Desarrollo de Competencias Matemáticas II

DESARROLLO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS II: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Autores:

David Benítez Mojica Noelia Londoño Millán

Desarrollo de Competencias Matemáticas II INTRODUCCIÓN

El presente libro de texto titulado Desarrollo de Competencias Matemáticas II: geometría y trigonometría, fue diseñado y elaborado con el objeto de contribuir al desarrollo de competencias de los estudias de matemáticas II de la preparatoria, desde un enfoque distinto a los libros de texto tradicionales, ya que se proponen una serie de actividades mediante las cuales el alumno explora, conjetura, argumenta, redacta, resuelve problemas, comunica sus ideas matemáticas de una manera espontánea y natural, etc.

El libro consta de 30 hojas de trabajo en las cuales se exponen los temas del curso de matemáticas II. Cada hoja de trabajo fue diseñada con un encabezado que identifica la unidad a desarrollar, el tema y el subtema que se trabajara en cada una, así como también aparecen declaradas las competencias disciplinares que se quieren alcanzar.

Así mismo cada hoja de trabajo tiene un diagnóstico con el cual se pretende indagar sobre lo que conoce cada alumno, una motivación o introducción al tema, también contiene conceptos y habilidades básicas, en donde se expone en condensada los subtemas. La sección en acción es una actividad que el alumno debe realizar sobre la misma hoja de trabajo, mientras que la evaluación viene a hacer parte de trabajo extraclase, que el alumno debe desarrollar en sus respectivos cuadernos.

Esperamos que el presente documento contribuya de manera significativa al desarrolla de las competencias matemáticas de los alumnos, así como también sea un apoyo importante para el maestro en su quehacer docente.

Los autores.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II

DESARROLLO DE COMPETENCIAS MATEMÁTICAS II: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

COMPETENCIAS GENERALES

Transita entre las representaciones algebraicas, gráficas y verbales, a través el uso de lenguaje verbal y escrito; para la comprensión conceptual, la construcción de conjeturas, la comunicación de ideas matemáticas y la solución de problemas geométricos.

Construye propiedades geométricas, a través de la exploración doblando papel, con estuche de geometría y con apoyo de la geometría dinámica, para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales.

Redacta nuevos problemas geométricos, a partir de la modificación de las hipótesis de los problemas ya resueltos, para el desarrollo del pensamiento espacial, la resolución de nuevos problemas y la formulación de contra-ejemplos.

Sigue un conjunto de pasos de construcciones geométricas, a través de la conexión entre las representaciones verbales y visuales de los ángulos externos, para la visualización de propiedades.

Argumenta las ideas geométricas a través de cadenas de razonamientos para la resolución de problemas.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II TABLA DE CONTENIDO PAG. UNIDAD 1. ÁNGULOS 1.1. Sistemas de Medidas de ángulos. 1.1.1. Sistema Sexagesimal 1.1.2. Sistema Circular 1.2. Clasificación de los ángulos 1.2.1. Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida 1.2.2. Clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición con relación a otros ángulos. 1.3. Ángulos entre paralelas cortadas por una secante

1 8 17 22 29

UNIDAD 2. TRIÁNGULOS 2.1. Clasificación y construcción de Triángulos. 2.1.1. Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados 38 2.1.2. Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos 44 interiores 2.2. Rectas y puntos notables en un triángulo. 2.2.1. Bisectrices e incentro 50 2.2.2. Mediatrices y circuncentro 55 2.2.3. Medianas y baricentro 61 2.2.4. Alturas y ortocentro 66 2.2.5. propiedades del ortocentro, baricentro y circuncentro 72 2.3. Propiedades y Teoremas aplicables a triángulos. 2.3.1. Principales teoremas de los triángulos: 2.3.1.1. Teorema de los ángulos interiores 76 2.3.2.2. Teorema de los ángulos exteriores 81 2.3.2.3. Teorema del ángulo externo 91 2.3.2.4. Teorema de Pitágoras 95 2.3.2. Principales propiedades de los triángulos: 2.3.2.1 La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles 102 2.3.2.2. La medida de los ángulos de la base en un triángulo isósceles 111 2.3.2.3. En todo triángulo, a mayor lado se opone el ángulo mayor 2.3.2.4. Postulados de la semejanza de triángulos 118 2.3.2.5. Postulados de la congruencia de triángulos 134 UNIDAD 3. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 3.1. Triángulos Rectángulos 3.1.1. Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo 3.1.2. Cálculo de Funciones de ángulos de cualquier medida mediante el uso de la calculadora. 3.1.3 Funciones trigonométricas en el plano cartesiano 3.1.3.1. Funciones trigonométricas de ángulos especiales. (45º, 30º y 60º)

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145 145 151 165

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3.1.3.2. 3.1.4 3.1.4.1. 3.1.4.2 3.1.4.3. 3.1.4.4. 3.1.4.5. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.2.4.

Funciones trigonométricas en los límites de los cuadrantes. Identidades Trigonométricas. Identidades Fundamentales. Recíprocas. Cociente. Pitagóricas Comprobación de las identidades en cualquier triángulo rectángulo. Resolución de Triángulos Oblicuángulos. Ley de Senos Ley de Cosenos. Resolución de triángulos oblicuángulos usando figuras. Aplicaciones diversas.

UNIDAD 4. TEMAS PRELIMINARES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA 4.1. Perímetro y área de las principales figuras geométricas triangulo, rectángulo, polígonos regulares 4.2. Coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada. Punto medio. Puntos de trisección. Puntos en cualquier posición. 4.3. Ángulo de inclinación y pendiente de una recta. 4.4. Ángulo entre dos rectas 4.5 Paralelismo y Perpendicularidad Paralelismo Perpendicularidad

165 175

189 196

206 212 218 224 224

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BIBLIOGRAFIA

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad uno: Ángulos Hoja de Trabajo No. 1

Tema: sistema de medida de ángulos Materiales: pluma y geogebra, regla y compás

Sub-tema Sistema sexagesimal Fecha: ________

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS

Competencias Específicas

Reconoce la escritura en el sistema sexagesimal de medida de ángulos, a través de la realización de ejercicios que impliquen su uso. Convierte minutos y segundos a grados, mediante el uso de las equivalencias respectivas. Usa las conversiones de grados a minutos y a segundos en las situaciones donde sea necesario para hacer operaciones en el sistema sexagesimal de medidas. Construye ángulos de medidas diferentes usando el transportador, el compás y la regla, o la geometría dinámica, de tal manera que le permita copiar modelos reales.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, después hazle preguntas a tu maestro sobre aquellos conocimientos o habilidades que tengas duda. b. En la parte final debes usar regla, compás y transportador para rehacer y copiar en forma fiel algunas construcciones que impliquen ángulos. c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO a. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra ángulo.

b. Escribe y dibuja los nombres de todos los ángulos que te acuerdes.

c. Nombra cinco objetos reales que contengan ángulos y márcalos.

d. ¿Sabes marcar un ángulo usando geogebra? e. Dibuja un ángulo con sus partes.

f. Escribe formas distintas de nombrar los ángulos.

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Si ( )

No ( )

Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN Los ángulos son de mucha utilidad en la cotidianidad, por ejemplo se utilizan en topografía, arquitectura e ingeniería civil para medir la extensión de terrenos, hacer construcción de carreteras, puentes, casas y edificios. También se utilizan en la aeronavegación para orientar a los pilotos en el rumbo que deben seguir los aviones, para seguir la ruta adecuada y llegar al destino correcto. En esta lección aprenderás a manejar los diferentes sistemas de medidas de ángulos, realizarás operaciones con ellos y construirás propiedades sobre los ángulos con ayuda de material concreto y con el apoyo de las computadoras. Esta lección es muy divertida y contribuirá al desarrollo de tus habilidades matemáticas.

CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Para medir ángulos se puede usar cualquiera de los siguientes sistemas: el sistema sexagesimal, que utiliza grados minutos y segundos sexagesimales; el sistema circular cuya unidad de medida es el radian y el sistema centesimal que usa los gradianes. Medida de ángulos

Sistema sexagesimal

Sistema circular

Sistema centesimal

Grados, minutos y segundos

Radianes

Gradianes

En el sistema sexagesimal se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes corresponde a un grado. Su símbolo es (°). Cada grado está compuesto por 60’ (minutos) y cada minuto lo componen 60’’ (segundos). El transportador es el instrumento para medir los grados sexagesimales

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II

Usando las equivalencias se pueden expresar los grados de tal forma que se empleen grados minutos y segundos. Veámoslo: 135° = 134° 60’ A los grados le restamos uno, el grado que falta son 60 minutos. Pero si lo queremos hasta segundo: 135° = 134° 59’ 60’’ A los grados le restamos uno, el grado que falta son 60 minutos. Pero a 60 le restamos uno, y este minuto que falta lo reemplazamos por 60’’ Otro ejemplo: Escribir 30º es equivalente a tener 29º59’60’’ Si se tiene 39° 245’ 87’’ no es una forma correcta de escribir empleando grados, minutos y segundos, porque los minutos y los segundos no deben ser mayores o iguales a 60, en este caso se procede de la siguiente manera: Primero dividimos 87 entre 60 esto da 1 y sobran 27’’, por lo que a los minutos le sumamos uno. 39° 245’ 87’’ = 39° 246’ 27’’ Aquí no termina, porque en los minutos hay un número mayor que 60, por tanto hay que repetir el proceso, dividimos 246’ entre 60 esto da 4 y sobran 6’ 39° 245’ 87’’ = 39° 246’ 27’’ = 43 ° 6’ 27’’

Operaciones con ángulos en el sistema sexagesimal En este sistema de medida de ángulos se pueden hacer las operaciones básicas como es la suma, la resta, la multiplicación y división. Para hacer alguna de las

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II dos primeras se debe operar entre las mismas unidades, es decir, grados con grados minuto con minutos y segundos con segundos.

Es aquí donde utilizarás lo aprendido en las actividades anteriores: Halla el resultado de 180° – 15° 35’ 55’’ debes usar la equivalencia: 180° = 179° 59’ 60’’ 179° 59’ 60’’ – 15° 35’ 55’’ el resultado da 164° 24’ 5’’ Para nombrar los ángulos se emplean tres letras ABC en el entendido que el vértice es el punto B (en el medio).

Pero también puede emplearse letras griegas que se escriben a continuación, con sus respectivos nombres:

EN ACCIÓN Mide cada uno de los siguientes ángulos usando el transportador:

Encuentra la suma de los cuatro ángulos. Expresa esta suma usando grados, minutos y segundos.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN 1. Halla el resultado de las siguientes operaciones: a. 59° 25’ 54’’ + 234° 21’ 13’’ c. 193’’32’ 19’’+ 170° e. 178° 18’26’’- 12° 35’ 49’’

b. 12° 5’ 44’’ + 24° 25’ 33’’ d. 67° 12’ 45’’ - 33° 7’ 39’’ f. 29° 36’ 11’’- 11° 45’ 34’’

2. Calcula cual el ángulo que hay entre cada número de un reloj. 3. Cuál es la medida del menor ángulo que forman las manecillas del reloj cuando estas marquen la 4:32. 4. Se observó un reloj que empezó a moverse a las doce en punto transcurrido 8 horas y 25 minutos

y han

a. ¿Cuántas vueltas completas ha dado el minutero b. ¿Cuántos grados ha recorrido en total el minutero? c. ¿Cuántos grados ha recorrido en total el horario?

5. Una pareja de ángulos son complementarios si la suma de ellos es 90º y una pareja de ángulos son suplementarios si la suma de ellos es de 180º. a. Halla los ángulos complementarios a los siguientes ángulos: a. b. c. d.

34º 11’ 56’’ 7º 9’ 47’’ 68 º 23’ 11’’ 60 º 13’ 1’’

b. Halla los ángulos suplementarios a los siguientes ángulos: 1)177º 23’ 32’’ 2) 123º 34’ 3) 30º 20’ 15’’

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II 6. Un cuadrilátero es cíclico cuando todos los vértices pertenecen a la misma circunferencia. Por ejemplo, el siguiente cuadrilátero es cíclico:

Realiza las siguientes actividades: a. Sobre una hoja dibuja varios cuadriláteros cíclicos. b. Marca los ángulos internos de cada cuadrilátero (en cada caso, debes usar la misma abertura del compás). c. En cada cuadrilátero ilumina las parejas de ángulos internos opuestos, usando el mismo color para cada pareja de ángulos opuestos. d. Recorta los ángulos internos. e. Junta los recortes por parejas de ángulos internos opuestos. f. En el siguiente espacio en blanco construye una conjetura sobre los ángulos internos de un cuadrilátero cíclico.

7. ¿Todos los cuadriláteros se pueden inscribir en una circunferencia? Explica. a. Si ( )

b. No ( )

c. No sé

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad uno: Ángulos Hoja de Trabajo No. 2

Tema: sistema de medida de ángulos Materiales: lápiz, pluma y geogebra, regla compás, transportador, e hilo

Sub-tema Sistema circular Fecha: ________

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS

Competencias Específicas

Entiende la definición de radian, a través de la construcción geométrica para emplearlos en situaciones reales. Reconoce la escritura en el sistema circular de medida de ángulos, a través de la realización de ejercicios que impliquen su uso. Realiza conversiones del sistema sexagesimal al sistema circular y viceversa, usando las equivalencias respectivas, para aplicarlos en las solución de ejercicios y problemas

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, este te servirá para conocer sobre los prerrequisitos del tema. b. En la parte final debes usar regla, compás y transportador y/o geogebra para rehacer y copiar en forma fiel algunas construcciones que impliquen ángulos en el sistema circular. c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y da a conocer tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Escribe como haces para construir una circunferencia usando geogebra,

2. Describe el procedimiento que sigues cuando deseas transferir una medida sobre una recta y sobre una circunferencia.

MOTIVACIÓN Vas a hacer la siguiente construcción usando papel, regla, compás, transportador e hilo. a. Construye una circunferencia del radio arbitrario y con centro en el punto C. b. Ubica un punto en la circunferencia y llámalo A. c. Traza un radio de la circunferencia. d. Con una cuerda de hilo, mide el radio de la circunferencia, y sin modificar su medida, transfiérela sobre la circunferencia a partir del punto A. e. Al punto donde quedó la transferencia llámale B. f. Traza un ángulo ACB y mídelo. g. Escribe en el sistema sexagesimal cuánto es el valor de este ángulo. _________________________ h. Repite cada uno de los pasos de la actividad anterior ahora con dos circunferencias de radios diferentes al anterior. i. ¿Cuánto mide el nuevo ángulo ACB que se forma en cada circunferencia? Medida del Ángulo ACB en la 1ª circunferencia

Medida del Ángulo ACB en la 2ª circunferencia

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Radian Para que aprendas el concepto de radian debes realizar las siguiente actividad. 1. Abre en geogebra el archivo RAD.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:

2. Mide los segmentos a, b, el arco f y el ángulo (en radianes). Registra las medidas en la siguiente tabla. Luego modifica el radio (arrastrando el punto B) y completa la tabla: Medida del segmento a

Medida del segmento b

Medida del arco f

Medida del ángulo

3. El ángulo central tiene por medida un radian. Usa la construcción anterior para elaborar una definición de radian de acuerdo a lo que has observado.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II Relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro A continuación realizarás otra actividad para que conjetures otra propiedad de la circunferencia.

1. Dibuja cuatro circunferencias de distinto radio. 2. En cada circunferencia traza un diámetro. 3. Mide la longitud de cada diámetro. 4. Mide la longitud de cada circunferencia. 5. Completa la siguiente tabla. Longitud del diámetro

Longitud de la circunferencia

6. A partir de los resultados de la tabla anterior, construye una conjetura.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II Longitud de un arco de circunferencia. A continuación encontrarás una relación entre la medida del ángulo central, el arco que subtiende y el radio de la circunferencia Abre el archivo Angulo-Arco-Radio.ggb, allí encontrarás una figura como la siguiente:

En cada caso mide la longitud del arco, del radio y del ángulo central. Completa la siguiente tabla: Medida del radio

Medida del ángulo Central (en radianes)

Medida del arco

a) Compara las medidas de la tabla anterior y establece una conjetura:

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II A partir de la actividad anterior, pudiste establecer la relación entre la medida de un ángulo central, el radio y el arco que subtiende. Sea una circunferencia de radio r, sea s la longitud del arco que subtiende.

el ángulo central (medido en radianes) y

Entonces se cumple que:

Por ejemplo, en la siguiente circunferencia de radio 3 m, se pide calcular la longitud del arco subtendido por un ángulo central de 2 radianes.

Para calcular la longitud del arco, utilizamos la expresión:

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II Conversión de medidas angulares de radianes a grados En esta sección aprenderás a realizar conversión de medidas angulares, entre el sistema circular y sexagesimal. Para ello debes realizar las siguientes actividades: a. Sobre cada una de las siguientes semicircunferencias dibuja un radian. A continuación de este radián dibuja otro y así hasta completar la media vuelta.

b. Completa la siguiente tabla: ¿Cuántas veces es posible marcar un radian sobre cada semicircunferencia? semicircunferencia de la izquierda

semicircunferencia del centro

semicircunferencia de la derecha

Como puedes ver en cada arco de semicircunferencia caben tres radianes y una fracción. A continuación vamos a estimar dicha fracción. Para cumplir con este objetivo, trazamos cuatro semicircunferencias, sobre cada una de ellas, medimos la longitud de su arco y la longitud de su radio:

Usaremos la expresión para calcular la longitud del arco de circunferencia:

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II De esta expresión se puede despejar el ángulo central:

Usando esta expresión y la medida de los arcos de semicircunferencia y la medida de los radios, completaremos la siguiente tabla:

Longitud de la semicircunferencia 10.79394 8.24682 5.0896 9.56905

Longitud del radio 3.1415906… 3.1415906… 3.1415906… 3.1415906…

3.43582 2.62504 1.62007 3.04592

De esta manera, podemos establecer que la medida del ángulo central que subtiende un arco de una semicircunferencia es equivalente a π radianes. Y como un ángulo llano es el ángulo central en una semicircunferencia, se establece la siguiente relación: π radianes equivale a 180º. EN ACCIÓN

1. Convierte en el sistema de radianes los siguientes grados sexagesimales: 23°, 34°, 15°, 270° 2. Las escuadras usadas en dibujo técnico tienen las combinaciones 45° y 30°, 60°, convierte estos grados sexagesimales a radianes. 3. Completa la siguiente tabla: (puedes usar regla de tres simple directa, sabiendo que π rad equivale a 180º). Grados sexagesimales Radianes

35°

540°

100° 3

20

7 2

11°





5

8

Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN

1. Con ayuda de los conocimientos y habilidades que desarrollaste en la presente hoja de trabajo, deduce una fórmula para calcular la longitud de una circunferencia de radio r. 2. Una correa conectada a dos poleas, una de radio 25 cm y otra de radio 10 cm . Si la polea grande da un giro completo ¿Cuál es el ángulo que girará la polea pequeña?

3. Un aspersor funciona con un mecanismo que produce un movimiento circular de ida y vuela barriendo un ángulo de 60º . Si el aspersor tiene un alcance de 3 metros, ¿Cuál es la medida del arco que barre el aspersor?

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad uno: Ángulos

Tema: sistema de medida de ángulos

Hoja de Trabajo No. 3

Materiales: pluma y geogebra, regla y compás

Sub-tema Clasificación de ángulos de acuerdo a su medida Fecha: ________

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS

Competencias Específicas

Comprende la clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida, mediante la visualización de ejemplos concretos, para que resuelva problemas geométricos. Recuerda los nombres de los ángulos de acuerdo a su medida para que pueda identificarlos y clasificarlos en diferentes figuras geométricas

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, este te servirá para conocer sobre los prerrequisitos del tema. b. En la parte final debes usar regla, compás y transportador y/o geogebra para rehacer y copiar en forma fiel algunas construcciones que impliquen ángulos en el sistema circular. c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y da a conocer tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Haz una lista de todos los nombres de los ángulos que te acuerdes

2. Realiza una clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida.

3. Realiza una clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición.

MOTIVACIÓN La clasificación de ángulos de acuerdo a su medida, es un tema muy útil en geometría porque con este recurso se clasifican los triángulos de acuerdo a la medida de los ángulos que posea. Clasificar es una habilidad central del pensamiento matemático, porque se agrupan objetos en clases o familias generales de acuerdo a un atributo común. En la presente hoja de trabajo se clasifican los ángulos de acuerdo a su medida. Conocerás las diferentes familias de ángulos, aprenderás a clasificarlos, construirás dibujos de cada familia y resolverás problemas interesantes.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS En la siguiente tabla se presenta una clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida, se da una definición y se presenta un dibujo de cada tipo de ángulo. Nombre el Ángulo Agudo

Definición Un ángulo agudo es aquel que mide menos de 90º.

Recto

Un ángulo recto es aquel cuya medida es de 90°.

Obtuso

Ángulos obtusos son aquellos que miden más de 90° y menos que 180°.

llano

Un ángulo llano mide 180º.

EN ACCIÓN a. Clasifica el siguiente conjunto de ángulos:

Tipo de ángulo Agudos Rectos Obtusos Llanos

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Ángulos

Dibujo

Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN 1. Dibuja y nombra los ángulos cuyas dimensiones son las siguientes:   179°   36°   57°   91°  =10°

  125°

  14°

  90

  180°

  159°

2. Clasifica los ángulos anteriores en agudos, llanos, obtusos y rectos. Anótalos en una tabla 3. La siguiente construcción corresponde a La Alhambra, Granada, en ella aparecen varios ángulos debes señalar un total de diez ángulos en los cuales debes incluir las distintas clases vistos en la presente lección.

4. Debes completar la sucesión teniendo en cuenta lo siguiente: En un triángulo equilátero que es un polígono regular de tres lados y tres ángulos iguales, cada ángulo interior mide 60° En un cuadrado cada ángulo interior mide 90°. En un pentágono regular cada ángulo interior mide 108°. Esta información se escribió en la tabla siguiente.

Número de lados del polígono regular Medida de un ángulo interior

3

4

5

60°

90°

108°

25

6

7

8

9

10

n

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 5. Encuentra una relación del número de lados del polígono con la medida de sus ángulos interiores. Explica la técnica utilizada, debes explicarla en el pizarrón para todos los de tu clase. 6. En el siguiente polígono irregular marca todos los ángulos interiores teniendo en cuenta de señalar con rojo los agudos, con verde los obtusos, los llanos con amarillo y con azul los rectos.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad uno: Ángulos

Hoja de Trabajo No. 4

Tema: sistema de medida de ángulos

Materiales: lápiz, compás, regla y geogebra

Sub-tema Clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición con relación a otros ángulos. Fecha: ________

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS

Competencias Específicas

Clasifica los ángulos de acuerdo a su posición con relación a otros ángulos. Mediante el doblado de papel y el uso de geometría dinámica para resolver problemas que impliquen su uso. Recuerda los nombres de los ángulos de acuerdo a su posición para que pueda identificarlos y clasificarlos en diferentes figuras geométricas. Identifica las distintas clases de ángulos de acuerdo a la posición en construcciones geométricas complejas.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, este te servirá para conocer sobre los prerrequisitos del tema. b. Tendrás la oportunidad de utilizar el doblado de papel para la identificación de ángulos de acuerdo a la posición con otros ángulos. c. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión en forma respetuosa y da a conocer tus puntos de vista tanto al profesor como a tus compañeros.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Haz una lista de todos los nombres de los ángulos que te acuerdes

2. Ahora de esa lista haz una clasificación de acuerdo a su medida.

3. De la misma lista del enciso 1. Haz una clasificación de acuerdo a su posición.

MOTIVACIÓN 1. Sobre un papel realiza un dibujo similar al siguiente:

a. Recorta cada pareja de ángulos opuestos por el vértice. b. Compara la medida de cada pareja de ángulos opuestos por el vértice. c. En tu cuaderno construye una conjetura sobre la medida de los ángulos opuestos por el vértice.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Los ángulos se pueden clasificar de acuerdo a la posición con otros ángulos en: a.

Ángulos adyacentes.

b.

Ángulos complementarios.

c.

Ángulos suplementarios.

d.

Ángulos conjugados.

e.

Ángulos opuestos por el vértice

Los ángulos adyacentes son aquellos ángulos en los que se comparte un lado y el vértice. Un ejemplo de ellos son los ángulos BAC y CAD, como los de la figura, el lado común es AC. Y el vértice común es A.

Los ángulos opuestos por el vértice se forman por dos rectas que se cortan, en este caso se generan dos pares de ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos opuestos por el vértice tienen el mismo vértice. En la gráfica aparece sombreados la pareja de ángulos CDA y BDE.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II El complemento de un ángulo que mide 76° es 14°, el complemento de un ángulo que mide 6° es 84° en general: Una pareja de ángulos son complementarios si la suma de sus medidas da 90° ¿Cuál es el complemento de un ángulo que mide 37° 19’ 35’’? Aquí es necesario expresar 90° usando grados minutos y segundos: 90° = 89° 59’ 60” 89° 59’ 60’’- 37° 19’ 35’’ = 52° 40’ 25’’ Gráficamente se puede visualizar cuando dos ángulos son complementarios, dado que es fácil ver si entre los dos suman un ángulo recto. En la figura se puede ver que los ángulos CAD y DAB son complementarios, la suma de los dos da el ángulo CAB que es un ángulo recto.

Una pareja de ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas da 180° 1. Si el ángulo mide 30° su suplemento es 150°, pero si el ángulo mide 123° 17’ 55’’ su suplemento será 56° 29’ 5’’ ¿Cómo obtener estos resultados? 2. Para el primero 180°- 30° = 150° 3. Ya el segundo ejemplo como tiene grados, minutos y segundos se debe expresar 180° en grados minutos y segundos: 180° = 179° 59’ 60” Ahora si se hace la diferencia: 179° 59’ 60’’ - 123° 17’ 55’’ = 56° 29’ 5’’ 4. Sin usar medidas también se puede identificar los ángulos suplementarios sólo basta ver que al sumar los ángulos de una línea recta.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II El conjugado de un ángulo es igual a lo que le falta para completar la circunferencia es decir para ser igual a 360°. Por el ejemplo si se tiene un ángulo de 35° su conjugado será igual a 325° que se obtiene de hacer 360° - 35° = 325°. Si los ángulos están expresados en grados minutos y segundos se debe utilizar la equivalencia de: 360° = 359° 59’ 60’’ EN ACCIÓN 2. Dibuja un ángulo adyacente al ángulo dado

3. En la siguiente gráfica dibuja otra pareja de ángulos opuestos por el vértice, marca la pareja de ángulos CDB y ADE, usando lápiz de color.

4. Utiliza el archivo OP.ggb de geogebra para refutar o para afirmar la siguiente idea “No siempre se cumple que todos los ángulos opuestos por el vértice tiene la misma medida” 5. Mide los ángulos y mueve el punto G. Compara cada vez las medidas de los dos ángulos opuestos por el vértice. 6. ¿La afirmación es cierta?____ ¿La afirmación es falsa? _____ Explica. _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________

31

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 7. Dibuja un pareja de ángulos, con vértice en A tal que la suma dé el ángulo MAN. 8. Dibuja un ángulo con vértice en B de tal manera que sea el complemento del ángulo CBE.

9. Dibuja un ángulo suplementario de CAB

9. Dibuja el ángulo y su respectivo conjugado de:  = 30°,

  45°, 



270°,

  87°,   98°. Usa marcas diferentes del ángulo y su conjugado.

10. Sin dibujar halla el ángulo conjugado de   12° 24’ 31’’,   133° 24’ 57’’,

  90 

 =314° 35’

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN 1. Las rectas GI y CH se intersecan en el punto A, las cuales forman diferentes ángulos de acuerdo a la posición. Completa una tabla con el nombre de los ángulos según corresponda. Nota el ángulo EAC = EAH y son rectos.

Opuestos por el vértice

Adyacentes

Parejas de Ángulos Suplementarios Conjugados

Complementarios

2. Cuáles de las parejas anteriores cumplen con las dos condiciones a la vez: de ser: complementarios y adyacentes: 3. Adyacentes y suplementarios: 4. Adyacentes y rectángulos. 5. En tu cuaderno halla el complemento, el suplemento y el conjugado de cada uno de los siguientes ángulos. (donde se pueda)  =88°,   16°,   225°,   57°,   191° 11’ 5’’,   25°,   4° 16’ 37’’,   197° 32’ 50’’. 6. Las rectas L, M y T se cortan en el punto S. el ángulo que forman las rectas T y M es de 90º, y el ángulo que forman las rectas L y T es de 37º, halla la medida de todos los ángulos que generan alrededor del punto S. haz un dibujo para ilustrar lo que se plantea. 7. De la situación anterior a. ¿Cuánto mide el conjugado del ángulo que forman las rectas L y M? b. ¿Cuánto mide el complemento del ángulo que forman las rectas L y M? c. ¿Cuánto mide el suplemento del ángulo que forman las rectas L y M?

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad uno: Ángulos

Tema: sistema de medida de ángulos

Hoja de Trabajo No. 5

Materiales: pluma y geogebra

Sub-tema Ángulos entre paralelas cortadas por una secante. Fecha: ________

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS

Competencias Específicas

Reconoce las propiedades de los distintos ángulos cuando dos rectas paralelas se cortan por una secante transversal, a través de la interacción con el software de geometría dinámica, para argumentar en forma precisa algunos teoremas. Usa las propiedades de los ángulos entre paralelas y una secante para hallar los valores de las medidas de otros ángulos en la solución de ejercicios. Sin necesidad de hacer mediciones concretas. Identifica cuando es posible usar las propiedades de los ángulos entre paralelas a través de contraejemplos, para reafirmar el conocimiento y usarlos en la solución de problemas.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, esto te permitirá retroalimentar tus conocimientos sobre ángulos. b. En la parte final debes negar las hipótesis para refutar o afirmar si se siguen cumpliendo las propiedades. c. Cuando el profesor realice la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN a. Sobre papel realiza un dibujo similar al siguiente, ten en cuenta que dos rectas son paralelas y la tercera es transversal. Los ángulos resaltados son alternos internos:

Recorta los ángulos general.

. Compara su medida y saca una conclusión

b. Sobre papel realiza un dibujo similar al siguiente, ten en cuenta que dos rectas son paralelas y la tercera es transversal. Los ángulos resaltados son alternos externos entre paralelas:

Recorta los ángulos resaltados. Compara su medida y saca una conclusión general. c. Sobre papel realiza un dibujo similar al siguiente, ten en cuenta que dos rectas son paralelas y la tercera es transversal. Los ángulos resaltados son correspondientes entre paralelas:

Recorta los ángulos resaltados. Compara su medida y saca una conclusión general.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Haz una lista de todos los nombres de los ángulos que te acuerdes

2. Ahora de esa lista haz una clasificación de acuerdo a su medida.

3. De la misma lista del enciso 1. Haz una clasificación de acuerdo a su posición.

4. De la misma lista del enciso 1. Realiza una nueva lista que corresponda ángulos cortados por una secante transversal.

CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Al cortar dos paralelas con una secante transversal se generan en total 8 ángulos, pero por la posición se pueden agrupar en las clases siguientes: a. b. c. d.

Alternos internos Alternos internos Opuestos por el vértice correspondientes

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II Ángulos alternos internos: son aquellos que se hallan a distintos lados de la transversal pero dentro de las paralelas. En las gráficas los ángulos  y  son alternos internos, al igual que la pareja

 y 

Otra clase ángulos que se genera es la de alternos externos: son aquellos que se encuentran en lados distintos de la transversal pero fuera de las paralelas, también son dos parejas.

Los ángulos correspondientes son aquellos que se hallan sobre el mismo lado de la trasversal pero uno dentro y otro fuera de las paralelas. Veamos el ejemplo:

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN a. En el siguiente dibujo marca dos parejas de ángulos alternos internos. Colócales nombres con letras griegas e ilumina cada pareja de ángulos con el mismo color.

b. En el siguiente dibujo marca dos parejas de ángulos alternos externos. Colócales nombres con letras griegas e ilumina cada pareja de ángulos con el mismo color.

c. Teniendo en cuenta la definición de ángulos correspondientes entre paralelas. ¿Cuántas parejas de ángulos correspondientes puedes marcar en el dibujo siguiente? ________ márcalos empleando diferentes colores para cada pareja.

38

Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN Deduce algunas propiedades: 1. En la siguiente figura se han dibujado las rectas L y M, que son paralelas y la recta T, que es transversal. Se han dibujado los ángulos adyacentes .

a. ¿Cuál es la suma de los ángulos

?__________________

b. Sobre la figura anterior dibuja otras parejas de ángulos adyacentes. Cada pareja ilumínala del mismo color.

2. En la siguiente figura se han dibujado las rectas L y M, que son paralelas y la recta T, que es transversal. Se han dibujado ocho ángulos. Se han resaltado los ángulos SFE y EFN.

a. Utilizando papel y calca los ángulos SFE y EFN. Recorta estos ángulos b. Compara la medida de estos ángulos, con los otros seis ángulos restantes. c. Ilumina con el mismo color los ángulos que tienen la misma medida.

39

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. Usa el archivo llamado PARALELAS.ggb y haz lo siguiente:

a. Mide los ángulos alternos internos  y  que aparecen dibujados b. Mueve el punto H, de tal manera que se modifiquen las medidas de los ángulos. c. Completa la tabla a medida que vayas modificando los resultados Medida del ángulo  Medida del ángulo 

d. Compara los valores de los dos ángulos  y  ¿Cómo son las medidas? ________________ ¿Siempre? _____________________. e. Redacta a tu manera la propiedad que acabas de encontrar medida de dos ángulos alternos internos.

sobre la

4. Usa el archivo llamado PARALELAS.ggb y haz lo siguiente:

a. Borra los ángulos alternos internos y dibuja una pareja de ángulos alternos externos. b. Mide los ángulos alternos externos y anota las medidas en la tabla. c. Mueve el punto H, de tal manera que se modifiquen las medidas de los ángulos. d. Completa la tabla a medida que vayas modificando los resultados

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II

Medida del ángulo  Medida del ángulo 

e. Compara los valores de los dos ángulos  y  ¿Cómo son las medidas? ________________ ¿Siempre? _____________________. f. Redacta a tu manera la propiedad que acabas de encontrar medida de dos ángulos alternos externos.

sobre la

5. En la siguiente figura las rectas S y R son paralelas, L y M son perpendiculares en el punto F, es decir el ángulo  mide 90°. Si el ángulo  mide 47° encuentra el valor de los otros 12 ángulos.

6. Usa tu cuaderno para hacer lo siguiente: a. Traza un triángulo, el que tú quieras, b. Traza una recta que sea paralela a uno de los lados y que pase por el vértice opuesto, el dibujo te ayudará. La recta que pasa por el vértice B es paralela al lado AC del triángulo

41

Desarrollo de Competencias Matemáticas II

Los ángulos  y  ¿Tienen la misma medida? __________ justifica tu respuesta. ¿Cómo se llaman los ángulos  y  de la figura? d. Sobre el mismo triángulo ¿se pueden construir otra pareja de ángulos de la misma clase? ___________ Explica tu respuesta. c.

7. En la siguiente figura se han dibujado las rectas L y M, que son paralelas y la recta T, que es transversal. Se han dibujado ocho ángulos. Se da el valor del ángulo y se pide el valor de los demás ángulos.

i 8. En la siguiente construcción no hay rectas paralelas. Hallar el valor de los ángulos que puedas si el ángulo dado mide 70°

Explica como obtienes la medida de los ángulos.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos

Tema: Clasificación y construcción de Triángulos

Hoja de Trabajo No. 6

Materiales: pluma y geogebra, regla y compás

Sub-tema Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados Fecha: ________________

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS

Competencias Específicas

Identifica las clases de triángulos de acuerdo a la medida de sus lados mediante el uso de mediciones y clasificaciones. Reconoce las clases de triángulos a partir de una representación gráfica, o representación verbal y lo relaciona con conocimientos anteriores.

Estrategias didácticas

a. Debes contestar el examen diagnóstico b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen. c. En la parte final debes identificar las distintas clases de triángulos d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que puedes reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de dudas.

43

Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Escribe el nombre de todos los triángulos que te acuerdes.

2. Ahora de la lista anterior clasifica de acuerdo a la medida de sus lados.

3. Encierra en un círculo todos los triángulos que consideres que se pueden clasificar de acuerdo a la medida de sus lados. Explica cual es la clasificación. Usa las herramientas que desees.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN Trazos sencillos con regla y compas: 1. Traza tres segmentos de diferente longitud. Espacio para dibujar los segmentos

2. Usa el compás para construir dos circunferencias concéntricas con centro en el punto T, usando como radios los segmentos de menor tamaño. (Las circunferencias deben tener el mismo centro T).

3. Ubica un punto S en la circunferencia de radio menor. 4. Traza una nueva circunferencia con centro en S y radio lo que mida el segmento mayor. 5. Marca el punto de intersección de entre las circunferencias de mayor radio. Llámalo R. 6. Construye un triángulo que pase por los puntos R, S y T 7. ¿Pudiste construir el triángulo? ___________ 8. Piensa y responde ¿para que tamaño de los segmentos no se formaría un triángulo? Escribe las dimensiones.

9. ¿Es posible que exista un triángulo si todos los segmentos iniciales tienen la misma longitud? Da un ejemplo.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Clasificación de triángulos de a cuerdo a la medida de los lados 1. Mide los lados de cada uno de los siguientes triángulos:

2. Usa los números de las figuras que se presentaron en el punto anterior y las medidas de los lados de los triángulos, para completar la siguiente tabla: Triángulos de tres lados de la misma longitud

Triángulos de dos lados de la misma longitud

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Triángulos de tres lados desiguales

Desarrollo de Competencias Matemáticas II Usa las siguientes definiciones para realizar una nueva clasificación de las figuras. a. Triángulo equilátero: Es aquel que tiene tres lados de la misma longitud. b. Triángulo isósceles: Es aquel que tiene dos lados de la misma longitud. c. Triángulo escaleno: Es aquel que tiene todos los lados de diferente longitud. EN ACCIÓN Usa las definiciones anteriores y los números de las figuras del punto número 1 para completar la siguiente tabla: Triángulos equiláteros

Triángulos isósceles

Triángulos escalenos.

Utiliza tu regla, compás y tu escuadra para realizar los siguientes trazos: a. b. c. d. e.

Dibuja un segmento de cualquier longitud. A los extremos llámalos A y B Con centro en A y radio AB traza una circunferencia. Con centro en B y radio AB traza otra circunferencia. Ubica los puntos de intersección de las circunferencias. Llámalos C y D. Traza una recta por los puntos C y D. Esta es la recta mediatriz al Segmento AB

Espacio para realizar los trazos

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN 1. Construyendo propiedades de la mediatriz. a. Ubica el punto de intersección de la recta mediatriz con el segmento AB. Llámalo M. b. Mide las distancias AM y MB. ¿Qué puedes concluir? c. Mide los ángulos CMA y CMB. ¿Qué puedes concluir? 2. Construyendo una familia de triángulos. a. Ubica tres puntos arbitrarios sobre la recta mediatriz. Llámalos E, F y G. b. Construye los triángulos ABE, ABF y ABG. c. ¿Qué clase de triángulos son ABE, ABF y ABG? 3. Utiliza tu regla, compás y tu escuadra para realizar los siguientes trazos: a. Dibuja un segmento de cualquier longitud. A los extremos llámalos A y B b. Con centro en A y radio AB traza una circunferencia. c. Con centro en B y radio AB traza otra circunferencia. d. Ubica uno de los puntos de intersección de las circunferencias. Llámalo C e. Traza el triángulo ABC. f. Mide las distancias AB y AC y BC. ¿Qué relación existe entre estas medidas? g. Mide los ángulos ABC BAC y BCA. ¿Qué relación existe entre estas medidas? ¿Qué clase de triángulo es ABC? 4. Utiliza lo aprendido en la presente hoja de trabajo para dibujar un triángulo isósceles, un triángulo equilátero y un triángulo escaleno. 5. Abre el archivo TRIÁNGULO.ggb y haz lo siguiente: a. Los segmentos representan los lados de un triángulo, cambia las dimensiones de cada uno de los segmentos, date cuenta que a medida que modificas las dimensiones de los segmentos se forma o no un triángulo. Y escríbelas en una tabla. Lado mayor

Suma de los lados menores

¿Existe triángulo?

b. Compara la medida del lado más grande con la suma de las medidas de los lados pequeños. Y responde ¿existe triángulo? c. Expresa con tus propias palabras que se debe cumplir en las medidas de los lados de los triángulos para este exista. 6. Si cada terna de números representa los tres lados de un triángulo indica con cuales de ellas es posible que exista un triángulo. 1, 2, 3 7, 6, 2

11, 17, 4 3, 4, 5

5, 7, 9, 5, 5, 7

48

3, 1, 3 9, 1, 7

5, 5, 1 6, 2, 5

1, 1, 5 3, 21, 25

Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos

Hoja de Trabajo No. 7

Tema: Clasificación y construcción de Triángulos Materiales: pluma y geogebra, regla y compás transportador

Sub-tema Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos Fecha: ________________

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS

Competencias Específicas

Identifica las clases de triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos internos mediante el uso de mediciones y clasificaciones.

Reconoce las clases de triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos a partir de una representación gráfica, o representación verbal y lo relaciona con conocimientos anteriores.

Estrategias didácticas a. Debes contestar el examen diagnóstico b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen. c. En la parte final debes identificar las distintas clases de triángulos. d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que puedas reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de duda.

49

Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Escribe el nombre de todos los triángulos que te acuerdes.

2. Ahora de la lista anterior clasifica de acuerdo a la medida de sus ángulos.

3. Encierra en un círculo todos los triángulos que consideres que se pueden clasificar de acuerdo a la medida de sus ángulos. Explica cual es la clasificación. Usa las herramientas que desees.

50

Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN 1. Usa tu transportador para medir cada uno de los siguientes ángulos y anota este valor cerca de cada ángulo.

2. Escribe el nombre de cada ángulo según corresponda Ángulo acutángulo

Ángulo rectángulo

Ángulo rectángulo

3. Escribe cuales debes juntar para formar un ángulo obtuso, ¿es posible formar un ángulo rectángulo, con cuales? ¿Cuántos ángulos son agudos? ___

4. ¿Con cuales ángulos de la figura se puede construir un triángulo?

51

Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS Clasificación de triángulos de a cuerdo a la medida de los ángulos y Construcción de triángulos 1. Mide los ángulos internos de cada uno de los siguientes triángulos:

2. Usa los números de las figuras que se presentaron en el punto anterior y las medidas de los ángulos internos de los triángulos, para completar la siguiente tabla: Triángulos un ángulo recto

Triángulos que tienen todos los ángulos agudos

52

Triángulos que tienen un ángulo obtuso

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. Usa las siguientes definiciones para realizar una nueva clasificación de las figuras. a. Triángulo acutángulo: Es aquel que tiene todos sus ángulos internos agudos. b. Triángulo rectángulo: Es aquel que un ángulo interno recto. c. Triángulo obtusángulo: Es aquel que tiene un ángulo interno obtuso. EN ACCIÓN

Usa estas definiciones y los números de las figuras del punto número 1 para completar la siguiente tabla:

Triángulos rectángulos

Triángulos acutángulos

Triángulos obtusángulos.

EVALUACIÓN 1. Utiliza tu regla, compás y tu escuadra para realizar los siguientes trazos: Trazos básicos a. Traza una circunferencia. b. Traza un diámetro de la circunferencia (recta que divide la circunferencia en dos semicircunferencias) c. Ubica un punto M sobre la circunferencia que no sean los puntos de corte del diámetro y la circunferencia.

53

Desarrollo de Competencias Matemáticas II d. Ahora construye un triángulo tomando como lado todo el diámetro de la circunferencia y vértice el punto M. e. ¿Qué clase de triángulo se forma? f. Describe otra forma posible de construir esta clase de triángulo. 2. Defienda o refute la siguientes afirmaciones: a. Todo triángulo equilátero es acutángulo. b. Todo triángulo rectángulo es isósceles. c. Todo triángulo escaleno es obtusángulo 3. Utiliza lo aprendido en la presente hoja de trabajo para dibujar un triángulo isósceles un triángulo equilátero y un escaleno.

54

Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos

Tema: Puntos y rectas notables del triángulo Materiales: lápiz, geogebra, regla y compás

Hoja de trabajo No. 8

Sub-tema Bisectrices y el incentro. Fecha ______________________

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS

Competencias Específicas Construye propiedades sobre las bisectrices de los ángulos internos de un triángulo, a través de la exploración doblando papel, con construcción con regla y con apoyo de la geometría dinámica para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales. Redacta nuevos problemas sobre bisectrices, a partir de la modificación de los problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad. Argumenta las ideas matemáticas sobre las bisectrices, mediante el uso de lenguaje verbal y geométrico para resolver problemas geométricos.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes contestar el examen diagnóstico, después hazle preguntas a tu maestro sobre aquellos conocimientos o habilidades que tengas duda. b. Luego debes usar geogebra para construir las bisectrices y el incentro de un triángulo. c. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas propiedades matemáticas que tienen las bisectrices y el incentro. d. En la parte final debes usar regla y compás para construir el incentro y las bisectrices de algunos triángulos. e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros

55

Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra bisectriz.

2. Dibuja un ángulo y construye una bisectriz.

3. ¿Recuerdas un procedimiento con doblado de papel para hacer una bisectriz? Si ( ) No ( ) Espacio para describir el procedimiento

4. ¿Recuerdas un procedimiento con regla y compás para hacer una bisectriz? Si ( ) No ( ) Espacio para describir el procedimiento

5. ¿Sabes usar el comando bisectriz de geogebra?

56

Si ( )

No ( )

Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN

Actividad con doblado de papel

a. Construye una forma triangular. b. Construye las bisectrices de cada ángulo interno del triángulo c. En el siguiente espacio en blanco dibuja la figura resultante.

CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 1. Traza un triángulo ABC. 2. Trazar las bisectrices de cada ángulo interno del triángulo (de acuerdo a las herramientas disponibles puedes utilizar el comando de bisectriz o regla y compás). 3. Realiza los dos pasos anteriores nuevamente. 4. ¿Qué puedes afirmar sobre las tres bisectrices?

Espacio para redactar una conjetura

57

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 5. Al punto de corte de las Bisectrices llámalo I. 6. Por I traza perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo. 7. Encuentra el punto de intersección de cada perpendicular con el lado del triángulo. Llama a estos puntos M, N y O. 8. Encuentra las distancias IM, IN e IO. Arrastra los vértices del triángulo para que contestes la siguiente pregunta: ¿Qué puedes decir sobre las distancias IM, IN e IO?

9. Construye una circunferencia tomando como centro el punto I y radio IM.

10. La circunferencia pasa por M. ¿También pasa por I y por N? Justifica.

El punto I se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo dado.

58

Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN a. Usa regla y compás para trazar el incentro de los siguientes triángulos:

b. Traza la circunferencia inscrita al siguiente triángulo:

EVALUACIÓN 1. 2. 3. 4. 5.

¿El punto de corte de las bisectrices puede estar en el interior del triángulo? ¿El punto de corte de las bisectrices puede estar en la frontera del triángulo? ¿El punto de corte de las bisectrices puede estar en el exterior del triángulo? ¿El incentro está a la misma distancia de los vértices del triángulo? ¿Las bisectrices de los ángulos internos de un cuadrilátero también concurren en un punto?

59

Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos Hoja de Trabajo No. 9

Tema: Puntos y rectas notables del triángulo Materiales: pluma y geogebra, regla y compás

Sub-Tema: Mediatrices y el circuncentro. Fecha: _________________

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas

Comunica las propiedades de las mediatrices de los lados de un triángulo, a través del doblado de papel y con apoyo de la geometría dinámica para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales.

Redacta nuevos problemas sobre mediatrices, a partir de la modificación de los problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. La primera aproximación a las propiedades de las mediatrices de los lados de un triángulo, es a través del doblado de papel. b. Luego debes usar geogebra para construir las mediatrices y el circuncentro de un triángulo. c. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas propiedades matemáticas que tienen las mediatrices y el circunscentro. d. En la parte final debes usar regla y compás para construir las mediatrices y el circuncentro de algunos triángulos. e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.

60

Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra mediatriz.

2. Dibuja un segmento, usa regla y compás para encontrar su punto medio

3. Dibuja un segmento y construye una mediatriz

61

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 4. ¿Recuerdas un procedimiento con doblado de papel para hacer una mediatriz? Si ( ) No ( )

Espacio para describir el procedimiento

5. ¿Recuerdas un procedimiento con regla y compás para hacer una mediatriz? Si ( )

No ( )

Espacio para describir el procedimiento

6. ¿Sabes usar el comando mediatriz de geogebra? Si ( )

62

No ( )

Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN 1. Traza un triángulo ABC. 2. Trazar las mediatrices de cada lado del triángulo (puedes utilizar el comando de mediatriz). 3. ¿Qué puedes afirmar sobre las tres mediatrices?

4. ¿El punto de corte de las mediatrices puede estar en el interior del triángulo? ¿En la frontera? ¿En el exterior?

5. Al punto de corte de las Mediatrices llámalo M 6. Encuentra las distancias MA, MB y MC. Arrastra los vértices del triángulo. A partir de estas observaciones, redacta una conjetura sobre las distancias MA, MB y MC.

63

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 7. En el siguiente espacio en blanco dibuja una circunferencia tomando como centro el punto M y radio MA.

8. La circunferencia pasa por A. ¿También pasa por B y por C? Justifica.

CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS

El punto M se llama circuncentro porque es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo dado.

EN ACCIÓN

1. Usa regla y compás para trazar el circuncentro de los siguientes triángulos:

64

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 2. Traza la circunferencia circunscrita al siguiente triángulo:

EVALUACIÓN

1. Tres ciudades cercanas A, B y C quieren construir un centro de abastecimiento de combustible de gasolina en un punto que esté a la misma distancia de las tres ciudades. Describe dónde pondrías el centro de abastecimiento y justifica tu respuesta. 2. Usa Geogebra, regla y compás o doblado de papel para realizar las siguientes exploraciones: a. ¿En dónde se encuentra el Circuncentro de un triángulo acutángulo? b. ¿En dónde se encuentra el Circuncentro de un triángulo rectángulo? c. ¿En dónde se encuentra el Circuncentro de un triángulo obtusángulo? 3. ¿Las bisectrices de los lados cualquier cuadrilátero se cortan en un punto? 4. A partir del problema anterior, redacta un nuevo problema

65

Desarrollo de Competencias Matemáticas II

Unidad Dos: Triángulos

Tema: Puntos y rectas notables del triángulo

Hoja de

Materiales: pluma y geogebra, regla y compás

Trabajo No. 10

Sub - Tema: Medianas y el baricentro. Fecha:

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Construye propiedades sobre las medianas de los lados de un triángulo, a través de la exploración doblando papel, con construcción con regla y con apoyo de la geometría dinámica, para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales.

Redacta nuevos problemas sobre medianas, a partir de la modificación de los problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad.

Argumenta las ideas matemáticas sobre las medianas, mediante el uso de lenguaje verbal y geométrico para resolver problemas geométricos.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes usar geogebra para construir las Medianas y el baricentro de un triángulo. b. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas propiedades matemáticas que tienen las Medianas y el baricentro. c. En la parte final debes usar regla y compás para construir las Medianas y el baricentro de algunos triángulos. d. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.

66

Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra mediana.

2. Dibuja un triángulo y construye una mediana sobre uno de sus lados.

3. ¿Recuerdas un procedimiento con doblado de papel para hacer una mediana? Si ( ) No ( ) Espacio para describir el procedimiento

4. ¿Recuerdas un procedimiento con regla y compás para hacer una mediana? Si ( ) No ( ) Espacio para describir el procedimiento

5. ¿Sabes dibujar una mediana usando geogebra? Si ( )

67

No ( )

Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN 1. Traza un triángulo ABC.

2. Traza los puntos medios de los lados del triángulo ABC. 3. En el dibujo anterior, traza las tres medianas del triángulo 4. ¿Qué puedes afirmar sobre las tres medianas del triángulo?

5. Al punto de corte de las Medianas llámalo G y es el gravicentro o baricentro del triángulo.

68

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 6. Diseña un procedimiento para comparar las distancias de AG con GE; de BG con GF y de CG con GD. Espacio para comunicar el procedimiento utilizado

7. Construye una conjetura sobre las medidas de los lados AG Y GE.

8. Construye una conjetura sobre las medidas de los lados BG Y GF.

9. Construye una conjetura sobre las medidas de los lados CG Y GD.

69

Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN Usa regla y compás para trazar el Baricentro del siguiente triángulo:

EVALUACIÓN

1. Usa Geogebra para realizar las siguientes exploraciones y responde: 2. ¿El punto de corte de las medianas puede estar en el interior del triángulo? ¿En la frontera? ¿En el exterior? 3. ¿Cómo puedes encontrar el baricentro de un cuadrilátero (polígono de cuatro lados)? 4. ¿Qué ocurre con el baricentro, el incentro y el baricentro de los triángulos equiláteros? 5. Tienes un polígono irregular, ¿Ese polígono irregular tiene baricentro?_____ 6. Redacta un procedimiento para hallar el baricentro de las siguientes figuras

70

Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos

Tema: Puntos y rectas notables del triángulo

Hoja de

Materiales: pluma y geogebra, regla compás y escuadras

Trabajo No. 11

Sub - Tema: Alturas y el ortocentro Fecha:

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias específicas

Construye propiedades sobre las alturas de de un triángulo, a través de la exploración doblando papel, con construcción con regla y con apoyo de la geometría dinámica para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales. Argumenta las ideas matemáticas sobre las alturas de un triángulo, mediante el uso de lenguaje verbal y geométrico para resolver problemas geométricos.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

a. Primero debes usar geogebra para construir las alturas y el ortocentro de un triángulo. b. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas propiedades matemáticas que tienen las alturas y el ortocentro. c. En la parte intermedia debes usar regla y compás para construir las alturas y el ortocentro de algunos triángulos. d. En la parte final debes usar Geogebra para realizar exploraciones sobre el ortocentro. e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.

71

Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN En esta hoja de trabajo trabajaremos con algunas propiedades que tienen las alturas que se construyen sobre los lados de un triángulo. Para empezar a motivar el estudio de estas propiedades, vamos a introducir el tema con una actividad sobre el papel:

a. Recorta una forma triangular. De preferencia el triángulo debe ser acutángulo. b. Dobla el papel, de tal manera que traces rectas que pasen por cada uno de los vértices y que sean perpendiculares a cada uno de los lados del triángulo,. c. En el siguiente espacio en blanco dibuja la figura que obtuviste después de hacer todos los dobleces.

d. En el siguiente espacio en blanco construye una propiedad general sobre las las tres rectas que trazaste.

72

Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO

1. Redacta con tus propias palabras lo que significa para ti la palabra altura.

2. Dibuja triángulo y construye una altura

3. ¿Recuerdas un procedimiento con doblado de papel para hacer una altura? Si ( )

No ( ) Espacio para describir el procedimiento

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II 4. ¿Recuerdas un procedimiento con regla y compás para hacer una altura? Si ( )

No ( )

Espacio para describir el procedimiento

5. ¿Sabes usar el comando altura de geogebra? Si ( ) No ( )

CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS

1. Traza un triángulo ABC.

74

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 2. Traza la altura a cada lado del triángulo. Lo puedes hacer con una recta perpendicular a cada lado que pase por su vértice opuesto. Por ejemplo, en la siguiente figura se traza una perpendicular al lado AB que pase por su vértice opuesto que es el punto C.

Debes hacer el procedimiento similar para los otros dos lados del triángulo

3. ¿Qué puedes afirmar sobre las tres alturas del triángulo?

Al punto de corte de las Alturas llámalo O y es el ortocentro del triángulo. Se llama así porque es el corte de rectas perpendiculares, también llamadas ortogonales.

EN ACCIÓN 1. Usa regla y compás para trazar el Baricentro de los siguiente triángulos:

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN Usa Geogebra para realizar las siguientes exploraciones: 1. ¿En dónde se encuentra el ortocentro de un triángulo acutángulo? Dibuja y explica 2. ¿En dónde se encuentra el ortocentro de un triángulo rectángulo? Dibuja y explica. 3. ¿En dónde se encuentra el ortocentro de un triángulo obtusángulo? Dibuja y explica.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II

Unidad Dos: Triángulos

Tema: Puntos y rectas notables del triángulo

Hoja de

Materiales: pluma y geogebra, regla, compás y escuadras

Trabajo No. 12

Sub - Tema: propiedades del ortocentro, baricentro y circuncentro Fecha:

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Construye propiedades sobre el baricentro, el ortocentro y el circuncentro de un triángulo, a través del doblado de papel, con construcción con regla y con apoyo de la geometría dinámica para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales. Argumenta las ideas matemáticas sobre la configuración espacial de algunos puntos notables, mediante el uso de lenguaje verbal y geométrico para resolver problemas geométricos. Realiza consultas sobre puntos y rectas notables, a través del uso de internet, para la reconstrucción geométrica y la visualización de las propiedades. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero debes usar geogebra, estuche de geometría o doblado de papel, para construir el ortocentro, baricentro y circuncentro de un triángulo de un triángulo. b. Después de cada construcción debes encontrar y comunicar algunas propiedades que tienes estos puntos notables. c. En la parte intermedia debes usar regla y compás para construir el ortocentro, baricentro y circuncentro de un triángulo de un triángulo. d. En la parte final debes usar Internet para consultar sobre algunos temas interesantes de geometría. e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. ¿Conoces leyes que relacionen el ortocentro, con el baricentro y el circuncentro del triángulo? Si ( ) No ( )

2. ¿Conoces la recta de Euler? Explica Si ( ) No ( )

3. ¿Todos los triángulos tienen su respectiva recta de Euler?

78

Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS En esta sección vas a construir propiedades que relacionan el circuncentro, el ortocentro y el baricentro de un triángulo. Para poder explorar estas propiedades, puedes usar geogebra o hacer una construcción sobre el papel. 1. Dibuja un triángulo. 2. En este mismo dibujo, traza el ortocentro O (corte de alturas), baricentro G (corte de medianas) y el circuncentro M (corte de mediatrices) del triángulo ABC. 3. ¿Qué relación puedes encontrar entre el Ortocentro O, Baricentro G, y circuncentro M del triángulo ABC?

4. Mide las distancias del ortocentro al baricentro y del baricentro al circuncentro. 5. En el siguiente espacio en blanco, escribe una relación entre las distancias del ortocentro al baricentro y del baricentro al circuncentro.

79

Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN

Usa regla y compás, para que verifiques las propiedades que ha construido en la presente hoja de trabajo, en el siguiente triángulo:

EVALUACIÓN Usa Geogebra para realizar las siguientes exploraciones: 1. ¿Pueden coincidir el baricentro, ortocentro y el circuncentro? Justifica 2. ¿El incentro, el baricentro, el circuncentro y el ortocentro de cualquier triángulo están alineados? Justifica 3. En Internet consulta cuál es la recta de Simson. Utiliza Geogebra para reconstruirla. 4. En Internet consulta cuál es la circunferencia de los nueve puntos. Utiliza geogebra para reproducirla.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos

Tema: Teoremas aplicables a triángulos

Hoja de Trabajo No. 13

Materiales: Cartulina, compás, regla , tijeras y geogebra

Sub - Tema: propiedades de los ángulos internos de todo triángulo Fecha:

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS

Competencias Específicas Construye propiedades sobre los ángulos internos de un triángulo, a través de la exploración doblando papel, con regla y compás y con apoyo de la geometría dinámica para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales. Argumenta las ideas matemáticas la suma de ángulos internos rectángulo, mediante el uso del lenguaje verbal y geométrico PARA resolver problemas geométricos. Redacta nuevos problemas sobre ángulos internos, a partir de la modificación de los problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. En la primera parte utilizarás cartulina, regla y tijeras para construir una propiedad sobre los ángulos internos de un triángulo. b. En la segunda parte usarás geogebra para que generalices la propiedad que hallaste en la primera parte. c. Debes comunicar la conjetura que emerge d. En la parte final debes dejar de usar el geogebra para resolver únicamente con lápiz y papel algunos ejercicios relacionados con los ángulos internos de un triángulo. e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO a. Dibuja un triángulo y señala sus ángulos internos

b. Realiza la suma de los siguientes ángulos: 20º 30` 50`` con 5º 29` 22``

c. Si a 180º le restas 25º 15’ ¿Cuál es el resultado? _________________________ MOTIVACIÓN 1. Toma una cartulina y dibuja formas triangulares de diferentes tamaños.

2. Utiliza el compás para marcar los tres ángulos internos de cada triángulo. Haces un arco de circunferencia del mismo radio sobre cada vértice del triángulo. Ten en cuenta que el radio de la circunferencia es arbitrario, sin embargo en el mismo triángulo no debes cambiar el tamaño del radio.

82

Desarrollo de Competencias Matemáticas II

3. Toma un triángulo y corta los sectores circulares y júntalos. Haz lo mismo con los otros dos triángulos. Observa el tipo de ángulo que se forma en cada caso. 4. A partir de lo que observaste en el punto anterior, escribe una ley sobre la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo.

CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 1.- Completa la tabla haciendo lo siguiente: utilizando Geogebra dibuja diferentes triángulos, mide sus ángulos interiores y suma con el comando calcular las medidas. Registra todo lo que realizas en la tabla. Dibujo del Triángulo

Medida de los Ángulos internos

83

Suma/ Operación

Total

Desarrollo de Competencias Matemáticas II

Dibujo del Triángulo

Medida de los Ángulos internos

Suma/ Operación

Total

5.-Construye una regla (propiedad) para la suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier triángulo.

EN ACCIÓN SIN UTILIZAR Geogebra, encuentra la medida del ángulo interno faltante, en cada uno de los siguientes triángulos. Operaciones

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II Operaciones

Operaciones

EVALUACIÓN 1. ¿Cuánto deben sumar los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo? Justifica. 2. ¿Dos ángulos internos del mismo triángulo puedes ser obtusos? Justifica. 3. En tu cuaderno redacta nuevos problemas sobre los ángulos internos en otros polígonos, partir de la modificación de los problemas ya resueltos.

85

Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos

Tema: Teoremas aplicables a triángulos

Hoja de Trabajo No. 14

Materiales: Cartulina, compás, regla , tijeras y geogebra

Sub - Tema: propiedades de los ángulos externos de todo triángulo Fecha:

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS

Competencias Específicas Construye propiedades sobre los ángulos externos de un triángulo, a través de la exploración doblando papel, con regla y compás y con apoyo de la geometría dinámica, para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales. Redacta nuevos problemas sobre ángulos externos en otros polígonos, a partir de la modificación de los problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad, la resolución de nuevos problemas y la formulación de contra-ejemplos. Sigue un conjunto de pasos, a través de la conexión entre las representaciones verbales y visuales de los ángulos externos, para la visualización de propiedades.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. En la primera parte utilizarás cartulina, regla y tijeras para construir una propiedad sobre los ángulos externos de un triángulo. b. En la segunda parte usarás geogebra para que generalices la propiedad que hallaste en la primera parte. c. Debes comunicar la conjetura que emerge. d. En la parte final debes dejar de usar el geogebra para resolver únicamente con lápiz y papel algunos ejercicios relacionados con los ángulos externos de un triángulo. e. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.

86

Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO a. Dibuja un triángulo y sobre él dibuja un ángulo externo.

b. ¿Conoces alguna propiedad sobre los ángulos externos de un triángulo?

87

Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN

a. Toma una cartulina y dibuja formas triangulares de diferentes tamaños.

b. Prolonga un lado cualquiera del triángulo. Por ejemplo vamos a prolongar el lado AC con una recta. Usa tu compás para marcar el ángulos que se forman entre la prolongación del lado AC y el lado contiguo AB (  ) y el ángulo que se forma entre la prolongación de AB con BC (  ). A este tipo de ángulos se les llama ángulos externos. Veamos:

88

Desarrollo de Competencias Matemáticas II c. Ahora vas a prolongar el lado AB para construir todos los ángulos exteriores, como en la siguiente figura:

d. . Recorta los ángulos externos y júntalos e. ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un triángulo?

Espacio para redactar una conjetura

89

Desarrollo de Competencias Matemáticas II

f. En el siguiente espacio en blanco justifica la conjetura que redactaste en el punto número 6.

Espacio para redactar una conjetura

90

Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS

1. Abre el archivo exteriores.ggb, allí encontrarás una figura similar a la siguiente:

En el archivo encontrarás un triángulo ABC, sus tres ángulos interiores (marcados en color rojo) y los tres ángulos exteriores (arcados en color verde).

2. Mide cada uno de los ángulos que aparecen en la figura y completa las siguientes tablas:





91

 

Desarrollo de Competencias Matemáticas II









 

 

3. Observa los resultados de las tablas anteriores ¿Cuánto suma la medida de un ángulo externo y la medida del ángulo interno adyacente?

Espacio para redactar una conjetura

92

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 4. Ve al archivo exteriores.ggb y toma datos de los ángulos exteriores para completar la siguiente tabla: 





5. ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un triángulo?

Espacio para redactar una conjetura

93

   

Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN SIN UTILIZAR Geogebra, encuentra la medida de cada uno de los externos de los siguientes triángulos. Operaciones

Operaciones

Operaciones

94

ángulos

Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN 1. ¿Cuánto debe medir un ángulo externo en un triángulo equilátero? Justifica. 2. En el siguiente espacio en blanco realiza una deducción de una fórmula general para calcular la medida de un ángulo externo de un triángulo rectángulo que no sea adyacente al ángulo recto. 3. En el siguiente espacio en blanco, redacta por lo menos tres problemas nuevos, relacionados con los temas y habilidades tratadas en la presente hoja de trabajo. 4. Selecciona uno de los problemas que acabas de redactar. Resuélvelo y entrégale un reporte a tu profesor.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos

Tema: Teoremas aplicables a triángulos

Hoja de Trabajo No. 15

Materiales: geogebra y pluma

Sub - Tema: propiedades del ángulo externo Fecha:

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS

Competencias Específicas Construye propiedades sobre los ángulos externos e internos de un triángulo, a través de la exploración doblando papel, con regla y compás y con apoyo de la geometría dinámica, para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales. Redacta nuevos problemas sobre ángulos externos e internos en otros polígonos, a partir de la modificación de los problemas ya resueltos para el desarrollo de la creatividad, la resolución de nuevos problemas y la formulación de contra-ejemplos. Sigue un conjunto de pasos, a través de la conexión entre las representaciones verbales y visuales de los ángulos externos, para la visualización de propiedades. Argumenta las ideas geométricas sobre ángulos internos a través de cadenas de razonamientos para la resolución de problemas.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. En la primera parte usarás geogebra para medir el ángulo externo y dos ángulos internos no adyacentes a él. b. Debes comunicar la conjetura que emerge c. En la parte final debes dejar de usar el geogebra para resolver únicamente con lápiz y papel algunos ejercicios relacionados el ángulo externo. d. Cuando el profesor inicie la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO a. Dibuja un triángulo y sobre él dibuja un ángulo externo y los dos ángulos externos no adyacentes a él.

b. ¿Conoces alguna ley que relacione un ángulo externo de un triángulo, con los ángulos externos no adyacentes? _______________

CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 1. Abre el archivo externo.ggb, allí encontrarás una figura similar a la siguiente:

97

Desarrollo de Competencias Matemáticas II En el archivo encontrarás un triángulo ABC, un ángulo externo (marcado en color verde) y dos ángulos internos no adyacentes a él (marcados en color rojo).

2. Mide cada uno de los ángulos que aparecen en la figura y completa la siguiente tabla:



 





3. Observa los resultados de la tabla anterior ¿Qué relación encuentras entre los ángulos? Espacio para redactar una conjetura

EN ACCIÓN En cada caso, debes encontrar el ángulo faltante

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II

EVALUACIÓN 1. Argumenta porqué es válida la ley que formulaste en la presente hoja de trabajo. 2. Construye dos problemas relacionados con el problema que estamos abordando en la presente hoja de trabajo. 3. Explora alguno de estos nuevos problemas y construye nuevas conjeturas. 4. En la siguiente figura se ha dibujado un triángulo ABC, un ángulo externo y dos internos no adyacentes a él. Utiliza lo que aprendiste en la presente hoja de trabajo para verificar si las medidas de los ángulos indicados son correctas.

99

Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos

Tema: Teoremas aplicables a triángulos

Hoja de Trabajo No. 16

Materiales: geogebra y pluma, regla, escuadras, papel y tijeras

Sub - Tema: Teorema relacionado con los triángulos rectángulos Fecha:

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Construye propiedades sobre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo, a través de la exploración doblando papel, con regla y compás y con apoyo de la geometría dinámica, para la búsqueda de invariantes y la construcción de ideas matemáticas generales. Redacta nuevos problemas con variantes y extensiones del teorema de Pitágoras, a partir de la modificación de una configuración dada, para el desarrollo de la creatividad, la resolución de nuevos problemas y la formulación de contra-ejemplos. Sigue un conjunto de pasos de una construcción geométrica, a través de la conexión entre las representaciones verbales y visuales, para la visualización de propiedades. Argumenta las ideas geométricas sobre las áreas de los cuadrados construidos en los lados de un triángulo rectángulo, a través de cadenas de razonamientos para la resolución de problemas.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS a. Primero usarás papel e instrumentos de geometría para visualizar una propiedad. b. Luego usarás geogebra para medir, arrastrar y encontrar y generalizar una propiedad que tienen los triángulos rectángulos. c. Debes comunicar la conjetura que emerge. d. En la parte final debes dejar de usar el geogebra para resolver únicamente con lápiz y papel algunos ejercicios relacionados el teorema involucrado en la presente hoja de trabajo. e. En la fase de socialización, participa en la discusión y hazle saber tus puntos de vista al profesor y a tus compañeros.

100

Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. ¿Cómo se calcula el área de un cuadrado de lado L?

2. ¿Cómo se traza una recta paralela a una recta dada por un punto dado? (puedes usar regla, compas o escuadras).

Espacio para describir el procedimiento

3. ¿Cómo se traza una recta perpendicular a una recta dada por un punto dado? (puedes usar regla, compas o escuadras) Espacio para redactar el procedimiento

101

Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Con cartulina construye un triángulo rectángulo. Construye un cuadrado sobre cada lado del triángulo. Selecciona uno de los cuadrados construidos sobre los catetos. Encuentra el centro de este cuadrado. Traza una paralela a la hipotenusa que pase por dicho centro. Traza una perpendicular esta recta que pase por el mismo centro. Después de haber realizado los trazos anteriores obtendrás una figura similar a la siguiente:

8. Recorta los cuatro polígonos que se generaron en el cuadrado. 9. Recorta el cuadrado que está en el otro cateto. 10. Utiliza estas cinco piezas para rellenar el cuadrado que se construyó sobre la hipotenusa. 11. Redacta una propiedad sobre las áreas de los cuadrados utilizados en la presente actividad.

102

Desarrollo de Competencias Matemáticas II CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES BÁSICAS 1. Abre el archivo rectángulo1.ggb, allí encontrarás una figura similar a la siguiente:

2. Explora el archivo, esto quiere decir que puedes medir longitud de segmentos, medida de ángulos, arrastrar, etc. Contesta las siguientes preguntas:

a. ¿Qué clase de triángulo es PAQ? Espacio para argumentar

103

Desarrollo de Competencias Matemáticas II b. ¿Qué clase polígono es AQGF?

Espacio para argumentar

c.

¿Qué clase polígono es QPOD? Espacio para argumentar

d. ¿Qué clase polígono es APIH? Espacio para argumentar

104

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. Mueve el punto M que está sobre el deslizador hasta el extremo derecho. En el siguiente espacio en blanco redacta una conjetura sobre las áreas de los polígonos que se involucran en el problema.

Espacio para escribir la conjetura

4. Ahora abre el archivo rectángulo2.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:

105

Desarrollo de Competencias Matemáticas II En el archivo encontrarás un triángulo rectángulo PAQ y tres cuadrados construidos sobre los catetos y sobre la hipotenusa del triángulo.

5. Mide los lados los lados de los cuadrados. Calcula las áreas de los cuadrados área para completar la siguiente tabla. Ten en cuenta que en la cuarta columna debes escribir la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. ÁREA de APIH

ÁREA de GQAF

ÁREA de DOPQ

A(APIH)+A(GQAF)

6. En el siguiente espacio en blanco redacta una conjetura sobre las áreas de los polígonos que se involucran en el problema.

Espacio para escribir la conjetura

106

Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN 1. Sin utilizar geogebra realiza el cálculo de la incógnita. Ten en cuenta que en cada caso te damos un triángulo rectángulo y algunas de las medidas de sus lados.

EVALUACIÓN 1. ¿Es posible que las medidas de los lados de un triángulo rectángulo sean 7, 11 y 15? 3. Completa la siguiente tabla. En la primera columna está la el valor de un cateto de un triángulo rectángulo, en la segunda columna otro cateto, en la tercera columna ubicamos el valor de la hipotenusa. Cateto 1 3 5

Cateto 2 8 9

Hipotenusa 5 10 25 100

3. ¿Cuántas soluciones admiten los dos últimos incisos del punto anterior? 4. En el siguiente espacio en blanco, redacta un problema similar al que estamos abordando en la presente hoja de trabajo.

107

Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos

Tema: Propiedades y Teoremas aplicables a triángulos Materiales: pluma y geogebra, regla y compás

Hoja de Trabajo No. 17

Sub-tema Propiedades del la altura en un triángulo isósceles Fecha: ________________

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas Identifica algunas propiedades que posee la altura de los triángulos isósceles mediante el uso de construcciones con lápiz, papel y geometría dinámica para usarlas en las argumentaciones geométricas. Reconoce las propiedades de la altura en un triángulo isósceles y aplica esas propiedades en la resolución de problemas geométricos.

Estrategias didácticas

a. Debes contestar el examen diagnóstico b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen. c. En la parte final debes identificar las distintas propiedades que tiene la altura de un triángulo isósceles. d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que puedes reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de dudas.

108

Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO

Para recordar

1. Escribe todas las clases de triángulos que recuerdes.

2. ¿Qué es un triángulo isósceles?

3. ¿Conoces algunas propiedades que tienen los triángulos isósceles?

109

Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN

Usa tu estuche de geometría para resolver las siguientes actividades.

1. Mide los lados de cada uno de los siguientes triángulos. También mide los ángulos internos.

2. De acuerdo a las medidas que obtuviste en el punto anterior: ¿Cada una de las tres figuras qué clase de triángulos representa?

Espacio para argumentar

110

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. Compara la medida de los lados con la medida de los ángulos opuestos. ¿A qué conclusión puedes llegar?

Espacio para redactar una conjetura

CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS

En esta sección utilizarás el entorno de geometría dinámica para explorar algunas propiedades geométricas.

1. Abre el archivo base.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:

111

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 2. ¿Qué clase de triángulo representa la figura que contiene el archivo?

Espacio para argumentar

3. Mide cada uno de los ángulos internos y los lados del triángulo. Arrastra los vértices del triángulo. En el siguiente espacio en blanco dibuja algunos de esos triángulos con sus medidas de lados y ángulos

112

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 4. Compara la medida de los lados con la medida de los ángulos opuestos. ¿A qué conclusión puedes llegar?

Espacio para redactar una conjetura

Propiedades de la altura de un triángulo isósceles 1. Ahora abre el archivo altura.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:

2. En el archivo encuentras un triángulo isósceles y la altura con respecto al lado desigual.

113

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. Mide los segmentos AD Y DB. Arrastra los vértices del triángulo y completa la siguiente tabla: AD

DB

4. Ahora mide los ángulos CDA y CDB. Arrastra los vértices del triángulo. 5. En el siguiente espacio en blanco describe las características que encontraste sobre la altura del triángulo isósceles.

6. Mide los ángulos ACD Y DCB. Arrastra los vértices del triángulo y completa la siguiente tabla: ACD

DCB

7. En el siguiente espacio en blanco describe la característica más sobre la altura del triángulo isósceles.

114

Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN Encuentra la medida de cada uno de los ángulos faltantes en la siguiente figura:

EVALUACIÓN

1. Encuentra el valor de los ángulos y los segmentos en la siguiente figura:

2. Encuentra el valor de los ángulos y los segmentos en el siguiente triángulo equilátero:

115

Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos

Hoja de Trabajo No.18

Tema: Propiedades y Teoremas aplicables a triángulos Materiales: pluma y geogebra, regla y compás

Sub -Tema: relación entre medida de ángulos y medida de lados en un triángulo Fecha: _______________

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS Competencias Específicas

Identifica la propiedad que tienen los triángulos al relacionar la medida de los lados y los ángulos opuestos mediante el llenado de tablas comparativas.

Reconoce las propiedades que tienen todos los triángulos mediante la utilización del software de geometría dinámica para utilizarlas en la resolución de problemas geométricos.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS

a. Debes contestar el examen diagnóstico b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen. c. En la parte final debes tener claridad sobre las propiedades fundamentales de los triángulos. d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que puedes reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de dudas.

116

Desarrollo de Competencias Matemáticas II DIAGNÓSTICO 1. Enuncia cinco postulados de la geometría plana que te acuerdes:

2. Enuncia dos teoremas de la geometría plana, donde se mencione los lados de los triángulos.

3. Enuncia dos teoremas de la geometría plana, donde se mencione los ángulos de un triángulo

4. Enuncia dos teoremas o postulados, que tú te acuerdes, en los cuales se menciones los lados y los ángulos internos de un triángulo

117

Desarrollo de Competencias Matemáticas II MOTIVACIÓN Propiedades de los triángulos Primera parte: Con lápiz y papel 1. Mide los lados de cada uno de los siguientes triángulos. También mide los ángulos internos.

2. De acuerdo a las medidas que obtuviste en el punto anterior: ¿Cada una de las tres figuras qué clase de triángulos representa?

Espacio para argumentar

118

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 3. En el siguiente espacio en blanco compara el tamaño de la medida de los lados con el tamaño de la medida de los ángulos opuestos.

Figura No 1

Figura No 2

Figura No 3

CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS

Propiedades de los triángulos Segunda parte: Con Geogebra

1. Abre el archivo lados-ángulos.ggb. Allí encontrarás una figura similar a la siguiente:

119

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 2. ¿Qué clase de triángulos representan la figuras que contiene el archivo?

Espacio para argumentar

3. Mide cada uno de los ángulos internos y los lados del triángulo. Arrastra los vértices del triángulo. En el siguiente espacio en blanco dibuja algunos de esos triángulos con sus medidas de lados y ángulos

120

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 4. Compara la medida de los lados con la medida de los ángulos opuestos en cada figura. ¿A qué conclusión puedes llegar?

Espacio para redactar una conjetura

EN ACCIÓN 1. ¿Los ángulos internos de un triángulo escaleno pueden ser 30º, 30 º y 120º?

Espacio para argumentar

121

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 2. ¿Las medidas de los ángulos internos de un triángulo isósceles pueden ser 20º, 30º y 130º? Espacio para argumentar

EVALUACIÓN 1. Discute sobre el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a. Los triángulos escalenos tienen todos sus ángulos internos congruentes.

b. Los triángulos equiláteros tienen dos y solo dos ángulos internos congruentes.

c. En un triángulo isósceles todos los ángulos internos tienen diferente medida.

122

Desarrollo de Competencias Matemáticas II Unidad Dos: Triángulos

Tema: Propiedades y Teoremas aplicables a triángulos

Sub -Tema: Postulados de la semejanza de triángulos

Hoja de Trabajo No. 19

Materiales: pluma y geogebra, regla y compás

Fecha: ________________

DECLARACIÓN DE COMPETENCIAS

Competencias Específicas

Identifica la semejanza de triángulos, mediante la medición de cada uno de sus elementos para aplicarla en la argumentación de las ideas geométricas.

Construye triángulos semejantes a partir de las propiedades que conoce, y las compara con figura semejantes de mayor número de lados.

Estrategias didácticas

a. Debes contestar el examen diagnóstico b. Luego debes realizar cada una de las actividades que se proponen. c. En la parte final debes tener claridad sobre los postulados de semejanza de los triángulos. d. En la fase de socialización, debes participar activamente, para que puedes reafirmar tus conocimientos y aclarar cualquier tipo de dudas. DIAGNÓSTICO

123

Desarrollo de Competencias Matemáticas II 1. Escribe lo que tú entiendas por semejanza de triángulos.

2. Conoces los postulados de semejanza de triángulos si ___ no ___. Escríbelos

3. Escribe lo que entiendas por lados homólogos.

4. Conoces el significado de la palabra proporcional si _____ no____

5. Escribe lo que entiendas por proporcionalidad.

124

Desarrollo de Competencias Matemáticas II

6. Encierra en un círculo las figuras que sean semejantes al primer rectángulo. Explica porque haces esa elección.

MOTIVACIÓN 1. Dibuja un triángulo acutángulo, uno obtusángulo y otro rectángulo, en la tabla. 2. Debajo de cada uno de ellos dibuja otro triángulo de la misma clase, pero de tamaño diferente (triángulo 2). Triángulo acutángulo

Triángulo obtusángulo

Triángulo rectángulo

Triángulo 1

Triángulo 2

3. Mide cada uno de sus lados y cada uno de sus ángulos anota las medidas. 4. Divide la medida de los lados de cada pareja de triángulos, teniendo en cuenta de hacerlo así: lado mayor del triángulo 1 entre lado menor del triángulo 2.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II 5. Escribe los resultados de esas divisiones.

Resultados de las divisiones

6. Si los resultados de las divisiones son iguales los lados son proporcionales. 7. Ahora dibuja parejas de triángulos con lados proporcionales. Triángulo acutángulo

Triángulo obtusángulo

Triángulo 1

Triángulo 2

CONCEPTOS Y HABILIDADES BÁSICAS

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Triángulo rectángulo

Desarrollo de Competencias Matemáticas II

Semejanza de triángulos

Algunas definiciones.

En esta parte de la actividad comprenderás lo que significan varios términos muy usados en el estudio de la geometría, por ejemplo, razón, proporción y semejanza de polígonos.

a. Razón: Es la división entre dos magnitudes. Por ejemplo la razón del lado menor entre el lado mayor del siguiente 3 rectángulo es . Veamos: 4

b. Proporción: Es la igualdad entre dos razones. Una proporción puede escribirse de tres maneras. Veamos: a c  , a : b  c : d , a : b :: c : d b d

La primera forma se lee “a sobre b es igual a c sobre d”; las otras formas se leen “a es a b como c es a d”. Sin embargo, todas representan lo mismo: la igualdad entre dos razones. Por ejemplo, los lados de los siguientes rectángulos son proporcionales:

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II

Se dice que los lados son proporcionales porque la razón entre los lados de la 3 6 primera figura es , mientras que en la segunda figura es y cómo: 4 8

3 6 = 4 8

Los lados de los dos rectángulos son proporcionales.

c. Semejanza entre polígonos. Dos polígonos son semejantes cuando cumplen que:

Los ángulos homólogos son iguales y que los lados homólogos son proporcionales.

Para que entiendas mejor esta definición, vas a realizar varias actividades:

1. Abre el archivo semejanza1.ggb. allí encontrarás un archivo similar al siguiente:

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II

Hay dos polígonos y un deslizador llamado r.

2. Usando Geogebra, mide cada uno de los ángulos interiores de los dos polígonos. Arrastra los vértices del polígono de la izquierda. Compara las medidas de los ángulos internos en los dos polígonos.

Los lados homólogos son los que forman los mismos ángulos en los dos polígonos. Por ejemplo, el ángulo formado por los lados AB y BC en el primer polígono, es igual al ángulo formado por los lados FG y GI, en el segundo polígono, por tanto una pareja de lados homólogos es FG y AB, otra es GI y BC.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II

3. En el siguiente espacio en blanco realiza la división entre parejas de lados homólogos:

4. Cambia una vez el valor de la razón, dando un clic sobre el punto r y deslizándolo. En el siguiente espacio en blanco realiza nuevamente la división entre parejas de lados homólogos:

5. ¿Los dos polígonos que están en el archivo son semejantes? (Sugerencia nuevamente repasa la definición de semejanza que te dimos en el punto uno antes de contestar la pregunta) Espacio para argumentar

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II 6. Abre el archivo semejanza2.ggb , allí encontrarás dos triángulos como los siguientes:

Como puedes ver en el archivo, los ángulos internos homólogos son iguales.

7. Primero identifica cuales las parejas de lados homólogos. En el siguiente espacio en blanco realiza la razón entre las medidas de los lados homólogos.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II 8. ¿Los triángulos que estás explorando son semejantes? Justifica tu respuesta.

9. Abre el archivo semejanza3.ggb , allí encontrarás dos triángulos como los siguientes:

Como puedes ver en el archivo, los lados homólogos son proporcionales.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II 10. Mide los ángulos internos de los dos triángulos. Arrastra los vértices libres y en el siguiente espacio en blanco saca una conclusión sobre la medida de los ángulos.

11. ¿Los triángulos que estás explorando son semejantes?

12. Abre el archivo semejanza4.ggb , allí encontrarás dos triángulos como los siguientes:

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II Como puedes ver en el archivo, dos parejas de lados homólogos son proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos también son iguales. 13. ¿Los triángulos que estás explorando son semejantes?

Espacio para argumentar la respuesta

14. De acuerdo a lo que aprendiste en la presente hoja de trabajo. Resume en un párrafo todos los casos que estudiaste sobre la semejanza de triángulos.

Espacio para redactar la conjetura

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II EN ACCIÓN 1. En el triángulo ABC, se traza DE || BC. Calcular la medida del segmento EC, sabiendo que: =9cm,

=6cm,

=15cm

2. Encuentre la medida del segmento AC conociendo que DE||BC, la medida del ángulo EDA=90º, =2cm,

=3cm y

=18cm

3. Los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes. Si a = 25 cm., b = 10 cm., c = 30 cm., a’ = 30 cm., y b’ = 12 cm. Determina c’.

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Desarrollo de Competencias Matemáticas II EVALUACIÓN 1. ¿Son semejantes todos los triángulos isósceles? Justifica tu respuesta. 2. Los lados de un triángulo miden 36 cm., 42 cm., y 54 cm. Si en un triángulo semejante a este, el lado homólogo del primero mide 24 cm. Hallar la medida de los otros dos lados de este triángulo. 3. Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 cm., 8 cm. y 10 cm., respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero, si su hipotenusa mide 15 cm? 4. Demostrar que el triángulo OAB es semejante al triángulo OCD, sabiendo que L1 // L2.

5. En la figura siguiente, AD  BC y CE  AB. Demostrar que CE · AB = AD · BC

6. CD bisectriz del ángulo ACB y