Expresiones algebraicas. •

Definición: Una expresión algebraica es una combinación de números, letras y paréntesis, relacionados con operaciones. o

Ejemplo:

3! + 5 − ! 3 −

! !"

 

(9! − 3) - 12

•

Elementos de una expresión algebraica: o Variable: es la cantidad desconocida. Se representa por una letra, normalmente por x. o Términos: son cada uno de los sumandos; pueden ser literales si llevan variable, o independientes si no llevan variable. o Coeficientes: son el número que multiplica a la variable y el término independiente. Si en una variable el coeficiente no está expresado, éste vale 1. o

Ejemplo:

3! + 5 − ! 3 −

! !"

 

Variable:

Términos:

Coeficientes:

•

Valor numérico de una expresión algebraica: es el valor que se obtiene al sustituir la variable en la expresión algebraica por un número y realizar las operaciones. o

Ejemplo:

si ! = 2,  entonces 3! + 5 − ! 3 −

!

=

!"

si ! =   −1,  entonces 3! + 5 − ! 3 −

! !"

Jesús C. Sastre  

=

Ecuaciones de 1er grado. 1

Ecuaciones. •

Definición: es una igualdad que sólo se verifica para algunos valores de la variable. o

Ejemplo:

3! + 5 − ! 3 −

! !"

  = 2!

Intenta verificar esta igualdad para distintos valores de !, comprobando que no se cumple en la mayoría de los casos.

•

Partes de una ecuación: o Incógnita: variable o cantidad desconocida. o Términos: cada uno de los sumandos que intervienen en la igualdad. o Miembros: cada una de las expresiones algebraicas que hay antes y después del signo =. Al de la izquierda se le llama primer miembro, y al de la derecha se le llama segundo miembro. o

Ejemplo:

3! + 5 − ! 3 −

! !"

= 2!

Incógnita:

Términos:

Miembros:

•

Resolver una ecuación: consiste en hallar el valor o valores de la incógnita, que verifica la ecuación.

•

Comprobar una ecuación: es sustituir la raíz o solución en la ecuación, comprobando que la igualdad de los dos miembros se cumple.

•

Despejar una incógnita: consiste en dejar la incógnita sola en un miembro de la ecuación. o

Ejemplo:

2. Ecuaciones de 1er grado.  

3 + ! = 10

Jesús C. Sastre

•

Ecuaciones equivalentes: dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para resolver una ecuación, se ha de hallar ecuaciones equivalentes y más sencillas a una dada, siguiendo una serie de pasos.

•

Cómo obtener ecuaciones equivalentes a una dada: o Regla de la suma y resta: si se suma o resta un mismo término a los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente. o Ejemplo: Halla dos ecuaciones equivalentes a 2! = 10.

o

Regla del producto y de la división: si se multiplica o divide por un mismo número, distinto de cero, los dos miembros de una ecuación, se obtiene una ecuación equivalente. o Ejemplo: Halla dos ecuaciones equivalentes a 2! = 10.

ü En la práctica, se dice que “si un número está sumando a la incógnita en el primer miembro, pasa restando”, y viceversa, y del mismo modo, “si un número está multiplicando a la incógnita en el primer miembro, pasa dividiendo”, y viceversa, pero en realidad, éste es el efecto de aplicar las dos reglas anteriores.

Jesús C. Sastre  

Ecuaciones de 1er grado. 3

Resolución de ecuaciones de 1er grado con una incógnita.

•

Ecuaciones de 1er grado con coeficientes enteros. Para resolver (hallar el valor de la ! que verifica la ecuación), se seguirán los siguientes pasos:

1. Se eliminan los paréntesis. Aplicando la propiedad distributiva. 2. Se trasponen los términos. Los términos literales se pasan al 1er miembro, y los constantes, al 2º. 3. Se reducen los términos semejantes. Una vez hecho el paso 2, se suman o restan los términos de cada miembro. Si el 1er miembro es negativo (la parte literal), se cambia la ecuación de signo multiplicando ambos miembros de la ecuación por (-1). 4. Se despeja la incógnita. Se dividen ambos lados de la ecuación entre el cociente que acompaña a la !. El efecto será que “pasa al otro miembro dividiendo”. o

Ejemplo: Resuelve esta ecuación marcando los pasos que sigues: 4   ! − 10 +  5 = 20 − !  

1. Paréntesis.

2. Trasposición de términos.

3. Reducción de términos semejantes.

4. Despejar incógnita.

4. Ecuaciones de 1er grado.  

Jesús C. Sastre

•

Ecuaciones de 1er grado con denominadores.

1. Eliminar denominadores. Se halla el m.c.m. de los denominadores. Después se hallan fracciones equivalentes a las que se tienen, con denominador igual al m.c.m. hallado anteriormente. Cuando se tiene denominador común en los dos miembros, se multiplican ambos por el m.c.m. para “quitar los denominadores”. 2. Se eliminan los paréntesis. Aplicando la propiedad distributiva. 3. Se trasponen los términos. Los términos literales se pasan al 1er miembro, y los constantes, al 2º. 4. Se reducen los términos semejantes. Una vez hecho el paso 2, se suman o restan los términos de cada miembro. Si el 1er miembro es negativo (la parte literal), se cambia la ecuación de signo multiplicando ambos miembros de la ecuación por (-1). 5. Se despeja la incógnita. Se dividen ambos lados de la ecuación entre el cociente que acompaña a la !. El efecto será que “pasa al otro miembro dividiendo”. Ejemplo: Resuelve esta ecuación marcando los pasos que sigues: 4 5 2   ! − 10 +   = 10   − !   5 2 3 1. Denominadores. o

2. Paréntesis.

3. Trasposición de términos.

4. Reducción de términos semejantes.

5. Despejar incógnita.

Jesús C. Sastre  

Ecuaciones de 1er grado. 5

Ejercicios para practicar. 1. Resuelve: a. ! + 2 = 7 b. ! + 10 = 4 c. 8 = ! + 2 d. 3 = 9 + ! e. ! − 5 = 8 f. ! + 4 = −3 g. ! − 2 = −7 h. −1 = ! + 10 i. 16 − ! = 10 2. Resuelve: a. 2! = 6 b. 18 = 3! c. −2! = 10 d. −15 = −5! e. 3! + 5! = 16 f. 7! − 3! = 12 g. 6! − 2! = −8 h. 12! − 8! = 15 − 7 i. ! − 2! = 7 3. Resuelve: a. 4! = 3! + 5 b. 5! − 2! = ! + 8 c. 2! + 7 = ! + 14 d. 4! − 6 = 3 − 5! e. ! + 3! + 2 = 2! + 8 f. 3! + 5 − ! = 3 + ! g. 5 − ! = 3! + 2! − 7 h. 5! − 4 − ! = 2! − 1 i. 6! + 10 = 10! − 10 4. Resuelve: a. 8 − 1 − 2! = 11 b. 4! − 5 − 3! − 1 = 0 c. ! − 4 − 3! − 1 = 5 d. 2 ! + 5 = 14 e. 6 ! − 1 − 4 ! − 2 = 3 f. 5 3! − 2 + 4 = 2 5! − 1 + 1

6. Ecuaciones de 1er grado.  

Jesús C. Sastre

5. Resuelve: a. b. c. d. e. f. g. h. i. Soluciones. 1. a. b. c. d. e. f. g. h. i.

! ! !

= 10 −1=3

! !! ! !! ! ! ! ! ! !

!

+3=9

+ +

!! ! !! ! !

=2 =6

+ +5=9

! !! ! !

=6

! !!

+

!

!

=

! !

+ =5 !

3. ! ! ! ! ! ! ! ! !

=5 = −6 =6 = −6 = 13 = −7 = −5 = −11 =6

2. a. b. c. d. e. f. g. h. i.

! ! ! ! ! ! ! ! !

=3 =6 = −5 =3 =2 =3 = −2 =2 = −7

a. b. c. d. e. f. g. h.

! ! ! ! ! ! ! !

i.

!=

j.

!=5

a. b. c. d.

! ! ! !

! !

4. = −3 =4 = −4 =2

e. ! = f.

! !

!=1

Jesús C. Sastre  

=5 =4 =7 =1 =3 = −2 =2 =

Ecuaciones de 1er grado. 7

Problemas para practicar. 1. Un número y su siguiente suman 53. ¿De qué números se trata? 2. En una granja de vacas, entre cuernos y patas suman 90. ¿Cuál es el número de vacas? 3. La valla que rodea una parcela rectangular mide 80m. La parcela mide 10m más de largo que de ancho. ¿Cuáles son sus medidas? 4. El triple de un número, menos cinco, es igual a 16. ¿Cuál es el número? 5. La suma de tres números consecutivos es 702. ¿Cuáles son esos números? 6. Un número, su anterior y su posterior suman 702. ¿Qué números son? Compara el enunciado de este ejercicio con el anterior. ¿Qué relación ves? ¿Lo has resuelto igual? 7. Reparte 680€ entre dos personas de forma que la primera se lleve el triple que la segunda. 8. En un cine hay 511 personas. ¿Cuál es el número de hombres y cuál el de mujeres, sabiendo que el de ellas supera al de ellos en 17? 9. Marisa es tres años más joven que su hermana Eustaquia y un año mayor que su hermano Rigoberto. Entre los tres igualan la edad de su madre, que tiene 38 años. ¿Cuál es la edad de cada uno? 10. Pedro, Pablo y Juan reciben 1200€ como pago por su trabajo de socorristas en una piscina. Si Pablo ha trabajado el triple de días que Pedro y Paloma el doble que Pablo, ¿cómo harán el reparto? 11. En una granja, entre gallinas y conejos, hay 20 cabezas y 52 patas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay? 12. Paz y Petra tienen 6 y 9 años, respectivamente. Su madre, Ana, tiene 35 años. ¿Cuántos años deben pasar para que, entre las dos niñas, igualen la edad de la madre? 13. Un yogur de frutas cuesta 10 céntimos más que uno natural. ¿Cuál es el precio de cada uno si he pagado 2,6€ por cuatro naturales y seis de frutas? 14. Montse tiene el triple de cromos que María. Intercambian 8 de Montse (fáciles de conseguir) por 3 de María (más difíciles). Ahora Montse tiene el doble de cromos que María. ¿Cuántos tienen ahora? 15. En una prueba de 20 preguntas, dan 5 puntos por cada respuesta correcta y quitan 33 puntos por cada fallo. ¿Cuántas preguntas ha acertado Mario si ha obtenido 68 puntos? 8. Ecuaciones de 1er grado.  

Jesús C. Sastre