la tensión de alimentación. Si se calcula la frecuencia de resonancia se verá que para los valores de la gráfica ésta es de 5033Hz, lo que corresponde con el máximo de la curva de la gráfica. Para frecuencia inferiores y superiores a la de

resonancia el valor de la corriente será menor, lo cual es lógico ya que sólo para la frecuencia de resonancia la resta de reactancias será cero. Para frecuencias inferiores a la de resonancia predomina la reactancia capacitiva, siendo la inductiva la que predomina para frecuencias superiores a la de resonancia. La expresión que proporciona la frecuencia de resonancia en un circuito paralelo RLC puede llegar a ser bastante más complicada que en el caso de suhomólogo serie, pero si nos restringimos a un circuito tan simple como el del apartado anterior será la misma que la ya vista para el caso serie, o sea: