TEMA 3: CINEMATICA DE UNA PARTICULA

La Mecánica es la parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos. La cinemática es la parte de la mecánica que describe el movimiento en sí, sin tener en cuenta la causa del mismo. La Dinámica es la parte de la mecánica que estudia la relación entre movimiento y las fuerzas que lo causan y las propiedades de los objetos que se mueven. 3.1. TIPOS DE MOVIMIENTO Hay tres tipos comunes de movimientos: (1) traslación, (2) rotación y (3) vibración. Ejemplos: (1) un carro, una bala de cañón, corrientes marinas… (2) los planetas, una rueda girando, … (3) una cuerda de guitarra, las moléculas de un material cuando incide luz en dicho material,…Primeramente vamos a concentrarnos en el movimiento de traslación. Para estudiar el movimiento vamos a definir en primer lugar el tipo de objeto que se va a mover: una partícula. Cuando un objeto se mueve, dicho objeto puede experimentar diferentes movimientos a la vez, por ejemplo, un balón de futbol puede estar moviendose con un movimiento de traslación parabólico y a la vez puede estar rotando. Una partícula se define como un punto, sin extensión, es decir, de tamaño cero, de manera que los movimientos de rotación o vibración se pueden despreciar. En la naturaleza todos los cuerpos tienen un tamaño, pero podemos hacer una aproximación, por ejemplo, cuando se estudia el sistema Sol-Tierra-Luna, debido a que las distancias involucradas son enormes, los cuerpos celestes puedes aproximarse a partículas. Un mov. de traslación ocurre cuando el sistema de referencia asociado a la partícula que se mueve (x’, y’, z’) permanece paralelo a un sistema de referencia fijo donde se encuentra el observador (x, y, z). No importa que el movimiento no se de en una línea recta. Los movimientos de traslación se pueden estudiar teniendo en cuenta si el movimiento es en una dimensión (movimiento rectilíneo y movimiento de caída libre) o en un plano (movimiento parabólico y movimiento circular). 3.2. DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION 3.2.1. VELOCIDAD PROMEDIO La posición de una partícula dentro de un sistema de referencia viene dada por el vector posición r1 desde el origen hasta la partícula. El vector desplazamiento describe el cambio de posición de la partícula con respecto al sistema de referencia dado, desde una posición r1 a una posición r2, esto es: ∆r = r2 – r1, y el tiempo que tarda la partícula en desplazarse se define como: ∆t = t2 – t1. Con estas dos variables se puede definir la velocidad de una partícula como el cambio de su posición en el tiempo. Matemáticamente ésto se escribe como:

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v=

∆ r r2 − r1 ( vectordesplazamiento ) = = ∆ t t 2 − t1 tiempo

La velocidad, por tanto, es un vector con la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento y cuya magnitud es ∆ r ∆ t . Dicha magnitud se expresa en unidades de distancia divididas por unidades de tiempo (m/s en el sistema SI). La velocidad así definida se denomina velocidad promedio porque sólo nos da información del punto inicial y el punto final del movimiento, pero no nos dice nada sobre el recorrido, éste puede ser recto o con curvas, puede ser estable o errático. Digamos que nos dice “cuán rápido se mueve la partícula en un intervalo de tiempo”. La velocidad promedio sólo envuelve el desplazamiento total y el tiempo total que tarda. Si describimos el movimiento dividiéndolo en etapas, entonces tendremos descrito el movimiento con mayor detalle. Si la velocidad promedio es la misma en dirección y sentido en dos etapas podemos decir que la partícula se ha movido con velocidad constante. Ejemplo: un señor sale de su casa en un tiempo t = 0 h. Recorre toda Ensenada y llega a su casa en t = 3 h. ¿Cuál será su velocidad promedio? (Sol.: 0 m/s). NOTA: Velocity involucra desplazamiento como vector, speed no incluye dirección, sino el número de metros movido (es la magnitud de la velocidad). 3.2.2. VELOCIDAD INSTANTANEA Cuando nos interesa saber cuán rápido se mueve la partícula en un instante de tiempo estamos manejando velocidad instantánea, o simplemente velocidad v. La velocidad instantánea se obtiene de la velocidad promedio haciendo muy pequeñito el intervalo de tiempo hasta que lo aproximamos a 0. Matemáticamente esto se describe mediante límites:

∆r ∆t → 0 ∆t

v = lim

Matemáticamente la fórmula anterior es la definición de derivada:

dr . dt

Este concepto es muy útil cuando la partícula se desplaza en etapas y cada etapa tiene diferentes velocidades promedio, o bien diferentes en magnitud o en dirección, entonces la partícula tiene una velocidad variable. Nos puede interesar la velocidad de la partícula en un determinado instante de tiempo. 3.2.3. VELOCIDAD VARIABLE Como vimos anteriormente, una velocidad variable es aquella en la que la velocidad promedio es diferente (en dirección o magnitud) en las diferentes etapas del

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movimiento de una partícula. Esta definición nos ayudó a entender la velocidad instantánea. Supongamos una partícula moviéndose en el plano x-y. Cada posición de la partícula está definida por el vector r = xi + yj. La partícula tiene una velocidad en cada punto que es tangente a la trayectoria: v=

dr dx dy = i+ j = v xi + vy j dt dt dt

3.2.4. ACELERACION VARIABLE Otra cantidad muy utilizada es la aceleración. Cuando la velocidad de una partícula cambia en un intervalo de tiempo se dice que el cuerpo tiene aceleración. Supongamos que en un instante de tiempo t1 la partícula tiene una velocidad instantánea v1 y en t2 tiene una velocidad instantánea v2. La aceleración promerio se define como:

a=

∆ v v 2 − v1 = ∆t t 2 − t1

De la misma manera definimos la aceleración instantánea como:

∆v dv = dt ∆t →0 ∆t

a = lim

Supongamos una partícula moviéndose en el plano x-y. Si su aceleración cambia en dirección y magnitud, se dice que la aceleración es variable. La aceleración en cada punto del movimiento viene dada por: a=

dv y dv dv x = i+ j = ax i + ay j dt dt dt

3.2.5. ACELERACION CONSTANTE Cuando la aceleración es constante o uniforme la aceleración promedio y la instantánea son iguales.

3.2.6. REPRESENTACION GRAFICA DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACION Si una partícula se encuentra en la posición x0 y no se mueve, se representa gráficamente en un sistema de ejes ortogonal cuya abcisa es x y la ordenada es t, por -3-

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una línea recta paralela al eje de tiempos. Si el cuerpo se está moviendo con velocidad uniforme a lo largo del eje x, el movimiento se grafica con una linea recta entre A y B. La velocidad promedio se calcula mediante la pendiente de la línea AB. La velocidad promedio es igual a la velocidad instantánea en este caso. Si el cuerpo tiene velocidad no uniforme o variable, la gráfica x-t será una línea curva. La velocidad promedio es la pendiente de la línea curva. La velocidad instantánea en un punto P se calcula suponiendo que en la vecindad de dicho punto la trayectoria es lineal. Esta línea es tangente a la trayectoria en el punto P. La velocidad promedio es la pendiente de dicha tangente. De la misma manera se puede graficar la aceleración promedio y la aceleracion instantánea, pero en un sistema de ejes v-t. Ejercicio 1: El desplazamiento de una partícula se describe mediante la ecuación: x=10+12t2. Calcular (a) la distancia recorrida entre t=2s y t=4s; (b) la velocidad promedio entre estos dos tiempos. (a) Para t=2s, x= 58 m; para t=4s, x=202 m. Luego ∆x= 144m (b) ∆x= 144m y ∆t= 2 m, luego v promedio= 144/2 = 72 m/s Ejercicio 2: La velocidad de una particula viene descrita por la ecuación v = 0.1t+0.02t2. Calcular (a) el cambio en velocidad entre los tiempos t=3s y t=6s; (b) la aceleracion promedio en este intervalo de tiempo. (a) Para t=3s, v= 0.48 m/s; para t=6s, v=1.32 m/s. Luego ∆v= 0.84m (b) ∆v= 0.84m, ∆t= 3s. Luego a=0.28 m/s2.

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3.3. MOVIMIENTO RECTILINEO Ya sabemos las definiciones de velocidad y aceleración. Con estas definiciones nosotros podemos derivar una serie de fórmulas que relacionan x, v, a y t y que describen el movimiento de una partícula a lo largo de una línea recta. Vamos a suponer que la aceleración es constante en este movimiento, por lo que la aceleración instantánea es igual a la aceleración promedio en cada punto. Primeramente vamos a considerar la definición de la magnitud de la velocidad promedio:

v =

∆ x x 2 − x1 = ∆t t 2 − t1

Si la partícula parte de un origen, x1 = 0 y t1 = 0, por lo que x2 = x y t2 = t. La ecuación anterior quedaría: x v = ⇒ x = vt t donde x es la distancia recorrida por la partícula en un tiempo t. Supongamos ahora una partícula con una velocidad inicial v0 en el tiempo t = 0 que viaja con una aceleración constante a, y que alcanza una velocidad vf en un tiempo t. Por la definición de la magnitud de la aceleración promedio tenemos:

a=

∆v vf − v0 = ∆t t −0

Si despejamos de la ecuación anterior vf, tenemos que la velocidad final de la partícula es: vf = v0 + at que, si la comparamos con y = n + mx, es la ecuación de una línea recta cuya pendiente es m=a. El siguiente paso es encontrar el desplazamiento de la partícula cuya velocidad inicial en el tiempo t= 0 es v0 y que se mueve con aceleración constante. De la figura, la velocidad promedio de todo el movimiento es:

v + v0 v = f 2 el desplazamiento en un tiempo t es:

v + v0 v + ( v 0 + at ) 1 x = vt = f t= 0 t = v 0 t + at 2 2 2 2 -5-

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1 2 at es el área del triángulo superior de la figura. 2 Esto es, la suma de esas dos áreas es igual al desplazamiento total de la partícula. De esto se obtiene que el desplazamiento x de una partícula es igual al área bajo la curva del gráfico tiempo-velocidad. Otra ecuación para el desplazamiento se puede obtener cuando el dato que nos falta es el tiempo. Si despejamos t de la ecuación: vf = v0 + at y sustituimos en la ecuación de x, obtenemos: 2 2 vf + v0 ⎛ vf + v0 ⎞ ⎛ vf − v0 ⎞ vf − v0 x = vt = t =⎜ ⎟⎜ ⎟= 2 2a ⎝ 2 ⎠⎝ a ⎠

donde v0t es el área del rectángulo y

o si queremos calcular la velocidad final despejamos vf, obteniendo: vf2 =v02 + 2ax Luego las relaciones que se utilizan para calcular el movimiento de una partícula (o de un cuerpo) que se mueve con aceleración constante son:

v + v0 x = vt = f t 2 x = v0t +

1 2 at 2

vf = v0 + at vf2 =v02 + 2ax Si en vez de suponer que la partícula parte de una posición x1 = 0, suponemos que parte de una posición inicial x1 = x0, las ecuaciones anteriores son:

v + v0 x f = x0 + v t = x0 + f t 2 x f = x0 + v 0 t +

1 2 at 2

vf2 =v02 + 2a(xf – x0)

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Ejemplo1: El odómetro de un carro marca 22678 km al comienzo de un viaje y 22791 km al final del recorrido. El coche tarda 4 h en hacer el viaje. ¿Cuál es la velocidad promedio del coche en km/h?, ¿y en m/s? (Sol.: v = 26 km/h = 7.2 m/s).

Ejemplo 2: Un cuerpo se mueve con una velocidad inicial de 8 m/s a lo largo de una línea recta con aceleración constante y recorre 640 m en 40 s. Para ese intervalo de tiempo, calcular: (a) la velocidad promedio; (b) la velocidad final; (c) la aceleración. (Sol.: (a) v = 16 m/s; (b) vf = 24 m/s; (c) a = 0.4 m/s2).

Ejemplo 3: Un barco que viaja hacia el este reduce su velocidad de 15 nudos a 3 nudos (1 nudo= 1milla náutica/hora) en una distancia de 0.2 millas náuticas. Despreciando las corrientes marinas y el rozamiento del casco del barco con el agua, calcular: (a) ¿cuál es la magnitud y dirección de la aceleración constante?; (b) ¿cuánto tiempo ha tardado en decelerar?; (c) si se supone que el barco sigue decelerando a ese ritmo, ¿cuál es el tiempo que tarda el barco en pararse del todo?; (d) cuál es la distancia que necesita el barco para pararse del todo? (Sol.: (a) a = - 540 mi/h2; (b) t = 80 s; (c) t = 100 s; (d) x = 0.208333 mi )

3.4. MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE El mejor ejemplo de movimiento rectilíneo con aceleración constante es el movimiento de caída libre hacia la tierra. En ausencia de resistencia del aire, y siempre que la distancia de caída no sea muy grande (la g varía con la altura), todos los cuerpos caen con la misma aceleración hacia el mismo punto de la superficie de la tierra, independientemente de su tamaño, forma y composición. Este movimiento “ideal” se denomina “caída libre”. La aceleración de caída libre se denomina aceleración de la gravedad y es un vector vertical g. Cerca de la superficie de la Tierra, su magnitud es 9.8 m/s2 (= 32 ft/s2). Para estudiar este movimiento, el sistema de referencia debe cambiar. El eje de movimiento es ahora vertical, positivo hacia arriba, de manera que ahora la aceleración a = - g. Las ecuaciones del movimiento son:

v + v0 y = vt = f t 2 y = v0t −

1 2 gt 2

vf = v0 - gt vf2 =v02 - 2gy donde y0 = 0 en t =0.

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Ejemplo 4: Un cuerpo cae libremente desde el reposo. Calcular: (a) su aceleración; (b) la destancia recorrida en un tiempo de 3s; (c) su velocidad cuando llega a 70 m; (d)el tiempo que necesita el cuerpo para alcanzar una velocidad de 25 m/s; (e) el tiempo que tarda en recorrer 300 m. (Sol.: (a) g = 9.8 m/s2; (b) y = 44 m; (c) vf = 37 m/s; (d) t = 2.55 s; (e) t = 7.8 s). Ejemplo 5: Se deja caer una pelota desde el borde de un acantilado con una velocidad inicial v0 = 25 ft/s. Calcular: (a) ¿cuál es la velocidad de la pelota después de 1.5 s?; (b) ¿cuál es la distancia recorrida cuando han transcurrido 1.5 s?. (Sol.: (a) vf = 73 ft; (b) y = 73.5 ft). Ejemplo 6: Una piedra se deja caer desde un puente y alcanza el agua del rio en 5 s. Calcula: (a) la velocidad con la que penetra el agua; (b) la altura del puente. (Sol.: vf = 49 m/s; (b) y = 123 m.

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CLASE 26/2/03 3.5. MOVIMIENTO PARABOLICO Ahora entramos en el estudio del movimiento en dos y tres dimensiones. Ya habíamos visto que la velocidad y la aceleración son dos vectores de la forma: v = vxi + vyj + vzk

a = axi + ayj + azk

para una partícula que se mueve en tres dimensiones. Consideraremos que la partícula se mueve en un plano con aceleración constante. Si la partícula se mueve en el plano x-y, las componentes vz = az = 0. Si la aceleración es constante, las componentes ax y ay son constantes, esto es, el vector a no varía para cualquier sistema de referencia. Con esto, el movimiento de la partícula se puede considerar como la suma de dos movimientos que ocurren simultáneamente con aceleración constante, uno a lo largo del eje x y el otro a lo largo del eje y. Al sumar estos movimientos, la partícula se moverá a lo largo de un recorrido en el plano x-y. Si nos fijamos en el movimiento a lo largo del eje x, las ecuaciones que lo describen son las de un movimiento rectilíneo con aceleración constante:

v + v x0 x f = x 0 + xf t 2 xf = x0 + v x0 t +

1 ax t 2 2

vxf2 =vx02 + 2ax(xf – x0) vxf = vx0 + axt Si nos fijamos ahora en el movimiento a lo largo del eje y, las ecuaciones que lo describen son las mismas que las anteriores, pero ahora con las componentes verticales: v yf + v y 0 t yf = y0 + 2 yf = y0 + v y0t +

1 ay t 2 2

vyf2 =vy02 + 2ay (yf – y0)

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vyf = vy0 + ayt Si juntamos ambos conjuntos de ecuaciones para describir matemáticamente el movimiento de la partícula en el plano, tendremos las ecuaciones generales vectoriales para la posición de la partícula y la velocidad final de la misma:

r = r0 + v 0 t +

1 2 at 2

vf = v0 + at Un caso especial de este tipo de movimiento es el movimiento parabólico o de proyectil: una partícula se mueve en un plano vertical con una velocidad inicial v0 y cuya aceleración es la aceleración de la gravedad g, que es vertical y hacia abajo. Un ejemplo es una pelota de golf, o de baseball, o una bala. Para analizar este movimiento vamos a despreciar el efecto de rozamiento del aire. Supongamos que el proyectil tiene una velocidad inicial v0 = vx0i + vy0j, cuyas componentes son: vx0 = v0 cosα0, vy0 = v0 sen α0. Durante el movimiento, tanto la posición r como la velocidad v de la partícula cambian contínuamente, pero la aceleración a es constante y siempre dirigida verticalmente hacia abajo (a = g). Esto es, el proyectil no tiene aceleración horizontal. Para poder analizar este movimiento se realiza una simplificación, que es válida porque se ha comprobado experimentalmente: en un movimiento parabólico o de proyectil el movimiento horizontal y el movimiento vertical son independientes el uno del otro. Esta simplificación nos permite romper el problema en dos dimensiones y estudiar el movimiento horizontal y el vertical por separado: un movimiento rectilíneo con velocidad constante (el horizontal) y un movimiento rectilineo uniformemente acelerado (el vertical). Supongamos que en t=0 la posición del proyectil es y0 = x0 = 0, y su velocidad es v0, que es un vector que forma un ángulo α0 con el eje horizontal x (vx0 = v0 cosα0, vy0 = v0 sen α0). Como la aceleración es vertical, la componente vx mantiene su valor a lo largo de todo el recorrido: vx = v0 cosα0 La componente vertical de la velocidad cambiará en cada punto del recorrido debido al efecto de la aceleración ay = -g, luego: vy = v0 sen α0 – gt que corresponde a la velocidad del movimiento de caída libre. La magnitud del vector velocidad en cualquier instante es: v = v x2 + v y2 - 10 -

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y el ángulo que forma con la horizontal es: tan α =

vy vx

el vector velocidad es tangente al recorrido del proyectil en cada punto. La coordenada x de la posición de la partícula es: x = v t = (v0cosα0) t y la coordenada y es: y = y0 + v0yt+ ½ gt2 = (v0senα0) t – ½ gt2 donde y0 =0. Las ecuaciones anteriores nos dan x y y con respecto al tiempo. Si las combinamos, obtenemos la ecuación: y = (tan α 0 )x −

g 2( v 0 cos α 0 )

2

x2

que es la ecuación de la trayectoria del proyectil, que es de la forma y = bx – cx2, que es la ecuación general de una parábola. Por ello, el movimiento de un proyectil se denomina movimiento parabólico. Ejemplo 6: Un avión de rescate vuela a 198 km/h (55 m/s) a una altutud constante de 500 m sobre el nivel del mar, donde se encuentra flotando la víctima de un naufragio. El piloto quiere lanzar una cápsula de rescate de manera que ésta impacte en el agua muy cerca de la víctima. (a) ¿Cuál sería el ángulo α entre la línea de visión del piloto a la víctima cuando se realiza el lanzamiento? (b) cuando la cápsula de rescate alcanza el agua, ¿cuál es su velocidad v (magnitud y ángulo)?. ⎛ 555 .5 m ⎞ o o (Sol.:(a) α = tan-1 ⎜ ⎟ = 48 ; (b) v = (55 m/s) i – (99 m/s)j, v = 113 m/s, β = - 61 ) 500 m ⎝ ⎠

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