´ ´ DEDUCCION DE LA FORMULA DEL EFECTO DOPPLER COMPLETO USANDO UN TELESCOPIO REFLECTOR NEWTONIANO ALBERT ZOTKIN

Resumen. En este corto art´ıculo se ofrecer´ a una deduccci´ on de la f´ ormula del efecto Doppler Completo en el marco de la Relatividad Galileana, y se comparar´ a dicho formalismo con el usado en la Teor´ıa de la Relatividad Especial de Albert Einstein.

Consideremos un telescopio reflector newtoniano, por el que entra luz procedente de una fuente emisora que se aleja inercialmente por la misma linea de visi´on. La luz que refleja el espejo parab´olico primario posee pues una frecuencia f , la cual, por el efecto Doppler, es menor que la frecuencia original que emite la fuente. Aceleremos ahora un diferencial de velocidad dv el espejo parab´olico primario hacia el espejo central diagonal.

Eso significa que el espejo central diagonal est´a reflejando ahora luz hacia el objetivo con una frecuencia ligeramente mayor a f , es decir, esa frecuencia ser´a f 0 = f + df . Por lo tanto podemos escribir la siguiente ecuaci´ on diferencial y hallar su soluci´ on:

 (1)

(2)

f + df = f

dv 1+ c

f + df = f + 1



f dv c

(3)

df =

f dv c

df dv = f c   v f = ln f0 c   v f = f0 exp c

(4)

(5)

(6)

con lo cual hemos hallado la f´ ormula del Doppler completo. En la ecuaci´ on diferencial inicial he usado la f´ormula del efecto Doppler de primer orden de aproximaci´ on, es decir la cl´ asica no relativista. Es importante recalcar que cuando se integra un diferencial de velocidad lo que se est´ a haciendo es sumar infinitas cantidades infinitamente peque˜ nas, es decir, en el proceso de integraci´ on se est´ a acelerando constantemente al sistema material, y al final de la integraci´on el sistema material aceler´ o desde 0 hasta v,

Z (7)

v dv 1 = (dv + dv + dv + ...) = c c c

Alguien que se supon´ıa entendido en la mater´ıa aleg´o que usar dicha f´ormula de primer orden de aproximaci´ on para deducir una f´ ormula de Doppler completo no es correcto, porque desde ella no es posible hallar ninguna f´ ormula que posea los infinitos ´ordenes. Por supuesto, dicha persona est´a muy equivocada al respecto. Ya Euclides demostr´ o que es posible aproximarse al ´area de un circulo mediante rect´angulos con la longitud de uno sus lados siendo un infinitesimal. En esta deducci´on, se aplica algo muy similar y que est´ a en la naturaleza de la propia definici´ on de integral. De hecho la soluci´on hallada vemos que es un ´ area. Dicha ´ area es precisamente β = v/c, que se corresponde con el ´area ln(f /f0 ). Despu´es vino otro supuesto entendido en la materia y afirm´ o que yo estaba muy confundido, porque lo que en esa f´ormula aparece como β = v/c es en realidad una rapidez (rapidity). Esta persona me indic´o que lo que yo llamo velocidad es en realidad una velocidad hiperb´ olica, tal y como est´a definida en la teoria de la relatividad especial de Einstein. Efectivamente, la velocidad hiperb´ olica de la relatividad especial, que tambi´en se llama celeridad, es igual a la rapidez multiplicada por c . Efectivamente, si sustituimos β = v/c en la exponencialpque he hallado la por la rapidez, θ = tanh−1 β, obtenemos la famosa f´ormula relativista del Doppler,f = f0 (1 + v/c)/(1 − v/c). Pero, a este u ´ltimo supuesto experto en la materia le dije que, puesto que yo no estaba usando la relatividad especial, sino la relatividad Galileana, no hay confusi´on posible, por lo tanto la velocidad v, se postula como una velocidad real, y nunca como una velocidad hiperb´olica. Todos esos supuestos entendidos en la materia intentan refutar la f´ ormula del Doppler Completo hallada arriba, afirmando que los experimentos validan todos la relatividad especial pero invalidad la f´ormula que yo hall´e. Eso que afirman, es, por supuesto, una gran mentira. Lo dicen u ´nicamente porque se dejan influenciar por su primera impresi´on de que yo debo de estar confundid´ısimo y la relatividad especial tiene que seguir siendo la mejor y m´as testada teor´ıa al respecto. Pero si comparamos las expansiones en series de potencias (series de Taylor) en ambas f´ormulas, tenemos:

(8)

v  f v v2 v3 v4 = exp =1+ + 2 + 3 + + ... f0 c c 2c 6c 24c4

(9)

f = f0

s

1 + v/c v v2 v3 3v 4 = 1 + + 2 + 3 + 4 + ... 1 − v/c c 2c 2c 8c 2

Es decir, se necesitar´ıa un experimento que pudiera discriminar ambas predicciones con una precisi´ on tal que llegara hasta el tercer orden de aproximaci´on, pero eso no es posible realizarlo con la tecnolog´ıa actual. La precisi´ on actual en los tests experimentales s´olo llega hasta el segundo orden, v 2 /2c2 . Corollary 0.1. Es f´ acil deducir el momento de una part´ıcula desde el efecto Doppler: mc (D(v/c) − D(−v/c)) 2 esta ecuaci´ on gen´erica del momento se cumple siempre para cualquier factor Doppler de cualquier teor´ıa. Donde D(v/c) es un vector en la direcci´ on del movimiento de la part´ıcula. El factor Doppler Completo arriba deducido es D(v/c) = exp(v/c), por lo tanto, el momento que se deduce desde ese factor Doppler es: (10)

p=

(11)

p = mc sinh

v c

!

De igual forma, la energ´ıa total de una part´ıcula deducida desde el Doppler saldr´ıa de la ecuaci´ on gen´erica:

(12)

E=

mc2 (D(v/c) + D(−v/c)) 2

Por lo tanto, tenemos:

(13)

2

E = mc cosh

v c

!

p Tambi´en es f´ acil ver que para el caso de la relatividad especial, tendriamos D(v/c) = (1 + v/c)/(1 − v/c). Por lo tanto, despu´es de algunas manipulaciones algebr´ aicas obtenemos E = mc2 γ y p = mvγ , donde γ es el factor de Lorentz. Y por supuesto, tambi´en es f´ acil ver que las ecuaciones gen´ericas de arriba satisfacen la relaci´ on E 2 − 2 2 2 4 c p = m c , si la funci´ on gen´erica D(v/c) posee la propiedad D(v/c)D(−v/c) = 1, propiedad que debe poseer todo factor Doppler que pretenda no ser inconsistente con el efecto f´ısico que modela. Corollary 0.2. El siguiente ejercicio me lo plante´ o amarashiki, en una discusi´ on dentro de un thread del blog Francis (th)E mule Science’s News, con la malsana intenci´ on de refutar definit´ıvamente el modelo que yo propongo:

Exercise 0.3. calcula, usando TU definici´on de energ´ıa y momento, la energ´ıa m´ınima y la energ´ıa cin´etica m´ınima para crear un par prot´on antiprot´on en la colisi´on de un prot´on A con un prot´ on B en reposo. Nota, no puedes usar la definici´on relativista de energ´ıa E = mγc2 ni p = mγv, sino que tienes que usar tus ecuaciones, a saber E = mc2 cosh(v/c) y p = mc sinh(v/c). Yo ya he hecho los c´alculos. En relatividad especial sale que la energ´ıa m´ınima es 7mc2 (donde m es la masa del prot´on), y la energ´ıa cin´etica m´ınima es 6mc2 . En tu teor´ıa con TUS definiciones de energ´ıa y momento, antes escritas, yo digo que es IMPOSIBLE la creaci´ on de pares. Como la creaci´on de pares se observa experimentalmente, entonces tu teor´ıa es un cuento chino. Ref´ utame, si puedes. . . Con ecuaciones. . . Lo que sigue fue lo que yo le contest´e: Este ejercicio lo voy a resolver primero usando un sistema de referencia centrado en el centro de masas de los dos protones, por lo tanto el momento total ser´ a nulo. Primero voy a calcular suponiendo que la reacci´ on crear´ a un pi´ on, π 0 , con todas las part´ıculas finales en reposo tras la colisi´ on, (p, p, π 0 ). Usando mi modelo, la energ´ıa total del sistema ser´ a: E = 2mc2 = 2mp c2 + mπ c2 3

donde m = mp cosh(v/c) por lo tanto para la creaci´ on de ese π 0 la velocidad de aproximaci´ on de cada prot´ on hacia el centro de masas debe ser de ! mπ −1 v = c cosh 1+ 2mp Y como en mi modelo las velocidades se suman trivialmente como suma de vectores, tenemos que la velocidad, v 0 , de aproximaci´ on de uno de los protones en el sistema de referencia donde el otro prot´ on est´ a en reposo ser´ıa de ! mπ −1 0 v = v + v = 2c cosh 1+ 2mp Esto ser´ıa para la reacci´ on que crea un pi´ on, p + p → p + p + π 0 . Y es muy f´ acil ver ahora que la reacci´ on que crea un par prot´ on-antiprot´ on, p + p → p + p + p + p¯, debe implicar una velocidad de aproximaci´ on de un prot´ on hacia el otro de: ! 2mp −1 0 v = 2c cosh 1+ = 2c cosh−1 (2) = 2,63392c 2mp Lo cual significa que la energ´ıa cin´etica m´ınima ser´ a Ek = mp c2 (cosh(2,63392) − 1) = 6mp c2 Y la energ´ıa total m´ınima ser´ a de E = mp c2 cosh(2,63392) = 7mp c2 Traducido al modelo de la SR, donde la constante c juega el rol falso de una velocidad l´ımite, que no puede ser superada por nada, tendriamos una velocidad de v 00 = tanh(2,63392)c = 0,989743c Ese es el enga˜ no que la SR logr´ o colar a toda la f´ısica desde hace m´ as de un siglo. Creer que las part´ıculas no pueden superar la velocidad c, cuando de hecho esa velocidad es superada rutinariamente en cualquier acelerador de part´ıculas, incluso en los muones creados por rayos c´ osmicos en la atm´ osfera terrestre. Para perpetrar ese enga˜ no, la SR ide´ o efectos como la dilataci´ on del tiempo, o la contracci´ on de las longitudes, o el m´ as absurdo a´ un de la relatividad de la simultaneidad de eventos, y trampas teor´eticas como la convenci´ on de Einstein para la sincronizaci´ on de dos relojes en reposo muy alejados. Corollary 0.4. Veamos c´ omo la dilataci´ on del tiempo, que se afirma haberse testado con ´exito en los muones de rayos c´ osmicos, es en realidad una gran falacia. Los muones poseen una vida media de 2,19703(4) 10−6 s. Pero entonces un mu´ on creado en las altas capas de la atm´ osfera terrestre no tendr´ıa suficiente tiempo de llegar a ser detectado en la superficie terrestre, incluso viajando a velocidad de c, o como mucho solo ser´ıa detectada una cantidad muy peque˜ na de muones, la cual no se corresponder´ıa con lo que se observa. El razonamiento mainstream es que los muones deben poseer velocidades relativistas muy altas, pero nunca superlum´ınicas, es decir esos muones deben tener velocidades del orden de 0.999c, o m´ as cerca de ca´ un. Seg´ un la SR, a esas velocidades tan cercanas a c, existe una significativa dilataci´ on del tiempo propio del mu´ on, con lo cual su vida media se prolongar´ıa exactamente la cantidad necesaria de tiempo para observar lo que es observado. Se puede comprobar f´ acilmente que eso es una falacia. Lo que sucede realmente es que los muones conservan constante su vida media de 2,19703(4) 10−6 s , pero sus velocidades son superiores a c. Veamos con m´ as n´ umeros por qu´e es una falacia la interpretaci´ on de la SR afirmando que lo que se observa 4

es debido a una dilataci´ on del tiempo. Supongamos que un mu´ on posee, cuando es creado en altas capas de la atm´ osfera, una energ´ıa total de E = 20 GeV. Entonces con esa energ´ıa es muy f´ acil calcular cu´ al debe ser la velocidad de un mu´ on, pues E = mc2 cosh

(14)

(15)

v = c cosh

v c E mc2

−1

!

y como la energ´ıa en reposo de un mu´ on es E0 = mc2 = 105,658367(4) MeV, tenemos que (16)

v = c cosh

20 × 109 105,6 × 106

−1

! = 5,93697c ≈ 6c

O sea, los muones con energ´ıa 20 GeV creados en las altas capas de la atm´ osfera llegan a los detectores en la superficie a tiempo porque poseen una velocidad de unas ¡seis veces la velocidad de la luz!. Esto demuestra tambi´en, irrefutablemente que los neutrinos mu´ onicos, resultado de la desintregaci´ on de muones, medidos en el experimento OPERA viajaron realmente a velocidades superlum´ınicas, aunque, como he demostrado de forma fehaciente, es m´ as que evidente que los formalismos de la SR enmascaran esa realidad. Corollary 0.5. Podemos ver que la ecuaci´ on diferencial desde la cual se podr´ıa integrar el Doppler relativista de la Relatividad Especial ser´ıa, dv df = 2 f c(1 − vc2 )

(17) con lo que si integramos tenemos,

   f −1 v ln = tanh f0 c     f 1 + vc 1 ln = ln f0 2 1 − vc s 1 − vc f = f0 1 + vc 

(18)

(19)

(20)

El problema de esta ecuaci´ on de la Relatividad Especial reside en el hecho de que no est´ a del todo claro de qu´e situaci´ on fisica o condici´ on inicial podr´ıamos plantear tal ecuaci´ on diferencial para que la deducci´ on tuviera consistencia no s´ olo matem´ atica sino fisica. De todas formas, intentemos profundizar un poco m´ as en esta u ´ltima relaci´ on. Vemos que al integrar la ecuaci´ on diferencial obtenemos ln( ff0 ) = tanh−1 ( vc ), y vemos que esa arcotangente hiperb´ olica es precisamente la definici´ on de rapidez (rapidity en ingl´es). O sea,

(21)

−1

θ = tanh

  v c

Y eso significa que es un diferencial de rapidez dθ, de tal forma que al integrar (22)

dθ =

dv c(1 −

v2 c2 )

obtenemos la rapidez θ. Y este corolario demuestra que en la f´ ormula de Doppler Completo que deduje arriba no se confunde ninguna velocidad con la velocidad hiperb´ olica, ni ninguna con la rapidez , porque se ve cl´ aramente que esta u ´ltima posee su propia ecuaci´ on diferencial. 5

1.

Conclusion

Mediante esta deducci´ on de la f´ ormula del efecto Doppler Completo podemos apreciar c´omo la Teor´ıa de la Relatividad Galileana equipada con este formalismo ya no puede admitir correcciones relativistas que provengan de la Relatividad Especial, pues por s´ı misma parece capaz de modelar energ´ıas y momentos completos en marcos inerciales de referencia. La u ´nica objeci´on que podr´ıa argumentarse en contra de esta propuesta de modelo es que se habla de velocidades superluminicas, y que supuestamente eso est´a descartado definitivamente por los experimentos . Sin embargo, afirmar que una part´ıcula con masa en reposo no nula pueda moverse a una velocidad superlum´ınica (v > c) en alg´ un marco inercial de referencia, no es en modo alguno contrario al experimento, sino s´ olo contrario cierta teor´ıa de la relatividad.

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