DEPENDENCIA CONTINUA DE LAS CONDICIONES INICIALES Lema 1 Sea :[a,b]!!m continua y sea r>0. Llamaremos

Entonces se tiene que 1.− es un Compacto en !×!m 2.− es Abierto en !×!m 3.− Si suponemos que, siendo D un abierto de !×!m / Graf()={(x,(x)) / x"[a,b]} " D entonces " r>0 tal que "D Lema 2 Sea D " !×!m abierto y f:D!!m continua. Consideremos la edo asociada y'=f(x,y) Sea :I! Rm solución no prolongable de y'=f(x,y). Consideremos [a,b]" I . Sea u:J! Rm solución no prolongable de y'=f(x,y) y supongamos que " " ]a,b["J / de forma que " D, entonces se cumple que " [,] " [a,b]"J tal que "],[ con " x"[,] además =a ó =b ó además

1

Si , entonces " x,x'"[,] Lema 3 Sea D " !×!m abierto y f:D!!m continua. Consideremos la edo asociada y'=f(x,y) Sea :I! Rm solución no prolongable de y'=f(x,y). Consideremos [a,b]" I . Sea u:J! Rm solución no prolongable de y'=f(x,y) y supongamos que " " ]a,b["J / de forma que " D. Dado x0"]a,b[ si tomamos (,u()) suficientemente próximo a ( x0 ,( x0)) , entonces se cumple que " h>0 tal que [ x0−h, x0+h] " [,] Lema 4 Sea D " !×!m abierto y f:D!!m continua. Consideremos la edo asociada y'=f(x,y) Sea :I! Rm solución no prolongable de y'=f(x,y). Consideremos [a,b]" I y sea x0"]a,b[ . Con esto, como consecuencia del lema 1, tenemos que " r>0 tal que " D. Supongamos que tenemos una sucesión un:Jn!!m de soluciones no prolongables de la ecuación y'=f(x,y), y una sucesión de puntos n" Jn tales que , entonces se cumple que a).− " n0 "N tal que " n" n0 n"]a,b[ y verifica las hipótesis de los lemas 2 y 3 n , n tal que n"]n , n [ " [n , n ] " [a,b]"J " h>0 tal que [ x0−h, x0+h] " [n , n ] = K b).− Además, la sucesión de funciones {un} admite una subsucesión que converge uniformemente sobre K a una solución del Problema de Cauchy

Teorema (Continuidad) Sea D " !×!m abierto y f:D!!m continua. Sea (x0,y0)"D tal que el problema de Cauchy

2

tenga solución única no prolongable :I!!m . Consideremos [a,b]" I y sea x0"[a,b]. Si dado r>0 " V"( x0,y0) tal que " (,)"V y tomando una solución no prolongable u:J!!m del problema de Cauchy (este PC no tiene porqué tener solución única), entonces se cumple que [a,b]" J y " x"[a,b] Este teorema dice que cualquier solución que pase por un punto que este en un entorno de (x0,y0) por lo menos está definida en I, y los valores de este problema se aproximan a los del problema de Cauchy inicial. Corolario Sea D " !×!m abierto y f:D!!m continua. Supongamos que " (,)"D el problema de Cauchy tiene una única solución no prolongable. Supongamos que, fijados , llamamos !m. Llamamos entonces se verifica que es abierto en !×!×!m y la aplicación es continua en .

3