IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

Determina lass asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados: 1)

f ( x) = 3x3 − 2 x + 4 → f ( x) es una función polinómica y, por tanto, no tiene asíntotas.

2)

f ( x) =

1 → Dom ( f ) = ℜ − {2 x / x − 2 = 0} = ℜ − {2} x−2


ASÍNTOTAS VERTICALES 1 1  lim− = − = −∞  1 1 x →2 x − 2 0 lim f ( x) = lim ⇒ x = 2 es A.V. de f ( x) = = x→2 x →2 x − 2 1 1 0  lim = = +∞  x → 2 + x − 2 0+


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: 1 1 lim f ( x) = lim = = 0− x → −∞ x → −∞ x − 2 −∞ Por la derecha: + 1 1 lim f ( x) = lim = =0 x → +∞ x → +∞ x +∞ y = 0 es A.H. de f ( x) ; por la izquierda está por debajo de la asíntota y por la derecha está por encima.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

1

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

3)

f ( x) =

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

−x → Dom ( f ) = ℜ − {x / x 2 − 1 = 0} = ℜ − {−1,1} x2 − 1


ASÍNTOTAS VERTICALES  lim 1  x → −1− −x • lim f ( x) = lim 2 = = x → −1 x → −1 x − 1 0  lim  x → −1+

−x 1 = + = +∞ 2 x −1 0 ⇒ x = −1 es A.V. de f ( x) −x 1 = = −∞ x 2 − 1 0−

 lim −x − 1  x →1− • lim f ( x) = lim 2 = = x →1 x →1 x − 1 0  lim  x →1+

−x = x2 − 1 −x = x2 − 1

−1 = +∞ 0− ⇒ x = 1 es A.V. de f ( x) −1 = −∞ 0+


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: −x +∞ −x −1 −1 lim f ( x) = lim 2 = (Ι) = lim 2 = lim = = 0+ x→ −∞ x →−∞ x − 1 x →−∞ x x →−∞ x +∞ −∞ Por la derecha: −x −∞ −x −1 −1 lim f ( x) = lim 2 = (Ι) = lim 2 = lim = = 0− x→ +∞ x →+∞ x − 1 x → +∞ x → +∞ x +∞ +∞ x y = 0 es A.H. de f ( x ) ; por la izquierda está por encima de la asíntota y por la derecha está por debajo.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

2

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

4)

f ( x) =

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

2x − x2 → Dom( f ) = ℜ − {x / x − 3 = 0} = ℜ − {3} x−3


ASÍNTOTAS VERTICALES

 lim 2 2x − x − 3  x →3− lim f ( x) = lim = = x →3 x →3 x − 3 0  lim  x →3+

2 x − x2 − 3 = − = +∞ x−3 0 ⇒ x = 3 es A.V. de f ( x) 2 2x − x −3 = + = −∞ x −3 0


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: 2x − x2 − ∞ − x2 = (Ι) = lim = lim (− x) = +∞ x → −∞ x → −∞ x − 3 x → −∞ x x → −∞ −∞ Por la derecha: lim f ( x) = lim

2x − x2 − ∞ − x2 lim f ( x) = lim = (Ι) = lim = lim (− x) = −∞ x → +∞ x → +∞ x − 3 x → +∞ x x → +∞ +∞ No hay asíntotas horizontales


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f (x) es una función racional,, si tiene asíntota oblicua es la misma por ambos lados.

y = mx + n 2x − x2 2x x2 2 − 2 −1 2 2 − ∞ 0 −1 f ( x) 2 x x • m = lim = lim x − 3 = lim 2 = (Ι) = lim x 2 x = lim x = = −1 ⇒ m = −1 x →∞ x →∞ x →∞ x − 3x x →∞ x 3x x →∞ 1 − 3 1 − 0 ∞ x x − x x2 x2   2 x − x2   2 x − x 2 + x 2 − 3x   2 x − x2 −x • n = lim[ f ( x) − mx] = lim  − (−1) x  = lim  + x  = lim  = lim =  x→∞ x →∞ x −3  x →∞  x − 3  x→∞   x −3  x →∞ x − 3 −x ∞ −1 −1 = (Ι) = lim x = lim = = −1 ⇒ n = −1 x→∞ x 3 x→∞ 3 1− 0 ∞ 1− − x x x

Por tanto, y = − x − 1 es A.O. de f (x ( ) POSICIÓN Izquierda  2(−100) − (−100) 2 − 10200 Función → y = = ≅ 99,03  x = −100 ⇒  ⇒ f ( x) está por encima de la A.O. − 100 − 3 − 103  Asíntota → y = 100 − 1 = 99  3

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

Derecha  2(100) − (100) 2 − 9800 = ≅ −101,03  Función → y = x = 100 ⇒  ⇒ f ( x) está por debajo de la A.O. 100 − 3 97  Asíntota → y = −100 − 1 = −101 

5)

f ( x) =

x +1 → Dom( f ) = ℜ − {x / x 2 − 2 = 0} = ℜ − {− 2 , 2} 2 x −2


ASÍNTOTAS VERTICALES   lim x + 1 − 2 + 1 x → − 2 − • lim f ( x) = lim 2 = = x→− 2 x→− 2 x − 2 0  lim  x → − 2 +   lim x +1 2 + 1 x → 2 − • lim f ( x) = lim 2 = = x→ 2 x→ 2 x − 2 0  lim  x → 2 +

x +1 − 2 +1 = = −∞ x2 − 2 0+ −x − 2 +1 = = +∞ 2 x −2 0−

x +1 2 +1 = = −∞ 2 x −2 0− −x 2 +1 = = +∞ 2 x −2 0+

⇒ x = − 2 es A.V. de f ( x)

⇒ x = 2 es A.V. de f ( x)

4

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: 1 1 x +1 − ∞ x lim f ( x) = lim 2 = (Ι) = lim 2 = lim = = 0− x → −∞ x → −∞ x − 2 x → −∞ x x → −∞ x +∞ −∞ Por la derecha: 1 1 x +1 + ∞ x lim f ( x) = lim 2 = (Ι) = lim 2 = lim = = 0+ x → +∞ x → +∞ x − 2 x x → +∞ → +∞ +∞ x x +∞ y = 0 es A.H. de f ( x ) ; por la izquierda está por debajo de la A.H. y por la derecha está por encima.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

6) f ( x ) =

x +1 → Dom( f ) = ℜ − {x / x 2 + 2 = 0} = ℜ 2 x +2


ASÍNTOTAS VERTICALES: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda:

lim f ( x) = lim

x → −∞

x → −∞

x +1 − ∞ x 1 1 = (Ι) = lim 2 = lim = = 0− 2 x → −∞ x → −∞ x +2 +∞ x x −∞

Por la derecha:

x +1 + ∞ x 1 1 = (Ι) = lim 2 = lim = = 0+ 2 x → +∞ x + 2 x → +∞ x x → +∞ x +∞ +∞

lim f ( x) = lim

x → +∞

5

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

y = 0 es A.H. de f ( x) ; por la izquierda está por debajo de la asíntota y por la derecha está por encima.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

7)

f ( x) =

x2 − 4x → Dom( f ) = ℜ − {x / x 3 + 8 = 0} = ℜ − {−2} 3 x +8


ASÍNTOTAS VERTICALES

 lim 2 x − 4 x 12  x → −2 − lim f ( x) = lim 3 = = x → −2 x → −2 x + 8 0  lim  x → −2 +

x 2 − 4 x 12 = = −∞ x 3 + 8 0− ⇒ x = −2 es A.V. de f (x) x 2 − 4 x 12 = = +∞ x 3 + 8 0+


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: x2 − 4x + ∞ x2 1 1 = ( Ι ) = lim = lim = = 0− 3 3 x → −∞ x → −∞ x + 8 x → −∞ x x → −∞ x −∞ −∞ Por la derecha: lim f ( x) = lim

x2 − 4x + ∞ x2 1 1 = ( Ι ) = lim = lim = = 0+ 3 3 x → +∞ x + 8 x → +∞ x x → +∞ x +∞ +∞

lim f ( x) = lim

x → +∞

y = 0 es A.H. de f ( x ) ; por la izquierda está por debajo de la A.H. y por la derecha está por encima.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

6

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

8)

f ( x) =

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

x2 − 1 → Dom ( f ) = ℜ − {x / x 2 − x = 0} = ℜ − {0,1} x2 − x


ASÍNTOTAS VERTICALES  lim 2 x − 1 − 1  x → 0 − • lim f ( x ) = lim 2 = = x →0 x →0 x − x 0  lim  x → 0 + • lim f ( x ) = lim x →1

x →1

x2 − 1 − 1 = = −∞ x 2 − x 0+ ⇒ x = 0 es A.V. de f ( x ) x2 − 1 − 1 = = +∞ x 2 − x 0−

x2 − 1 0 ( x − 1)( x + 1) x +1 2 +1 = (Ι ) = lim = lim = = 2 ⇒ x = 1 NO es A.V. de f ( x ) 2 x → 1 x → 1 x −x 0 x ( x − 1) x 1

Observación ∃ lim f ( x ) = 2 x →1  ⇒ x = 1 Discontinuidad evitable (“punto en blanco”)  ∃/ f (1)
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: x2 −1 + ∞ x2 lim f ( x) = lim 2 = (Ι) = lim 2 = lim 1 = 1 x → −∞ x → −∞ x − x x → −∞ x x → −∞ +∞ Por la derecha: x2 −1 + ∞ x2 = ( Ι ) = lim = lim 1 = 1 x → +∞ x 2 − x x → +∞ x 2 x → +∞ +∞

lim f ( x) = lim

x → +∞

y = 1 es A.H. de f ( x ) 7

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

POSICIÓN

 (−100) 2 − 1 9999 = = 0,99  Función → y = 2 Izquierda x = −100 ⇒  ⇒ f ( x) está por debajo de la A.H. (−100) − (−100) 10100  Asíntota → y = 1   (100) 2 − 1 9999 Función → y = = = 1,01  2 Derecha x = 100 ⇒  ⇒ f ( x) está por encima de la A.H. (100) − 100 9900  Asíntota → y = 1  y = 1 es A.H. de f ( x ) ; por la izquierda está por debajo de la asíntota y por la derecha está por encima.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

8

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

9)

f ( x) =

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

2x2 − x − 1 → Dom( f ) = ℜ − {−2} x+2


ASÍNTOTAS VERTICALES  2x2 − x − 1 lim = 2 x 2 − x − 1 9  x → −2 − x + 2 lim f ( x ) = lim = = x → −2 x → −2 x+2 0  2x2 − x − 1 lim =  x → −2 + x + 2

9 = −∞ 0− ⇒ x = −2 es A.V. de f ( x ) 9 = +∞ 0+


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: 2 x2 − x − 1 + ∞ 2x2 = (Ι) = lim = lim (2 x) = −∞ x → −∞ x → −∞ x → −∞ x x → −∞ x+2 −∞ Por la derecha: lim f ( x) = lim

2x2 − x − 1 + ∞ 2x2 = (Ι) = lim = lim (2 x) = +∞ x → +∞ x → +∞ x x → +∞ x+2 +∞

lim f ( x) = lim

x → +∞

No hay asíntotas horizontales


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f (x) es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por ambos lados.

y = mx + n 2x2 − x − 1 f ( x) 2 x2 − x − 1 ∞ 2x2 x + 2 • m = lim = lim = lim 2 = (Ι) = lim 2 = lim 2 = 2 ⇒ m = 2 x →∞ x → +∞ x →∞ x →∞ x x →∞ x x x + 2x ∞  2x2 − x − 1   2x2 − x − 1 − 2x2 − 4x  − 5x − 1 ∞ • n = lim[ f ( x) − mx] = lim  − 2 x  = lim  = lim = (Ι ) =  x→∞ x →∞ x → ∞ x → ∞ x+2 x−3 ∞  x+2    − 5x = lim = lim (−5) = −5 ⇒ n = −5 x →∞ x x →∞

Por tanto, y = 2 x − 5 es A.O. de f (x ( ) POSICIÓN Izquierda  2(−100) 2 − (−100) − 1 20099 = ≅ −205,09 Función → y =  ⇒ f ( x) está por debajo de la A.O. x = −100 ⇒  − 100 + 2 − 98  Asíntota → y = 2(−100) − 5 = −205 

9

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

Derecha  2(100) 2 − (100) − 1 19899 = ≅ 195,09  Función → y = x = 100 ⇒  ⇒ f ( x) está por encima de la A.O. 100 + 2 102  Asíntota → y = 2(100) − 5 = 195 

10) f ( x) =

−3 → Dom( f ) = ℜ − {x /( x − 2)2 = 0} = ℜ − {x / x − 2 = 0} = ℜ − {2} 2 ( x − 2)


ASÍNTOTAS VERTICALES

−3 −3  lim− = + = −∞ 2  0 −3 − 1  x → 2 ( x − 2) lim f ( x) = lim = = ⇒ x = 2 es A.V. de f ( x) x→2 x → 0 ( x − 2) 2 −3 −3 0  lim = = −∞  x →0 + ( x − 2)2 0+
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: −3 −3 = = 0− 2 x → −∞ ( x − 2) +∞

lim f ( x) = lim

x → −∞

10

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

Por la derecha: −3 −3 = = 0− 2 x → +∞ ( x − 2) +∞

lim f ( x) = lim

x → +∞

y = 0 es A.H. de f ( x) ; tanto por la izquierda como por la derecha la función está por debajo de la A.H.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

11) f ( x ) =

2 − x2 → Dom ( f ) = ℜ − { x /( x + 1) 2 = 0} = ℜ − { x / x + 1 = 0} = ℜ − {−1} 2 ( x + 1)


ASÍNTOTAS VERTICALES   lim 2 2−x 1  x → −1− lim f ( x) = lim = = x → −1 x → −1 ( x + 1) 2 0  lim  x → −1+

2 − x2 1 = + = +∞ 2 ( x + 1) 0 2 − x2 1 = + = +∞ 2 ( x + 1) 0

⇒ x = −1 es A.V. de f ( x)


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: 2 − x2 2 − x2 −∞ − x2 lim f ( x ) = lim = lim 2 = (Ι ) = lim 2 = lim − 1 = −1 x → −∞ x → −∞ ( x + 1) 2 x → −∞ x + 2 x + 1 x → −∞ x x → −∞ +∞

11

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

Por la derecha: 2 − x2 −∞ − x2 2 − x2 = lim = ( Ι ) = lim = lim − 1 = −1 x → +∞ ( x + 1) 2 x → +∞ x 2 + 2 x + 1 x → +∞ x 2 x → +∞ +∞

lim f ( x ) = lim

x → +∞

y = −1 es A.H. de f ( x) POSICIÓN

 2 − (−100) 2 − 9998 Función → y = = = −1,02  Izquierda x = −100 ⇒  ⇒ f ( x) está por debajo de la A.H. (−100 + 1) 2 9801  Asíntota → y = −1   2 − (100) 2 − 9998 = = −0,98  Función → y = Derecha x = 100 ⇒  ⇒ f ( x) está por encima de la A.H. (100 + 1) 2 10201  Asíntota → y = −1  y = −1 es A.H. de f ( x ) ; por la izquierda está por debajo de la A.H. y por la derecha está por encima.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

12

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

12) f ( x) =

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

x3 → Dom ( f ) = ℜ − { x /( x + 1) 2 = 0} = ℜ − {x / x + 1 = 0} = ℜ − {−1} 2 ( x + 1)


ASÍNTOTAS VERTICALES  x3 −1 lim = + = −∞  x → −1− 2 3 ( x + 1) 0 x −1  lim f ( x) = lim = = ⇒ x = −1 es A.V. de f (x) 2 x → −1 x → −1 ( x + 1) 0  x3 −1 lim = = −∞  x → −1+ ( x + 1)2 0+


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: x3 −∞ x3 x3 = ( Ι ) = lim = lim = lim x = −∞ x → −∞ ( x + 1) 2 x → −∞ x 2 + 2 x + 1 x → −∞ x 2 x → −∞ +∞

lim f ( x ) = lim

x → −∞

Por la derecha: x3 +∞ x3 x3 = ( Ι ) = lim = lim = lim x = +∞ x → +∞ ( x + 1) 2 x → +∞ x 2 + 2 x + 1 x → +∞ x 2 x → +∞ +∞

lim f ( x ) = lim

x → +∞

No hay asíntotas horizontales


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f (x) es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por ambos lados. y = mx + n

x3 2 f ( x) x3 ∞ x3 • m = lim = lim x + 2 x + 1 = lim 3 = ( Ι ) = lim = lim 1 = 1 ⇒ m = 1 x →∞ x →∞ x →∞ x + 2 x 2 + x x →∞ x3 x → +∞ x x ∞

     x3 − x3 − 2 x 2 − x  x3 x3 • n = lim[ f ( x) − mx] = lim  2 − 1x  = lim  2 − x  = lim  = 2 x→∞ x→∞ x + 2 x + 1   x →∞  x + 2 x + 1  x → ∞  x + 2 x + 1   − 2x2 − x  ∞ − 2x2 = lim 2 = ( Ι ) = lim = lim (−2) = −2 ⇒ n = −2  x →∞ x →∞ x →∞ x2  x + 2 x + 1 ∞

Por tanto, y = x − 2 es A.O. de f ( x) POSICIÓN

 (−100)3 Función → y = ≅ −102,02  Izquierda x = −100 ⇒  ⇒ f ( x) está por debajo de la A.O. (−100 + 1)2  Asíntota → y = .(−100) − 2 = −102 

13

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

 (100)3 1000000 = ≅ 98,03  Función → y = 2 Derecha x = 100 ⇒  ⇒ f ( x) está por encima de la A.O. (100 + 1) 10201  Asíntota → y = 100 − 2 = 98 

13) f ( x ) =

7 → Dom ( f ) = ℜ − {x / x 2 − 25 = 0} = ℜ − {−5,5} x − 25 2


ASÍNTOTAS VERTICALES 7  lim− 2 =  7 7  x → −5 x − 25 • lim f ( x) = lim 2 = = x → −5 x → −5 x − 25 0  7 lim+ 2 =  x → −5 x − 25

7 = +∞ 0+ ⇒ x = −5 es A.V. de f (x) 7 = −∞ 0−

7 7  lim− 2 = − = −∞  7 7  x →5 x − 25 0 • lim f ( x) = lim 2 = = ⇒ x = 5 es A.V. de f ( x) x →5 x → 5 x − 25 7 7 0  lim = = +∞  x →5 + x 2 − 25 0 +

14

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda:

7 7 = = 0+ x → −∞ x → −∞ x − 25 +∞ Por la derecha: 7 7 lim f ( x) = lim 2 = = 0+ x → +∞ x → +∞ x − 25 +∞ lim f ( x) = lim

2

y = 0 es A.H. de f ( x ) ; tanto por la izquierda como por la derecha f ( x) está por encima de la A.H.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

14) f ( x) =

x4 → Dom( f ) = ℜ − {x / x 2 + 4 = 0} = ℜ 2 x +4


ASÍNTOTAS VERTICALES: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda:

x4 +∞ x4 = ( Ι ) = lim = lim x 2 = +∞ x → −∞ x 2 + 4 x → −∞ x 2 x → −∞ +∞

lim f ( x) = lim

x → −∞

15

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

Por la derecha: x4 +∞ x4 = ( Ι ) = lim = lim x 2 = +∞ 2 x → +∞ x 2 + 4 x → +∞ x → +∞ +∞ x

lim f ( x) = lim

x → +∞

No tiene A.H.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f (x) es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por ambos lados.

y = mx + n x4 2 x4 f ( x) ∞ x4 m = lim = lim x + 4 = lim 3 = (Ι) = lim 3 = lim x = ∞ ⇒ no hay A.O. x →∞ x → +∞ x →∞ x + 4 x x →∞ x x →∞ x x ∞ lim f ( x) = ∞    ⇒ f ( x) tiene tanto por la izquierda como por la derecha una rama parabólica en la dirección f ( x) lim = ∞ x → ±∞ x  del eje de ordenadas (eje OY) x → ±∞

15) f ( x ) =

4 − 2x2 → Dom ( f ) = ℜ − {x / x 2 − 16 = 0} = ℜ − {−4,4} 2 x − 16


ASÍNTOTAS VERTICALES  lim 2 4 − 2x − 28  x → −4 − • lim f ( x ) = lim 2 = = x → −4 x → −4 x − 16 0  lim  x → −4 +

4 − 2 x 2 − 28 = + = −∞ x 2 − 16 0 ⇒ x = −4 es A.V. de f ( x ) 2 4 − 2x − 28 = − = +∞ x 2 − 16 0

16

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

 lim 2 4 − 2x − 28  x → 4 − • lim f ( x) = lim 2 = = x →4 x → 4 x − 16 0  lim  x → 4 +

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

4 − 2 x 2 − 28 = − = +∞ x 2 − 16 0 ⇒ x = 4 es A.V. de f ( x) 2 4 − 2x − 28 = + = −∞ x 2 − 16 0


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: 4 − 2x2 − ∞ − 2x2 lim f ( x) = lim = lim 2 = (Ι ) = lim = lim ( −2) = −2 x → −∞ x → −∞ x → −∞ x − 16 x → −∞ x → −∞ +∞ x2 Por la derecha: 4 − 2x2 − ∞ − 2x2 = ( Ι ) = lim = lim ( −2) = −2 x → +∞ x 2 − 16 x → +∞ x → +∞ +∞ x2

lim f ( x) = lim

x → +∞

y = −2 es A.H. de f ( x) POSICIÓN

 4 − 2(−100) 2 − 19996 = = −2,003  Función → y = Izquierda x = −100 ⇒  ⇒ f ( x) está por debajo de la A.H. (−100) 2 − 16 9984  Asíntota → y = −2   4 − 2(100) 2 − 19996 Función → y = = = −2,003  Derecha x = 100 ⇒  ⇒ f ( x) está por debajo de la A.H. (100) 2 − 16 9984  Asíntota → y = −2  y = −2 es A.H. de f ( x ) ; tanto por la izquierda como por la derecha está por debajo de la A.H.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

17

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

16) f ( x) =

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

x −1 → Dom( f ) = ℜ − {x / x 2 + 2 x + 3 = 0} = ℜ x + 2x + 3 2

x 2 + 2x + 3 = 0 ⇒ x =

− 2 ± 4 − 12 ⇒ ∃/ solución real 2


ASÍNTOTAS VERTICALES:: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda:

lim f ( x) = lim

x → −∞

x → −∞

x −1 −∞ x 1 = (Ι) = lim 2 = lim = 0− x → −∞ x → −∞ x + 2x + 3 + ∞ x x 2

Por la derecha:

x −1 +∞ x 1 = (Ι) = lim 2 = lim = 0+ x → +∞ x + 2 x + 3 x → +∞ x x → +∞ x +∞

lim f ( x) = lim

x → +∞

2

y = 0 es A.H. de f ( x ) ; por la izquierda está por debajo de la A.H. y por la derecha está por encima.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

18

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

17) f ( x ) =

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

x → Dom( f ) = ℜ − {x / x 2 + 2 x − 3 = 0} = ℜ − {1,−3} x + 2x − 3 2


ASÍNTOTAS VERTICALES x 1  lim− 2 = − = −∞  x 1  x →1 x + 2 x − 3 0 ⇒ x = 1 es A.V. de f ( x ) • lim f ( x) = lim 2 = = x →1 x →1 x + 2 x − 3 x 1 0  lim = = +∞  x →1+ x 2 + 2 x − 3 0+ x −3  lim = = −∞ 2 x − 3  x → −3− x + 2 x − 3 0 + • lim f ( x) = lim 2 = = ⇒ x = −3 es A.V. de f ( x) x → −3 x →1 x + 2 x − 3 −3 x 0  = = +∞ lim  x → −3+ x 2 + 2 x − 3 0−


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda:

lim f ( x) = lim

x → −∞

x → −∞

x −∞ x 1 = (Ι) = lim 2 = lim = 0− x → −∞ x → −∞ x + 2x − 3 + ∞ x x 2

Por la derecha:

x +∞ x 1 = (Ι) = lim 2 = lim = 0+ x → +∞ x + 2 x − 3 x → +∞ x x → +∞ x +∞

lim f ( x) = lim

x → +∞

2

y = 0 es A.H. de f ( x ) ; por la izquierda está por debajo de la A.H. y por la derecha está por encima.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

19

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

x2 − 5 18) f ( x) = 2 → Dom( f ) = ℜ − {x / x 2 + x − 2 = 0}ℜ − {1,−2} x + x−2


ASÍNTOTAS VERTICALES

 x2 − 5 lim = x2 − 5 − 4  x →1− x 2 + x − 2 • lim f ( x) = lim 2 = = x →1 x →1 x + x − 2 0  x2 − 5 lim =  x →1+ x 2 + x − 2

−4 = +∞ 0− ⇒ x = 1 es A.V. de f ( x) −4 = −∞ 0+

 x2 − 5 lim = x2 − 5 − 1  x → −2 − x 2 + x − 2 • lim f ( x) = lim 2 = = x → −2 x → −2 x + x − 2 0  x2 − 5 = lim+ 2  x → −2 x + x − 2

−1 = −∞ 0+ ⇒ x = −2 es A.V. de f ( x) −1 = +∞ 0−


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: x2 − 5 +∞ x2 = lim = ( Ι ) = lim = lim 1 = 1 x → −∞ x → −∞ x 2 + x − 2 x → −∞ x → −∞ x 2 x → −∞ +∞ Por la derecha: lim f ( x) = lim

x2 − 5 +∞ x2 = ( Ι ) = lim = lim 1 = 1 x → +∞ x → +∞ x 2 + x − 2 x → +∞ x 2 x → +∞ +∞ y = 1 es A.H. de f ( x) lim f ( x) = lim

20

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

POSICIÓN Izquierda

 (−100) 2 − 5 9995 = ≅ 1,0098  Función → y = 2 x = −100 ⇒  ⇒ f ( x) está por encima de la A.H. (−100) + (−100) − 2 9898  Asíntota → y = 1   (100) 2 − 5 9995 Función → y = = ≅ 0,99  2 Derecha x = 100 ⇒  ⇒ f ( x) está por debajo de la A.H. (100) + (100) − 2 10098  Asíntota → y = 1  y = 1 es A.H. de f ( x ) ; por la izquierda está por encima de la A.H. y por la derecha está por debajo.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

2x2 − x 19) f ( x) = 2 → Dom( f ) = ℜ − {x / x 2 + 2 = 0} = ℜ x +2


ASÍNTOTAS VERTICALES: No tiene A.V.

21

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: 2x2 − x +∞ 2x2 = lim = ( Ι ) = lim = lim 2 = 2 x → −∞ x → −∞ x 2 + 2 x → −∞ x → −∞ x 2 x → −∞ +∞ Por la derecha: lim f ( x) = lim

2x2 − x + ∞ 2x2 = ( Ι ) = lim = lim 2 = 2 x → +∞ x 2 + 2 x → +∞ x 2 x → +∞ +∞

lim f ( x) = lim

x → +∞

y = 2 es A.H. de f ( x) POSICIÓN Izquierda

 2(−100)2 − (−100) 20100 Función → y = = ≅ 2,0096  x = −100 ⇒  ⇒ f ( x) está por encima de la A.H. (−100)2 + 2 10002  Asíntota → y = 2   2(100) 2 − (100) 19900 = ≅ 1,99  Función → y = Derecha x = 100 ⇒  ⇒ f ( x) está por debajo de la A.H. (100) 2 + 2 10002  Asíntota → y = 1  y = 1 es A.H. de f ( x ) ; por la izquierda está por encima de la A.H. y por la derecha está por debajo.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

22

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

20) f ( x) =

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

3x 2 → Dom( f ) = ℜ − {x / 1 − x = 0} = ℜ − {1} 1− x


ASÍNTOTAS VERTICALES

 3x 2 3 lim = + = +∞ 2  − 3x 3  x →1 1 − x 0 lim f ( x) = lim = = ⇒ x = 1 es A.V. de f ( x) x →1 x →1 1 − x 0  3x 2 3 lim = = −∞  x →1+ 1 − x 0 −
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: 3x 2 + ∞ 3x2 = (Ι) = lim = lim (−3 x) = +∞ x → −∞ x → −∞ 1 − x x → −∞ − x x → −∞ +∞ Por la derecha: lim f ( x) = lim

3x 2 + ∞ 3x 2 = (Ι) = lim = lim (−3 x) = −∞ x → +∞ 1 − x x → +∞ − x x → +∞ −∞

lim f ( x) = lim

x → +∞

No hay asíntotas horizontales


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f (x) es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por ambos lados.

y = mx + n 3x 2 f ( x) 3x 2 ∞ 3x 2 • m = lim = lim 1 − x = lim = ( Ι ) = lim = lim (−3) = −3 ⇒ m = −3 x→∞ x → +∞ x →∞ 1 − x 2 x→∞ − x 2 x→∞ x x ∞  3x 2   3x 2   3x 2 + 3x − 3x 2  3x ∞ • n = lim[ f ( x) − mx] = lim  − (−3) x  = lim  + 3x  lim  = lim = (Ι ) =  x →∞ x →∞ 1 − x 1− x   x → ∞ 1 − x  x→∞   x →∞ 1 − x ∞ 3x = lim (−3) = −3 ⇒ n = −3 x→∞ − x x →∞

= lim

Por tanto, y = −3x − 3 es A.O. de f (x) POSICIÓN

 3(−100) 2 30000 Función → y = = ≅ 297,03  Izquierda x = −100 ⇒  ⇒ f ( x) está por encima de la A.O. 1 − (−100) 101  Asíntota → y = −3(−100) − 3 = 297 

23

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

 3(100) 2 30000 = ≅ −303,03  Función → y = Derecha x = 100 ⇒  ⇒ f ( x) está por debajo de la A.O. 1 − (100) − 99  Asíntota → y = −3(100) − 3 = −303 

21) f ( x ) =

x 4 − 256 → Dom ( f ) = ℜ − {x / 2 x 2 − 4 x − 6 = 0} = ℜ − {−1,3} 2 2x − 4x − 6

:2 2x 2 − 4x − 6 = 0  → x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ x =

2 ± 4 + 12 2 ± 16  x = 3 = = 2 2  x = −1


ASÍNTOTAS VERTICALES

 x 4 − 256 lim = x 4 − 256 − 255  x → −1− 2 x 2 − 4 x − 6 • lim f ( x) = lim 2 = = 4 x → −1 x → −1 2 x − 4 x − 6 0  lim x − 256 =  x → −1+ 2 x 2 − 4 x − 6  x 4 − 256 lim = x 4 − 256 − 175  x →3− 2 x 2 − 4 x − 6 • lim f ( x) = lim 2 = = 4 x →3 x →3 2 x − 4 x − 6 0  lim x − 256 =  x →3+ 2 x 2 − 4 x − 6

− 255 = −∞ 0+ ⇒ x = −1 es A.V. de f ( x) − 255 = +∞ 0−

− 175 = +∞ 0− ⇒ x = 3 es A.V. de f ( x) − 175 = −∞ 0+

24

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: x 4 − 256 +∞ x4 1 lim f ( x) = lim 2 = (Ι) = lim 2 = lim x 2 = +∞ x → −∞ x → −∞ 2 x − 4 x − 6 x → −∞ x → −∞ +∞ 2x 2 Por la derecha: +∞ x 4 − 256 x4 1 = ( Ι ) = lim = lim x 2 = +∞ 2 2 x → +∞ 2 x − 4 x − 6 x → +∞ 2 x x → +∞ 2 +∞

lim f ( x) = lim

x → +∞

No tiene A.H.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f (x) es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por ambos lados.

y = mx + n x 4 − 256 2 x 4 − 256 x4 f ( x) ∞ x m = lim = ( Ι ) = lim = lim = ∞ ⇒ no hay A.O. = lim 2 x − 4 x − 6 = lim 3 2 3 x →∞ x → ∞ x → ∞ x → ∞ x → ∞ x x 2 2x − 4x − 6x ∞ 2x lim f ( x) = ∞    ⇒ f ( x) tiene tanto por la izquierda como por la derecha una rama parabólica en la dirección f ( x) lim = ∞ x → ±∞ x  del eje de ordenadas (eje OY) x → ±∞

25

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

22) f ( x) =

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

x3 − 3x − 2 → Dom( f ) = ℜ − {x / x 2 − 9 = 0} = ℜ − {−3,3} 2 x −9


ASÍNTOTAS VERTICALES

 x3 − 3x − 2 = lim x 3 − 3x − 2 − 20  x → −3− x 2 − 9 • lim f ( x) = lim = = 3 x → −3 x → −3 x2 − 9 0  lim x − 3x − 2 =  x → −3+ x 2 − 9

− 20 = −∞ 0+ ⇒ x = −3 es A.V. de f ( x) − 20 = +∞ 0−

 x 3 − 3x − 2 16 lim = − = −∞ x3 − 3x − 2 16  x →3− x 2 − 9 0 • lim f ( x) = lim = = ⇒ x = 3 es A.V. de f ( x) 3 x →3 x → −2 x2 − 9 0  x − 3 x − 2 16 lim = + = +∞  x →3+ x 2 − 9 0
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: x3 − 3x − 2 − ∞ x3 = ( Ι ) = lim = lim x = −∞ x → −∞ x → −∞ x → −∞ x 2 x → −∞ x2 − 9 +∞ Por la derecha: lim f ( x) = lim

x3 − 3x − 2 + ∞ x3 lim f ( x) = lim = (Ι) = lim 2 = lim x = +∞ x → +∞ x → +∞ x → +∞ x x → +∞ x2 − 9 +∞ No hay asíntotas horizontales


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f (x) es una función racional, si tiene asíntota oblicua es la misma por ambos lados.

y = mx + n x3 − 3x − 2 2 f ( x) x3 − 3x − 2 ∞ x3 • m = lim = lim x − 9 = lim 3 = (Ι) = lim 3 = lim 1 = 1 ⇒ m = 1 x →∞ x → +∞ x →∞ x→∞ x x→∞ x x x − 9x ∞  x3 − 3x − 2   x3 − 3x − 2   x3 − 3x − 2 − x3 + 9 x  • n = lim[ f ( x) − mx] = lim  − 1 x = lim − x lim  x→∞   x→∞  = 2 2 2 x →∞ x→∞ x − 9 x − 9 x − 9       6x − x ∞ 6x 6 = lim 2 = (Ι) = lim 2 = lim = 0 ⇒ n = 0 x→∞ x − 9 x → ∞ x → ∞ ∞ x x

Por tanto, y = x es A.O. de f ( x)

26

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

POSICIÓN Izquierda

 (−100)3 − 3(−100) − 2 − 999702 = ≅ −100,06  Función → y = x = −100 ⇒  ⇒ f (x ( ) está por debajo de la A.O. (−100) 2 − 9 9991  Asíntota → y = −100  Derecha

 (100)3 − 3(100) − 2 999698 = ≅ 100,06  Función → y = x = 100 ⇒  ⇒ f ( x) está por encima de la A.O. (100) 2 − 9 9991  Asíntota → y = 100 

23) f ( x) = 2

1 x −1

1   → Dom( f ) = Dom y =  = ℜ − {1} x −1 


ASÍNTOTAS VERTICALES 1

lim f ( x) = lim 2 x −1 x →1

x →1

1 1  −∞ x −1 0− 1  lim− 2 = 2 = 2 = 0 x →1 0 ⇒ x = 1 es A.V. de f ( x) por la derecha =2 = 1 1 +  2 x −1 = 2 0 = 2 + ∞ = +∞  xlim →1+

27

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

∃ lim− f ( x ) = 0 x →1  ⇒ x = 1 " punto en blanco"  ∃/ f (1)


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda:

lim f ( x) = lim 2

x → −∞

1 x −1

x → −∞

=2

lim

x →−∞

1 x −1

= 20 = 1

Por la derecha: 1

lim

1

lim f ( x) = lim 2 x −1 = 2 x→+∞ x −1 = 20 = 1

x → +∞

x → +∞

y = 1 es A.H. de f ( x) POSICIÓN 1 1   Función → y = 2 −100 −1 = 2 −101 ≅ 0,99 Izquierda x = −100 ⇒  ⇒ f ( x) está por debajo de la A.H.  Asíntota → y = 1

1 1   Función → y = 2100 −1 = 2 99 ≅ 1,007 Derecha x = 100 ⇒  ⇒ f ( x ) está por encima de la A.H.  Asíntota → y = 1

y = 1 es A.H. de f ( x ) ; por la izquierda está por debajo de la A.H. y por la derecha está por encima.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

28

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

24) f ( x ) = x 2 − 1 → Dom ( f ) = {x / x 2 − 1 ≥ 0} = ( −∞ ,−1] ∪ [1,+∞ )
ASÍNTOTAS VERTICALES:: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: lim f ( x ) = lim

x → −∞

x → −∞

x2 − 1 =

lim ( x 2 − 1) = + ∞ = +∞

x → −∞

Por la derecha: lim f ( x ) = lim

x → +∞

x → +∞

x2 − 1 =

lim ( x 2 − 1) = + ∞ = +∞

x → +∞

f ( x) NO tiene A.H.
ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f (x) no tiene A.H. puede que tenga A.O. Por la izquierda: y = mx + n

(− x) 2 − 1 f ( x) x2 −1 + ∞ x2 x • m = lim = lim = lim = (Ι) = lim = lim = lim − 1 ⇒ m = −1 x → −∞ x → +∞ x → +∞ x → +∞ x → +∞ x −x −x −∞ −x − x x →+∞ • n = lim [ f ( x) − mx] = lim x → −∞

lim

x → +∞

x → −∞

[ x − 1 − (−1) x]= lim [ x − 1 + x]= lim [ (− x) − 1 + (− x)]= 2

[ x − 1 − x]= ∞ − ∞(Ι) = lim  (

2

x → −∞

2

x → +∞

 ( x 2 − 1) 2 − x 2 )  x 2 − 1 − x)( x 2 − 1 + x)  = lim   = 2 2 x → +∞ x → +∞ − 1 + − 1 + x x x x         −1 x2 − 1 − x2  −1 = lim  =0⇒n=0  = x 2 − 1 + x  x → +∞  x 2 − 1 + x  + ∞

2

 = lim  x → +∞ 

Por tanto, y = − x es A.O. por la izquierda de f ( x) POSICIÓN  Función → y = ( −100) 2 − 1 ≅ 99,9 x = −100 ⇒  ⇒ f ( x ) está por debajo de la A.O.  Asíntota → y = −( −100) = 100

Por la derecha: y = mx + n

• m = lim

x → +∞

f ( x) x2 − 1 + ∞ x2 x = lim = (Ι) = lim = lim = lim 1 ⇒ m = 1 x → +∞ x → +∞ x → +∞ x x → +∞ x x +∞ x

29

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

• n = lim [ f ( x) − mx] = lim x → +∞

x → +∞

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

[ x − 1 − 1x] = lim [ x − 1 − x] = lim [ x − 1 − x] = ∞ − ∞(Ι) = 2

2

x → +∞

2

x → +∞

 ( x 2 − 1) 2 − x 2 )   ( x 2 − 1 − x)( x 2 − 1 + x)  = lim  = lim   = x → +∞ x 2 − 1 + x  x2 − 1 + x   x → +∞   −1  x2 − 1 − x2   −1 =0⇒n=0 = lim  = lim  =  2 2 x → +∞ x → +∞ + ∞ 1 + x x − + x x − 1    

Por tanto, y = x es A.O. por la derecha de f ( x) POSICIÓN  Función → y = (100) 2 − 1 ≅ 99,9 x = 100 ⇒  ⇒ f ( x ) está por debajo de la A.O.  Asíntota → y = 100

25) f ( x) =

x x   → Dom( f ) =  x / ≥ 0 = (−∞,0] ∪ (1,+∞) x −1  x −1 


ASÍNTOTAS VERTICALES lim+ f ( x) = lim+

x →1

x →1

x = x −1

lim+

x →1

x 1 = = + ∞ = +∞ ⇒ x = 1 es A.V. de f ( x) por la derecha x −1 0+

30

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: −x x −x = lim = lim = 1 =1 x → +∞ x → +∞ x −1 − x −1 − x − 1 (∗) −x −∞ −x = (∗) lim (Ι) = lim = lim 1 = 1 x → +∞ − x − 1 x→∞ − x x → +∞ −∞

lim f ( x) = lim

x → −∞

x → −∞

Por la derecha: x x = lim = 1 =1 x → +∞ x → +∞ x → +∞ x − 1 (∗ ) x −1 x +∞ x (∗) lim = (Ι) = lim = lim 1 = 1 x → +∞ x − 1 x → ∞ +∞ x x → +∞ lim f ( x) = lim

y = 1 es A.H. de f ( x) POSICIÓN  − 100 ≅ 0,995  Función → y = Izquierda x = −100 ⇒  ⇒ f ( x) está por debajo de la A.H. − 100 − 1  Asíntota → y = 1   100 ≅ 1,005  Función → y = Derecha x = −100 ⇒  ⇒ f ( x) está por encima de la A.H. 100 − 1  Asíntota → y = 1  y = 1 es A.H. de f ( x ) ; por la izquierda está por debajo de la A.H. y por la derecha está por encima.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como f (x) tiene A.H. no tiene A.O.

31

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

26) f ( x ) = •y=

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

x +1 → Dom ( f ) = [−1,0) ∪ (0,+∞ ) x x + 1 → Dominio = { x / x + 1 ≥ 0} = [ −1,+∞ )

• y = x → Dominio = ℜ x ≠ 0 ya que 0 anula al denominado r


ASÍNTOTAS VERTICALES

 lim x + 1 1  x → 0 − = = lim f ( x) = lim x →0 x →0 x 0   xlim →0 +

x +1 1 = − = −∞ x 0 ⇒ x = 0 es A.V. de f ( x) x +1 1 = + = +∞ x 0


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: No hay pues Dom ( f ) = [ −1,0) ∪ (0,+∞ ) Por la derecha: lim f ( x) = lim

x → +∞

x → +∞

1 2

− x x x +1 + ∞ 1 1 1 = = lim = lim = lim x 2 = lim 1 = lim = = 0+ x → +∞ x → +∞ x → +∞ x → +∞ x → +∞ x x x +∞ x +∞ x2 1

y = 0 es A.H. de f ( x) por la derecha y la función está por encima de la asíntota 32

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Por la izquierda: No hay pues Dom ( f ) = [ −1,0) ∪ (0,+∞ ) Por la derecha: Como f (x) tiene A.H. no tiene A.O.

27) f ( x) =

( x − 1) 2 → Dom( f ) = ℜ − {x / x 2 + 1 = 0} = ℜ x2 + 1


ASÍNTOTAS VERTICALES:: No tiene A.H.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: ( x − 1) 2 x2 − 2 x + 1 + ∞ x2 = lim = ( Ι ) = lim = lim 1 = 1 x → −∞ x → −∞ x 2 + 1 x → −∞ x → −∞ x 2 x → −∞ x2 + 1 +∞ Por la derecha: lim f ( x) = lim

( x − 1) 2 x2 − 2 x + 1 + ∞ x2 = lim = ( Ι ) = lim = lim 1 = 1 x → +∞ x 2 + 1 x → +∞ x → +∞ x 2 x → +∞ x2 + 1 +∞

lim f ( x) = lim

x → +∞

y = 1 es A.H. de f ( x)

33

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

POSICIÓN

 (−100 − 1) 2 10201 = ≅ 1,02 Función → y = Izquierda x = −100 ⇒  ⇒ f ( x) está por encima de la A.H. (−100)2 + 1 10001  Asíntota → y = 1   (100 − 1)2 9801 Función → y = = ≅ 0,98  Derecha x = 100 ⇒  ⇒ f ( x) está por debajo de la A.H. (100) 2 + 1 10001  Asíntota → y = 1  y = 1 es A.H. de f ( x ) ; por la izquierda está por encima de la A.H. y por la derecha está por debajo.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

2

 1 x 28) f ( x) =   → Dom( f ) = ℜ − {0} 3
ASÍNTOTAS VERTICALES 2 2 −∞  x 0− 1 1 1       2 2 lim−   =   =   = 3+ ∞ = +∞ x x 0  1 1  →0  3   3  3     lim f ( x) = lim  =   =  ⇒ x = 0 es A.V. de f ( x) por la izquierda 2 2 x→0 x →0 3 + ∞   3   1  x  1  0+  1   lim+   =   =   = 0  x →0  3   3  3 ∃ lim+ f ( x ) = 0 x→0  ⇒ x = 0 " punto en blanco"  ∃/ f (0)


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: 2

lim

2

0

 1  x  1  x →−∞ x  1  lim f ( x) = lim   =   =   =1 x → −∞ x → −∞ 3   3 3 34

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

Por la derecha: 2

lim

2

0

 1  x  1  x→+∞ x  1  lim f ( x) = lim   =   =   =1 x → +∞ x → +∞ 3   3 3

y = 1 es A.H. de f ( x) POSICIÓN 2  −100 1    ≅ 1,02 ⇒ f ( x ) está por encima de la A.H. Izquierda x = −100 ⇒  Función → y =  3    Asíntota → y = 1

2  100 1    Derecha x = 100 ⇒  Función → y =  3  ≅ 0,98 ⇒ f ( x) está por debajo de la A.H.   Asíntota → y = 1

y = 1 es A.H. de f ( x ) ; por la izquierda está por encima de la A.H. y por la derecha está por debajo.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

35

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

29) f ( x) = 21− x → Dom( f ) = ℜ 2


ASÍNTOTAS VERTICALES:: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: lim f ( x) = lim 21− x = 2 −∞ = 0 + 2

x→−∞

x→−∞

Por la derecha: lim f ( x) = lim 21− x = 2 −∞ = 0 + 2

x→+∞

x→+∞

y = 0 es A.H. de f ( x) y tanto por la izquierda como por la derecha la función está por encima de la A.H.
ASÍNTOTAS OBLICUAS: Como hay A.H. no hay A.O.

30) f ( x) =

ln x → Dom( f ) = (0,+∞) x


ASÍNTOTAS VERTICALES

lim+ f ( x) = lim+

x→0

x→0

ln x − ∞ = + = −∞ ⇒ x = 0 es A.V. de f ( x) por la derecha x 0


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: No hay pues Dom( f ) = (0,+∞)

36

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

Por la derecha: ln x + ∞ = (Ι ) = 0 + ⇒ y = 0 es A.H. de f ( x) por la derecha y la función está por encima de la x→+∞ x→+∞ x + ∞ ( ∗) asíntota (*) Las potencias de x son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica. lim f ( x) = lim


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Por la izquierda: No hay pues Dom ( f ) = (0,+∞ ) Por la derecha: Como f (x) tiene A.H. no tiene A.O.

31) f ( x ) =

x → Dom( f ) = (0,1) ∪ (1,+∞ ) ln x


ASÍNTOTAS VERTICALES x 1  lim− = − = −∞  x 1  x →1 ln x 0 lim f ( x) = lim = = ⇒ x = 1 es A.V. de f ( x) x →1 x →1 ln x x 1 0  lim = = +∞  x →1+ ln x 0 +


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: No hay pues Dom( f ) = (0,1) ∪ (1,+∞) Por la derecha:

x +∞ = (Ι) = +∞ ⇒ f (x) NO tiene A.H. de por la derecha x → +∞ x → +∞ ln x +∞ Las potencias de x son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica. lim f ( x) = lim

37

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Por la izquierda: No hay pues Dom( f ) = (0,1) ∪ (1,+∞) Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O. x f ( x) x 1 1 • m = lim = lim ln x = lim = lim = = 0 ⇒ NO hay A.O. por la derecha x → +∞ x → +∞ x x → +∞ x ⋅ ln x x → +∞ ln x x +∞

lim f ( x) = +∞    ⇒ f ( x) tiene por la derecha una rama parabólica en la dirección del eje de abscisas (eje OX) f ( x) lim =0  x → +∞ x  x → +∞

(

)

32) f ( x) = ln x2 − 4 → Dom( f ) = {x / x 2 − 4 > 0} = (−∞,−2) ∪ (2,+∞)
ASÍNTOTAS VERTICALES

• lim− f ( x) = lim− ln( x 2 − 4) = ln(0+ ) = −∞ ⇒ x = −2 es A.V. de f ( x) por la izquierda x → −2

x → −2

• lim+ f ( x) = lim+ ln( x 2 − 4) = ln(0+ ) = −∞ ⇒ x = 2 es A.V. de f ( x) por la derecha x→2

x→2


ASÍNTOTAS HORIZONTALES f (− x) = ln((− x)2 − 4) = ln( x 2 − 4) = f ( x) ⇒ f ( x) es PAR y, por tanto, su comportamiento en − ∞

es el mismo que en + ∞

lim f ( x) = lim ln( x 2 − 4) = +∞ ⇒ f ( x) NO tiene A.H.

x → ±∞

x → ±∞

38

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS


ASÍNTOTAS OBLICUAS:

f (− x) = ln((− x)2 − 4) = ln( x 2 − 4) = f ( x) ⇒ f ( x) es PAR y, por tanto, su comportamiento en − ∞ es el mismo que en + ∞

f ( x) ln( x 2 − 4) + ∞ = lim = (Ι) = 0 ⇒ f ( x) NO tiene A.O. x → +∞ x → +∞ x x +∞ Las potencias de x son infinitos de orden superior a cualquier función logarítmica. • m = lim

lim f ( x) = +∞    ⇒ f ( x) tiene por ambos lados una rama parabólica en la dirección del eje de abscisas (eje OX) f ( x) lim =0  x → ±∞ x  x → ±∞

33) f ( x) = e − x → Dom( f ) = ℜ 2


ASÍNTOTAS VERTICALES:: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES f ( − x ) = e − ( − x ) = e − x = f ( x) ⇒ f ( x ) es PAR y, por tanto, su comportamiento en − ∞ es el mismo que en + ∞ 2

2

lim f ( x) = lim ln e − x = e −∞ = 0+ ⇒ y = 0 es A. H. de f ( x); y la función está por encima de la asíntota por 2

x → ±∞

x → ±∞

por ambos lados
ASÍNTOTAS OBLICUAS:: Como hay A.H. no hay A.O.

39

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

34) f ( x) = x 2 ⋅ e − x ⇒ f ( x) =

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

x2 → Dom( f ) = ℜ ex


ASÍNTOTAS VERTICALES:: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: x2 + ∞ + ∞ = − ∞ = + = +∞ ⇒ f ( x) NO tiene A.H. por la izquierda x → −∞ e x e 0

lim f ( x) = lim

x → −∞

Por la derecha: x2 + ∞ = = 0+ x → +∞ e x + ∞ ( ∗)

lim f ( x) = lim

x → +∞

(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de x. y = 0 es A.H. de f ( x) por la derecha y la función está por encima de la A.H.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Por la izquierda: Como no hay A.H. puede que haya A.O.

y = mx + n x2 x f ( x) x2 x +∞ e • m = lim = lim = lim = lim x = (Ι) = 0 ⇒ f ( x) NO tiene A.O. x x x → +∞ x → +∞ x → +∞ → +∞ x x x⋅e e + ∞ ( ∗) (*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de x.

40

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

lim f ( x) = +∞    ⇒ f ( x) tiene por la derecha una rama parabólica en la dirección del eje de abscisas (eje OX) f ( x) lim =0  x → +∞ x  x → +∞

Por la derecha: Como hay A.H. no hay A.O.

35) f ( x) = x ⋅ e x → Dom( f ) = ℜ
ASÍNTOTAS VERTICALES:: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda:

x  lim − x = 0 −  x −∞  x→−∞ e (∗) lim f ( x) = lim x ⋅ e x = 0 ⋅ ∞(Ι) = lim − x = (Ι ) =  x→−∞ x→−∞ x→−∞ e +∞  lim x = lim  1  = 1 = 1 = 0− −x −x  x→−∞ e L´Hôpital x→−∞ − e  − (+∞) − ∞ ⇒ y = 0 es A.H. de f ( x) por la izquierda y la función está por debajo de la asíntota (*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de x.

41

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

Por la derecha:

lim f ( x) = lim x ⋅ e x = (+∞) ⋅ (+∞) = +∞ ⇒ f ( x) NO tiene A.H. por la derecha

x → +∞

x → +∞


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O. Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O.

y = mx + n • m = lim

x → +∞

f ( x) x ⋅ ex = lim = lim e x = e+ ∞ = +∞ ⇒ f (x) NO tiene A.O. por la derecha x → +∞ x → +∞ x x

lim f ( x) = +∞    ⇒ f ( x) tiene por la derecha una rama parabólica en la dirección del eje de ordenadas (eje OY) f ( x) lim = +∞ x → +∞ x  x → +∞

36) f ( x) =

1 x ex ⋅ e ⇒ f ( x) = → Dom( f ) = ℜ − {0} x x


ASÍNTOTAS VERTICALES  ex 1 lim = − = −∞ x  − e 1  x→0 x 0 lim f ( x) = lim = =  ⇒ x = 0 es A.V. de f ( x) x→0 x →0 x 0  ex 1 lim = = +∞  x→0+ x 0 + 42

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda:

e x e−∞ 0+ lim f ( x) = lim = = = 0− ⇒ y = 0 es A. H. de f ( x) por la izquierda y la función x → −∞ x → −∞ x −∞ −∞ está por debajo de la asíntota Por la derecha: e x e+∞ + ∞ = = (Ι) = + ∞ ⇒ f ( x) NO tiene A.H. por la derecha x → −∞ x + ∞ + ∞ (∗)

lim f ( x) = lim

x → +∞

(*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de x.


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O. Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O.

y = mx + n ex f ( x) ex + ∞ • m = lim = lim x = lim 2 = (Ι) = + ∞ ⇒ f ( x) NO tiene A.O. por la derecha x → +∞ x → +∞ x x → +∞ x x + ∞ (∗) (*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de x. lim f ( x) = +∞    ⇒ f ( x) tiene por la derecha una rama parabólica en la dirección del eje de ordenadas (eje OY) f ( x) lim = +∞ x → +∞ x  x → +∞

43

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

37) f ( x) = x ⋅ e− x ⇒ f ( x) =

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

x → Dom( f ) = ℜ ex


ASÍNTOTAS VERTICALES:: No tiene A.V.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: x −∞ −∞ lim f ( x) = lim x = − ∞ = + = −∞ ⇒ f (x) NO tiene A.H. por la izquierda x → −∞ x → −∞ e e 0 Por la derecha: x +∞ lim f ( x) = lim x = = 0+ x → +∞ x → +∞ e +∞ (*) Las funciones exponenciales de base mayor que uno son infinitos de orden superior a cualquier potencia de x. y = 0 es A.H. de f ( x) por la derecha y la función está por encima de la A.H.
ASÍNTOTAS OBLICUAS: Por la izquierda: Como no hay A.H. puede que haya A.O.

y = mx + n x x f ( x) x 1 1 1 • m = lim = lim e = lim = lim x = − ∞ = + = +∞ ⇒ f ( x) NO tiene A.O. por la izquierda. x x → −∞ x → −∞ x x → −∞ x ⋅ e x → −∞ e x e 0 lim f ( x) = +∞    ⇒ f ( x) tiene por la izquierda una rama parabólica en la dirección del eje de ordenadas (eje OY) f ( x) lim = +∞  x → −∞ x  x → −∞

Por la derecha: Como hay A.H. no hay A.O.

44

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

1

38) f ( x ) = x ⋅ e x → Dom ( f ) = ℜ − {0}
ASÍNTOTAS VERTICALES 1 1  − 0− x lim x ⋅ e = 0 ⋅ e = 0 − ⋅ e −∞ = 0 − ⋅ 0 + = 0 − •x→ 0−    1 1 1  ex + ∞ 1 1 + + +∞ + x 0+ • lim x ⋅ e = 0 ⋅ e = 0 ⋅ e = 0 ⋅ ( +∞ )( Ι ) = lim = =  x→0+ 1 lim f ( x) = lim x ⋅ e x = 0 ⋅ e 0 =  x→0+ + ∞ L´ Hôpital x→0 x →0  x  1 1  − 2 ⋅ex 1  x x = lim = = lim e = e +∞ = +∞  x→0+ Simplifica r x→0+ 1 − 2  x  ⇒ x = 0 es A.V. de f ( x) por la derecha

∃ lim+ f ( x ) = 0 x→0  ⇒ x = 0 " punto en blanco"  ∃/ f (0)


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: 1 x

lim f ( x) = lim x ⋅ e = (−∞) ⋅ e

x → −∞

x → −∞

1 −∞

= (−∞) ⋅ e0 = (−∞) ⋅ 1 = −∞ ⇒ f ( x) NO tiene A.H. por la izquierda

45

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

Por la derecha: 1 x

lim f ( x) = lim x ⋅ e = (+∞) ⋅ e

x → +∞

x → +∞

1 +∞

= (+∞) ⋅ e0 = (+∞) ⋅1 = +∞ ⇒ f ( x) NO tiene A.H. por la derecha


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Por la izquierda: Como no hay A.H. puede que haya A.O.

y = mx + n 1

f ( x) x ⋅ex • m = lim = lim = lim e x = e0 = 1 ⇒ m = 1 x → −∞ x → −∞ x → −∞ x x 1

1

1 1   ex −1 0 x • n = lim [ f ( x) − mx] = lim  x ⋅ e − x  = lim x ⋅ (e x − 1) = ( −∞) ⋅ 0(Ι ) = lim = (Ι ) = x → −∞ x → −∞ x → −∞ x → −∞ 1 0 L´Hôpital   x 1 1 − 2 ⋅ex 1 x = lim = lim e x = e0 = 1 ⇒ n = 1 x → −∞ x → −∞ 1 − 2 x

Por tanto, y = x + 1 es A.O. por la izquierda de f ( x) POSICIÓN 1   Función → y = −100 ⋅ e −100 ≅ −99,005 x = −100 ⇒  ⇒ f ( x ) está por debajo de la A.O.  Asíntota → y = −100 + 1 = −99

Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O.

y = mx + n 1 x

f ( x) x⋅e • m = lim = lim = lim e x = e0 = 1 ⇒ m = 1 x → +∞ x → +∞ x → +∞ x x 1

1

1 1   ex −1 0 x • n = lim [ f ( x ) − mx] = lim  x ⋅ e − x  = lim x ⋅ (e x − 1) = ( +∞) ⋅ 0(Ι ) = lim = (Ι) = x → +∞ x → +∞ x → +∞ x → +∞ 1 0 L´Hôpital   x 1

= lim

x → +∞

−

1 x ⋅e 1 x2 = lim e x = e0 = 1 ⇒ n = 1 x → +∞ 1 − 2 x

Por tanto, y = x + 1 es A.O. por la derecha de f ( x)

46

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

POSICIÓN 1   Función → y = 100 ⋅ e100 ≅ 101,005 x = 100 ⇒  ⇒ f ( x ) está por encima de la A.O.  Asíntota → y = 100 + 1 = 101

39) f ( x) = x ⋅ ln x → Dom( f ) = (0,+∞)
ASÍNTOTAS VERTICALES

1 ln x − ∞ − x2 lim+ f ( x) = lim+ x ⋅ ln x = 0 + ⋅ (−∞)(Ι) = lim+ = (Ι) = lim+ x = lim+ = lim+ (− x) = 0 − L ´´ Hôpital 1 1 x→0 x→0 x →0 x → 0 x → 0 x →0 +∞ x − 2 x x ⇒ x = 0 NO es A.V. de f ( x)

∃ lim+ f ( x ) = 0 x→0  ⇒ x = 0 " punto en blanco"  ∃/ f (0)

f (x ) NO tiene A.V.


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: No hay ya que Dom( f ) = (0,+∞)

47

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

Por la derecha: lim f ( x) = lim x ⋅ ln x = (+∞) ⋅ (+∞) = +∞ ⇒ f ( x) NO tiene A.H. por la derecha x → +∞

x → +∞


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Por la izquierda: No hay ya que Dom( f ) = (0,+∞) Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O.

y = mx + n f ( x) x ⋅ ln x = lim = lim ln x = +∞ ⇒ f ( x) NO tiene A.O. por la derecha x → +∞ x → +∞ x x lim f ( x) = +∞  x → +∞   ⇒ f ( x) tiene por la derecha una rama parabólica en la dirección del eje de ordenadas (eje OY) f ( x) lim = +∞ x → +∞ x 

• m = lim

x → +∞

40) f ( x) = x 2 ⋅ ln x → Dom( f ) = (0,+∞)
ASÍNTOTAS VERTICALES

1  − x2  − ln x − ∞ − x3 =0 lim+ f ( x) = lim+ x 2 ⋅ ln x = 0+ ⋅ (−∞)(Ι) = lim+ = (Ι) = lim+ x = lim+ = lim+  1 x→0 x →0 x →0 + ∞ L´´Hôpital x → 0 − 2 x → 0 2 x x → 0  2  x2 x3 ⇒ x = 0 NO es A.V. de f ( x) f (x ) NO tiene A.V. ∃ lim+ f ( x ) = 0 x→0  ⇒ x = 0 " punto en blanco"  ∃/ f (0)


ASÍNTOTAS HORIZONTALES Por la izquierda: No hay ya que Dom( f ) = (0,+∞) 48

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

Por la derecha:

lim f ( x) = lim x 2 ⋅ ln x = (+∞) ⋅ (+∞) = +∞ ⇒ f ( x) NO tiene A.H. por la derecha

x → +∞

x → +∞


ASÍNTOTAS OBLICUAS: Por la izquierda: No hay ya que Dom( f ) = (0,+∞) Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O.

y = mx + n f ( x) x 2 ⋅ ln x = lim = lim x ⋅ ln x = (+∞) ⋅ (+∞) = +∞ ⇒ f ( x) NO tiene A.O. por la derecha x → +∞ x → +∞ x → +∞ x x lim f ( x) = +∞  x → +∞   ⇒ f ( x) tiene por la derecha una rama parabólica en la dirección del eje de ordenadas (eje OY) f ( x) lim = +∞ x → +∞ x 

• m = lim

49

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

Determina etermina las asíntotas de las siguientes funciones e interpreta gráficamente los resultados:

x  1) f ( x) =  1  x

si x ≤ 0 si x > 0

Dom( f ) = ℜ

ASÍNTOTAS VERTICALES  lim− x = 0  x →0 lim f ( x) =  ⇒ x = 0 es A.V. por la derecha de f ( x) 1 x →0  lim+ = +∞  x →0 x ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda: lim f ( x) = lim x = −∞ ⇒ no tiene A.H. por la izquierda x → −∞

•

x → −∞

Por la derecha: + 1 1 = = 0 ⇒ y = 0 es A.H. por la derecha y f ( x) está por encima de la A.H. x → +∞ x +∞

lim f ( x) = lim

x → +∞

ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: f (x) es una función constante ⇒ no hay A.O. por la izquierda •

Por la derecha: Como hay A.H. no hay A.O.

50

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

x +1 si x < 0  2) f ( x) =  x 2− x si x ≥ 0 

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

Dom( f ) = ℜ

ASÍNTOTAS VERTICALES x +1 1  = − = −∞  xlim − 0 ⇒ x = 0 es A.V. por la izquierda lim f ( x) =  → 0 x x →0  lim+ 2− x = 20 = 1 x→0 ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda:

x 1 1 + 1+ x +1 − ∞ x = 1 = 1 ⇒ y = 1 es A.H. por la izquierda lim f ( x) = lim = (Ι) = lim x x = lim x → −∞ x → −∞ x → −∞ x → −∞ x x −∞ 1 1 x

•

− 100 + 1  = 0,99  Función → y = Posición: x = −100 ⇒  ⇒ f ( x) está por debajo de la A.H. − 100  Asíntota → y = 1 Por la derecha: lim f ( x ) = lim 2 − x = 2 − ( +∞ ) = 2 −∞ = 0 + ⇒ y = 0 es A.H. por la derecha y f ( x ) está por encima de la A.H. x → +∞

x → +∞

ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O. • Por la derecha:: Como hay A.H. no hay A.O.

51

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

3)

 1  x + 3 si x < 1 f ( x) =  2  x − 1 si x ≥ 1  x

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

Dom( f ) = ℜ − {−3}

ASÍNTOTAS VERTICALES

 lim 1 1  x → −3− lim f ( x) = lim = = x → −3 x → −3 x + 3 0  lim  x → −3+

1 1 = − = −∞ x+3 0 ⇒ x = −3 es A.V. 1 1 = = +∞ x + 3 0+

ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda: 1 1 lim f ( x) = lim = = 0− ⇒ y = 0 es A.H. por la izquierda y f ( x) está por debajo de la A.H. x → −∞ x → −∞ x + 3 −∞ • Por la derecha: x2 − 1 + ∞ x2 = (Ι) = lim = lim x = +∞ ⇒ no hay A.H. por la derecha x → +∞ x → +∞ x x → +∞ x +∞

lim f ( x) = lim

x → +∞

ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O. • Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O. y = mx + n

x2 −1 f ( x) x2 −1 + ∞ x2 m = lim = lim x = lim 2 = (Ι) = lim 2 = lim 1 = 1 ⇒ m = 1 x→+∞ x→+∞ x→+∞ x x→+∞ x x→+∞ x x +∞

 x2 − 1   x2 − 1   x2 − 1 − x2  −1 − 1x  = lim  − x  = lim  = lim =0⇒n=0 n = lim [ f ( x) − mx] = lim   x → +∞ x → +∞ x  x  x → +∞  x  x → +∞   x → +∞ x

Por tanto, y = x es A.O. por la derecha de f ( x)  1002 − 1 Función → y = = 99,99  Posición: x = 100 ⇒  ⇒ f ( x) está por debajo de la A.O. 100  Asíntota → y = 100 

52

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

4)

 −x x +3  f ( x ) = 2  x2   x − 2

si

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

x < −2

si − 2 < x < 1 ⇒ Dom( f ) = ℜ − {−3,−2,2} si

x ≥1

ASÍNTOTAS VERTICALES

 lim − x 3  x → −3− • lim f ( x) = lim = = x → −3 x → −3 x + 3 0  lim  x → −3+  lim 2 4  x → 2 − x • lim f ( x) = lim = = x→2 x→2 x − 2 0  lim  x → 2 +

−x 3 = − = −∞ x+3 0 ⇒ x = −3 es A.V. −x 3 = = +∞ x + 3 0+

x2 4 = − = −∞ x−2 0 ⇒ x = 2 es A.V. x2 4 = = +∞ x − 2 0+

ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda: −x +∞ −x lim f ( x) = lim = (Ι) = lim = lim − 1 = −1 ⇒ y = −1 es A.H. por la izquierda x → −∞ x → −∞ x + 3 x → −∞ x x → −∞ −∞ − (−100) 100  = ≅ −1,03  Función → y = Posición: x = −100 ⇒  ⇒ f ( x) está por debajo de la A.H. − 100 + 3 − 97  Asíntota → y = −1

53

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

•

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

Por la derecha: +∞ x2 x2 lim f ( x) = lim = (Ι) = lim = lim x = +∞ ⇒ no hay A.H. por la derecha x → +∞ x → +∞ x − 2 x → +∞ x x → +∞ +∞

ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O. • Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O. y = mx + n

x2 x2 +∞ x2 f ( x) m = lim = lim x − 2 = lim 2 = (Ι) = lim 2 = lim 1 = 1 ⇒ m = 1 x → +∞ x → +∞ x → +∞ x − 2 x x → +∞ x x → +∞ x x +∞  x2   x2   x2 − x2 + 2x  2x +∞ n = lim [ f ( x) − mx] = lim  − 1x  = lim  − x  = lim  = lim = (Ι ) =  x→+∞ x→+∞ x − 2 x − 2  x→+∞ x − 2 + ∞   x→+∞  x − 2  x→+∞  2x = lim = lim 2 = 2 ⇒ n = 2 x→+∞ x x→+∞

Por tanto, y = x + 2 es A.O. por la derecha de f ( x)  100 2 10000 = ≅ 102,04  Función → y = Posición: x = 100 ⇒  ⇒ f ( x) está por encima de la A.O. 100 − 2 98  Asíntota → y = 100 + 2 = 102 

54

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

5)

 3x + 9  x 2 − 9 f ( x) =   3  x 2 − 4

si x ≤ 0

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

⇒ Dom( f ) = ℜ − {−3,2}

si x > 0

ASÍNTOTAS VERTICALES 3( x + 3) 3 1 1 3x + 9 0 • lim f ( x) = lim 2 = (Ι) = lim = lim = − ⇒ lim f ( x) = − ⇒ x = −3 NO es A.V. x → −3 x → −3 x − 9 x → − 3 x → − 3 x → − 3 x −3 2 2 0 ( x − 3)( x + 3) Observación 1 ∃ lim f ( x) = −  x → −3 2  ⇒ x = −3 discontinuidad evitable (" punto en blanco")  ∃/ f (−3)

3 3  lim− 2 = − = −∞  3 3 x →2 x − 4 0 • lim f ( x) = lim 2 = = ⇒ x = 2 es A.V. x→2 x→2 x − 4 0  3 3 = + = +∞ 2  xlim →2+ x − 4 0 ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda: 3x + 9 − ∞ 3x 3 3 lim f ( x) = lim 2 = (Ι) lim 2 = lim = = 0− ⇒ y = 0 es A.H. por la izquierda y f ( x) x → −∞ x → −∞ x − 9 x → −∞ x + ∞ x → −∞ x −∞ está por debajo de la A.H. •

Por la derecha:

lim f ( x) = lim

x → +∞

x → +∞

3 3 = = 0+ ⇒ y = 0 es A.H. por la derecha y f ( x) está por encima de la A.H. x −4 +∞ 2

ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O. • Por la derecha:: Como hay A.H. no hay A.O.

55

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

6)

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

1 − x si x < 0  x 2 f ( x) =  2 ⇒ Dom( f ) = ℜ − {1}  x si x ≥ 0  x − 1

ASÍNTOTAS VERTICALES 1− x 1  = + = +∞ −  xlim →0 0 x2 • lim f ( x) =  ⇒ x = 0 es A.V. por la izquierda 2 x →0  lim x = 0 = 0  x → 0 + x − 1 − 1

 lim 2 x 1  x →1− • lim f ( x) = lim = = x →1 x →1 x − 1 0  lim  x →1+

x2 1 = − = −∞ x −1 0 ⇒ x = 1 es A.V. x2 1 = = +∞ x − 1 0+

ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda: 1− x + ∞ −x −1 −1 lim f ( x) = lim 2 = (Ι) = lim 2 = lim = = 0+ ⇒ y = 0 es A.H. por la izquierda y f ( x) está x → −∞ x → −∞ x x → −∞ x x → −∞ x +∞ −∞ por encima de la A.H. •

Por la derecha: x2 +∞ x2 = (Ι) = lim = lim x = +∞ ⇒ no hay A.H. por la derecha x → +∞ x − 1 x → +∞ x x → +∞ +∞

lim f ( x) = lim

x → +∞

ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O. 56

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

•

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

Por la derecha: Como no hay A.H. puede que haya A.O. y = mx + n

x2 x2 +∞ x2 f ( x) m = lim = lim x − 1 = lim 2 = (Ι) = lim 2 = lim 1 = 1 ⇒ m = 1 x → +∞ x → +∞ x → +∞ x − x x → +∞ x x → +∞ x x +∞  x2   x2   x2 − x2 + x  +∞ x n = lim [ f ( x) − mx] = lim  − 1x  = lim  − x  = lim  = lim = (Ι ) =  x→+∞ x→+∞ x − 1   x→+∞  x − 1  x→+∞  x − 1  x→+∞ x − 1 + ∞ x = lim = lim 1 = 1 ⇒ n = 1 x→+∞ x x→+∞

Por tanto, y = x + 1 es A.O. por la derecha de f ( x)  100 2 10000 = ≅ 101,01  Función → y = Posición: x = 100 ⇒  ⇒ f ( x) está por encima de la A.O. 100 − 1 99  Asíntota → y = 100 + 1 = 101 

1 − x si x ≤ 0  x + 3 ⇒ Dom( f ) = ℜ − {−3} 7) h( x) =   x + 1 si x > 0  x 2

57

IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

Tema 1. Límites y continuidad. HOJA 2 ASÍNTOTAS 2º Bachillerato de CCSS

ASÍNTOTAS VERTICALES

1− x 4  lim = = −∞ 1 − x 4  x → −3− x + 3 0− lim f ( x) = lim ⇒ x = −3 es A.V. = = x → −3 x → −3 x + 3 0  1− x 4 = + = +∞  xlim → −3 + x + 3 0 1− x 1  =  xlim →0− x + 3 3 lim f ( x) =  ⇒ x = 0 es A.V. por la derecha x →0 x + 1 1  lim  x → 0 + x 2 = 0+ = +∞ ASÍNTOTAS HORIZONTALES • Por la izquierda: 1− x + ∞ −x lim f ( x) = lim = (Ι) = lim = lim (−1) ⇒ y = −1 es A.H. por la izquierda y f ( x) x → −∞ x → −∞ x + 3 x → −∞ x x → −∞ +∞ 1 − (−100) 101  = ≅ −1,04  Función → y = Posición: x = −100 ⇒  ⇒ f ( x) está por debajo de la A.H. − 100 + 3 − 97  Asíntota → y = −1 •

Por la derecha:

x +1 + ∞ x 1 1 = (Ι) = lim 2 = lim = = 0+ ⇒ y = 0 es A.H. por la derecha y f ( x) está 2 x → +∞ x → +∞ x x → x +∞ → +∞ +∞ x x +∞ por encima de la A.H. lim f ( x) = lim

ASÍNTOTAS OBLICUAS • Por la izquierda: Como hay A.H. no hay A.O. • Por la derecha:: Como hay A.H. no hay A.O.

58