SISTEMAS DE ALTURAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA EN AGRIMENSURA FACULTAD DE INGENIERIA UNSJ

Raúl Márquez: [email protected] - 2009-

1

Introducción Por medio del número geopotencial C, puede expresarse los diferentes sistemas de alturas en una forma común:

altura =

C G

donde los sistemas de alturas difieren de acuerdo a la selección que se haga del valor G en el denominador. Se tiene así: altura dinámica: donde G es una constante, γ0, cuyo valor es el de la gravedad normal en un punto arbitrario. altura ortométrica: donde G es el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de fuerza entre el geoide y un punto P situado en la superficie terrestre. altura normal: donde G es el valor medio de la gravedad normal a lo largo de la normal al elipsoide de referencia, entre el elipsoide y un punto Q cuyo potencial normal UQ es igual al potencial real WP de un punto P situado en la superficie terrestre. Se ve que se puede diseñar un número ilimitado de otros sistemas de alturas seleccionando G de diferentes formas. El número geopotencial C es, de alguna manera, el resultado más directo de la nivelación y tiene gran importancia científica. Sin embargo no es una altura en sentido geométrico o práctico. La altura dinámica tiene al menos la dimensión de una altura pero carece de significado geométrico. Una ventaja consiste en que los puntos de una misma superficie de nivel tienen la misma altura dinámica, esto se corresponde con la sensación intuitiva de que si nos movemos horizontalmente nos mantenemos a la misma altura. Las correcciones dinámicas son muy grandes puesto que la gravedad varía de ecuador a polo aproximadamente en 5000 mgals. Debido a estas grandes correcciones las alturas dinámicas no son adecuadas para usos prácticos. Las alturas ortométricas son las alturas naturales sobre el nivel medio del mar; es decir, sobre el geoide. Son las alturas mas usadas en los proyectos y obras de ingeniería. Su cómputo es realmente laborioso a menos que se use la formula de Helmert, la cual es suficiente en la mayoría de los casos. La corrección ortométrica es bastante pequeña. El significado físico y geométrico de las alturas normales es menos obvio, dependiendo del elipsoide de referencia utilizado. A pesar de la importancia que las alturas normales tienen en las nuevas teorías de la geodesia física, presentan características algo artificiosas respecto de las alturas ortométricas. Son, sin embargo fáciles de calcular rigurosamente; el orden de magnitud de las alturas normales es aproximadamente el mismo de las alturas ortométricas. Todos estos sistemas se basan en que el número geopotencial C es función de la posición solamente. No existen entonces errores de cierre como ocurre con las diferencias de nivel geométrico. Desde un punto de vista puramente práctico, los requerimientos deseados para un sistema de alturas son: -

eliminación de los errores de cierre. las correcciones a las alturas medidas deberán ser lo mas pequeñas posibles.

2

La nivelación geométrica es una de las mediciones geodésicas más precisas. Es posible lograr errores estándar de aproximadamente ± 0.1 mm por kilómetro que se incrementa con la raíz cuadrada de la distancia. Las diferencias en el número geopotencial pueden estimarse con un error de aproximadamente 0.1 gal-metro por kilómetro, esto corresponde a ± 0.1 mm en la altura medida. Las alturas dinámicas y normales son claramente tan precisas como los números geopotenciales, puesto que la gravedad normal γ no tiene error. Las alturas ortométricas sin embargo, son afectadas levemente por el conocimiento imperfecto de la variación de la densidad en el interior de la tierra. 1.- Superficies Equipotenciales Sean dos puntos de masas m1 y m2 separados por una distancia r, que se atraen mutuamente con la fuerza: F =k

m1 m2 r2

(1)

donde k es la constante de gravitación universal. Esta es la ley de gravitación universal de Newton. La atracción entre ambas masa puntuales es simétrica y de sentido opuesto. Por cuestión de conveniencia se considera a una de las masas como la masa “atractiva” y a la restante como la masa “atraída”. Más aún, asignamos a la masa atraída la unidad de masa y denotamos a la masa atractiva con m. La ecuación de fuerzas es entonces:

F =k

m r2

(2)

En esta forma, la fuerza es aquella entre la masa atractiva y la masa atraída unitaria. Introduciendo un sistema de coordenadas arbitrario como se ve en la figura 1, podemos descomponer el vector fuerza F en componentes paralelas a los ejes coordenados.

Z

γ

masa atraída unitaria (x,y,z)

masa atractiva (ξ,η,ζ)

m

β

(z-ζ)

α

(y- η) (x-ξ )

X

figura 1 3

Y

⎡ (x − ξ ⎤ ⎢ r ⎥ ⎡ FX ⎤ ⎡cos α ⎤ r k m ⎢( y −η) ⎥ ⎥ F = ⎢⎢ FY ⎥⎥ = − F ⎢⎢cos β ⎥⎥ = − 2 ⎢ r ⎢ r ⎥ ⎢⎣ FZ ⎥⎦ ⎢⎣ cos γ ⎥⎦ ⎢(z − ζ ) ⎥ ⎢⎣ r ⎥⎦

Así:

(3)

donde: r = (x − ξ )2 + ( y −η)2 + (z − ζ )2

(4)

El signo negativo en la descomposición (3) indica la convención del sentido del vector fuerza, aquí implicando que esta dirigido desde la masa atraída hacia la masa atractiva. Las coordenadas (x, y, z) identifican la posición de la masa atraída en el sistema de coordenadas particular y (ξ, η, ζ) denota la posición de la masa atractiva. La expresión: km (5) r se denomina potencial de gravitación. Es una medida de la cantidad de trabajo requerida para transportar la unidad de masa desde su posición inicial una distancia r desde la masa atractiva hasta el infinito. Así, integrando la ecuación de fuerza (2) entre r e infinito, se tiene: V =

∞

∞

∞ km dr ⎡1 ⎤ V = ∫ F dr = − k m ∫ 2 = − k m ⎢ ⎥ = r ⎣r ⎦ r r r r

(6)

r En notación vectorial, el potencial de gravitación V y la fuerza de gravitación F , están relacionadas por:

⎡ ∂V ⎤ ⎢ ∂X ⎥ F ⎢ ∂V ⎥ ⎡ X ⎤ r ⎢ F = ∇V = grad (V ) = ⎢ ⎥ = ⎢ FY ⎥⎥ ⎢ ∂Y ⎥ ⎢ ∂V ⎥ ⎢⎣ FZ ⎥⎦ ⎢⎣ ∂Z ⎥⎦ entonces:

k m(X − ξ) k m( X − ξ ) ∂V ∂ (k m r ) ∂r = =− =− 2 ∂X ∂r ∂X r r r3 k m (Y − η ) k m(Y − η ) ∂V ∂ (k m r ) ∂r = FY = =− =− 2 ∂Y ∂r ∂Y r r r3 k m (Z − ζ ) k m( Z − ζ ) ∂V ∂ (k m r ) ∂r = FZ = =− =− 2 ∂Z ∂r ∂Z r r r3 FX =

4

(7)

La (5) establece que el potencial gravitacional es función solamente de la separación de las masas y es independiente de todo sistema de coordenadas usado para describir la posición de la masa atractiva y la dirección del vector fuerza. El potencial gravitacional, sin embargo, caracteriza completamente a la fuerza gravitacional en cualquier punto, tal como lo muestran las (7). El potencial gravitacional puede así usarse para expresar propiedades que son invariantes con respecto al sistema de coordenadas usado. La simple analogía de dos masas puede extenderse al caso más general de muchas masas atractivas actuando simultáneamente sobre una masa puntual unitaria. Debido a que el potencial es un parámetro escalar, el potencial en un punto es la suma de los potenciales individuales: n

n

i =1

i =1

V = ∑ Vi = ∑

km ri

(8)

Si en lugar de un conjunto discreto de partículas se tuviera un sólido de masa M, la sumatoria es reemplazada por una integral de volumen extendida sobre el sólido: V ( x, y, z ) = k ∫∫∫ M

dm dv = k ∫∫∫ ρ r r v

(9)

donde ρ es la densidad del sólido, variable punto a punto, y v es el volumen del sólido. Se supone que el sólido es la tierra; debe considerarse entonces el movimiento de r rotación. En la figura 2, el vector f denota la fuerza centrifuga actuando en la unidad de masa situada en el punto P.

Z

ω

z r

P

f

y x Ecuador

X

figura 2

5

Y

Si la velocidad de rotación terrestre es ω, entonces la fuerza centrífuga es:

⎡ω 2 x ⎤ r ⎥ r ⎢ f = ω 2 r = ⎢ω 2 y ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦

(10)

La fuerza centrífuga es paralela al plano ecuatorial X-Y, y está dirigida alejándose del eje r de rotación Z. el módulo r del vector r es la distancia desde el eje de rotación Z. El potencial centrífugo Φ, es entonces: r

Φ=∫ 0

2 2 ⎡t 2 ⎤ r 2 (x + y ) f dt = ω ∫ t dt = ω ⎢ ⎥ = ω 2 ⎣2⎦0 0 r

2

2

(11)

El potencial centrífugo y la fuerza centrífuga están relacionados por:

⎡∂Φ ⎤ ⎡ω 2 x ⎤ x ∂ ⎢ ⎥ r ⎢ ⎥ f = ∇Φ = grad (Φ ) = ⎢∂Φ ⎥ = ⎢ω 2 y ⎥ ⎢ ∂y ⎥ ⎢∂Φ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎣ ∂z ⎦

(12)

La ecuación (11) se verifica tomando el gradiente para obtener la (12). Nótese nuevamente que el potencial es una función solamente de la distancia desde el eje de rotación y no se ve afectado por la definición de un sistema coordenado particular. El potencial de la gravedad W, es la suma de los potenciales gravitacional V y centrífugo Φ. De la (9) y la (11):

W ( x, y, z ) = V + Φ = k ∫∫∫ ρ v

dv 1 2 2 + ω (x + y 2 ) r 2

(13)

r La fuerza de gravedad g es entonces: ⎡∂W ⎤ ∂x ⎥ ⎢ r ∂ W ⎢ ⎥ g ( x, y, z ) = ∇W = grad (W ) = ∂y ⎥ ⎢ ⎢ ∂W ⎥ ∂z ⎦ ⎣

(14)

y es la fuerza total actuante en un punto, resultante de las fuerzas gravitacional y centrífuga. r La magnitud g se denomina gravedad. Tradicionalmente se mide en gals, donde 1 gal = 1 cm 2 . La gravedad se incrementa desde el ecuador hacia los polos debido a que s decrece la fuerza centrífuga. Valores aproximados de la gravedad son g ecuador ≅ 978 gals y

g polo ≅ 983 gals . Obsérvese que las unidades de gravedad son las unidades de aceleración, implicando la equivalencia entre fuerza por unidad de masa y aceleración. Debido a esto el r r vector gravedad g es denominado a menudo aceleración de la gravedad. L dirección de g en un punto es la dirección de la línea de la plomada o la dirección de la vertical. Las superficies para las cuales W(x, y, z) es constante, se denominan superficies equipotenciales o superficies de nivel. Estas superficies pueden determinarse principalmente evaluando la

6

(13), si es que se conoce la distribución de densidad y la velocidad angular. Obviamente la distribución de la densidad de la tierra no se conoce en forma precisa. Existen pues, teorías geodésicas para determinar la superficie equipotencial prescindiendo del conocimiento explícito de la distribución de la densidad. El geoide se define como una superficie equipotencial especifica que tiene un potencial de la gravedad:

W ( x, y, z ) = W0

(15)

En la práctica, este potencial de la gravedad de referencia, se toma de tal manera que en promedio coincide con la superficie global de los océanos. Nótese que esta es una superficie puramente arbitraria, seleccionada para simplificar la interpretación física de la localización del geoide. El geoide es una superficie equipotencial, no una superficie oceánica ideal (sometida a la fuerza de la gravedad). Existe una importante relación entre la dirección de la fuerza de la gravedad y las superficies equipotenciales que se muestra en la figura 3: Sup. equipotencial W P

Linea de fuerza

g

Geoide Po

W=Wo

figura 3 La diferencial total del potencial de la gravedad en un punto es:

⎡ dx ⎤ ∂W ∂W ∂W ⎡ ∂W ∂W ∂W ⎤ ⎢ ⎥ dW = dx + dy + dz = ⎢ ⎥ dy ∂X ∂Y ∂Z ⎣ ∂X ∂Y ∂Z ⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ dz ⎥⎦ r r r r dW = ∇W . dX = grad (W ) . dX = g . dX

(16)

r T donde dX = [dx dy dz ] . La cantidad dW es la variación del potencial entre dos puntos r infinitamente próximos P(x, y, z) y P’(x +dx, y +dy, z +dz). Si el vector dX se elige de modo tal que P y P’ pertenezcan a la misma superficie de nivel, entonces dW = 0 y r r g . dX = 0 . La ultima expresión implica que la dirección del vector fuerza de la gravedad en un punto, es perpendicular a la superficie equipotencial en dicho punto. Las superficies equipotenciales, que están relacionadas con la distribución de masas en el interior de la tierra según (13), no tienen expresiones analíticas simples. 7

Las líneas de la plomada (perpendiculares a las superficies equipotenciales) son curvas espaciales con curvatura y torsión finitas. La distancia a lo largo de la línea de la plomada (o línea de fuerza) desde el geoide hasta un punto P, se denomina la altura ortométrica y se denota por H. La altura ortométrica es a menudo mal identificada como “altura sobre el nivel medio del mar”. Esta confusión surge de afirmar que el geoide aproxima a la superficie de los océanos. Como ya se estableció, el geoide no coincide exactamente con el nivel medio del mar. Uno de los objetivos de las investigaciones geodésicas consiste en determinar la separación entre las superficies oceánicas y el geoide. r r Considérese un elemento diferencial lineal dX a lo largo de la línea de fuerza, dX = dH , según muestra la figura 4:

P` dX W+ dW dH

180º P

W g

figura 4

r Teniendo en cuenta que H es positivo hacia arriba y g apunta hacia abajo, podemos escribir la (16) como: r r r r dW = g . dX = g dH cos ( g , dX ) = g dH cos (180º )

dW = − g dH

(17)

Esta expresión relaciona la variación del potencial con la variación de la altura ortométrica. Esta ecuación es fundamental en el desarrollo de la teoría de la nivelación. Reescribiendo la (17) como:

g=−

dW dH

8

(18)

Resulta obvio que la gravedad no puede ser constante sobre una misma superficie equipotencial puesto que las superficies equipotenciales no son regulares ni paralelas ni concéntricas respecto del centro de masa de la tierra. Esto se ilustra en la figura 5, la cual muestra dos superficies equipotenciales diferencialmente separadas:

P`

W + dW

dH 1

dH 2

W g1 g2

figura 5

g1 = −

dW dH 1 Æ

g2 = −

g1 ≠ g 2

(19)

dW dH 2

Ahora que las definiciones del geoide y de las líneas de fuerza están completas, puede establecerse un sistema de coordenadas naturales basado en las superficies equipotenciales y en las líneas de fuerza. Las coordenadas naturales tienen la importante propiedad de ser directamente observables porque surgen en forma inmediata del fenómeno físico que también describe las superficies equipotenciales y la dirección de la plomada. La figura 6 muestra una superficie equipotencial que pasa por un punto P de la superficie terrestre, el eje de rotación y el ecuador instantáneos.

9

Eje de rotación instantáneo Linea de fuerza por P

Vertical por P

Superficie equipotencial por P

φ

Ecuador instantaneo

figura 6 La normal astronómica en P, también llamada la vertical local, es la dirección del vector fuerza de la gravedad en P, el cual es tangente a la línea de fuerza en P. La latitud astronómica Φ en P, se define como el ángulo subtendido sobre el ecuador instantáneo por la normal astronómica (o vertical local). El plano meridiano astronómico en el punto P, está definido por la normal astronómica y la paralela por P, al eje de rotación instantáneo. Nótese que el eje de rotación instantáneo y la normal astronómica pueden o no intersecarse. La longitud astronómica Λ es el ángulo subtendido en el plano del ecuador instantáneo, entre el meridiano astronómico y el meridiano de referencia u origen, denominado meridiano de Greenwich. La tercera coordenada es la altura ortométrica del punto P, es decir la longitud medida a lo largo de la línea de fuerza desde el geoide hasta el punto P. Entonces P es localizado o posicionado por medio de sus coordenadas naturales (Φ, Λ, H). Alternativamente puede describirse la tercera coordenada H en términos del potencial, usando números geopotenciales. El número geopotencial C es simplemente la diferencia algebraica entre el potencial en el geoide y el potencial en el punto P.

C = W0 − W

(20)

La posición de P puede describirse por P(Φ, Λ, H) o P(Φ, Λ, W). De la (17) se sigue: W

H

W0

0

∫ dW = − ∫ g dH H

W − W0 = − ∫ g dH 0

H

C = W0 − W = ∫ g dH 0

10

(21)

2.- Elipsoides de nivel y potencial normal Debido a la plasticidad de la tierra y al ser máxima la fuerza centrífuga en el ecuador, restándose vectorialmente con ángulo de 180º de la fuerza de gravedad, el planeta adopta la forma de un elipsoide de revolución de poca excentricidad, que sería matemáticamente exacto si la tierra fuera homogénea (densidad ρ = constante). En primera aproximación la tierra es una esfera, en segunda aproximación puede considerarse un elipsoide de revolución. Aunque la tierra no es exactamente un elipsoide, este tiene una importancia práctica fundamental porque es fácil de manejar matemáticamente y las diferencias entre el campo de gravedad real y las del campo elipsoidal normal, son tan pequeñas que pueden considerarse lineales. Se asume entonces que la figura normal de la tierra es un elipsoide de nivel, es decir un elipsoide de revolución el cual es una superficie equipotencial de un campo de gravedad normal.El elipsoide es la forma normal del geoide el cual es una superficie equipotencial del campo de gravedad real. Denotando el potencial del campo gravitatorio normal por:

U = U ( x, y , z )

(22)

se ve que el elipsoide de nivel, siendo su superficie U = constante, se corresponde exactamente con el geoide definido como una superficie W = constante. La función potencial normal U(x, y, z) está completamente definida por: i.- la forma del elipsoide de revolución, es decir los semiejes mayor y menor a y b, respectivamente. ii.- la masa total M de la tierra. iii.- la velocidad angular ω de la tierra. El elipsoide dado S0:

x2 y2 z2 + + =1 a2 a2 b2 es por definición, una superficie equipotencial U(x, y, z) = U0. Resulta conveniente introducir coordenadas elipsoidales µ, θ, λ (figura 7):

11

(23)

Z

θ θ= cte

θ= cte

µ= cte

P

β Z F2

Plano X-Y

F1

E

µ

µ 2+ E

2

µ 2+ E sen θ 2

y

y

λ= cte

z

λ

x

Meridiano de Greenwich

x

figura 7 En un sistema rectangular, P tiene coordenadas (x, y, z). Por P pasa la superficie de un elipsoide de revolución cuyo centro es el origen O, el eje de rotación es el eje Z y la distancia focal tiene valor constante E. La coordenada µ es el semieje menor de dicho elipsoide, θ es el complemento de la latitud reducida β de P respecto del elipsoide y λ es la longitud geocéntrica. Las coordenadas elipsoidales µ, θ, λ están relacionadas con las coordenadas rectangulares x, y, z por las ecuaciones:

x = µ 2 + E 2 sen θ cos λ

(24)

y = µ 2 + E 2 sen θ sen λ z = µ cos θ

(25) (26)

que se obtienen fácilmente de las figuras 7a y 7b considerando que mayor del elipsoide que pasa por P.

12

µ 2 + E 2 es el semieje

Si se hace µ = constante, se elevan al cuadrado (24) y (25) y se suman:

x 2 + y 2 = ( µ 2 + E 2 ) sen 2θ de la (26):

z 2 = µ 2 cos 2 θ de las anteriores:

x2 + y2 = sen 2θ 2 2 µ +E z2

µ

2

= cos 2 θ

Sumando miembro a miembro para eliminar θ:

x2 + y2 z2 + =1 µ2 + E2 µ2

(27)

La (27) es la ecuación de un elipsoide de revolución cuyo semieje mayor es

µ 2 + E 2 y el

semieje menor es µ. Si se hace θ = constante:

x2 + y2 = µ2 + E2 2 sen θ z2 = µ2 2 cos θ Restando miembro a miembro para eliminar µ:

x2 + y2 z2 − = E2 sen 2θ cos 2 θ Dividiendo miembro a miembro por E2:

x2 + y2 z2 − =1 E 2 sen 2θ E 2 cos 2 θ

(28)

La (28) es la ecuación de un hiperboloide de un manto. Para λ = constante, dividiendo miembro a miembro (25) y (24):

y = tg λ x

(29)

13

La (29) es la ecuación de un plano meridiano. La distancia focal constante E = GF1 = GF2, que es la misma para todos los elipsoides µ = constante, caracteriza al sistema de coordenadas. Para E = 0, se tiene las coordenadas esféricas usuales µ = r, θ, λ como caso límite. Para µ = b, elipsoide normal de referencia, figura 8:

E 2 + b 2 = a , se tiene el

ZZ

P µ

E lip s o id e d e re fe re n cia

b G F1

p la n o x -y

F2

E 2

a = E +b

2

E +µ 2

2

figura 8 Para una superficie equipotencial normal cualesquiera, se tiene:

µ >b

(30)

µ 2 > b2 Sumando la constante E2 a ambos miembros de las desigualdades (30): µ 2 + E 2 >b2 + E 2 Extrayendo raíz cuadrada de ambos miembros:

µ 2 + E 2 > b2 + E 2 Sumando miembro a miembro la primera de las (30) y la (31):

µ 2 + E 2 + µ > b2 + E 2 + b

µ 2 + E 2 − b2 + E 2 > b − µ Tomando valor absoluto a ambos miembros de la última desigualdad:

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(31)

µ 2 + E 2 − b2 + E 2 > b − µ = µ − b

(32)

La (32) prueba que las superficies equipotenciales normales, aunque regulares y concéntricas, no son paralelas. Como ya se vio, la tierra tiene un campo de gravedad caracterizado por su potencial W. Las superficies W = constante son superficies equipotenciales o de nivel. El geoide es una de ellas; es decir, la que corresponde sensiblemente a la superficie hipotética definida como el nivel medio del mar. A su potencial se lo denota por W0. Como referencia de las irregularidades geométricas de la tierra y del potencial, se definió una tierra ideal, normal, regular, esferoidal o elipsoidal. Su campo de gravedad está caracterizado por el esferopotencial normal U0. Las superficies U = constante proveen las características de simetría, concéntricas y regulares, ya enunciadas. Esta tierra normal está limitada por el esferoide (elipsoide de revolución) normal:

U = U 0 = W0

(33)

al que se le adjudica igual potencial que al geoide. Más aún, a este último se lo puede imaginar como un esferoide normal al que se le adicionan las ondulaciones producidas por las masas perturbadoras de la tierra. Se puede considerar como superpuesto al campo geopotencial, el campo ficticio esferopotencial de una tierra normal. Para ubicarlos recíprocamente se considera que la tierra normal está centrada en el centro de masa de la tierra real y que su eje de rotación coincide con el eje de rotación de la tierra real, figura 9:

ω

Geoide Wo

Elipsoide normal Uo Tierra normal

Tierra real

W2

U2

figura 9 Se demuestra que el potencial normal de la gravedad depende solo de las coordenadas elipsoidales µ y β, y está dado por la siguiente expresión (Heiskanen y Moritz, 1967):

15

U (µ , β ) =

kM E 1 q 1 1 arctg + ω 2 a 2 ( sen 2 β − ) + ω 2 ( µ 2 + E 2 ) cos 2 β E q0 3 2 µ 2

(34)

donde las únicas constantes son a, b, kM y ω, siendo k la constante de gravitación universal, además

q=

1 ⎡⎛ µ2 ⎢⎜⎜1 + 3 2 2 ⎣⎝ E

⎞ E µ⎤ ⎟⎟ arctg − 3 ⎥ E⎦ µ ⎠

(35)

q0 =

1 ⎡⎛ b2 ⎜ 1 + 3 ⎢ 2 ⎣⎜⎝ E2

⎞ E b⎤ ⎟⎟ arctg − 3 ⎥ b E⎦ ⎠

(36)

Para obtener el esferopotencial U0 en el elipsoide de referencia, debe hacerse µ = b, calcular q y q0 con las (35) y (36) respectivamente y reemplazar en (34):

U0 =

kM E 1 arctg + ω 2 a 2 E b 3

(37)

Considerando al GRS’80 (GEODETIC REFERENCE SYSTEM 80) como el elipsoide de referencia, cuyas constantes son (Leick A., 1995): a = 6378137 m (a: semieje mayor) b = 6356752.314 m (b: semieje menor) kM =3986005 108 m3/s2 (k: constante de gravitación universal, M: masa de la tierra) ω = 7292115 10-11 rad/s (ω: velocidad angular de la rotación terrestre) La distancia focal es:

E = a 2 − b 2 = 521854.011 m El potencial normal U0 del elipsoide de referencia es, según la (37):

U 0 = 6263686.065 kgal metro que por definición es también el potencial del geoide:

W0 = 6263686.065 kgal metro Para determinar el potencial normal o esferopotencial y también el número geopotencial C en un punto P(x, y, z) no perteneciente al elipsoide de referencia, es necesario conocer las coordenadas (x, y, z) de P y transformarlas a las coordenadas elipsoidales µ, β para poder aplicar la (34). Este problema será tratado más adelante. 3.- Gravedad normal La gravedad normal sobre el elipsoide de referencia (figura 10) está dada por la expresión:

16

γ 0 = grad U 0 =

∂U 0 ∂n

(38)

γ

Polo

n

b

Uo = Cte b

Ecuador

θ

a

γ

o

β

ϕ γ

a

ωa 2

Elipsoide de referencia So donde n es la dirección de la normal al elipsoide de referencia, figura 10, β es la latitud reducida, a y b son los semiejes mayor y menor respectivamente del elipsoide de referencia, γ0 es la gravedad normal en un punto P del elipsoide de referencia, γa y γb son los valores de la gravedad normal en el ecuador y el polo respectivamente. El ángulo ϕ que forma la normal n con el ecuador, es la latitud geodésica de P. Según Heiskanen y Moritz (1967), la gravedad normal en cualquier punto del elipsoide de referencia S0, está dada por:

γ0 =

⎤ ⎡⎛ m q 0 ' ⎞ ⎛ me' q 0 ' ⎞ 2 ⎟⎟ cos 2 β ⎥ (39) ⎢⎜⎜1 + e' ⎟⎟ sen β + ⎜⎜1 − m − 3 q0 ⎠ 6 q0 ⎠ a a sen β + b cos β ⎣⎝ ⎝ ⎦ kM

2

2

2

2

donde:

ω 2 a 2b

E a2 − b2 = kM b b 2 ⎛ b ⎞⎛ b W⎞ q 0 ' = 3 ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ ⎜1 − arctg ⎟ − 1 b⎠ E ⎠⎝ E ⎝ b2 ⎞ E b⎤ 1 ⎡⎛ q 0 = ⎢⎜⎜1 + 3 2 ⎟⎟ arctg − 3 ⎥ b E⎦ 2 ⎣⎝ E ⎠ En el ecuador, donde β = 0, la gravedad normal es: kM ⎛ m q '⎞ ⎜⎜1 − m − e' 0 ⎟⎟ γa = ab ⎝ 6 q0 ⎠

m=

; e' =

(40)

En los polos donde β = ± π/2, la gravedad normal es:

γb =

kM a2

⎛ m q0 ' ⎞ ⎜⎜1 + e' ⎟⎟ 3 q0 ⎠ ⎝

17

(41)

Reemplazando las constantes del elipsoide de referencia, se tiene:

γ a = 978.03267715 gals γ b = 983.21863685 gals Se sabe que el radio vector r del elipsoide, figura 10, está dado en forma aproximada por:

r = a − f sen 2ϕ f =

donde

a −b a

(42) (43)

es el aplastamiento del elipsoide de revolución. En forma también aproximada, la gravedad normal sobre el elipsoide de referencia se obtiene por:

γ 0 = γ a (1 + f * sen 2ϕ )

(44)

Para ϕ = ±π/2 en los polos, se tiene r = b y γ0 = γb. Entonces puede escribirse:

donde

b = a (1 − f )

y

a −b a

y

f =

γ b = γ a (1 + f * ) γ −γa f* = b γb

tal que f es el aplastamiento y f* es una cantidad análoga, denominada aplastamiento gravitatorio. Entre ellos existe la siguiente relación (Heiskanen y Moritz, 1967):

f + f* =

donde m =

5 m 2

ω 2a es igual a la fuerza centrífuga en el ecuador dividida por la gravedad γa

normal en el ecuador. Este es el teorema de Claireaut en su forma original y es una fórmula muy importante en la geodesia física. El aplastamiento geométrico f, puede obtenerse de f* y m que son cantidades puramente dinámicas, obtenidas a su vez de mediciones de gravedad. Reemplazando (40) y (41) en (39), γ0 puede expresarse en la siguiente forma: a γ sen 2 β + b γ a cos 2 β (45) γ 0 = b2 a sen 2 β + b 2 cos 2 β De la conocida relación entre la latitud geodésica y la latitud reducida:

tg β =

b tg ϕ a

(46)

reemplazando en la (45), se tiene:

18

γ0 =

a γ a cos 2 ϕ + b γ b sen 2ϕ

(47)

a 2 cos 2 ϕ + b 2 sen 2ϕ

si se usa la latitud geodésica ϕ en lugar de la latitud reducida β. Esta fórmula rigurosa para la gravedad normal sobre el elipsoide de referencia, se debe a Somigliana (1929). Para una pequeña elevación h sobre el elipsoide de referencia, la gravedad normal γh puede obtenerse por un desarrollo en serie en términos de h.

γh =γ +

∂γ 1 ∂ 2γ 2 h+ h +L ∂h 2 ∂h 2

(48)

donde γ y sus derivadas están referidas al elipsoide de referencia (h = 0). Según Heiskanen y Moritz (1967), se tiene:

γ h = γ ⎢1 − (1 + f + m − 2 f sen 2ϕ )h + 2 h 2 ⎥ a ⎣ a ⎦ ⎡

2

3

⎤

(49)

El símbolo γh denota la gravedad normal para un punto de latitud geodésica ϕ situado a una altura h sobre el elipsoide de referencia, γ es la gravedad normal en el elipsoide para la a −b y m es la misma latitud ϕ y está dada por la (47); f es el aplastamiento dado por f = a fuerza centrífuga en el ecuador dividida por la gravedad normal en el ecuador, dada por ω2 a m= .

γa

4.- Nivelación geométrica y gravedad Para medir la diferencia de altura ∆HAB entre dos puntos A y B se colocan miras verticales en cada uno de ellos y un nivel en algún lugar de dichos puntos, figura 11. Puesto que la línea A’B’ es horizontal, la diferencia entre las lecturas de mira l1 = AA’ y l2 = BB’ es la diferencia de altura entre A y B: ∆HAB = l1 – l2

Mira A´

(50)

B´ Nivel l2 B

l1

∆ HAB A

figura 11

19

Si se mide un circuito; es decir, una línea de nivelación cerrada, la suma de todas las diferencias de alturas medidas no será en general, rigurosamente igual a cero como podría esperarse, aún habiéndose medido con precisión perfecta (error cero). Este error de cierre indica que la nivelación es más compleja de lo que aparenta ser. La figura 12 muestra los principios geométricos relevantes:

B

g

g´

δA

A

HB

∆

δHB

W+ W W

HA

Nivel medio del mar

Geoide W=Wo

Ao

Bo

figura 12 Sean los puntos A y B lo suficientemente alejados entre sí, tal que el procedimiento de la figura 11 deba ser aplicado repetidamente. Entonces la suma de las diferencias de alturas entre A y B no es igual a la diferencia de alturas ortométricas HB – HA. La razón es que el incremento de altura δn, como lo denominaremos en más, es diferente al correspondiente incremento δHB de HB, debido al no paralelismo de las superficies equipotenciales. Denotado el correspondiente incremento potencial W por ∆W, se tiene:

∆W = − g δn = − g ' δH B (51) donde g es la gravedad en la estación de nivelación y g’ es la gravedad sobre la línea de fuerza por B en la superficie equipotencial W + ∆W, figura 12. Entonces: g ' δH B = g δn = − ∆W

δH B =

g δn ⇒ δH B ≠ δn g'

(52)

No existe entonces, una relación geométrica directa entre el resultado de la nivelación geométrica y la altura ortométrica puesto que la (52) expresa una relación física. Si se mide además la gravedad g, se determina entonces:

∆W = − g δn luego se obtiene:

20

B

WB − W A = −∑ g δn

(53)

A

La combinación de la nivelación geométrica con mediciones de gravedad, da por resultado diferencias de potencial; es decir, cantidades físicas. Es algo más riguroso, teóricamente, reemplazar la sumatoria en (53) por una integral: B

W B − W A = − ∫ g dn

(54)

A

Esta integral resulta ser independiente del camino de integración; es decir, diferentes líneas de nivelación conectando los puntos A y B, figura 13, deberían dar el mismo resultado.

B

A

figura 13 Esto resulta evidente puesto que el potencial W es función de la posición solamente (el campo gravitatorio es conservativo). Así, a cada punto corresponde uno y solamente un valor de W. Si la línea de nivelación retorna a A, entonces la integral cerrada deberá ser igual a cero:

∫ g dn = −W El símbolo

∫

A

+ WA = 0

(55)

denota la integral sobre un circuito; es decir:

A ⎡B ⎤ g dn g dn g dn⎥ = −[WB − W A + W A − WB ] = − + ⎢∫ ∫ ∫ B ⎣A ⎦

Por otra parte, las diferencias de alturas medidas; es decir, la suma de los incrementos de nivelación geométrica: B

B

A

A

∆n AB = ∑ δn = ∫ dn

(56)

depende del camino de integración y en general no es igual a cero para el circuito (aún si se considera precisión perfecta en la medición):

∫ dn = error de cierre ≠ cero 21

(57)

Las diferencias de potencial son entonces, el resultado de la combinación de nivelación geométrica con mediciones de gravedad. Esto es básico para la teoría completa de alturas y las alturas ortométricas deben considerarse como cantidades derivadas de las diferencias de potencial. Nivelar sin mediciones de gravedad, aunque esto se aplique en la práctica, carece de significado desde un punto de vista riguroso, puesto que el uso de las diferencias de nivel geométrico solamente, conduce a errores de cierre. 5.- Número geopotencial y altura dinámica. Sea O un punto situado a nivel del mar (en el geoide), generalmente establecido en la playa. Sea otro punto A conectado con O por una línea de nivelación. Puede entonces determinarse la diferencia de potencial entre O y A por la (54). La integral: A

∫ g dn = W

0

− WA = C

(58)

O

que expresa la diferencia entre el potencial en el geoide y el potencial en el punto A, se ha introducido como el número geopotencial en el punto A, en la sección 1. Tal como la diferencia de potencial, el número geopotencial es independiente de la línea de nivelación seguida para relacionar el punto A con el geoide. Lo mismo sucede con todos los puntos de la superficie de nivel. El número geopotencial C puede entonces considerarse como una medida natural de altura, aún cuando no tiene la dimensión de una longitud. El número geopotencial C se mide en unidades geopotenciales (u.g.p), donde: 1 u.g.p. = 1 kgal metro = 1000 gal metro La altura dinámica se define por:

H din =

C

(59)

γ0

donde γ 0 es la gravedad normal para una latitud arbitraria estándar, usualmente 45º:

γ 0, 45º = 980.6199202 gals para el elipsoide de referencia GRS’80. La atura o cota dinámica difiere del número geopotencial solo en la escala de unidades. La división por la constante γ0 en la (59) solamente convierte un número geopotencial en una longitud. Sin embargo, la altura dinámica no tiene significación geométrica puesto que la división por una constante arbitraria γ0, no hace más que obscurecer el significado físico de una diferencia de potencial. Según la (59), todos los puntos de una misma superficie equipotencial tienen la misma altura dinámica. Corrección dinámica: resulta conveniente convertir las diferencias de alturas geométricas B

medidas ∆n AB = ∑ δn en diferencias de alturas dinámicas, agregando una pequeña A

corrección. La (59) da:

22

∆H AB

din

= HB

din

− HA

1

=

din

γ0

(C B − C A ) = B

∆H AB

B

= ∫ dn + ∫

din

1

A

γ0

g −γ0

γ0

A

B

1

B

∫ g dn = γ ∫ (g − γ

0

+ γ 0 ) dn

0 A

A

dn

entonces:

∆H AB

din

= ∆n AB + CD AB

(60)

donde (Heiskanen y Moritz, 1967): B

CD AB = ∫

g −γ0

γ0

A

B

dn = ∑

g −γ0

A

γ0

δn

(61)

El desnivel dinámico está dado (en forma práctica) por:

∆H AB

din

B

B

A

A

= ∑ δn + ∑

g −γ0

γ0

δn

(62)

6.- Altura ortométrica. Para convertir los resultados de la nivelación geométrica en alturas ortométricas, se necesita, según la (52), la gravedad g’ en el interior de la tierra. Puesto que g’ no se puede medir, debe ser calculada a partir de la gravedad medida en la superficie. Esto se logra reduciendo los valores de la gravedad de acuerdo con el método de Poincare-Prey. Denótese por Q el punto interior en el cual se desea determinar g’, tal que g’ = gQ. Sea P el punto correspondiente en la superficie terrestre de tal manera que P y Q estén situados en la misma línea de fuerza, figura 14:

P WP

Q WQ

Sup. terrestre H= H P Z= H Q geoide W = Wo Po

fgura 14 El camino directo para calcular gQ sería usar la fórmula:

23

∂g dh ∂h Q P

gQ = g P − ∫

(63)

suponiendo que se conoce el gradiente de la gravedad en el interior de la tierra. Otro camino para calcular gQ, que es más práctico, es el siguiente: 1.- Remover las masas sobre la superficie geopotencial W =WQ que contiene al punto Q y restar su atracción de g en P. 2.- Puesto que la estación gravitatoria está ahora en “aire libre”, aplicar la reducción de aire libre, es decir moviendo la estación gravitatoria desde P hasta Q. 3.- Restaurar las masas removidas a su posición original y agregar algebraicamente su atracción a g en Q. Si se desprecia la corrección topográfica y se tiene sólo en cuenta la losa infinita de Bouguer entre P y Q de densidad normal ρ = 2.67 gr/cm3, entonces, con los pasos enunciados se obtiene: gravedad medida en P

gP

1.- Remover losa de Bouguer 2.- Reducción de aire libre de P a Q 3.- Restaurar la losa de Bouguer

-0.1119 (HP – HQ) 0.3086 (HP – HQ) -0.1119 (HP – HQ)

gravedad en Q

gQ= gP + 0.0848 (HP – HQ)

La reducción de Poincare-Prey permite obtener la gravedad en el interior de la tierra tal como si se hubiera medido, si esto fuera posible. La intersección de la línea de fuerza por P con el geoide se denota por P0, figura 14. Sea C el número geopotencial en P; es decir:

C = W0 − W y H es la altura ortométrica, es decir, la longitud del segmento de línea de fuerza entre P0 y P. La ecuación: H

C = ∫ g dh

(64)

0

Contiene a H en forma implícita. Es posible explicitar H. A partir de:

dC = −dW = g dH ⇒ dH = −

dW dC = g g

se obtiene: W

C

dW dC H = −∫ =∫ g g W0 0

24

(65)

La integral se extiende a lo largo de la línea de fuerza. La fórmula explícita (65), sin embargo, es de poco uso práctico. Es mejor transformar la (64) de la siguiente forma: C

H

1 C = ∫ g dH = H ∫ g dH H0 0 pero, según del teorema del valor medio del cálculo integral:

1 H

H

∫ g dH = g

(66)

0

donde g es el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de fuerza entre el geoide, punto P0, y el punto P situado en la superficie de la tierra. Luego:

C=gH

(67)

de donde:

H=

C g

(68)

La (68) permite calcular H, si se conoce la gravedad media g . La (66) puede escribirse:

g=

1 H

H

∫ g ( z ) dz

(69)

0

donde g(z) es el valor de la gravedad en un punto variable Q que tiene altura z, figura 14. La aproximación más simple consiste en aplicar la reducción de Poincare-Prey:

g ( z ) = g + 0.0848 ( H − z )

(70)

donde g es la gravedad medida en P. Reemplazando en (69):

g=

1 H

H

∫ [g + 0.0848 ( H − z )] dz = 0

H H ⎤ 1 ⎡ + g dz 0 . 0848 ( H − z ) dz ⎥ ⎢∫ ∫ H ⎣0 0 ⎦

Integrando entre 0 y H:

0.0848 H 2 g=g+ = g + 0.0424 H H 2 es decir:

g = g + 0.0424 H

(g en gal y H en km)

La (71) supone que g varía en forma lineal en el interior de la tierra.

25

(71)

Reemplazando (71) en (68):

H=

C g + 0.0424 H

(72)

con C en u.g.p., g en gal y H en km. De la (72), se obtiene una ecuación de segundo grado en H:

0.0424 H 2 + g H − C = 0

(73)

La solución de (73) es:

H=

− g + g 2 + 0.1696 C

(74)

0.0848

De la (73) puede obtenerse el número geopotencial C si se conoce H. Así:

C = 0.0424 H 2 + g H

(75)

La corrección ortométrica: La corrección ortométrica se suma a la diferencia de nivel medida a fin de convertirla en una diferencia de altura ortométrica. Sea la línea de nivelación que conecta los puntos A y B, figura 15.

B

A HB HA geoide W = Wo

Bo

Ao

figura 15 Apliquemos un simple artificio:

∆H AB = H B − H A − H B ∆H AB = ∆H AB

din

(

din

+ HA

+ HB − HB

din

26

din

(

+ HB

) − (H

A

din

− HA

− HA

din

)

din

) (76)

De la (60):

∆H AB

= ∆n AB + CD AB

din

Consideremos ahora las diferencias entre las cotas ortométricas y las cotas dinámicas HA – HAdin y HB – HBdin. Imaginemos una línea de nivelación ficticia desde la proyección A0 en el geoide hasta el punto A en la superficie terrestre a lo largo de la línea de fuerza. Entonces, obviamente, la diferencia de altura medida sería la misma HA; es decir, ∆n A0 A = H A , tal que:

CD A0 A = ∆H A0 A

din

− ∆n A0 A = H A

− HA

din

entonces:

HA − HA

din

= −CD A0 A

HB − HB

din

= −CD B0 B

(77)

Reemplazando (60) y (77) en (76), se tiene:

∆H AB = ∆n AB + CD AB + CD A0 A − CD B0 B

(78)

∆H AB = ∆nAB + CO AB

(79)

CO AB = CD AB + CD A0 A − CDB0 B

(80)

o

donde:

es la corrección ortométrica. De la (61) se tiene: B

CD AB = ∫

g −γ0

γ0

A

g −γ0

A

CD A0 A =

∫

γ0

A0

B

CDB0 B =

B

dn = ∑

∫

γ0

A

dn =

g −γ0

B0

g −γ0

γ0

gA −γ0

dn =

γ0

δn

HA

gB − γ 0

γ0

HB

donde g A y g B son los valores medios de la gravedad a lo largo de las líneas de fuerza por A y B, entonces la corrección ortométrica (80) es, según Heiskanen y Moritz (1967): B

CO AB = ∑ A

g −γ0

γ0

δn +

gA −γ0

γ0 27

HA −

gB − γ 0

γ0

HB

(81)

donde γ0 es una constante arbitraria para la gravedad normal a 45º de latitud. 7.- Altura normal Supongamos por un momento que el campo de gravedad de la tierra es normal; es decir, W = U y g = γ. Bajo esta presunción calculemos las “alturas ortométricas”; serán denominadas alturas normales y denotadas por H*. Así, se tienen las ecuaciones: H*

W0 − W = C = ∫ γ dH *

(82)

0

C

H* = ∫ 0

dC

(83)

γ

C =γ H*

(84)

donde:

1 γ = * H

H*

∫ γ dH

*

(85)

0

es la gravedad normal a lo largo de la línea de fuerza. Puesto que el potencial U es una función analítica simple, estas fórmulas pueden evaluarse fácilmente; pero desde que el potencial de la tierra no es normal, ¿que significa esto? Considérese un punto P en la superficie de la tierra. Dicho punto tiene un cierto potencial WP y también un cierto potencial UP, pero en general WP ≠ UP. Sin embargo existe un cierto punto Q en la línea de fuerza por P, tal que UQ = UP; es decir, el potencial normal U en Q es igual al potencial real W en P. La altura normal H* de P es nada mas que la altura elipsoidal de Q sobre el elipsoide de referencia, tal como la altura ortométrica de P es la altura de P sobre el geoide. La figura 16 ilustra las relaciones geométricas:

28

P

WP

WP = UQ

sup. terrestre Q,UQ H*= h

Q

Elipsoide de referencia Uo

figura 16 Veremos algunas fórmulas prácticas para el cálculo de la altura normal a partir de los números geopotenciales. Si escribimos la (85) en la forma:

1 γ = * H

H*

∫ γ ( z ) dz

(86)

0

Correspondiente a la (69), podemos expresar γ(z) por la (49):

⎡ ⎣

γ ( z ) = γ ⎢1 −

2 3 ⎤ ( 1 + f + m − 2 f sen 2ϕ ) z + 2 z 2 ⎥ a a ⎦

(87)

donde γ es la gravedad en la superficie del elipsoide de referencia, dependiendo de la latitud ϕ pero no de z. La integración directa respecto de z conduce a:

1 γ = *γ H

γ =

1 γ H*

⎡ 3 z3 ⎤ z2 2 2 z − + f + m − f sen + ϕ 1 2 ⎢ ⎥ a 2 a2 3 ⎦ ⎣

(

)

(

H*

0

)

1 *3 ⎤ ⎡ * 1 2 *2 ⎢⎣ H − a 1 + f + m − 2 f sen ϕ H + a 2 H ⎥⎦

o bien: 2 ⎡ H* H* ⎤ 2 + 2 ⎥ γ = γ ⎢1 − (1 + f + m − 2 f sen ϕ ) a a ⎥⎦ ⎣⎢

29

(88)

Esta fórmula puede usarse para calcular H* por medio de:

C H* = v γ

(89)

La gravedad normal media γ depende de H* pero no fuertemente, entonces es posible expresar H* en términos del número geopotencial C reemplazando (88) en (89) y desarrollando en serie de potencias de H*:

H* =

C⎡ 1 ⎤ 1 + (1 + f + m − 2 f sen 2ϕ ) H * + L⎥ ⎢ γ ⎣ a ⎦

Resolviendo esta ecuación para H* y desarrollando en potencias de

(90)

C

γ

, se obtiene

(Heiskanen y Moritz, 1967):

⎤ C⎡ C C2 2 H = ⎢1 + 1 + f + m − 2 f sen ϕ + 2 2 + L⎥ γ ⎣ aγ a γ ⎦

(

*

)

(91)

donde γ es la gravedad normal en el elipsoide de referencia, para la latitud ϕ dada por la (47) (Somigliana, 1929). La corrección normal, según Heiskanen y Moritz (1967), es: B

CN AB = ∑ A

g −γ0

γ0

δn +

γ A −γ0 γ −γ0 * * HA − B HB γ0 γ0

(92)

tal que: *

*

*

∆H AB = H B − H A = ∆n AB + CN AB

(93)

Las alturas normales fueron introducidas por Molodensky en relación con su método para determinar la superficie física de la tierra. 8.- Comparación de los diferentes sistemas de alturas Por medio del número geopotencial: punto

C = W0 − W =

∫ g dH

geoide

Puede expresarse los diferentes sistemas de altura en una forma común:

altura =

C G

30

(94)

donde los sistemas de altura difieren de acuerdo a la selección que se haga del valor G en el denominador. Se tiene así: altura dinámica: donde G es una constante, γ0, cuyo valor es el de la gravedad normal en un punto arbitrario (G = γ0). altura ortométrica: donde G es el valor medio de la gravedad a lo largo de la línea de fuerza entre el geoide y un punto P situado en la superficie terrestre ( G = g ). altura normal: donde G es el valor medio de la gravedad normal a lo largo de la normal al elipsoide de referencia, entre el elipsoide y un punto Q cuyo potencial normal UQ es igual al potencial real WP de un punto situado en la superficie terrestre ( G = γ ). Se ve que se puede diseñar un número ilimitado de otros sistemas de alturas seleccionando G de diferentes maneras. El número geopotencial C es, de alguna manera, el resultado más directo de la nivelación y tiene gran importancia científica. Sin embargo no es una altura en el sentido geométrico o práctico. La altura dinámica tiene al menos la dimensión de una altura pero carece de significado geométrico. Una ventaja consiste en que los puntos de una misma superficie de nivel tienen la misma altura dinámica, esto se corresponde con la sensación intuitiva de que si nos movemos horizontalmente nos mantenemos a la misma altura. Las correcciones dinámicas son muy grandes puesto que la gravedad varía de ecuador a polo en aproximadamente 5000 mgal. Tómese, por ejemplo, una línea de nivelación de 1000 metros de diferencia de altura en el ecuador donde g ≅ 978.0 gal calculada con γ 0, 45 º ≅ 980.6 gal . Entonces (61) da la corrección dinámica:

CD =

978.0 − 980.6 1000 m = −2.7 m 980.6

Debido a estas grandes correcciones las alturas dinámicas no son adecuadas para usos prácticos. Las alturas ortométricas son las alturas naturales sobre el nivel medio del mar; es decir, sobre el geoide. Son las alturas más usadas en los proyectos y obras de ingeniería. Su cómputo es realmente laborioso a menos que se use la formula simple de Helmert (72) o (74), la cual es suficiente en la mayoría de los casos. La corrección ortométrica es bastante pequeña. El significado físico y geométrico de las alturas normales es menos obvio, dependiendo del elipsoide de referencia usado. A pesar de la importancia que las alturas normales tienen en las nuevas teorías de la geodesia física, presentan características algo artificiosas respecto de las alturas ortométricas. Son, sin embargo fáciles de calcular rigurosamente; el orden de magnitud de las alturas normales es aproximadamente el mismo de las alturas ortométricas. Todos estos sistemas se basan en que el número geopotencial C es función de la posición solamente. No existen entonces errores de cierre como ocurre con las diferencias de nivel geométrico. Desde un punto de vista puramente práctico, los requerimientos deseados para un sistema de alturas son: -. Eliminación de los errores de cierre. -. Las correcciones a las alturas medidas deberán ser lo más pequeñas posibles. Precisión: La nivelación geométrica es una de las mediciones geodésicas más precisas. Es posible lograr errores estándar de aproximadamente ± 0.1 mm por kilómetro que se

31

incrementa con la raíz cuadrada de la distancia. Las diferencias en el número geopotencial pueden estimarse con un error de aproximadamente 0.1 gal-metro por kilómetro, esto corresponde a ± 0.1 mm en la altura medida. Para lograr esto, Bomfor sugiere una distancia media entre estaciones de gravedad de 2 a 3 kilómetros en terrenos nivelados y 1 a 2 kilómetros en terrenos moderadamente ondulados y 0.3 a 1.5 kilómetros en áreas montañosas. Las alturas dinámicas y normales son claramente tan precisas como los números geopotenciales, puesto que la gravedad normal γ no tiene error. Las alturas ortométricas sin embargo, son afectadas levemente por el conocimiento imperfecto de la variación de la densidad en el interior de la tierra. 9.- Estimación del número geopotencial C El número geopotencial C se determina con gran precisión por medio de los desniveles geométricos y mediciones de gravedad con la expresión: W

H

W0

0

C = − ∫ dW = W0 − W = ∑ g δn Trataremos de obtener una estimación aproximada de C usando el potencial normal U. Considérese un punto P sobre la superficie terrestre. Dicho punto tiene un potencial WP y le corresponde también un potencial normal o esferopotencial UP, siendo en general WP ≠ UP. Según la teoría de Molodensky existe un determinado punto Q en la línea de fuerza por P tal que WP = UQ; es decir, el potencial normal en Q es igual al potencial real en P, figura 17:

n P,Wp = UQ Q UQ h H´

sup. terrestre

H

teluriode

Po Qo

N Uo

geoide W = Wo

Elipsoide de referencia Wo=Uo

figura 17 La altura desde el elipsoide hasta el punto P sobre la normal al elipsoide, es la altura elipsoidal h que se determina junto con la latitud geodésica ϕ y la longitud geodésica λ, mediante observaciones GPS en modo diferencial estático. H es la altura ortométrica de P y N es la ondulación del geoide. La relación entre h, H y N está dada por:

32

h=H+N

(95)

La altura elipsoidal también puede determinarse por:

h = H* +ζ

(96)

donde la altura normal H* reemplaza a la altura ortométrica H y la anomalía en altura ζ reemplaza ala ondulación del geoide N. Esto es claro si se considera la superficie cuyo potencial normal U en cada punto Q es igual al geopotencial real en el correspondiente punto P, tal que UQ = WP, estando los puntos P y Q correspondientes sobre la misma normal n al elipsoide de referencia. Esta superficie se denomina teluroide. La anomalía en altura ζ puede expresarse por:

ζ = h− H*

(97)

Correspondiéndose en valor, muy aproximadamente con la ondulación del geoide N:

N = h−H La altura normal H* puede determinarse por medio de la nivelación geométrica combinada con observaciones de gravedad, como se vio en secciones anteriores. Debe determinarse el número geopotencial C de P, C = W0-W por: P

C = ∫ g dn 0

donde g en la gravedad medida y dn (δn) el incremento del desnivel geométrico. La altura normal H* está relacionada con el número geopotencial C por la (91):

H* =

⎤ C ⎡ C C2 2 f m f sen + + + − + + L 1 1 2 ϕ ⎢ ⎥ 2 γ 0 ⎢⎣ aγ 0 a2 γ 0 ⎥⎦

(

)

donde γ0 es la gravedad normal en el punto Q0 del elipsoide de referencia, figura 17. Obviamente H* no depende de la distribución de la densidad en el interior de la tierra. La altura normal H* de un punto P de la superficie terrestre es igual a la altura elipsoidal h del correspondiente punto Q en el teluroide. Si la función potencial W fuera igual a la función potencial normal U en cada punto, entonces Q coincidiría con P, el teluroide coincidiría con la superficie topográfica y la altura normal de cada punto seria igual a la altura elipsoidal. Realmente, sin embargo, WP ≠ UP, entonces la diferencia:

ζ P = hP − H P * = hP − hQ no es igual a cero. Esto explica el termino “anomalía en altura” para ζ. De las (95) y (96):

33

N =ζ + H* − H

(98)

Esto significa que la diferencia entre la ondulación del geoide N y la anomalía en altura ζ es igual a la diferencia entre la altura normal H* y la altura ortométrica H. De las (68) y (89):

H=

C g

H* =

y

C

γ

se tiene:

H*γ = H g H* g = γ H H* − H g −γ = γ H

H * −H = De (98) y (99):

N −ζ =

g −γ

γ

r g −γ

(99)

H

(100)

H

γ

o bien:

ζ −N =−

g −γ

γ

(101)

H

donde g está dado por la (71) y γ por la (88). De la (101):

ζ =N−

g −γ

γ

H

(102)

De la (97) y de la figura 17:

hQ = H * = h − ζ

(103)

Estamos ahora en condiciones de calcular las coordenadas cartesianas de Q, conocidas las coordenadas geodésicas de P(ϕ, λ, h):

X Q = (N + hQ )cos ϕ cos λ

34

(104)

YQ = (N + hQ )cos ϕ senλ

[

(105)

]

Z Q = N (1 − e 2 ) + hQ senϕ

(106)

donde N es el radio de curvatura del primer vertical geodésico (la gran normal) y e2 es la excentricidad primera del elipsoide de referencia.

a

N=

es la gran normal, a es el semieje mayor del elipsoide de referencia. 1 − e sen 2ϕ a −b f = es el aplastamiento del elipsoide de referencia y b es el semieje menor. a a2 − b2 e2 = = 2 f − f 2 es la excentricidad primera del elipsoide de referencia. 2 a 2

Para el GRS’80:

1 = 298.2572201 f

e 2 = 0.00669438

f = 0.003352811

Las coordenadas cartesianas de Q en función de las coordenadas elipsoidales µ, β según las (24), (25) y (26), son:

X Q = µ 2 + E 2 cos β cos λ

(107)

X Q = µ 2 + E 2 cos β senλ

(108)

Z Q = µ senβ

(109)

Conocidas XQ, YQ, ZQ de las (104) a (106), debe determinarse µ y β a partir de las (107) a (109). Elevando (107) y (108) al cuadrado y sumando miembro a miembro:

(

)

(

)(

X Q + YQ = µ 2 + E 2 cos 2β = µ 2 + E 2 1 − sen 2 β 2

2

)

(110)

De la (109):

sen β = 2

ZQ

2

µ2

Reemplazando en (110): 2

X Q + YQ

(X

2 Q

2

⎛ ZQ2 = µ + E ⎜1 − 2 ⎜ µ ⎝

(

)

2

2

)

)(

(

+ YQ 2 µ 2 = µ 2 + E 2 µ 2 − Z Q

[

(

⎞ ⎟ = µ2 + E2 ⎟ ⎠

(

2

) = µ + (E 4

)]

2

⎛ µ 2 − ZQ 2 ⎜ ⎜ µ2 ⎝

)

)

− ZQ µ 2 − E 2 Z Q 2

µ 4 + E 2 − X Q 2 + YQ 2 + Z Q 2 µ 2 − E 2 Z Q 2 = 0 La solución de la (111) es:

35

⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 2

(111)

⎧ ⎪ µ = ⎨ X Q 2 + YQ 2 + Z Q 2 − E 2 ⎪⎩

(

)

2 ⎡ 4 E 2 ZQ 1 1 ⎢ + 1+ 2 2 2 ⎢2 2 X Q + YQ + Z Q − E 2 ⎣

(

)

2

⎤⎫ ⎥ ⎪⎬ ⎥⎪ ⎦⎭

(112)

De (107) a (109):

sen β = 2

2

ZQ

µ2 2

cos 2 β =

X Q + YQ 2

µ2 + E2

Dividiendo miembro a miembro:

tg β =

(

ZQ µ 2 + E 2 2

2

(

)

µ 2 X Q 2 + YQ 2

⎡ ZQ β = arctg ⎢ ⎢⎣ µ

)

µ2 + E2 ⎤

⎥ 2 2 X Q + YQ ⎥⎦

(113)

Con los valores de µ y β dados por (112) y (113) respectivamente, reemplazados en la (34), se obtiene el potencial normal en Q:

U Q = U ( µ , β ) = WP

(114)

De la (37) se obtiene el potencial normal del elipsoide de referencia, que es igual al del geoide:

W0 = U 0 = 6263683.085 kgal metro para el GRS’80. El número potencial estimado en el punto P es:

C = W0 − WP = U 0 − U Q

(115)

10.- La red gravimétrica

La gravimetría es una de las herramientas más importantes, conjuntamente con la nivelación geométrica de precisión, para la detección de desplazamientos verticales y modelación local del geoide. Sin embargo, un problema general del ajuste de observaciones gravimétricas de alta precisión es la ocurrencia de errores groseros en las observaciones. Los gravímetros son instrumentos muy delicados donde se producen una variedad de fuentes de error y además el esquema de observación no permite en cada caso, una perfecta modelación del comportamiento instrumental; es decir, la correcta

36

modelación a priori de los errores. Para ajustar una red gravimétrica conviene entonces utilizar mínimos cuadrados iterativamente reponderados. El modelo funcional del ajuste mínimos cuadrados es: A X = L +V

(116)

donde A es la matriz de diseño, X es el vector solución mínimos cuadrados que contiene las correcciones diferenciales a las gravedades absolutas aproximadas en cada vértice de la red gravimétrica, L es el vector cuyas componentes son las diferencias entre las gravedades relativas observadas entre los vértices y las gravedades relativas aproximadas (diferencias entere las gravedades absolutas aproximadas), mientras que V es el vector corrección o vector de los residuos. La solución mínimos cuadrados está dada por: X = ( AT PA) −1 AT PL

(117)

donde (ATPA)-1 = N-1 es la inversa de la matriz normal N = ATPA, y está dada por: N −1 = E D −1 E T

(118)

D es la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los valores propios de la matriz normal N y E es una matriz cuyas columnas son los vectores propios correspondientes normalizados. El modelo estocástico está representado por la matriz varianza covarianza del vector L, ΣL. ΣL = σ 0 P 2

(119)

2

donde σ0 es la varianza del ajuste:

σ0

2

V T PV = n−m

(120)

n y m son, respectivamente, el número de observaciones y el número de parámetros a ajustar. P es la matriz de los pesos, diagonal en este caso, pues consideraremos a las observaciones como variables estocásticas no correlacionadas. Los elementos diagonales de P son los pesos de las observaciones, los cuales son reponderados en cada iteración por las correspondientes funciones de pesos. Para el ajuste de una red gravimétrica consideraremos la función de pesos de Huber definida por: ⎧1 ⎪ p(u ) = ⎨ H ⎪u ⎩

u ≤H u >H

donde u es el residuo normalizado; es decir:

37

H = 1.345

(121)

u=

v

(122)

σ0

H es la constante de sintonización (tunning constant) en la función de Huber. Las funciones de pesos decrecen con el crecimiento de los residuos normalizados. Así, a aquellas observaciones que presentan errores groseros, les serán asignados pesos muy bajos a tal punto que sus influencias en la solución mínimos cuadrados, resultarán prácticamente nulas. Mínimos cuadrados iterativamente reponderados con funciones de pesos seleccionadas, resulta un buen método para eliminar en forma automática los errores groseros de las observaciones cuando sus errores a priori no pueden modelarse debidamente. La calidad del ajuste se mide convenientemente con los errores estándar de las observaciones ajustadas. La matriz varianza covarianza de los parámetros ajustados es: Σ X = σ 0 N −1 2

(123)

Los errores estándar de los parámetros ajustados (gravedades absolutas en cada vértice), están dados por:

σ X j = σ 0 q Xj Xj j = 1, m

(124)

donde qXj Xj son los elementos diagonales de la matriz N-1. Los parámetros ajustados Xa, son: X a = X º+ X

(125)

donde Xº son los parámetros aproximados y X es la solución mínimos cuadrados de la última iteración. La matriz varianza covarianza de las observaciones ajustadas es: Σ L = σ 0 AN −1 AT 2

(126)

Los errores estándar de las observaciones ajustadas (gravedades relativas o ∆g), están dadas por:

σ ∆g = σ 0 qlili

i = 1, n

(127)

donde qlili son los elementos diagonales de la matriz AN-1AT. Las observaciones ajustadas, son: La = Lb + V

(128)

donde Lb es el vector de las observaciones (∆gi, i =1, n) y V es el vector de los residuos o correcciones a las observaciones.

38

El ejemplo siguiente es una red gravimétrica medida en la provincia de San Juan, Argentina por investigadores de la UNSJ y cubre una superficie de aproximadamente 40000 hectáreas. La red consta de 22 puntos o vértices, 52 desniveles gravimétricos observados (∆g) y 31 triángulos, figura 18:

4

N

3 2 1

12

13

14 22

16 15

19 17

18

5 20

6

11 7 21

8 10

9

figura 18 El punto 1 cuenta con una determinación de gravedad absoluta cuyo valor en miligales es 979141.494 y será considerado como el punto fijo de la red. La tabla siguiente muestra los desniveles gravimétricos observados (∆g) y sus identificaciones: Ident. ∆g(mgals) 01-02 9.2345 02-03 6.8570 03-04 10.4865 04-05 11.4950 06-05 5.5900 06-07 1.5840 07-08 3.8750 09-08 4.3640 10-09 3.1175

Ident. ∆g(mgals) 15-16 3.9080 03-12 3.2845 03-13 7.6235 12-13 4.3380 13-04 2.8725 04-22 1.2965 13-22 4.2070 04-14 5.0005 14-05 6.4935

Ident. ∆g(mgals) Ident. ∆g(mgals) 17-12 0.1995 21-07 5.4290 16-17 3.0340 15-17 6.9325 15-11 9.7725 17-11 2.8470 17-21 9.4500 17-20 6.8945 18-20 0.8195 18-06 7.1575

39

11-10 01-11 02-15 01-15 02-16 02-12 16-12 22-14

8.4565 21.9820 2.9720 12.2005 6.8820 10.1210 3.2345 3.6430

19-05 14-19 22-19 18-19 18-22 13-18 12-18 17-18

5.6685 0.7930 4.4635 7.1295 2.6530 1.5340 5.8685 6.0810

19-06 20-06 20-07 20-21 11-21 21-10 21-09 21-08

0.0610 6.3690 7.9495 2.5490 6.6095 1.8300 4.9360 9.3035

tabla 1 Los errores de cierre ε (mgals) de los triángulos, se muestran en la tabla siguiente: triángulo ε triángulo 01-02-05 0.0060 14-17-11 15-02-16 0.0020 11-17-21 02-12-16 0.0045 17-20-21 02-03-12 0.0205 17-18-20 12-03-13 0.0010 20-18-06 03-04-13 -0.0095 18-19-06 13-04-22 -0.0380 19-05-06 22-04-14 0.0610 19-14-05 04-05-14 0.0010 22-14-19 01-15-11 -0.0090 18-22-19

ε 0.0070 -0.0060 -0.0060 0.0060 -0.0031 0.0033 0.0180 0.0320 -0.0280 -0.0130

triángulo ε triángulo ε 13-22-18 0.0200 10-11-21 -0.0160 12-13-18 0.0040 17-12-18 -0.0130 16-12-17 0.0010 15-16-17 0.0090 20-06-07 0.0040 21-20-07 -0.0280 21-07-08 0.0005 21-08-09 0.0040 10-21-09 -0.0120

tabla 2 Gravedades Absolutas Aproximadas: gº punto 01(PF) 02 03 04 05 06 07 08 09 10

gº(mgals) punto gº(mgals) punto gº(mgals) 979141.494 11 979163.500 21 979170.070 979150.730 12 979160.870 22 979169.380 979157.590 13 979165.210 979168.080 14 979173.080 979179.570 15 979153.690 979173.980 16 979157.610 979175.570 17 979160.620 979179.440 18 979166.700 979175.080 19 979173.830 979171.960 20 979167.520

tabla 3 El ajuste libre se ejecutó con la aplicación MATLAB, ARED_GL, desarrollada por el autor, y al cabo de 10 iteraciones la varianza del ajuste es σ02 = 1.4009 10-4 y el error estándar, σ0 = 0.011836. El ajuste vinculado al punto fijo 1, al que se le adjudicó peso 1000, se ejecutó con la aplicación MATLAB, ARED_GV. Al cabo de 10 iteraciones la varianza estimada es σ02 = 1.6669 10-4 y el error estándar σ0 = 0.012911. 40

Las cotas gravimétricas absolutas ajustadas de los puntos de la red y sus errores estándar, todos expresados en miligales, se muestran en la tabla siguiente:

pt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

g abs ajust 979141.494 979150.736 979157.585 979168.072 979179.549 979173.936 979175.525 979179.407 979175.047 979171.937

σg 0.0004 0.0066 0.0073 0.0070 0.0074 0.0065 0.0073 0.0090 0.0094 0.0090

pt 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

g abs ajust 979163.488 979160.864 979165.204 979173.064 979153.712 979157.623 979160.656 979166.744 979173.872 979167.563

pt g abs ajust σg σg 0.0066 21 979170.105 0.0062 0.0060 22 979169.405 0.0068 0.0065 0.0075 0.0065 0.0074 0.0054 0.0053 0.0065 0.0062

tabla 4 Los datos de la tabla 4 son necesarios para desarrollar las aplicaciones de la siguiente sección. 11.- Aplicaciones

Ejemplo 1: Los puntos de la red gravimétrica de la figura 18, tienen coordenadas geodésicas ϕ, λ, h en los sistemas WGS’84 y Campo Inchauspe 69, alturas sobre el nivel medio del mar y coordenadas planas referidas al plano de proyección conforme Gauss-Kruger, sistema CAI’69, meridiano central -69º (faja 2). Las coordenadas geodésicas WGS’84 provienen de una red GPS medida con receptores doble frecuencia, ajustada por mínimos cuadrados y vinculada a puntos de la red POSGAR’94. Las coordenadas geodésicas CAI’69, se obtuvieron de las WGS’84 mediante 7 parámetros locales para la transformación del datum. Las alturas sobre el nivel medio del mar (HNG) provienen de una red de nivelación geométrica ajustada por mínimos cuadrados y vinculada al punto Nodal-70 de la línea de nivelación de precisión del IGMA, San Juan-Chepes. Se desea estimar el número geopotencial C y las alturas dinámica, ortométrica y normal en el punto 2 de la red de la figura 18. punto hWGS’84 (m) HNG (m) g (gal) ϕWGS’84 λ WGS’84 2 -31º 30’ 37”.43893 -68º 37’ 35”.94753 726.972 701.086 979.150736

tabla 5 1.- Cálculo de g Se adopta para el valor de H el resultado de la nivelación geométrica, HNG = 0.701086 km de la tabla 5. g = g + 0.0424 H = 979.150736 + 0.0424 0.701086 = 979.180426 gal

41

2.- Cálculo de γ Parámetros del elipsoide de referencia (GRS’80): 1 a = 6378137 m , b = 6356752.3141 m , ω = 7292115010 −11 , s γ a = 978.03267715 gal γ b = 983.21863685 gal

γ0 =

a γ a cos 2 ϕ + b γ b sen 2ϕ a 2 cos 2 ϕ + b 2 sen 2ϕ

f = 0.03352811

k M = 398600510 8

= 979.444757132 gal

m = 0.003449786

(Para H* se adopta el valor de HNG = 701.0860m) 2 ⎡ H* H* ⎤ 2 γ = γ ⎢1 − 1 + f + m − 2 f sen ϕ + 2 ⎥ = 979.33657302 gal a a ⎥⎦ ⎣⎢

(

)

3.- Cálculo de ζ

g −γ

N = h − H = 726.972 m − 701.086 m = 25.886 m

ζ =N−

g −γ

γ

γ

= −0.000159405

H = 25.886 − (−0.000159405) 701.086 = 25.9978 m

4.- Cálculo de hQ

hQ = h − ζ = 726.972 m − 25.9978 m = 700.9742 m 5.- Cálculo de XQ, YQ, ZQ.

e 2 = 2 f − f 2 = 0.00669438

N=

a 1 − e sen 2ϕ

X Q = (N + hQ )cos ϕ cos λ = 1983749.546 m

YQ = (N + hQ )cos ϕ senλ = −5068871.5744 m

[

]

Z Q = N (1 − e 2 ) + hQ senϕ = −3314636.5090 m

6.- Cálculo de µ y β

42

2

= 6383976.7973 m

m3 s2

E = a 2 − b 2 = 521854.011 m

⎧ ⎪ µ = ⎨ X Q 2 + YQ 2 + Z Q 2 − E 2 ⎪⎩

(

⎡ ZQ β = arctg ⎢ ⎢⎣ µ

)

2 ⎡ 4 E 2 ZQ ⎢1 + 1 1+ 2 2 2 ⎢2 2 X Q + YQ + Z Q − E 2 ⎣

(

)

2

⎤⎫ ⎥ ⎪⎬ = 6357455.0030 m ⎥⎪ ⎦⎭

µ2 + E2 ⎤

⎥ = −0.548464891 2 2 X Q + YQ ⎥⎦

7.- Cálculo del número geopotencial C

⎞ µ⎤ E ⎟⎟ arctg − 3 ⎥ = 0.000073322034 µ E⎦ ⎠ 1 ⎡⎛ b2 ⎞ E b⎤ q 0 = ⎢⎜⎜1 + 3 2 ⎟⎟ arctg − 3 ⎥ = 0.000073346259 2 ⎣⎝ b E⎦ E ⎠ q=

1 2

⎡⎛ µ2 ⎜ 1 3 + ⎢⎜ E2 ⎣⎝

U (µ , β ) =

E 1 q kM 1 1 arctg + ω 2 a 2 ( sen 2 β − ) + ω 2 ( µ 2 + E 2 ) cos 2 β = U Q = WP E µ 2 q0 3 2

U Q = WP = 6262999.595139 kgal metro U0 =

E 1 kM arctg + ω 2 a 2 = W0 = 6263686.085 kgal metro E b 3

C = W0 − WP = 686.489869 kgal metro 8.- Estimación de la altura dinámica Hdin.

γ 0, 45 º =

H din =

a γ a cos 2 45 + b γ b sen 2 45 a 2 cos 2 45 + b 2 sen 2 45

= 980.6199202 gal

C = 700.0570 m γ 0 , 45 º

9.- Estimación de la altura ortométrica H.

H= H=

C = 701.0862 m , g − g + g 2 + 0.1696 C 0.0848

= 0.7010861 km = 701.0861 m

43

10.- Estimación de la altura normal H*.

γ =

a γ a cos 2 ϕ + b γ b sen 2ϕ

H* =

a 2 cos 2 ϕ + b 2 sen 2ϕ

= 979.444757 gal

⎤ C⎡ C C2 2 ϕ 1 + 1 + f + m − 2 f sen + + L⎥ = 700.9754 m ⎢ 2 2 γ ⎣ aγ a γ ⎦

(

)

Ejemplo 2: La siguiente tabla 6 muestra los datos geodésicos y gravimétricos de la red de la figura 18: punto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

ϕWGS’84 (º ‘ “)

λWGS’84 (º ‘ “)

-31 30 37.43896 -31 29 13.11863 -31 28 42.40454

-68 37 35.94753 726.972 -68 34 40.69808 694.706 -68 31 16.06855 653.962

701.086 669.034 628.520

-31 33 19.23917 -31 34 23.79039 -31 36 20.84854

-68 40 49.09835 651.159 -68 31 00.43872 650.144 -68 31 43.15873 643.430

625.958 624.956 618.235

-31 35 49.03632 -31 34 01.85797 -31 30 46.86973 -31 30 40.19301 -31 30 06.30942 -31 32 23.82745 -31 31 51.56476 -31 32 22.45801

-68 37 27.59689 -68 34 21.42142 -68 34 01.16374 -68 32 16.00183 -68 29 41.78636 -68 37 07.73318 -68 35 50.10110 -68 34 42.01024

666.300 687.420 686.890 669.683 644.126 726.550 707.190 692.919

640.956 661.953 662.352 644.276 618.847 700.781 681.546 667.375

-31 31 59.52190 -31 33 13.94929 -31 34 28.35393 -31 30 27.47011

-68 30 12.64596 -68 32 22.59701 -68 32 52.62141 -68 31 05.46601

646.894 671.780 667.682 656.041

621.656 646.446 642.357 630.692

hWGS’84 (m) HNG (m)

g (gal) 979.141494 979.150.736 979.15785 979.168072 979.179549 979.173936 979.175525 979.179407 979.175047 979.171937 979.163488 979.160864 979.165204 979.173064 979.153712 979.157623 979.160656 979.166744 979.173872 979.167563 979.170105 979.169405

tabla 6 En la columna 5 están las alturas sobre el nivel medio del mar, HNG, obtenidas por medio de 10 mm una nivelación geométrica con error estándar para un desnivel σ ∆ H = L (km) y km ajustadas por mínimos cuadrados. En la columna 6 están las gravedades absolutas de los puntos de la red de la figura 18 ajustadas por mínimos cuadrados iterativamente reponderados. Las coordenadas geodésicas (columnas 2, 3 y 4) provienen de una red GPS, medida con receptores doble frecuencia, y ajustada por mínimos cuadrados. Partiendo del punto 2, calcularemos la altura ortométrica del punto 8 siguiendo el camino definido por la sucesión de puntos: A≡2, 16, 17, 20, 21 y B≡8.

44

La corrección ortométrica según la (81) es: B

CO AB = ∑

g −γ0

γ0

A

δn +

gA −γ0

γ0

HA −

gB − γ 0

γ0

HB

El valor de γ0 se calcula a 45º de latitud y es γ 0 = 980.619920 gal . La gravedad media en los puntos extremos A≡2 y B≡8, es: A≡2: g A = g A + 0.0424 H A = 979.180462 gal B≡8: g B = g B + 0.0424 H B = 979.205262 gal desnivel 02 – 16 16 – 17 17 – 20 20 – 21 21 - 08

δn (m) -19.540 -14.171 -20.929 -4.089 -24.122

g (gal) 979.157623 979.160656 979.167563 979.170105 979.179407 tabla 7

(g-γ0)/γ0 -0.00149120 -0.00148100 -0.00148106 -0.00147847 -0.00146898

B

∑ δn = −82.851m A

B

∑ A

g −γ0

γ0

δn = 0.1227 m ,

gA −γ0

γ0

H A = −1.029128 m ,

gB − γ 0

γ0

H B = −0.891650 m

Corrección Ortométrica: CO AB = 0.12270 m − 1.029128 m + 0.891650 m = −0.0148 m

CO AB = −14.8 mm Altura ortométrica de B≡8: B

H B ≡8 = H A + ∑ δn + CO AB = 701.0862 m − 82.851 m − 0.0148 m = 618.2204 m A

Calcularemos ahora la altura ortométrica de B ≡ 8, partiendo de A ≡ 2 siguiendo el camino definido por la sucesión de puntos: A≡2, 12, 13, 22, 19, 6, 7 y B≡8. desnivel δn (m) g (gal) (g-γ0)/γ0 02 – 12 -39.734 979.160864 -0.00148789 12 – 13 -17.076 979.165204 -0.00148346 13 – 22 -13.584 979.169405 -0.00147918 22 – 19 -9.036 979.173872 -0.00147463 19 - 06 4.272 979.173936 -0.00147456 06 - 07 -0.972 979.175525 -0.00147294 07 - 08 -6.721 979.179407 -0.00146898 tabla 8 B

∑ δn = −82.851m , A

B

∑ A

g −γ0

γ0

δn = 0.122875 m ,

45

Corrección Ortométrica: CO AB = 0.122875 m − 1.029128 m + 0.891650 m = −0.0146 m

CO AB = −14.6 mm Altura ortométrica de B≡8: B

H B ≡8 = H A + ∑ δn + CO AB = 701.0862 m − 82.851 m − 0.0146 m = 618.2206 m A

Se verifica pues, que la corrección ortométrica es independiente del camino recorrido. Calculemos ahora el potencial en B ≡ 8, partiendo del potencial estimado en el punto A ≡ 2 (ítem 7 del ejemplo 1): Camino 1 (A≡2, 16, 17, 20, 21 y B≡8), tabla 7: B

WB ≡8 = W A≡ 2 − ∑ g δn = 6262999.595131 − (81.125016) = 6263080.7201 kgal metro A

El número geopotencial en B ≡ 8 es: C = W0 − WB ≡8 = 605.3649 kgal metro Camino 2 (A≡2, 12, 13, 22, 19, 6, 7 y B≡8), tabla 8: B

WB ≡8 = W A≡ 2 − ∑ g δn = 6262999.595131 − (81.1224847) = 6263080.71984 kgal metro A

El número geopotencial en B ≡ 8 es: C = W0 − WB ≡8 = 605.3652 kgal metro La altura ortométrica en B ≡ 8 es según la (74):

− g + g 2 + 0.1696 C

H B ≡8 =

0.0848

= 618.2204 m

El valor hallado se calculó usando el número geopotencial obtenido por el camino 1. Si usamos el número geopotencial determinado por el camino 2, la altura ortométrica resulta 618.2206 m, siendo no significativa la diferencia. Calculemos ahora la altura dinámica en B ≡ 8. De la (59):

H B ≡8

din

=

C = 617.3291 m γ 0 , 45 º

La altura normal de B ≡ 8 es según la (91): *

H B ≡8 =

⎤ C⎡ C C2 2 ϕ 1 1 f m 2 f sen + + + − + + L⎥ = 618.065 m ⎢ 2 2 γ ⎣ aγ a γ ⎦

(

)

46

donde, para la latitud del punto B ≡ 8, la gravedad normal es:

γ =

a γ a cos 2 ϕ + b γ b sen 2ϕ a 2 cos 2 ϕ + b 2 sen 2ϕ

= 979.452443 gal

El número geopotencial en B ≡ 8 se obtuvo siguiendo el procedimiento indicado en el ítem 7 del ejemplo1 y su valor es:

C = 605.379207 kgal metro La diferencia con el valor hallado siguiendo los caminos 1 o 2 del ejemplo2 es del orden de 0.014 kgal metro ¿Qué influencia produce esta diferencia en las alturas dinámica, ortométrica y normal del punto en cuestión? Calcularemos las tres alturas con el último valor de C hallado (605.379207 kgal metro) siguiendo los procedimientos expuestos:

H din = 617.3434 m altura ortométrica: H = 618.2350 m altura normal: H * = 618.0793 m altura dinámica:

Las diferencias están en el orden de los 14 mm en todos los casos. En los puntos de la red donde se conocen sus coordenadas geodésicas ϕ, λ y h, calcularemos ahora los números geopotenciales C, las alturas ortométricas H, las alturas normales H* y las alturas dinámicas Hdin, con la aplicación MATLAB, NGP_C (ver Anexo). Para calcular el número geopotencial, usamos la expresión:

C = U −U0 donde U y U0 se calculan con las (34) y (37) respectivamente. Las alturas ortométricas, normales y dinámicas se calculan con las expresiones respectivas:

H= punto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

C , g

C (kgal metro) H (m)

H* =

C

y

γ

H* (m)

H din = Hdin (m)

686.489736 655.108716 615.443487

701.0860 700.8969 700.0569 669.0340 668.8586 668.0557 628.5200 628.3613 627.6066

612.938392 611.958200 605.379207

625.9580 625.7997 625.0519 624.9560 624.7980 624.0524 618.2350 618.0793 617.3434

627.623568 648.178809 648.567779

640.9560 640.7908 640.0273 661.9530 661.7789 660.9888 662.3520 662.1790 661.3855

47

C

γ 0, 45

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

630.870262 605.974571 686.193163 667.360679 653.486249

644.2760 618.8470 700.7810 681.5460 667.3750

644.1101 618.6924 700.5924 681.3652 667.1992

643.3382 617.9505 699.7545 680.5498 666.4012

621.6560 646.4460 642.3570 630.6920 tabla 9 El número geopotencial del punto 8

621.4997 646.2789 642.1914 630.5321

620.7560 645.5067 641.4252 629.7763

608.725719 632.996694 628.994287 617.571196

en la tabla 9, difiere del número geopotencial hallado 8

por la expresión clásica C = W0 − W8 = 605.3652 kgal metro donde W8 = W2 − ∑ g δn , 2

en 0.014 kgal metro. Las alturas, ortométrica, normal y dinámica del punto 8 (tabla 9), difieren de aquellas calculadas en este mismo ejemplo 2, en 0.0146 m, 0.0143 m y 0.0143 m, respectivamente. 12.- Conclusiones. Sáquelas usted mismo, estimado lector. 13.- Anexo. La aplicación MATLAB, NGP_C. clear home disp(' ') disp(' Progreama NGP_C: Calcula el número geopotencial en un punto de la superficie terrestre') disp(' ') disp(' -Raúl Márquez-') disp(' ') disp(' ') disp(' ') disp(' Ingreso de Datos') disp(' ') disp(' Altura sobre el Nivel Medio del Mar') HNM= input(' HSNM(m)= '); disp(' ') disp(' Gravedad observada') g = input(' gravedad(gal)= '); disp(' ') gm=g+0.0424*(HNM/1000); a=6378137; b=6356752.3141; omega=7292115E-11; kM= 3986005E8; gamaa=978.03267715; gamab=983.21863685; f=0.00335281068; m=0.00344978600308; disp(' latitud geodésica WGS*84 ') fig= input(' grados = ');

48

fim= input(' minutos = '); fis= input(' segundos = '); disp(' ') disp(' longitud geodésica WGS*84 ') lag= input(' grados = '); lam= input(' minutos = '); las= input(' segundos = '); disp(' ') disp(' altura elipsoidal') hp=input(' h(m)= '); disp(' ') disp(' ') fi=-(fig+fim/60+fis/3600)*pi/180; la=-(lag+lam/60+las/3600)*pi/180; NUM=a*gamaa*(cos(fi))^2+b*gamab*(sin(fi))^2; DEN=sqrt(a^2*(cos(fi))^2+b^2*(sin(fi))^2); gama0=NUM/DEN; gamam=gama0*(1-(1+f+m-2*f*(sin(fi))^2)*(HNM/a)+(HNM/a)^2); N=hp-HNM; zeta= N-((gm-gamam)/gamam)*HNM; hQ= hp-zeta; e2= 0.00669438; GN= a/sqrt(1-e2*(sin(fi))^2); XQ=(GN+hQ)*cos(fi)*cos(la); YQ=(GN+hQ)*cos(fi)*sin(la); ZQ=(GN*(1-e2)+hQ)*sin(fi); E=sqrt(a^2-b^2); AUX=XQ^2+YQ^2+ZQ^2-E^2; mu=sqrt(AUX*(0.5+0.5*sqrt(1+(4*E^2*ZQ^2)/AUX^2))); beta=atan((ZQ/mu)*sqrt((mu^2+E^2)/(XQ^2+YQ^2))); q=0.5*((1+3*(mu^2/E^2))*atan(E/mu)-3*(mu/E)); q0=0.5*((1+3*(b^2/E^2))*atan(E/b)-3*(b/E)); U1=(kM/E)*atan(E/mu); U2=0.5*omega^2*a^2*(q/q0)*(sin(beta)^2-(1/3)); U3=0.5*omega^2*(mu^2+E^2)*(cos(beta)^2); UQ=(U1+U2+U3)/10; U0=6263686.085; C=U0-UQ; disp(' ') disp(' Resultados') disp(' ') fprintf(' Número Geopotencial(kgal metro)= %12.6f\n', C); disp(' ') HO=(-g+sqrt(g^2+0.1696*C))/0.0848; HO=HO*1000; fprintf(' Altura Ortométrica(m)= %10.4f\n', HO); disp(' ') HN=(C/gama0)*(1+(1+f+m2*f*(sin(fi))^2)*(C/(a*gama0))+(C^2/(a*gama0)^2)); HN=HN*1000; fprintf(' Altura Normal(m) = %10.4f\n', HN); disp(' ') NUM45=a*gamaa*(cos(pi/4))^2+b*gamab*(sin(pi/4))^2; DEN45=sqrt(a^2*(cos(pi/4))^2+b^2*(sin(pi/4))^2); gama045=NUM45/DEN45; HD=C/gama045; HD=HD*1000; fprintf(' Altura Dinámica(m) = %10.4f\n', HD); disp(' ') disp(' ') disp(' ')

49

disp('

FIN

')

Los datos se ingresan por pantalla en la secuencia y con las unidades que pide la aplicación NGP_C. Los resultados se muestran por pantalla en la siguiente secuencia y unidades. - Número geopotencial C (kgal metro). - Altura ortométrica H (m). - Altura normal H* (m). - Altura dinámica Hdin (m).

Bibliografía. Heiskanen, Weikko A., Moritz, Helmut. “Physical Geodesy” W. H. Freeman and Company San Francisco and London 1967 Leick, Alfred. “GPS SATELLITE SURVEYING”, Second Edition Department of Surveying Engineering University of Maine Orono, Maine John Willey & Sons, Inc. 1995 Sánchez L., Martínez W. “Vinculación de las Alturas Elipsoidales al datum vertical clásico de Colombia” Instituto Geográfico Agustín Codazzi Carrera 30 nº 48-51 Santa Fe de Bogotá D.C.-Colombia Becker, Matthias. “ADJUSTMENT OF MICROGRAVIMETRIC MEASUREMENTS FOR DETECTING LOCAL AND REGIONAL VERTICAL DISPLACEMENTS” Institut fur Phisikalische Geodasie Technische Hochschule Darmstadt, F.R.G.

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