25 – Matem´aticas I : Preliminares

Tema 3

Determinante de una matriz 3.1

Determinante de una matriz cuadrada

Definici´ on 67.- Sea A una matriz cuadrada de orden n. Llamaremos producto elemental en A al producto ordenado de un elemento de cada fila, cada uno de los cuales pertenece a columnas distintas. Es decir, una expresi´on de la forma a1j1 a2j2 · · · anjn con todos los jk distintos. Llamaremos producto elemental con signo al valor (−1)N a1j1 a2j2 · · · anjn donde el n´ umero N , para cada producto elemental, es el n´ umero de “inversiones del orden” en el conjunto de las columnas {j1 , j2 , . . . , jn } , es decir, el n´ umero de veces que cada ´ındice jk es menor que los anteriores a ´el. Ejemplo 68 {2, 4, 1, 3} . Para calcular las inversiones tenemos que ver cuantas veces 4, 1 y 3 son menores que sus anteriores. Para el 4 , hay inversi´on cuando 4 < 2, no. Para el 1, cuando 1 < 2, si ; y cuando 1 < 4, si. Y para el 3 , cuando 3 < 2 , no; 3 < 4, si ; y 3 < 1 , no. El conjunto presenta entonces tres inversiones, N = 3 . Definici´ on 69.- Definimos la funci´on determinante en el conjunto de las matrices de orden n , como la funci´on que asigna a cada matriz A el n´ umero real, que denotaremos por det(A) ´o det A ´o |A|, y cuyo valor es la suma de todos los productos elementales con signo que se pueden formar en A : X det(A) = |A| = (−1)N a1j1 a2j2 · · · anjn . (j1 ,j2 ,...,jn )

Expresi´ on del determinante de las matrices de orden ¯ 1, 2¯ y 3. Los determinantes de las matrices de los primeros ´ordenes de magnitud se obtienen de la forma: ¯ a11 ¯ = a11 y ¯ ¯ ¯ a11 a12 ¯ ¯ ¯ ¯ a21 a22 ¯ = a11 a22 − a12 a21 ¯ ¯ ¯ a11 a12 a13 ¯ ¯ ¯ ¯ a21 a22 a23 ¯ = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 ¯ ¯ ¯ a31 a32 a33 ¯ Estas expresiones admiten una regla nemot´ecnica gr´afica para recordar la construcci´on de los productos elementales y el signo, siguiendo las direcciones de las diagonales principal y secundaria (para matrices de orden 3 se conoce como Regla de Sarrus): sign( ) = + sign( ) = −

s s @ ¡ @ ¡ s @s ¡

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Observaci´on: ¯ ¯ ¯ 0 a12 0 0 ¯ Cada uno de los productos elementales con signo se co¯ ¯ ¯ 0 0 0 a24 ¯ 3 rresponde con el determinante de una matriz que se ¯ ¯ (−1) a12 a24 a31 a43 = ¯ ¯ forma haciendo cero todos los elementos que no estan ¯ a31 0 0 0 ¯ ¯ 0 0 a43 0 ¯ en el producto. Es claro, pues cualquier otro producto tendr´a alguno de sus factores distinto de estos y, en consecuencia, ser´a 0. De manera similar son inmediatos los dos resultados recogidos en la proposici´on siguiente.

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26 – Matem´aticas I : Preliminares

3.1 Determinante de una matriz cuadrada

Proposici´ on 70.1.- Si A es una matriz que tiene una fila o una columna de ceros, entonces |A| = 0. 2.- Si A es una matriz triangular superior o triangular inferior, |A| es el producto de los elementos de la diagonal principal, es decir, |A| = a11 a22 · · · ann . (En todos los dem´as productos elementales aparece al menos un 0: si hay alg´ un elemento por encima de la diagonal, hay alguno por debajo.)

3.1.1

Determinantes y operaciones elementales

Teorema 71.- Sea An×n una matriz. Se tiene que: a) si A0 es la matriz que resulta de multiplicar una fila de A por una constante λ 6= 0, entonces det(A0 ) = λ det(A). b) si A0 es la matriz que resulta de intercambiar dos filas de A, entonces det(A0 ) = − det(A). c) si A0 es la matriz que resulta de sumar a la fila k un m´ ultiplo de la fila i, entonces det(A0 ) = det(A). . Corolario 72.- Una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero. Corolario 73.a) Si E es la matriz elemental resulta de multiplicar una fila de I por k ∈ IR , entonces det(E) = k . b) Si E es la matriz elemental que resulta de intercambiar dos filas de I , entonces det(E) = −1. c) Si E es la matriz que resulta de sumar a una fila k un m´ ultiplo de la fila i , de I , entonces det(E) = 1. Demostraci´on: a) det(E) = k det(I) = k ; 3.1.1.1

b) det(E) = − det(I) = −1;

c) det(E) = det(I) = 1.

C´ alculo de determinantes por reducci´ on a la forma escalonada

El teorema anterior nos ofrece la posibilidad de calcular el determinante de una matriz usando el m´etodo de Gauss. Si tenemos que Ek · · · E2 E1 A = R , donde R es la matriz escalonada que se obtiene al aplicar el m´etodo de Gauss, se tiene que det(R) = det(Ek Ek−1 Ek−2 · · · E1 A) = δk det(Ek−1 Ek−2 · · · E1 A) = δk δk−1 det(Ek−2 · · · E1 A) = · · · = δk δk−1 δk−2 · · · δ1 det(A), donde δi es k , −1 ´o 1 , seg´ un la operaci´on elemental que represente Ei . Luego det(A) =

1 δ1

· · · δ1k det(R) =

1 δ1

· · · δ1k r11 r22 · · · rnn

pues R es una matriz triangular superior (recordar observaci´on 63 de p´ag. 22) y det(R) = r11 r22 · · · rnn .

3.1.2

Otras propiedades del determinante

Teorema 74.- Si A y B son matrices cuadradas de orden n , entonces det(AB) = det(A) · det(B)

.

Teorema 75.- Sea An×n entonces, A es inversible ⇐⇒ det(A) 6= 0. Demostraci´on: Si A es inversible I = AA−1 , luego det(I) = det(AA−1 ) = det(A) det(A−1 ) , pero al ser det(I) = 1 6= 0 , necesariamente ha de ser det(A) 6= 0 . Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

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27 – Matem´aticas I : Preliminares

3.2 Desarrollo por cofactores

Si A no es inversible, por la parte 3 de la demostraci´on del Teorema 74 (Anexo 0, p´ag. 36), se tiene que det(AI) = 0 = det(A) det(I) y como det(I) = 1 , debe ser det(A) = 0 . ¯ ¯ −1 Corolario 76.- Si A es inversible, ¯A−1 ¯ = |A| . Teorema 77.- Si A es una matriz cuadrada, entonces |At | = |A|.

3.2

.

Desarrollo por cofactores

Definici´ on 78.- Sea A una matriz cuadrada, llamaremos menor del elemento aij , y lo denotaremos por Mij , al determinante de la submatriz que se forma al suprimir en A la fila i y la columna j . Al n´ umero (−1)i+j Mij lo llamaremos cofactor del elemento aij y lo denotaremos por Cij . Ejemplo A partir de la matriz A de abajo, construimos los cofactores C21 , eliminando la fila 2 1 , y C34 , eliminando la fila 3 y columna 4 : ¯ ¯ ¯   ¯ 0 −1 2 5 ¯ ¯ 0 −1 0 −1 2 5 ¯ ¯ ¯  1 2 0 −2  ¯ ¯ ¯ 1 2 0 −2 2+1 ¯ 3+4 ¯ 1 2   ¯ C34 = (−1) A= −→ C21 = (−1) ¯ 2 −1 1 3 ¯ ¯ 2 −1 2 −1 1 3  ¯ ¯ ¯ ¯ 0 2 4 −2 ¯ ¯0 2 0 2 4 −2

y la columna 2 0 1 4

5 −2 3 −2

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Teorema 79.- El determinante de una matriz A se puede calcular multiplicando los elementos de una fila (o de una columna) por sus cofactores correspondientes y sumando todos los productos resultantes; es decir, para cada 1 ≤ i ≤ n y para cada 1 ≤ j ≤ n: det(A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + · · · + ain Cin y det(A) = a1j C1j + a2j C2j + · · · + anj Cnj Ejemplo

¯ ¯ 11 12 13 ¯ ¯ 21 22 23 ¯ ¯ 31 32 33

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 21(−1)2+1 ¯ 12 13 ¯ + 22(−1)2+2 ¯ ¯ ¯ 32 33 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1+3 ¯ 21 22 ¯ 2+3 ¯ = 13(−1) ¯ 31 32 ¯ + 23(−1) ¯

¯ ¯ ¯ 11 13 ¯¯ 2+3 ¯ + 23(−1) ¯ ¯ 31 33 ¯ ¯ ¯ 11 12 ¯¯ 3+3 ¯ + 33(−1) ¯ ¯ 31 32

.

¯ 11 12 ¯¯ 31 32 ¯ ¯ 11 12 ¯¯ 21 22 ¯

Corolario 80.- Si desarrollamos una fila de una matriz A por los cofactores de otra distinta, el resultado es cero; es decir, ai1 Cj1 + ai2 Cj2 + · · · + ain Cjn = 0, si i 6= j . Id´entico resultado para las columnas. Demostraci´on: Es claro, pues si en A hacemos la fila j igual a la fila i , la matriz obtenida A0 tiene determinante cero y 0 0 0 0 = |A0 | = a0j1 Cj1 + a0j2 Cj2 + · · · + a0jn Cjn = ai1 Cj1 + ai2 Cj2 + · · · + ain Cjn Definici´ on 81.- Dada una matriz A cuadrada de orden n , llamaremos matriz de cofactores de A a la matriz que tiene por elementos los cofactores de A , C = (Cij ), y llamaremos matriz adjunta de A a la matriz de cofactores traspuesta, Adj(A) = C t . Nota: Tambi´en es usual utilizar las denominaciones de menor adjunto para el cofactor y matriz adjunta para la matriz de cofactores (sin trasponer). En este caso, los resultados son id´enticos a los que aqu´ı se presentan con la u ´nica consideraci´on a tener en cuenta es que donde aparece Adj(A) tendr´a que aparecer Adj(A)t . Teorema 82.- Si A es una matriz inversible, entonces A−1 =

1 |A|

Adj(A).

Demostraci´on:

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28 – Matem´aticas I : Preliminares

3.3 Rango de una matriz

Si probamos que A · Adj(A) = |A|I entonces, como |A| = 6 0, ser´a efecto, aplicando el teorema 79 y el corolario 80 anteriores,   a11 a12 · · · a1n C11 C21 · · · Cn1  a21 a22 · · · a2n   C12 C22 · · · Cn2   A · Adj(A) = AC t =  . .. . . ..   .. .. . . .  .. . .  . . .. . . an1 an2 · · · ann Ejemplo  1 2 3 A =  4 5 −4  ; −3 −2 −1 

A−1

C1n C2n · · · Cnn

A 

Adj(A) |A|



    =  

= I y A−1 =

1 |A|

Adj(A). En

 |A| 0 · · · 0 0 |A| · · · 0   .. .. . . ..  = |A| · I . .  . . 0 0 · · · |A|

¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ¯ ¯ 5 −4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − ¯ 4 −4 ¯ ¯ 4 5 ¯ ¯ −3 −1 ¯ ¯ −3 −2 ¯  ¯ −2 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ¯ ¯ 1 2 ¯ ¯ 2 3 ¯ ¯ 1 3 ¯ 1  ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  −¯ = ¯ ¯ −3 −1 ¯ − ¯ −3 −2 ¯ |A|  ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  ¯ −2 −1 ¯1 2¯ ¯1 3 ¯  ¯2 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − ¯¯ ¯4 5¯ ¯ 5 −4 ¯ 4 −4 ¯

t     −13 −4 −23  1  =  16 8 16   40  7 −4 −3 

Regla de Cramer 83.- Sea AX = B , un sistema de n ecuaciones con n inc´ognitas, tal que A es inversible, entonces el sistema tiene como u ´nica soluci´on: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b1 a12 · · · a1n ¯ ¯ a11 b1 · · · a1n ¯ ¯ a11 a12 · · · b1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b2 a22 · · · a2n ¯ ¯ a21 b2 · · · a2n ¯ ¯ a21 a22 · · · b2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ .. ¯ .. ¯ .. .. . . .. ¯ .. . . .. ¯ .. . . .. ¯ ¯ . ¯ . ¯ . ¯ ¯ ¯ . . . . . . . . . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ bn an2 · · · ann ¯ ¯ an1 bn · · · ann ¯ ¯ an1 an2 · · · bn ¯ x1 = , x2 = , . . . , xn = . . |A| |A| |A|

3.3

Rango de una matriz

Definici´ on 84 (Segunda definici´ on del rango).- Se llama rango de una matriz Am×n , rang(A) ´o rg(A), al m´aximo orden que resulta de considerar todas las submatrices cuadradas que pueden formarse eliminando filas y columnas completas de A y cuyo determinante sea distinto de cero. Del determinante de una submatriz cuadrada de orden r de A , formada eliminando filas y columnas completas, de suele decir que es un menor de orden r de A , por analog´ıa a la denominaci´on dada en la definici´on 78 a los menores de un elemento. Resulta evidente que para Am×n , se tiene rg(A) ≤ m´ın{m, n} . Esta nueva definici´on de rango de una matriz es equivalente a la dada anteriormente: “el rango de una matriz es el n´ umero de filas distintas de cero que aparecen en alguna de las formas escalonadas de la matriz”, puesto que el menor formado con las filas y columnas que contienen a los elementos principales de la matriz escalonada es distinto de 0, y cualquier menor de orden mayor es cero. Corolario 85.- Si A es una matriz, rg(A) = rg(At ). Demostraci´on: De la nueva definici´on de rango y de |M | = |M t | para cualquier submatriz cuadrada de A. Proposici´ on 86.- Sea A una matriz m×n, entonces a) Si existe un menor de orden r distinto de cero el rg(A) ≥ r . b) Si todos los menores de orden r son cero el rg(A) < r . Demostraci´on: a) es claro, pues como r es el orden de un menor distinto de cero, el m´aximo de los ´ordenes de los menores distintos de cero es al menos r . Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

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29 – Matem´aticas I : Preliminares

3.4 Ejercicios

b) Si todos los menores de orden r son cero, como un menor de orden r + 1 puede descomponerse como suma de menores de orden r por constantes, todos los menores de orden r + 1 son cero y, tambi´en todos los menores de orden mayor. Luego rg(A) < r En una matriz m×n , el n´ umero de menores de orden r que podemos formar puede ser muy alto, de hecho es ³m´ ³n´ r

r

=

m! n! , r!(m − r)! r!(n − r)!

es decir, todas las posibles elecciones de r filas de entre las m y de r columnas de entre las n. Por tanto, para ver que una matriz tiene rango menor que r usando los menores, hemos de comprobar que cada uno de los m! n! on por menores, puede reducirse usando r!(m−r)! r!(n−r)! menores son cero. Sin embargo, el coste de la evaluaci´ el siguiente resultado: Orlado de menores 87.- Sea Am×n una matriz, y Mr×r una submatriz de A con determinante distinto de cero. Entonces, si el determinante de todas las submatrices de orden r + 1 que se pueden conseguir en A a˜ nadiendo una fila y una columna a M son cero, el rango de A es r . . Este resultado nos indica el m´etodo –conocido como “orlado de menores”– para encontrar el rango de una matriz usando los menores: “Buscamos un menor de orden uno distinto de cero: si no existe rg(A) = 0; si existe M1 6= 0 entonces rg(A) ≥ 1, y buscamos un menor de orden 2 distinto de cero de entre los que “orlan” al anterior : si todos ellos son cero, por el resultado anterior, el rg(A) = 1 ; si alg´ un M2 6= 0 entonces rg(A) ≥ 2, y buscamos un menor de orden 3 distinto de cero de entre los que orlan a M2 : si no existe rg(A) = 2 , y si existe M3 6= 0 entonces rg(A) ≥ 3, y buscamos . . . .”

3.4

Ejercicios 

3.41 Suponiendo que

a det(A) = 5 , siendo A =  d g ¯ ¯ ¯ ¯ −a −b −c ¯ f ¯¯ ¯ ¯ i ¯¯ b) ¯¯ 2d 2e 2f ¯¯ ¯ −g −h −i ¯ c¯

¯ ¯d e ¯ a) ¯¯ g h ¯a b ¯ ¯ ¯a g h¯ ¯ ¯ e) ¯¯ b h e ¯¯ ¯c i f ¯

¯ ¯ ¯ 2a − d d g ¯ ¯ ¯ f) ¯¯ 2b − e e h ¯¯ ¯ 2c − f f i ¯

 b c e f  , calcular h i ¯ ¯ a+d b+e c+f ¯ e f c) ¯¯ d ¯ g h i g) det(3A)

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯ ¯ a b c ¯ d) ¯¯ d−3a e−3b f −3c ¯ 2g 2h 2i

h) det(2A−1 )

3.42 Hallar el valor exacto del determinante de la derecha: a) Usando u ´nicamente el m´etodo de Gauss b) Mediante el desarrollo por cofactores c) Aplicando simultaneamente ambas t´ecnicas para resolverlo m´as r´apida y f´acilmente.

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

i) det((2A)−1 )

0 2 3 0 −1 1

−2 2 1 1 2 3

1 2 −1 0 4 0

0 2 4 0 0 0

1 2 −1 3 4 0

0 2 1 0 1 2

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

3.43 Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que la suma de los elementos de cada fila es cero. Demostrar que A no es inversible. 3.44 Sean A y B matrices de orden n tales que A 6= 0 , B 6= 0 y AB = 0 . Demostrar que det(A) = det(B) = 0. 3.45 Calcular los posibles valores del determinante de una matriz ortogonal. 3.46 Sea A una matriz antisim´etrica de orden n impar. Demostrar que det(A) = 0. 3.47 Si A es una matriz de orden n probar que | Adj(A)| = |A|n−1 .

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30 – Matem´aticas I : Preliminares

3.4 Ejercicios

3.48 Calcular el valor de los determinantes 6×6 y n×n siguientes: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

a b 0 0 0 0

a 0 b 0 0 0

a 0 0 b 0 0

a 0 0 0 b 0

a 0 0 0 0 b

a a a a a a

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯ ¯ 1 2 3 ··· ¯ ¯ 2 3 4 ··· ¯ ¯ 3 4 5 ··· ¯ ¯ .. .. .. .. ¯ . . . . ¯ ¯ n−1 n n+1 · · · ¯ ¯ n n+1 n+2 · · ·

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2n−3 2n−2 ¯¯ 2n−2 2n−1 ¯ n−1 n n+1 .. .

n n+1 n+2 .. .

a) ¿Cu´al es el rango de la matriz del primer determinante en funci´on de los valores de a y b? b) ¿Cu´al es el rango de la matriz del segundo determinante para cada valor de n = 1, 2, 3, . . . ?

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