∗

Matriz Inversa.

1.

Transpuesta de una matriz

Si A es una matriz m x n, entonces la transpuesta de A, denotada por AT , se dene como la matriz n x m que resulta de intercambiar los renglones y las columnas de A. Si     A=

a11 a21

a12 , a22

a11 a12

AT =

a21 a22

En general (aij )T = (aji ). La transpuesta de la suma de dos matrices es la suma de sus transpuestas; es decir,

(A + B)T = AT + B T . Ejemplo:

Sean las matrices:

 A=

2 4

 9 , 3

 B=

2 9

 4 , 3

BT =

2 4

 9 , 3

 5 2

1 7

Sean entonces las matrices transpuestas: AT =





 7 2

1 5

Es posible vericar que (A + B)T = AT + B T . Propuesto:

Sean las matrices:

 A=

 B=

1 7

 5 2

Determinar: AB, (AB)T , AT , B T , B T AT . Vericar que (AB)T = B T AT . 2.

Matriz identidad

Si una matriz diagonal de orden n tiene todas sus entradas diagonales iguales a 1, entonces la llamaremos matriz identidad de orden n y la denotaremos por la letra I. 

1 0

 0 , 1

 1 0 0

0 1 0

 0 0 , 1

 1 0  0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

 0 0 . 0 1

las anteriores matrices cuadradas que tienen unos en la diagonal principal y ceros fuera de ella, son ejemplos de matrices identidad. La matriz identidad actúa exactamente como el número 1 en la multiplicación ordinaria. IA = AI = A, 3.

BI = IB = B.

Matriz inversa

Consideremos el sistema a11 x1 + a21 x2 = b1 a12 x1 + a22 x2 = b2 ∗ Eduard Rivera Henao. 2014-03-08. Álgebra Lineal.

1

4 Teorema

2

de dos ecuaciones lineales en x1 , y x2 . Este sistema se puede escribir como una sola ecuación , usando la notación de vector y matriz, veámos: 

a (x1 , x2 ) 11 a21

a12 a22

 = (b1 , b2 ).

Así, XA=b. Ahora, recordemos que en una ecuación algebraica de la forma xa = b, es posible despejar la variable 1 −1 . Donde a−1 es el inverso de a bajo la multipplicación. La ecuación XA=b es una x ; así x = a b, x = ba ecuación vector-matricial pero la división de matrices no está denida para intentar despejar el vector X, pero sí podemos hablar de matrices inversas. Así, decimos que la matriz cuadrada A de orden n es invertible previsto que exista una matriz cuadrada B de orden n tal que: AB = BA = I

Donde I es la matriz identidad. Tenemos entonces la ecuación vector-matricial XA=b. Así X = bA−1 , donde A−1 es la matriz inversa de A bajo la multiplicación. Si A es una matriz de orden n y si A−1 es una matriz con la propiedad de que AA−1 = A−1 A = I, entonces −1 A es única. Ejemplo:

Si

 A=

 1 , 0

3 −2

Determinar una matriz B. Si tal matriz existe, con la propiedad de que AB = BA = I. Sea   B=

hallaremos los valores p,q,r y

s

p r

q , s

tales que AB = I. Así, B = A−1 .



AB = I    q 1 0 = s 0 1    3q + s 1 0 = −2q 0 1

 1 p 0 r

3 −2  3p + r −2p

Igualando los elementos correspondientes de las matrices, tendremos: 3p + r = 1, 3q + s = 0, −2p = 0, −2q =

−1. Así, p = 0, q = − 21 , r = 1, s = 32 ; por lo tanto:

 B=

− 21

0 1

 ,

3 2

donde B = A−1 , ya que AA−1 = I. 

3 −2

 1 0 0 1

Así, A 4.

−1

− 12 3 2

 0 = 1



 =

− 21 3 2

1 0

 0 1

 .

Teorema

Si A es una matriz cuya inversa A−1 existe, entonces la inversa de A−1 existe y (A−1 )−1 = A.

4 Teorema

3

Propuesto:

Vericar que AA−1 = I, donde



0 1

  1 0 , A−1 = 1 0



1 1

  0 1 −1 ,B = 1 −1

A=

y que BB −1 = I, donde B=

 −1 , 1  0 . 1

Mostrar además que se cumple (AB)−1 = B −1 A−1 . Buscaremos la forma de hallar la matriz inversa de A de una manera práctica; para esto recordaremos que el determinante de la matriz   a c

A=

es el número real denotado por |A| o por y denido por

a c a |A| = c

Para una matriz

b d

b = ad − bc. d 

A=

buscaremos una matriz

b d

a c

 b d

  x y B= , z u

tal que AB = I, es decir, hallaremos A−1 , donde B = A−1 . Veámos: Si AB = I, entonces      a c

b d

x y z u

=

1 0

0 . 1

Multiplicando tendremos:  ax + bz cx + dz

  ay + bu 1 = cy + du 0

 0 1

Igualando tendremos las ecuaciones: ax + bz = 1, ay + bu = 0, cx + dz = 0, cy + du = 1. De las ecuaciones igualadas a cero dz podemos encontrar que: y = − bu a , x = − c , reemplazando en las ecuaciones igualadas a uno, tendremos: c a −b −d z = −ad+bc , u = −bc+ad . Por lo tanto: y = −bc+ad , x = −ad+bc . Así, A

−1

 =

−d −ad+bc c −ad+bc

−b −bc+ad a −bc+ad

A−1 =

1 |A|



1 = ad − bc



d −b −c a





 d −b . −c a

Consideremos dos casos: Si |A| = 0; no existen valores de x,y,z,u que satisfagan el sistema, excepto x = y = z = u = 0, pero entonces la matriz será igual a la matriz cero, y la matriz cero no tiene inversa. Por lo tanto, si |A| = 0, la matriz A no tendrá inversa. Si |A| = 6 0, entonces A

−1

1 = |A|



 d −b . −c a

5 Teorema

5.

4

Teorema

La matriz

 A=

a11 a21

a12 a22



tiene inversa A−1 si y solo si, |A| = 6 0. Por lo tanto: A

−1



1 = |A|

a22 −a21

 −a12 . a11

Ejemplo:

Resolveremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la matriz inversa: Consideremos el sistema 3x1 + 4x2 = 7 x1 − 2x2 = 9

Si escribimos una ecuación vector-matricial equivalente de la forma  (x1 , x2 )

3 4

Así nuestra matriz

1 −2

 A=

XA=b,

tendremos:

 = (7, 9).

 1 , −2

3 4

para la cual podremos hallar una inversa si |A| = 6 0. Veámos: A−1 =

1 −10



−2 −4

 −1 . 3

Resolver el sistema es despejar el vector X de la ecuación vector-matricial ambos lados de la igualdad por la inversa de A, así: XA

Para esto multiplicaremos en

=b

−1

= bA−1

XI

= bA−1

X

= bA−1

XAA

XA=b.

Veámos: 

 (x1 , x2 )

3 4

 3 1 (x1 , x2 ) = (7, 9) 4 −2       1 1 −2 −1 −2 −1 1 = (7, 9) −2 −10 −4 3 −10 −4 3     1 1 0 −2 −1 (7, 9) (x1 , x2 ) = 0 1 −4 3 −10 1 (x1 , x2 ) = (−14 − 36, −7 + 27) −10 (x1 , x2 ) = (5, −2)

Así, x1 = 5, x2 = −2. Valores que satisfacen el sistema de ecuaciones lineales.

6 Ejercicios propuestos

6.

5

Ejercicios propuestos

1. Hallar el determinante de la matriz A; si |A| = 6 0, hallar la matriz A−1 y vericar que AA−1 = I. a

b

c

)

)

 1 A= 5

 3 . 7

 4 A= 5

 3 . 2

)

 A=

d

) A=

 5 1 . 10 2

 9 3

 2 . 1

2. Resolver el sistema dado, escribiendo una ecuación vector-matricial equivalente de la forma a

XA=b.

) 2x1 − 3x2 = 7 −5x1 + 4x2 = 13

b

) 3x1 + 4x2 = 10 7x1 − 2x2 = 12

c

) 5x1 + 8x2 = 6 4x1 − 3x2 = −2

d

) 7x1 + 4x2 = 10 2x1 + 5x2 = −1

3. Mostrar que para

A

de orden 2, |kA| = k2 |A|, donde k es un número real.

4. Sea A una matriz de orden 2, con |A| = 6 0, mostrar que el determinante de A−1 es igual al recíproco del 1 . determinante de A; es decir, mostrar que |A−1 | = |A| 5. Mostrar que si las matrices A y B son de orden 2, con |A| = 6 0, |B| = 6 0, se cumple (AB)−1 = B −1 A−1 . Tener en cuenta que |A||B| = |AB|. 6. Vericar que para

 A=

Se cumple (AB)−1 = B −1 A−1 .

2 5

  3 1 ,B = 8 2

−2 −3