TEMA 3: La Matriz Inversa y Las Ecuaciones Matriciales Dándole vueltas a las matrices: La matriz inversa
TEMA 3
MATEMÁTICAS 2º Bach.
José Ramón Padrón
INTRODUCCIÓN Observa los precios de tres prendas de vestir que hemos seleccionado en unos almacenes:
Chaleco Camisa Pantalones Normal
12
22
35
Re bajas
11
15
30
Super − Rebajas
8
14
25
12 22 35 A = 11 15 30 8 14 25
Si en el centro comercial las ventas de cada una de las prendas en cada uno de los trimestres fueron las que se recogen en el siguiente cuadro: T1 T2 T3 T 4 Chale cos 10 Camisas 4 Pantalones 9
Para conocer la cantidad de dinero que ganaríamos en cada trimestre dependiendo de si ese trimestre los precios son los normales, es un trimestre de rebajas o es un trimestre de super-rebajas, solamente necesitaríamos multiplicar la primera matriz por la segunda:
Normal 523 824 444 348 Re bajas 440 657 345 290 Super − Re bajas 361 556 288 236
Este número representa la cantidad de dinero que hubiéramos ganados si en el segundo trimestre hubiéramos estado en rebajas
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INTRODUCCIÓN Pero supongamos que conocemos la matriz A y la matriz M de los resultados (Es decir, los precios y el dinero ganado) ¿Cómo podemos averiguar lo que se ha vendido? 12 22 35 523 824 444 348 B 11 15 30 · = 440 657 345 290 8 14 25 361 556 288 236
Plantear aquí una matriz B llena de letras es bastante complicado pues tendría 12 incógnitas
Debemos buscar un método para poder despejar la matriz B
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¿Cómo le damos la vuelta a una matriz?
Vamos a comenzar por un caso simple Si elegimos un número cualquiera, nos encontramos con una caso especial de una matriz cuadrada de orden 1. Buscamos una matriz B, de forma que al multiplicarla por la matriz A, nos resulte la matriz identidad, en este caso de orden 1, es decir: A = (6 )
A ·B = 1
6B = 1
B=1 6
Según lo que conoces de la parte de números, sabes que a B se le denomina el inverso de A y que se representa como 6 −1
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¿Cómo le damos la vuelta a una matriz? Dada una matriz A, se llama inversa de A y se representa por A-1 a aquella matriz que cumple:
A tiene que ser cuadrada ¿Por qué? Fíjate que la matriz identidad si es cuadrada y que tiene que salir lo mismo en las dos multiplicaciones
El determinante de A no puede ser cero, ¿por qué? Recuerda que el determinante del producto es el producto de los determinantes y ¿Cuánto vale el determinante de la matriz identidad?
En la siguiente diapositiva se te dan pistas para responder a estas preguntas
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¿Cómo le damos la vuelta a una matriz? Dada una matriz A, se llama inversa de A y se representa por A-1 a aquella matriz que cumple:
A tiene que ser cuadrada ¿Por qué? Fíjate que la matriz identidad si es cuadrada y que tiene que salir lo mismo en las dos multiplicaciones
El determinante de A no puede ser cero, ¿por qué? Recuerda que el determinante del producto es el producto de los determinantes y ¿Cuánto vale el determinante de la matriz identidad?
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¿Cómo le damos la vuelta a una matriz? Dada una matriz, la fórmula por la que podemos calcular la matriz inversa es
A −1 =
1 · ( Adj ( A ) ) t det A
Es decir, la inversa de una matriz es igual a la matriz traspuesta de la matriz formada por todos sus adjuntos multiplicada por el inverso del determinante Esto se ve mejor con un ejemplo
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Ejemplo 1 Cálculo de la matriz inversa de una de orden 3 1 0 1 A = 2 4 1 −2 0 7
La aplicamos a este caso y nos queda: 28 − 16 1 −1 A = · 0 9 36 1 −4
t
8 28 1 0 = · − 16 36 4 8
0 9 0
−4 1 4
7 9 = −4 9 2 9
0 1 4 0
1 − 9 1 36 1 9 11
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ECUACIONES MATRICIALES Una ecuación matricial no se más que aquella donde la incógnita es una matriz. En el tema 1 ya hemos resuelto alguna, pero ahora pretendemos hacer ecuaciones más complejas y utilizar la idea de matriz inversa para resolver
Ejemplo: Supongamos una ecuación matricial sencilla
A·X = B Si la matriz A tuviera inversa, podemos utilizarla de la forma siguiente para poder despejar X
A −1 · A · X = A −1 · B Además, sabemos que: A −1 · A = I La ecuación quedaría X = A −1 · B Con la X despejada
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ECUACIONES MATRICIALES Si la ecuación fuera más complicada, solo tendríamos que hacer operaciones hasta que se nos quede de la forma anterior. A·X = B
Dos aspectos muy importantes: 1º Asegurarse que la matriz tenga inversa 2º Cuidado por qué lado hay que multiplica; es decir, si la ecuación fuera: