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Asignatura: F´ISICA Y QU´IMICA ´ - SOLUCIONES EJERCICIOS DE AMPLIACION Fecha finalizaci´on: Viernes, 3 de diciembre de 2010 Nombre y Apellidos JRC

1 Resuelve los siguientes apartados: a) Se tiene una fuerza de 25 N formando un a´ngulo de 30o con la horizontal. Dibuja el vector correspondiente y sus componentes. Anal´ıticamente da el resultado num´erico de cada componente. Para dibujar la fuerza toma el criterio 5 N : 1 cm. Es un ejercicio para aprender a realizar la descomposici´on de fuerzas, primero dibujamos la fuerza y posteriormente la descomponemos en sus dos componentes, la del eje x y la del eje y. Recordando las funciones trigonom´etricas, hallamos las componentes x e y de la fuerza,

y (cm)

5 4 3 2

Fx = F · cos 30 = 21, 6 N

1 0

0

30o 1 2

3

4

5 x (cm)

Fy = F · sin 30 = 12, 5 N

b) Dibuja a escala 2 N : 1 cm, dos fuerzas de 3 N y 6 N que forman 30o y 60o con el eje Ox y cuyo punto de aplicaci´on es el origen de coordenadas. Halla la fuerza resultante. En este caso tenemos dos fuerzas concurrentes, por tanto, para hallar la resultante de estas dos fuezas de forma gr´afica hay que tomar la diagonal del paralelogramo que forman dichas fuerzas y sus paralelas. De forma num´erica hay que tener en cuenta que entre ambas tan s´olo existe una diferencia angular de 30o .

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y (cm)

3

2

1

0 0

1

2

3 x (cm)

4

La fuerza resultante de forma anal´ıtica es, FR =

q

F12 + F22 + 2F1 F2 cos α =

√

32 + 62 + 2 · 3 · 6 · cos 30 = 8, 72 N

Hay que tener en cuenta que este resultado nos da el m´odulo de la fuerza resultante pero no nos dice nada de la direcci´on ni del sentido de la esta fuerza. c) Dibuja el diagrama de fuerzas, incluyendo la fuerza de rozamiento y realizando la descomposici´on de aquellas fuerzas que lo requieran. NOTA: Como ejercicio voluntario, intentar dar el valor de la aceleraci´on de cada sistema.

En ambos casos tendr´ıamos el peso (siempre vertical), la fuerza de rozamiento (opuesta al movimiento) y la normal (perpendicular a la superficie de contacto). Particularmente, en el caso a aparece la tensi´on (cuyo sentido es del bloque a la cuerda) y en el b hay que tener en cuenta la rotaci´on de los ejes cartesianos, esto provoca que el peso no quede sobre el eje de ordenadas y por tanto tengamos que descomponerla en el eje x e y. Para hallar el valor de la aceleraci´on partimos en ambos casos de la segunda ley de Newton ΣF = m · a. Su explicaci´on es m´as profunda en otros ejercicios de esta hoja.

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N T N

Fr

Fr

T P1

Px α

P2

α

Py

P

En el primer sistema tenemos dos cuerpos, por tanto tenemos que aplicar la segunda ley de Newton a ambos. P rimer cuerpo ⇒ T − Fr = m1 a Segundo cuerpo ⇒ P2 − T = m2 a Teniendo en cuenta que al estar ambos unidos por una cuerda tienen la misma aceleraci´on y que la polea no tiene masa, las tensiones son iguales pero de sentido contrario. Igualando, P2 − m1 a − Fr = m2 a =⇒ a =

m2 g − F r m1 + m2

En el segundo sistema tenemos una esfera deslizando por un plano inclinado. A la hora de resolver el sistema se colocan los ejes rotados el a´ngulo del plano inclinado, as´ı, el eje de abcisas queda paralelo al plano de rodadura. Como vemos en el dibujo, todas las fuerzas implicadas en el sistema se encuentran paralelas a alguno de los ejes cartesianos excepto el peso (que siempre es vertical). Entonces, al aplicar la segunda ley de Newton, el peso se debe descomponer en los nuevos ejes, quedando Eje x ⇒ Px − Fr = max Eje y ⇒ Py − N = may → N = Py = mg cos α Quedando la aceleraci´on restringida al eje x (ay = 0) y sabiendo que Fr = µN , nos queda mg sin α − Fr = ma =⇒ a = g(sin α − µ cos α) DEPARTAMENTO DE F´ISICA Y QU´IMICA

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2 Se aplican las siguientes fuerzas sobre un objeto: 15 N en la direcci´on horizontal (sentido positivo), 20 N en direcci´on 30o sobre la horizontal y 25 N en la direcci´on vertical ascendente. Calcula la fuerza resultante que act´ ua sobre el objeto y dibuja su vector a escala (5 N : 1 cm). Primero se dibujan y despu´es tomando parejas de vectores se obtienen las resultantes correspondientes 8 R2

7 6 R1

F3

5

y (cm)

4 3 2 1

F2

0 0

α 1

F1 2

3

4 5 x (cm)

6

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8

La primera resultante, R1 = F1 +F3 con 59o sobre la horizontal, y la resultante final del sistema, R2 , queda como suma de R2 = R1 + F2 . En cuanto al m´odulo de la primera resultante queda,

FR =

q

F12 + F32 + 2F1 F3 cos α =

√

152 + 252 + 2 · 15 · 25 · cos 90 = 29, 15 N

y por u ´ltimo, el m´odulo de la resultante final, FR =

q

R12 + F22 + 2R1 F2 cos α =

q

29, 152 + 202 + 2 · 29, 15 · 20 · cos 29 = 47, 63 N

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3 Al realizar una experiencia para calcular la constante el´astica de un muelle se han obtenido lo siguientes resultados: F (N ) x(cm)

0 0,0

5 2,1

10 4,0

15 6,0

20 7,9

a) Representa los datos de la tabla en una gr´afica. ¿C´ ual es el valor de la constante el´astica del muelle? b) ¿C´ ual es la masa de un cuerpo que cuelga del muelle y que produce un alargamiento de 12 cm?

F (N)

a) El valor de la constante el´astica se halla tomando cualquier par de datos de la tabla, ya que como vemos la gr´afica es una recta y por tanto, la constante no var´ıa. 30 20 15 10 5 0

Aplicando la ley de Hooke, F = k · ∆l → k = k=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 x (cm)

F ∆l

N 10 = 250 −2 4 · 10 m

b) Como ya tenemos el valor de la constante el´astica y nos dan el alargamiento del muelle, podemos hallar la fuerza que ejerce la masa al colgar del muelle, concretando, podemos conocer su peso. F = k∆l = 250 · 0, 12 = 30 N = P P = mg → m =

30 P = = 3 kg g 10

4 Sobre un autom´ovil de 1000 kg que se mueve a una velocidad de 20 m/s act´ ua una fuerza constante de 3000 N en el sentido del movimiento. a) Calcular la aceleraci´on del m´ovil. b) ¿C´ ual es la velocidad del m´ovil 4 s despu´es?. c) ¿Qu´e distancia recorre el m´ovil en ese tiempo?. DEPARTAMENTO DE F´ISICA Y QU´IMICA

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d) Repetir todos los apartados para el caso de que la fuerza se aplique en el sentido opuesto. a) Lo primero, dibujar la situaci´on que nos est´an diciendo y colocar las fuerzas que act´ uan sobre el m´ovil N La segunda ley de newton nos queda, Fm ΣF = ma =⇒ Fm = ma → a = P1

Fm = 3 m/s2 m

b) Conocemos la aceleraci´on del m´ovil y la velocidad que lleva, por tanto al cabo de 4 s llevar´a una velocidad v = v0 + at =⇒ v = 20 + 3 · 4 = 32 m/s c) De igual forma, aplicando la expresi´on que relaciona el espacio y el tiempo en un movimiento rectilineo uniformemente acelerado nos queda, 1 1 s = s0 + v0 t + at2 =⇒ s = 20 · 4 + · 3 · 42 = 104 m 2 2 d) Si la fuerza es en sentido opuesto, el coche se esta frenando, por tanto la aceleraci´on es la misma pero con sentido negativo, a = −3 m/s2 , la velocidad y el espacio recorrido son, v = v0 + at =⇒ v = 20 − 3 · 4 = 8 m/s 1 1 s = s0 + v0 t + at2 =⇒ s = 20 · 4 − · 3 · 42 = 56 m 2 2 5 Se tiene una polea simple de la que cuelgan dos bloques de masas 1 kg y 2 kg. DATO: g= 10 m/s2 . a) Dibuja un esquema de la situaci´on en el que aparezcan las fuerza implicadas. b) Calcula el valor de la aceleraci´on del sistema.

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c) Si el bloque de 2 kg se encuentra suspendido inicialmente a 4 metros del suelo, ¿Cu´anto tiempo tardar´a en alcanzar el suelo desde su posici´on inicial? d) ¿C´ ual ser´a la velocidad de ese bloque en el instante en que llega al suelo? a) Dibujamos nuestro sistema f´ısico y ponemos las fuerzas que aparecen en el sistema.

T

T

m1

m2 P1

P2

b) Aplicando a las dos masas la 2a ley de Newton T − P1 = m1 a P2 − T = m2 a Tenemos 2 ecuaciones con 2 incognitas (T , a), resolviendo el sistema P2 − P1 = (m1 + m2 )a =⇒ a =

P2 − P 1 = 3, 3 m/s2 (m1 + m2 )

c) Como ya sabemos la aceleraci´on que tiene el sistema, para hallar el tiempo que tarda en llegar al suelo tenemos que aplicar una expresi´on matem´atica correspondiente a un M.R.U.A. 1 s = s0 + v0 t + at2 2 Tomando el s0 = 0 m y v0 = 0 m/s, nos queda, 1 4 = · 3, 1 · t2 −→ t = 2 DEPARTAMENTO DE F´ISICA Y QU´IMICA

s

8 = 1, 5 s 3, 3

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d) Igual que antes debes utilizar las expresiones de un M.R.U.A., tomando v0 = 0 m/s,la velocidad en el instante que llega al suelo es, v = v0 + at =⇒ v = 3, 3 · 1, 5 = 4, 95 m/s

6 La conductora de un autom´ovil que circula a 120 km/h observa un obst´aculo en la calzada y pisa el pedal del freno (a=-5 m/s2 ). Desde que observa el obst´aculo hasta que frena, el autom´ovil recorre 24 m. Al final, el autom´ovil se para a s´olo 1,7 m del obst´aculo tras ir frenando durante 3 s. a) Calcula la distancia recorrida y la fuerza ejercida durante la frenada (1000 kg de masa). b) Si el maletero hubiese llevado una carga adicional de 150 kg ¿habr´ıa podido evitar el accidente la conductora? a) Realizamos el dibujo y colocamos las fuerzas implicadas, N Fm P1 Sabiendo que 120 km = 3, 33 ms y la aceleraci´on que lleva, podemos hallar h el espacio que recorre el autom´ovil desde que comienza a frenar hasta que se para. Por tanto, 1 1 s = s0 + v0 t + at2 = 24 + 33, 3 · 3 + · (−5) · 32 = 101, 4 m 2 2 Si el coche tiene una masa de 1000 kilos y la aceleraci´on es de −5m/s2 , la fuerza necesaria para que el coche se frene es de, F = ma =⇒ F = 1000 · (−5) = −5000 N Que la fuerza tenga signo negativo nos esta indicando que su sentido es contrario al movimiento del coche.

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b) Si lleva una carga adicional en el maletero, entonces la masa del coche es mayor, pasa a ser de 1150 kilos, y la aceleraci´on de frenado en este caso es de, F = ma =⇒ a =

−5000 = −4, 34 m/s2 1150

siendo el espacio que recorre s = 24 + 33, 3 · 3 +

1 · (−4, 34) · 32 = 104, 37 m 2

Si en el apartado a, se quedaba a una distancia de 1,7 metros del obst´aculo, con estas nuevas condiciones recorre un espacio de 2,97 metros m´as, por tanto, el coche chocar´ıa con el obst´aculo como consecuencia del aumento de masa. 7 Un bloque de 5 kg de masa se mueve con una aceleraci´on de 2,5 m/s2 por una mesa horizontal bajo la acci´on de una fuerza de 20 N que forma un ´angulo de 30o con la horizontal. Averigua: a) La fuerza de rozamiento entre el cuerpo y el plano. b) Sabiendo que la fuerza de rozamiento es Fr = µN , siendo µ el coeficiente de rozamiento y N la normal. Halla el coeficiente de rozamiento. N

F α

Fr P a) Una vez dibujado el sistema podemos ver m´as claramente cu´al es la resultante de las fuerzas y poder aplicar la segunda ley de Newton. Como vemos, tenemos una fuerza que forma un a´ngulo con la horizontal de 30o , esto provoca que tengamos que descomponer la fuerza en los ejes x e y. Fx = F · cos α = F · cos 30 = 17, 32 N Fy = F · sin α = F · sin 30 = 10 N DEPARTAMENTO DE F´ISICA Y QU´IMICA

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El enunciado nos dice que el bloque se mueve sobre la mesa, esto es, sobre el eje Ox, por tanto, no existe aceleraci´on en el eje y. S´olo tenemos movimiento sobre el eje x, aplicando la segunda ley de Newton, ΣF = ma =⇒ F cos α − Fr = ma Fr = F cos α − ma = 20 · cos 30o − 5 · 2, 5 = 4, 8 N b) Para hallar este apartado tenemos que ver cuanto vale la normal, por tanto tenemos que plantear la segunda ley de Newton sobre el eje y, a=0

ΣF = ma =⇒ F sin α + N − P = ma =⇒ N = P − F sin α Siendo el valor del coeficiente de rozamiento, Fr 4, 8 = = 0, 12 P − F sin α 50 − 20 sin 30

Fr = µN = µ(P − F sin α) ⇒ µ =

8 Un bloque de masa m2 = 6 kg que descansa sobre un plano horizontal, esta unido mediante una cuerda sin masa que pasa por una polea a un segundo bloque de masa m1 = 2 kg suspendido verticalmente. Calcula la aceleraci´on con que se mueve el sistema y la tensi´on de la cuerda que une los dos cuerpos. No existe rozamiento entre el cuerpo 2 y el plano inclinado. N T T P2 P1

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Para hallar el valor de la aceleraci´on y la tensi´on que sufre la cuerda aplicamos la segunda ley de Newton ΣF = m · a. ´ ´ METODO MATEMATICO En este m´etodo hay que tener muy en cuenta el sistema de signos adoptado, la aceleraci´on y el peso del bloque 1, al descender son negativos y su tensi´on positiva. Cuerpo sobre plano ⇒ T = m2 a Cuerpo suspendido ⇒ T − P1 = m1 (−a) Teniendo en cuenta que al estar ambos unidos por una cuerda que pasa por una polea sin masa, ambos tienen la misma aceleraci´on y sus tensiones son iguales pero de sentido contrario. Podemos igualar el sistema y hallar as´ı la aceleraci´on.

m2 a − P1 = m1 (−a) → P1 = m1 a + m2 a =⇒ a =

m1 g = 2, 45 m/s2 m1 + m2

Para hallar la tensi´on, basta con sustituir el valor de la aceleraci´on en cualquiera de las ecuaciones que representa la segunda ley de Newton de cada bloque, Cuerpo sobre plano ⇒ T = m2 a = 14, 7 N Cuerpo suspendido ⇒ T − P1 = m1 (−a) =⇒ T = P1 − m1 a = 14, 7 N ´ ´ METODO FISICO En el m´etodo f´ısico, directamente tomamos la misma aceleraci´on y puesto que la polea no tiene masa, la misma tensi´on en ambos bloques pero observando que esta tensi´on tiene sentido opuesto en ambos bloques. Aplicando la ecuaci´on fundamental de la din´amica, Cuerpo sobre plano ⇒ T = m2 a

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Cuerpo suspendido ⇒ P1 − T = m1 a

P1 = m1 a + m2 a =⇒ a =

m1 g = 2, 45 m/s2 m1 + m2

De nuevo para hallar la tensi´on, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones, Cuerpo sobre plano ⇒ T = m2 a = 14, 7 N Cuerpo suspendido ⇒ P1 − T = m1 a =⇒ T = P1 − m1 a = 14, 7 N Ambos m´etodos son id´enticos, dan la misma expresi´on para la aceleraci´on (ver formulas recuadradas), dan los mismos valores para la tensi´on y en los dos, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas, la aceleraci´on y la tensi´on. 9 Un cuerpo de masa m2 = 6 kg se halla sobre un plano inclinado de 30o y esta unido, mediante una cuerda ligera que pasa por una polea, a otro cuerpo de masa m1 = 2 kg que pende verticalmente. Calcula la aceleraci´on con que se mueve el sistema y la tensi´on de la cuerda que une los dos cuerpos. No existe rozamiento entre el cuerpo 2 y el plano inclinado. Este ejercicio es sin duda el m´as complicado y os encontrar´eis muchos de este tipo el pr´oximo a˜ no. Vamos a ello.

T

N

T

P2x

α

P2y α

P2

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P1

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Tenemos dos cuerpos unidos por una cuerda que pasa por una polea sin masa, por tanto, la aceleraci´on es la misma para los dos cuerpos y sus tensiones tambi´en. Un cuerpo se encuentra en un plano inclinado (habr´a que rotar los ejes y entonces el peso habr´a que descomponerlo en esos ejes) y otro suspendido; en el segundo bloque al no existir rozamiento nos podemos olvidar del eje y. La descomposici´on del peso del segundo bloque nos da, P2x = P2 sin α

P2y = P2 cos α

Siendo α el a´ngulo del plano inclinado. Bien, como no sabemos el sentido del movimiento de nuestro sistema, hay que elegir uno; consideramos que mi sistema se mueve de derecha a izquierda, esto es, el peso suspendido cae y arrastra en su movimiento al cuerpo del plano inclinado. Cuerpo sobre plano ⇒ T − P2x = m2 a Cuerpo suspendido ⇒ P1 − T = m1 a Tenemos dos ecuaciones con dos inc´ognitas, resolviendo

m1 g − m2 g sin α = (m1 + m2 )a =⇒ a =

g(m1 − m2 sin 30) = −1, 22 m/s2 m1 + m2

Fijaros, me da una aceleraci´on negativa, esto significa que el sistema realmente se esta moviendo de derecha a izquierda, no como hab´ıamos supuesto donde el peso suspendido arrastraba al bloque que estaba en el plano inclinado. Por tanto, si nosotros tomaramos de nuevo las ecuaciones y cambiaramos de signo el primer miembro de cada una, el resultado nos dar´ıa una aceleraci´on positiva de valor a = 1, 22 m/s2 . Para hallar la tensi´on, se trabaja como siempre, sustituyendo en cualquier ecuaci´on de mi sistema (donde se ha cambiado el sentido del movimiento).

Cuerpo sobre plano ⇒ P2x − T = m2 a → T = P2x − m2 a = 22, 08 N

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Cuerpo suspendido ⇒ T − P1 = m1 a → T = m1 a + P1 = 22, 08 N

10 Calcula el peso de un objeto de 25 kg dentro de un ascensor que: a) Sube aumentando su velocidad en 1,5 m/s cada segundo. b) Sube disminuyendo su velocidad en 1,5 m/s cada segundo. c) Baja a velocidad constante. Antes de realizar los distintos apartados vamos a estudiar este sistema. Tenemos un objeto, sobre una b´ascula, en el interior de un ascensor que puede subir o bajar y lo que queremos averiguar es la indicaci´on de la b´ascula. Bien, nuestro estudio se centra en el movimiento del objeto, no el de la b´ascula ni el del ascensor y tanto la b´ascula como la tierra ejercen fuerzas a considerar sobre ese objeto. La b´ascula ejerce una fuerza vertical hacia arriba sobre el objeto que es la normal, la otra fuerza es debida a la acci´on gravitatoria, su peso. Ahora, estamos en condiciones de aplicar la segunda ley de Newton, ΣF = ma =⇒ N − P = ma Aplicando esta ecuaci´on a todos los apartados tenemos resuelto el problema teniendo en cuenta que nosotros queremos saber que indica la b´ascula, esto es, queremos conocer el valor de la Normal a) N − P = ma =⇒ N = ma + mg = m(a + g) = 282, 5 N b) N − P = m(−a) =⇒ N = mg − ma = m(g − a) = 207, 5 N c) a=0

N − P = ma =⇒ N = mg = mg = 245 N

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