Detection of Barely Discernible Subpixel Objects Using a Modified Orthogonal Subspace Projection Method V. Golikov, Member, IEEE, O. Lebedeva, M. A. Rodríguez, Member, IEEE Abstract— This paper deals with the problem of detection of the video/infrared small barely discernible targets in the presence of the heavy background clutter and channel noise. The majority of well-known detection algorithms are based on the assumption that the signal energy reflected from the targets' surface and acquired by the sensor is more or equal to the background clutter energy. This assumption limits the implementation of these algorithms in the case of low signal-to-clutter ratio. The presence of the subpixel target decreases the background power that hence may be different under the null and alternative hypotheses. To detect the barely discernible targets we derive the Generalized Likelihood Ratio Test (GLRT) under hypothesis dependent structured background power and contrast it with well-known Orthogonal Subspace Projection (OSP) algorithm. Experiments on simulated data and real video images demonstrate the ability of this proposed detector to detect the subpixel barely discernible targets in the presence of the heavy background clutter.

Keywords— Subpixel targets, subspace detection, image sequence, hypothesis dependent background power.

E

I. INTRODUCCION

N este artículo se describe la detección de objetos ópticos estacionarios débiles en presencia de fondo fluctuante homogéneo intenso en función de una variante nueva de un enfoque existente [1]-[4] para un procesamiento de secuencia de imagen. Este enfoque es muy importante en muchas áreas tales como sistemas de vigilancia automatizada, detección de objetos, visión artificial, análisis de secuencias de imágenes ópticas, detección automática de objetos pequeños flotantes sobre la superficie del mar, etc. En la literatura [1]-[11], un gran número de enfoques diferentes se han reportado para llevar a cabo la tarea de la detección de los objetos con reflexión óptica débil en presencia de ruido de fondo que tienen por objetivo la detección de un objeto más pequeño que el tamaño de un píxel. La descomposición del valor singular [12], proyección de Sub-espacio [4] y [5], máxima probabilidad ML (Maximum Likelihood) [2], [6], [12] son los enfoques más frecuentes que se usan en los problemas de síntesis de algoritmos de detección [3], [4], [9]. En [6] y [14] se mostró que la descomposición lineal basada en ML es equivalente a la descomposición lineal

V. Golikov, Universidad Autónoma del Carmen, Ciudad del Carmen, México, [email protected] O. Lebedeva, Universidad Autónoma del Carmen, Ciudad del Carmen, México, [email protected] M. A. Rodríguez, Universidad Autónoma del Carmen, Ciudad del Carmen, México, [email protected]

basada en la proyección de sub-espacio ortogonal OSP (Orthogonal Subspace Projection). La mayoría de estas pruebas se basan en el modelo Gaussiano de fondo y la eficiencia de estos detectores depende fuertemente de la relación señal-ruido SNR (Signal-to-Noise Ratio). Hay casos cuando la SNR es muy baja: por ejemplo, el objeto no refleja luz y la media local del fondo fluctuante es cero o cuando la media local de la señal que refleja el objeto de interés es igual a la media del fondo fluctuante y además la varianza de la señal de interés es pequeña. Todos los métodos citados, exhiben un inconveniente: los objetos con SNR muy bajo prácticamente no son detectables. Por otro lado en la literatura, un gran número de métodos diferentes han sido propuestos para abordar la detección de objetos relativamente pequeños en presencia de fondo fluctuante estructurado (modelo del fondo con una función determinística) y no-estructurado (modelo del fondo con una función estocástica) [3] y [10], incluyendo los objetos subpixelados cuando ocupan solo una parte del área del píxel [13] y [16]. Trabajos anteriores sobre detección de objetos subpixelados se han basado principalmente sobre el enfoque de la prueba de relación de probabilidad LRT (Likelihood Ratio Test) en la cual ambas varianzas sobre hipótesis estadísticas H0 y H1 se asumen conocidas a priori [3], [6], [15]. El enfoque LRT conduce al convencional detector de sub-espacio acoplado MSD (Matched Subspace Detector) o al detector de OSP [6] y [14]. Los LRT y GLRT (Generalized Likelihood Ratio Test) se usan en desarrollo de los algoritmos de detección de objetos sub-pixelados como en los sistemas hiper-espectrales [3], [6], [10] tanto en los sistemas de video [16]. El desarrollo de esos algoritmos no usa el fenómeno del cambio de potencia desde un área de un píxel, cuando el área parcialmente está ocupada por el blanco de interés. Comúnmente, en una detección de sub-píxel, la mayoría del área del píxel cubierta por el fondo es desconocida y depende del tamaño y posición del objeto dentro del píxel. Por lo tanto, en este caso es más apropiado utilizar diferentes varianzas de fondo sobre las dos hipótesis. Esto conduce al problema de detección con potencia de ruido dependiente de hipótesis. En [16] se propuso un detector modificado de sub-espacio acoplado MMSD (Modified Matched Subspace Detector) basado en el modelo Gaussiano de fondo fluctuante, el MMSD es capaz de detectar sub-pixeles de objetos apenas perceptibles y de reflexión débil en presencia de fondo fluctuante y ruido Gaussiano. En este trabajo, para excluir la restricción Gaussiana del modelo del fondo fluctuante se utiliza el modelo determinístico del fondo fluctuante (fondo estructurado

desconocido a priori) [3] y [10]. Se supone que el ruido representa la inexactitud en el ajuste del modelo “lack-of-fit effect” y es generado en base al modelo estadístico y la señal de fondo es generado en base al modelo determinístico desconocido en sub-espacio. También se presenta una variante del enfoque de la prueba de relación de probabilidad generalizada GLRT el cual utiliza la potencia de fondo estimada bajo la hipótesis H1 para mejorar el desempeño de la detección con respecto al OSP convencional. En este artículo el problema de contraste de las hipótesis se examina con la potencia del fondo dependiente de las hipótesis, es decir con varianza conocida bajo hipótesis H0 y varianza desconocida bajo hipótesis H1. Prácticamente esta suposición es adecuada: esto es porque comúnmente es posible estimar la varianza del fondo del pixel homogéneo a priori bajo la hipótesis H0 pero es imposible hacerlo a priori bajo la hipótesis H1 porque en este caso la varianza del fondo del píxel depende del tamaño y posición del objeto con respecto al área de píxel pero a priori el tamaño y posición del objeto son desconocidos. Este enfoque usa el modelo lineal LMM (Linear Mixed Model) para estimar directamente la diferencia de potencia de fondo y de ruido, y usa la diferencia de potencia estimada para propósitos de detección. En este trabajo, este problema se extiende al caso de detección de objetos sub-pixelados en presencia del fondo estructurado, donde la potencia del fondo bajo la hipótesis nula es conocida y donde la presencia de objeto causa un decremento en la potencia de fondo. La idea del enfoque propuesto se deriva de la naturaleza del fenómeno. En este sentido, cuando el objeto está presente en un píxel, la varianza de fondo cambiará en este píxel. De acuerdo con ello, un conocimiento incompleto del tamaño del objeto conduce a la variación de potencia de fondo bajo las hipótesis H0 y H1. Entonces la prueba estadística propuesta detecta simultáneamente la presencia del objeto y el cambio de la potencia de fondo bajo H1. Ambos fenómenos contribuyen en la calidad de la detección. El objetivo de este trabajo es el diseño y análisis de un algoritmo para la detección de objetos sub-pixelados con conocimiento del sub-espacio espectral en presencia de un fondo estructurado, sub-espacio conocido y varianza desconocida bajo H1. En la sección 2, se formula el LMM y los conceptos de objeto y de sub-espacios de fondo estructurados. Este modelo es ampliamente utilizado cuando se tiene que detectar una señal determinista parcialmente conocida perteneciente a un sub-espacio conocido en la presencia de un fondo aditivo perteneciente a un sub-espacio conocido y error de ruido blanco Gaussiano [2] y [4]. La sección 3 formula los problemas de detección del sub-pixel en el caso de sub-espacio de fondo estructurado conocido. Entonces se deduce el GLRT para los problemas actuales y las distribuciones según ambas hipótesis. Se modifica el OSP empleando un término adicional en la prueba para el subespacio de fondo conocido. Los términos adicionales deben estimar la diferencia entre el fondo y la potencia de ruidos de acuerdo con H1 y H0. En la sección 4 se presenta el análisis de desempeño mediante el desarrollo de expresiones analíticas

aproximadas. Se realiza una comparación entre el OSP y del detector propuesto y los resultados analíticos explican cuándo el detector propuesto supera al OSP. En la Sección 5, se investigan las mejoras de rendimiento de detección en el caso de variaciones de potencia de fondo entre dos hipótesis para el detector propuesto con respecto al OSP. Aquí, las simulaciones numéricas son incluidas para verificar la validez del análisis teórico y mostrar que los detectores propuestos pueden superar a los clásicos. Cuando las expresiones analíticas, para la probabilidad de falsa alarma y la probabilidad de detección, no son viables, la evaluación se obtiene mediante las técnicas Monte Carlo. Se presenta una simulación y resultados experimentales de la detección de dos objetos flotantes en la superficie de un mar agitado, usando experimentos de video digital espectral. II. FORMULACIÓN DE LOS MODELOS Las premisas básicas del modelo lineal dentro de una secuencia dada de píxeles son: a) la superficie de fondo agitado consiste de un número de los elementos oscilantes (superficie oscilante multipunto), b) el objeto tiene una superficie sólida y, por lo tanto, oscila como un elemento, c) el espectro de fondo consiste en más componentes que el espectro del objeto. El espectro del píxel se representa como una combinación lineal de los componentes espectrales del fondo y el objeto. El peso de cada componente denominado abundancia depende del color, tipo de superficies y tipo de oscilación de la superficie. El problema de detección puede ser visto como un problema de ajuste de modelo lineal. No hay necesidad de determinar explícitamente la estimación de la abundancia; se puede usar una medida del modelo heurísticamente para tomar decisiones. Este es principalmente el foque usado en este trabajo. En este artículo se consideran el modelo de la señal determinística de interés usando la matriz S con el vector de abundancia at y el modelo de la señal del fondo usando la matriz B con el vector de abundancia ab. Dado que la matriz S y el vector de abundancia at, denotan una matriz L×P con columnas que contienen los vectores base ortogonales (componente espectrales P) que abarcan el sub-espacio y el vector de abundancia del objeto, respectivamente. Se supone que la matriz S es conocida o puede ser determinada a partir de librerías espectrales o de datos. Entonces, se necesita es estimar la abundancia, at, dado el pixel observado x. Si una estimación de at, entonces = es una estimación de x con un error correspondiente =

−

= −

.

(1)

La estimación por mínimos cuadrados sin restricciones LSE (Least Squares Estimation) de x es determinada únicamente por la base de la perpendicular desde la punta de x al hiperplano específico por la columna de S, entonces STe= ST( −

) = 0.

Aquí, la LSE para x es dada por ) = ( = ,

(2) (3)

donde es conocida como la matriz de proyección. El vector de error es obtenido por = − = , donde = − . El modelo heurístico es evaluado por la longitud de e, usando la suma de los errores cuadráticos (SSE): ( )=‖ ‖ =

.

(4)

Se asumen que los espectros de fondo abarcan algún subespacio del espacio de vector real ℛ y el espectro de objetos se encuentra en un sub-espacio diferente dentro de ℛ (los componentes espectrales de fondo no coinciden completamente a los componentes espectrales de objetos). En este caso, el vector de error = no depende del espectro de objeto. En presencia del objeto, el área del píxel cubierta por el fondo puede ser diferente del área del píxel de fondo según la H0 porque el objeto ocupa la porción del área del píxel. En este modelo se utiliza el factor de relleno de fondo c ≤ 1, definido como la relación entre el área del pixel cubierto por el fondo bajo la H1 y el área total del pixel: = √ . El tamaño del objeto determina el factor de relleno del pixel c y prácticamente siempre es desconocido. Además, se utiliza el vector de error n de fondo aleatorio L-dimensional que contiene la suma del error del vector de ruido representado por el efecto de falta-de-ajuste y el vector de ruido de canal aleatorio. En este caso, el píxel recibido, denotado por un vector x L-dimensional, puede ser descrito como + , bajo H0 = = + √ + , bajo H1, (5) donde B es una matriz L×Q que representa el sub-espacio de fondo (componentes espectrales Q), la componentes Z>J, L>>P, L>>Q): (0) bajo TMOSP (x) ~ (22) ( + ) bajo , (

)

= . Esta expresión se sostiene para un L donde grande y c≈1. Se puede ver en (22) que la función de distribución de probabilidad pdf (Probability Distribution Function) está parecida en (21) para el parámetro c entre 0.5 y 1. Como es difícil obtener la pdf analíticamente para diversos parámetros c, L, J, P, Q, las simulaciones computacionales por Monte Carlo han sido conducidas para corroborar los hallazgos teóricos del detector. A través de extensivas simulaciones (106 pruebas en caso de PF=103) por Monte Carlo, se comprueba que la pdf (21) coincide exacto con la pdf en (17) para L≥200 y P