DETERMINACIÓN DE LA CONSTANTE DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL "G"

OBJETIVO Determinar el valor de la Constante de Gravitación Universal "G", mediante una balanza de torsión que mide el valor de la fuerza de atracción gravitatoria entre dos masas. INTRODUCCIÓN En 1687, Isaac Newton físico y matemático inglés, publicó su trabajo sobre la Ley de la Gravitación Universal, entre sus Mathematical Principles of Natural Philosophy. Esta ley establece que si dos partículas de masas m1 y m2, están separadas una distancia r, la fuerza con la que se atraen entre sí es :

m m F= G 12 2 r

,,

-11

G = 6.672 x 10

N m2 kg 2

(1)

En la época de Newton cada experimento que se imaginaba para determinar el valor de la constante G, tenía incluido el valor de la masa de la Tierra como una de las dos masas a considerar, por ello, era imposible medir el valor de G sin conocer previamente el valor de la masa de la Tierra. La solución a este problema fue dada por Henry Cavendish en 1798, cuando llevo a cabo diversos experimentos con una balanza de torsión, midiendo la fuerza gravitacional existente entre pequeños objetos. El valor de G determinado de esta forma resultó ser muy preciso, permitiendo conocer además la masa de la Tierra. La presente práctica pretende ser una versión moderna de tales experimentos, ya que, vamos a medir el valor de G, mediante una balanza de torsión. FUNDAMENTO TEÓRICO (primer método) Cuando situamos las dos grandes masas en la posición indicada en la figura adjunta, la fuerza de atracción gravitatoria que existe entre estas masas y las pequeñas,

puede escribirse en la forma dada por la ecuación (1), donde son conocidas las masas y la distancia r (en la figura la distancia r está denotada con la letra b). Notar que se produce

un torque o momento, debido al par de fuerzas gravitacionales (ejercidas entre cada una de las masas grandes y la masa pequeña próxima), cuyo valor es τg = 2Fd. En la situación de equilibrio ilustrada en la figura, este torque será igual al torque τa ejercido por el alambre, cuando el mismo es deformado un cierto ángulo θ, esto es :

τ g = 2Fd = τ a = kθ

(2)

entonces, combinando las ecuaciones (1) y (2) podemos determinar G mediante la expresión :

kθb 2 G= 2dm1m 2

(3)

donde son conocidos los siguientes datos: d = 50 mm, b = 47 mm, m1 = 1500 ± 5 g, m2 = 15.0 ± 0.5 g

y es necesario determinar k, θ. Para determinar los valores de estas incógnitas observaremos la oscilación de las pequeñas masas, cuando el equilibrio anterior es perturbado. Esta perturbación se llevará a cabo rotando el soporte en el que se hallan las dos grandes masas, tal como se indica en la figura de la primera página de esta práctica (esta operación la llevará a cabo el profesor de prácticas); entonces el sistema oscilará durante un tiempo, tal como se indica en la figura adjunta, alcanzando finalmente una posición de equilibrio, en la cual las pequeñas masas estarán rotadas cierto ángulo, respecto de la posición inicial que éstas tenían.

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A partir de la determinación de esta última posición de equilibrio, obtenemos el valor del ángulo θ, como más adelante se indicará. De esta forma sólo queda por obtener el valor de la constante de torsión k, para poder resolver la ecuación (3) en G. La constante de torsión puede obtenerse a partir del periodo de las oscilaciones observadas. Para ello, consideramos el sistema oscilante como un péndulo de torsión, cuyo periodo está dado por la ecuación:

T = 2π

I k

donde I es el momento de inercia del sistema oscilante, constituido por las pequeñas masas, la varilla que las une, el alambre y el espejo. No obstante, el dispositivo está diseñado de tal forma, que el momento de inercia del espejo y de los otros objetos mencionados, puede considerarse despreciable, frente al momento de inercia de las pequeñas masas. Así, podemos hallar la constante de torsión mediante: I ⎫ 8π 2 m 2 d 2 ⎪ k ⎬ ⇒k= T2 I = 2m 2 d 2 ⎪⎭

T 2 = 4π 2

(4)

donde todas las cantidades son conocidas, incluido el periodo T (que será determinado midiendo el tiempo de un cierto número de oscilaciones). FUNDAMENTO TEÓRICO (segundo método) Cuando alteramos la posición de equilibrio del sistema formado por las dos masas pequeñas, tal como se indica en el apartado anterior, las masas comienzan a moverse oscilando muy lentamente, con un periodo de unos 10 minutos. Esto supone que cuando las masas grandes están en la posición II, de la figura presentada en la primera página de esta práctica, el torque gravitacional que se ejerce sobre las masas pequeñas, para obligarlas a rotar, es prácticamente el mismo que el ejercido en la posición I, salvo que el sentido es el contrario. Así, la fuerza total F0 que actúa sobre cada una de las pequeñas masas acelerándolas, cuando las masas grandes están en la posición II, puede escribirse como :

F0 = 2F = 2G

m1 m 2 b2

la razón de poner 2F en lugar de F, reside en que el torque ejercido por el alambre sobre el sistema formado por las pequeñas masas, sigue siendo el mismo que el ejercido en la posición I, pero ahora, con las masas grandes en la posición II, ambos torques, el gravitacional y el debido a la rigidez del alambre, suman su efecto sobre dicho sistema. En consecuencia, cada una de las esferas pequeñas es acelerada hacia su gran esfera próxima, con una aceleración a0 que podemos escribir como :

3

F0 = m 2a 0 = 2G

m1 m 2 b2

Lógicamente, esta aceleración a0 no permanece constante durante el movimiento de las masas, ya que, la fuerza gravitatoria cambia de intensidad, con la variación de la posición relativa entre cada masa pequeña y su masa grande próxima, y también debido a que el torque ejercido por el alambre sobre el sistema, varía al tiempo que cambia el ángulo θ, precisamente por el movimiento de oscilación del sistema formado por las pequeñas masas. No obstante, si el sistema es observado durante un breve intervalo de tiempo (por ejemplo 5 minutos), justo después de colocar las grandes masas en la posición II, podemos considerar que ambos torques, el gravitacional y el debido a la rigidez del alambre, son prácticamente constantes, siendo su valor el anteriormente indicado, y en consecuencia medida la aceleración a0 (como más adelante se indicará), podemos hallar G mediante :

b 2a 0 G= 2m1

(5)

DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE G (primer método) 1.- Para realizar esta práctica se debe anotar en un cuaderno distintas medidas, pero nunca debe tocarse ni la balanza de torsión, ni la gran pantalla donde se proyecta el rayo luminoso. No es necesario tocar estos elementos, ya que, el profesor de prácticas procederá con sumo cuidado a manipularlos, cuando sea necesario. 2.- El alumno debe pedir que se le entregue un cronómetro, para poder medir los tiempos cuando proceda. 3.- Antes de comenzar la práctica, el profesor habrá situado las masas grandes en la posición I, de la figura presentada en la primera página de este guión, por tanto, la balanza estará en equilibrio y lista para empezar la práctica. En esta situación se debe anotar la posición S0 que indica el rayo luminoso, en la escala milimetrada que hay en la pantalla. 4.- Después de anotar el valor S0, el alumno debe solicitar que el profesor de prácticas coloque las masas grandes en la posición II, debiendo estar atento para poner en marcha el cronómetro, justo en el momento en el que las masas son situadas en dicha posición. Se debe tomar el tiempo de 5 o 6 oscilaciones, observando el movimiento del punto luminoso en la pantalla. Las oscilaciones son muy lentas tomando aproximadamente 10 minutos cada una (el tiempo total será 50 o 60 minutos). 5.- Conocido el tiempo de tales oscilaciones se determinará el periodo. Luego mediante la expresión (4) obtendremos el valor de la constante de torsión. 6.- Para hallar pequeño ángulo θ, tendremos en cuenta en primer lugar, que el valor medido por la desviación del rayo luminoso, es realmente el doble que el ángulo que rota el espejo (debido a la ley de la reflexión), así :

4

2θ = θ m =

∆S ,, ∆ S = S - S0 L0

donde L0 es la distancia entre el espejo y la pantalla, que será determinada por el profesor. Por otra parte, la nueva posición de equilibrio corresponderá a un valor del ángulo de torsión, que será dos veces el valor correspondiente al ángulo de torsión de la posición de equilibrio inicial. En consecuencia, el valor medido de θ es 4 veces el valor buscado, es decir :

4θ = θ m =

∆S ∆S ⇒ θ= L0 4L0

7.- Finalmente, hallados θ y k, determinar G mediante la expresión (3), donde: d = 50 mm, b = 47 mm, m1 = 1500 ± 5 g, m2 = 15.0 ± 0.5 g

DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE G (segundo método) 1.- Solicitar que el profesor de prácticas coloque las grandes masas en la posición I, esperando a continuación hasta que la balanza alcance el equilibrio, entonces, solicitar de nuevo que el profesor coloque las masas en la posición II. Poner en marcha el cronómetro, justo en el momento en el que las masas son situadas en dicha posición. 2.- Con el cronómetro en marcha se debe controlar el tiempo de tal forma, que cada 20 segundos se anota la posición del rayo luminoso en la pantalla. Durante no más de 4 minutos se anotan estos valores. 3.- Construir un gráfico representando el eje x el tiempo al cuadrado, y en el eje y la distancia ∆S. Dibujar también los rectángulos de error. 4.- Efectuar un ajuste por mínimos cuadrados de los datos representados para hallar la 1 2 aceleración con su error (recordar que x = a 0 t ). 2 5.- Hallar el valor de G mediante la ecuación (5), en la que ahora todas las cantidades son conocidas.

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CORRECCIÓN DEL VALOR EXPERIMENTAL DE G El valor experimental de G obtenido, está afectado de un error sistemático debido a la atracción que ejercen las grandes masas sobre las pequeñas masas no próximas. Esta situación se ilustra en la figura adjunta, en la que podemos ver una pequeña fuerza f que actúa opuesta a la fuerza principal F0. Para eliminar este error sistemático se debe efectuar una corrección al valor de G medido experimentalmente, como se indica a continuación. Notemos en primer lugar que: f = F0′

b b 2 + 4d 2

=

Gm1m 2

b

2 2 2 2 b4 + 1 24d 4 3 b + 4d F0′

=

b3

Gm1m 2 2

)

(

3

1 4b24 3 2 2 2 b 42 + 4d43 F0 1 β

donde β es una cantidad puramente geométrica. Así, la verdadera fuerza F que actúa sobre la masa pequeña es: F = F0 - f = F0 - β F0 = F0 (1 - β ) ⇒ G = G 0 (1 - β ) ⇒ G 0 = G/ (1 - β ) y en consecuencia el valor medido G debe ser corregido como se indica, para obtener el valor verdadero de esta constante G0.

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