Ecuaciones Matriciales y Determinantes.

(PAU SEP 2004 PRUEBA B, C-1)! ! P ·B·P=A siendo P = −1 0 1, A =  0 −1 0  0 −1 1  0 0 2    

Ecuaciones Matriciales.

6.2 Resolución de ecuaciones.

Tenemos que obtener la matriz incógnita, que generalmente se denota como X, despejándola de la igualdad. Para conseguirlo tenemos las siguientes reglas:

1) Si una matriz está sumando a un lado de la igualdad pasa restando al otro lado de la igualdad y al revés. X+B=C ! X=C-B X-B=C ! X=C+B Unidad 8. Matrices

176

2) Si multiplicamos una matriz por la izquierda a un lado de la igualdad también lo Apuntes de Matemáticas II (2ºBachillerato) para preparar el examen de la PAU (LOE) tenemos que hacer en el otro lado de la igualdad por la izquierda. Igual por la derecha. A·X=B ! A-1·A·X=A-1·B !Id· X=A-1·B ! X=A-1·B X·A=B ! X·A·A-1=B·A-1 ! X·Id=B·A-1! X=B·A-1

Ejemplo: veamos la resolución de los dos anteriores ejemplos:

Unidad 8. Matrices

1 

0

1 

Ejemplos  −1 . 0

0   1 − 1 1   − 1 1 − 1       Junio 2004.Prueba B Entonces B=  0 − 1 0  ·  0 1 − 1 =  0 − 1 1   0 0 !2  2 1 %1  2 0 2 0 1   una matriz X que verifique la ecuación XB+B=B-1. C-4-Dada la matriz B= #  ' hállese " %1 2 -1

-1

multiplicamos por B −1 a la derecha

X·B+B=B ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ X·B=B -B ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→ X·B·B-1=(B-1-B)·B-1 Septiembre 2007. Prueba-1A -1 -1 -1 X·Id=(B -B)·B ! X=B · B -B· B-1= B-1· B-1-Id 2 1 C-1.- Sean X una matriz 2x2, I la matriz identidad 2x2 y B=' (. Hallar X sabiendo 0 1  2 1  2 1 1 0 -1  2 1  2-1  con lo que X=   ·   -   = Calculando B +Itenemos que B =  que BX+B=B . 1 2 1 2 1 2 0 1 2 2 −1 −1 2 BX5 + B = B + I ! BX = B + I − B ! B ·( BX ) = B ( B + I − B )! 4 1 0  4 4  1 1  =B−1 B ! =X 4=B + B −1 − I =X = B −1B−2 + B −1 −  4 5 0 1  4 4 1 1 1 3 1 -1 1  1 − 1  !  Calculando =  Prueba SeptiembreB2004. B X=  2 0 2  2 0 2 1 1 1 %1 0 0 C-1) Dadas las matrices ( ) *%1 0 1, y A=* 0 %1 0,, hállese la matriz B 0 %1 1 0 0 2 Junio 2008. Prueba A -1 pasamos B otro miembro

multiplicamos por B a la derecha pasamos B otro miembro X·B+B=B-1 ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ X·B=B-1-B ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→ X·B·B-1=(B-1-B)·B-1

 − 1 0-1 0-1  1 -1 − 1 -1 1 -1  − 1 1 − 1  X=B · B -B·   B = B · B -Id  1 X·Id=(B -B)·B ! Entonces B=  0 − 1 0  ·  0 1 − 1 =  0 − 1 1   0 0 2-1  12 10 1   2 02 12  2 1   1 0  -1  con lo  ·  -   = Calculando B tenemos que B =    que  X=  1 2 1 2 1 2 0 1 -1

-1

 5 4 1 0  4 4 1 1  −   =  Prueba  = 4 A  =  Septiembre 2007.  4 5 0 1  4 4 1 1 2 1 C-1.Sean X una matriz 2x2, I la matriz identidad 2x2 y B= ' (. Hallar X sabiendo Septiembre 2004. Prueba B 0 1 2 que BX+B=B +I. 1 1 1 %1 0 0 2 C-1) Dadas las matrices ( ) *%1 0 1, y A=* 0 %1 0,, hállese la matriz B BX + B = B 2 + I ! BX = 0B 2 +%1 I − B1! B −1 ·( BX ) 0= B −10B 2 2 +I −B ! -1 −1 P 2 BP=A. sabiendo que X = B B + B −1 − B −1 B ! X = B + B −1 − I

(

)

1  1 − 1 1 3 1 ⎯ ⎯  ! Id·B·P=A·P !B·P=P·A -1 Calculando B⎯ =⎯ !→X= mos por P por la izquierda  P-1·B·P=A ⎯multiplica ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ P·P ·B·P=P·A 2 0 2  2 0 2 −1 mos por P por la derecha ⎯multiplica ⎯⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ B·P·P-1=P·A·P-1 !B=P·A·P-1 -1

1 − 2 Junio 2008. Prueba A 1 −1

1  

X·Id=(B-1-B)·B-1 ! X=B-1· B-1-B· B-1= B-1· B-1-Id Junio 2008. Prueba A  5 4 1 0  4 4 1 1  − -1  2 1=  = 4   2 1   2 1   1 0  =  -1  -   = Calculando B tenemos 5  B =0 1   con 4 4lo que X= 1 1  ·   4 que  1 2   1 22  0 1  3 13 1 82  5 3 1 C-3.- Sean B=' ( y C=' 2004. Prueba ( calcular Septiembre B A sabiendo A =B y A =C 81 15  5 4   13 0  2  4 4   −   =   = 4   =  1 1 1 %1 0 0 4  las 1  4 5   0 1  C-1)  4 Dadas 1 matrices ( ) *%1de la * 0 %1 0,, hállese la 0 siguiente 1, y A= Veamos lo difícil que sería resolver el sistema forma 0 %1 1 0 0 2 Septiembre 2004. Prueba B -1 sabiendo que P BP=A. 2 x y x y  x y x + yz %1 xy + 0yt  0  5 3        1 1 1 2  !lasAmatrices =  ( )·*%1 0 = 1, y A=* 0 %12  0=,,hállese la matriz B A = C-1) Dadas 2 t mos porP xz +izquierda zt zy +-1 t   3 2  -1 z t   z0multiplica z t  por la %1 0 2 P ·B·P=A ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯1⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯→0P·P ·B·P=P·A ! Id·B·P=A·P !B·P=P·A -1 sabiendo que P BP=A.multiplicamos por P −1 por la derecha -1 -1 2 3⎯ 2 2-1 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → B·P·P =P·A·P ! B=P·A·P  x + yz xy + yt   x y   x + xyz + xyz + yzt x y + y z + xyt + yt 2  13

     A3 =  · = =   2  2 2 2 3   2 +1 z y + t z 1z-1 +− xzt z t -1 xz + zt 8 multiplica mos por  P por la izquierda zy + t x xyz + yzt + zyt + t     P ·B·P=A ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → P·P ·B·P=P·A ! Id·B·P=A·P ! B·P=P·A   1 −1

…

-1 P = 1 -1 1 − 2  tenemos Calculando que la matriz B buscada es: -1 ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯→ B·P·P-1=P·A·P ! B=P·A·P 3  1 1 1   1 − 2 1    1   − 1 0 0   1 − 2 1  1  1 −1 1 0 3 5 Calculando P = 1  1 − 2  tenemos que la matriz B buscada es:     1 1 = 3B= 1  − 11 0 1 1 · 0 − 1 0 ·  1 1 − 2  3 0 1 3 3  

Sabiendo que P multiplicamos por P −1 por la derechaes















2 1 0 0 4 2 1.5 Determinante de una matriz cuadrada. ⎛ ⎞ ⎛ para el c´alculo⎞de la matriz 2 −1 1 1 un m´etodo Los determinantes nos proporcionan 2 1 5 −1 8 ⎜ ⎟ 0 0de 1existir) 0⎟un m´ inversa de una dadanos (enproporcionan caso yetodo un criterio para estudiar si una Los determinantes para el c´ a lculo de la matriz ⎜ ⎝ ⎠ C =⎝ D = −1 2 3 4 5 ⎠ 2 1 1 1 matriz no invertible. inversaesdeo una dada (en caso de existir) y un 1criterio estudiar si una 3 10 para 11 13 0 0 0 1 matriz es o no invertible. Sus aplicaciones son m´ ultiples en todas las ramas de las ciencias que tratan

Determinantes.

problemas linealesson en m´ los que necesariamente aparecen matrices por tratan tanto, Sus aplicaciones ultiples en todas las ramas de las cienciasy que 6.8. Determinantes determinantes. problemas lineales en los que necesariamente aparecen matrices y por tanto, determinantes. Introduciremos a continuaci´on el concepto de determinante asociado a una matriz cuadrada. Este Aconcepto cada matriz A = (aij )matriciales 1  i, j tales  ncomo se leel asigna un rango n´ umero permite cuadrada simplificar operaciones c´alculo del o de real la matriz determinante det un A on´ |A|. A cada matriz cuadrada A = de (aijA) y1representaremos  i, j  n se le por asigna umero real que llamaremos inversa. que llamaremos determinante de A y representaremos por det A o |A|. Definici´ Definici´oo n:n 1.12 [Submatrices y menores de una matriz] Definici´ on 1.12 [Submatrices y menores de una matriz] es una matriz x 2 sematriz define elAdeterminante de laresultante matriz A, yde se expresa como UnaSisubmatriz de2 una es la matriz eliminar endet(A) A de-o bien |A|, como el n´filas umero: Una submatriz de matriz A es* la matriz * resultante de eliminar en A determinadas y/ouna columnas. *a11 a12* terminadas filas y/o columnas. * = a11 · a22 − a12 · a21 * det(A) = |A| = *a21 a22* de una submatriz cuadrada. Un menor de una matriz A es el determinante Un menor de una matriz A es el determinante de una submatriz cuadrada.

*a11 a12 * * = a11 · a22 − a12 · a21 det(A) = |A| = ** a21 a22 *

´ITULO Ejemplos: El c´ alculo de 6. los MATRICES determinantes Y de DETERMINANTES orden 2 es bien sencillo, por ejemplo: CAP ! ! ! 1 3! ! =1 4-(-1) 3=4+3=7. a) !! −1 4! ! ! !−2 −3! ! =-10+6=-4. b) !! 2 5!

Para definir determinantes de matrices de orden mayor que 2 es necesa algunos conceptos. Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el menor complem A,aij , como el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila se encuentra dicho elemento aij . Se representa por Mij . ⎛

−2 4

5

⎞

!2 5 !! !−2 −3 ! =-10+6=-4. b) !! 2 5!

Para definir determinantes de matrices de orden mayor que 2 es necesario introducir previamente Para definir determinantes de matrices de orden mayor que 2 es necesario introducir previamente algunos conceptos. algunos conceptos. Dada una A de orden n, definimos el menor complementario de un elemento de Dada una matriz matrizcuadrada cuadrada A de orden n, definimos el menor complementario de un elemento de A,a determinante la matriz se obtiene al suprimir i y la columna A,aijij ,, como como eleldeterminante de de la matriz que que se obtiene al suprimir la fila ilay lafilacolumna j en la quej en la que sese encuentra dichoelemento elemento representa por. Mij . encuentra dicho aija. ijSe. Se representa por M ij ⎛

⎞

−2 4 ⎞5 ⎝ 64 75 −3⎠ , los menores complementarios de cada uno de los Ejemplo: En la matriz A = −2 0 ⎠2, los menores complementarios de cada uno de los Ejemplo: En la matriz A = ⎝ 6 37 −3 elementos de la primera fila son: 3 0 2!!!7 −3!!! =14-0=14. Menor complementario de -2:M11 = ! ! elementos de la primera fila son: ! ! 0 ! 2! !7 !!6−3!−3!! Menor complementario 4:M12 != ! =14-0=14. ! =12+9=21. Menor complementario dede -2:M 11 = ! !3 ! 2 0 !! 2 !! ! !6 ! 7! Menor complementario de 5:M13!6= !−3! ! =0-21=-21. 3 !0 ! Menor complementario de 4:M = 12 ! ! =12+9=21. Y as´ı sucesivamente.

⎛

3 2 ! ! ! !

A como el Dada una matriz A de definimos el adjunto de un elemento aij de de Estrechamente ligado cuadrada al concepto de orden menorn,complementario se encuentra el de adjunto una matriz. n´umero: Dada una matriz cuadrada A de orden n, definimos el adjunto de un elemento aij de A como el Aij = (−1)i+j · Mij n´umero: i+j es decir, no es m´as que el menor complementario correspondiente acompa˜nado de un signo m´as o Aij = (−1) · Mij menos dependiendo de la fila y la columna en la que se encuentre el elemento en cuesti´on.

es decir, no es m´as que el menor complementario correspondiente acompa˜nado de un signo m´as o Por ejemplo, para la matriz anterior, los adjuntos de los elementos de la primera fila son: menos dependiendo de=la(−1) fila 1+1 y la· M columna en la que se encuentre el elemento en cuesti´on. Adjunto de -2:A11 11 = 1 · 14 = 14 (coincide con el menor complementario) Por ejemplo, para=la(−1) matriz 1+2 anterior, los adjuntos de los elementos de la primera fila son: Adjunto de 4:A · M12 = (−1) · 21 = −21 (menor complementario con signo cambiado) 12 1+1 Adjunto (−1)1+3 · M ·M · 14 = = −21 14 (coincide complementario) Adjunto de de -2:A 5:A1311==(−1) == 1 ·1−21 (coincide con con el el menor menor complementario). 1311 Adjunto de 4:A12 = (−1)1+2 · M12 = (−1) · 21 = −21 (menor complementario con signo cambiado) Adjunto Obtener de 5:A13los = restantes (−1)1+3 ·adjuntos M13 = 1de · −21 = −21 (coincide con elA.menor complementario). Ejercicio: los elementos de la matriz

Ejercicio: los restantes decomplementario los elementos de la matriz En general Obtener puede saberse si el signoadjuntos del menor y del adjuntoA. coinciden o no utilizando una sencilla regla gr´afica, por ejemplo, para matrices 3 x 3 y 4 x 4 basta fijarse en las matrices: En general puede saberse si el signo del menor complementario y⎞del adjunto coinciden o no utilizando ⎛ ⎛ ⎞ + 3−x 3+y 4−x 4 basta fijarse en las matrices: una sencilla regla gr´afica, por ejemplo, + −para + matrices ⎜− + − + ⎟ ⎜⎛ ⎟⎞ ⎝− + −⎠ ⎝ ++ − −+ +−⎠ ⎛+ − + ⎞ − + − + −− + +− −+ +⎟ ⎜

⎜ ⎟ ⎝− + −⎠ ⎝+ − + − ⎠ donde el + significa que el adjunto coincide con el menor complementario y el - indica que tienen signo + − + − + − + contrario.

SeSepuede aunque dicha demostraci´ on excede los contenidos del elcurso, que el valor puede demostrar, demostrar, aunque dicha demostraci´ on excede los contenidos del curso, que valor del determinante no depende depende la fila o columna para calcularlo. determinante no de de la fila o columna elegidaelegida para calcularlo.

⎛ ⎛ ⎞ ⎞ −2 −2 4 54 5 ⎝ ⎠ Ejemplo: Para la matriz A = 6 7 −3 ,aplicando la definici´ on, si elegimos la fila tercera queda: Ejemplo: Para la matriz A = 3⎝ 60 27 −3⎠ ,aplicando la definici´ on, si elegimos la fila tercera qu

3

0

2

% % %' % % & % %4 5 % %−2 5 % %−2 4% % det(A) = 3 · %% %% %% + 0 ·%% − %% & %% %% + 2 · %% %%' %% = %% % 7 −3 6 −3−2 6 7 4 5 5 −2 4 %+ 0 · −% % +2·% %= det(A) = 3 · %% % % % % −3+ 2 · (−14 − 24) 6 = −141 −3 + 0 − 76 =6 −217 7% = 3 · (−12 − 35) + 0 · (−(6 7 − 30))

= 3 ·elegido (−12 − 35)fila+o0columna, · (−(6 −por 30)) + 2 · la (−14 − 24) −141 Si hubi´esemos otra ejemplo columna 2, = quedar´ ıa: + 0 − 76 = −217 Si hubi´esemos elegido otra& fila % o columna, %' % por ejemplo % % columna %' 2, quedar´ıa: & la %6 −3% %−2 5% %−2 5 % % % % % % det(A) = 4 · − % +7·% + 0 · − %% % % 3 2 3 2 6 −3%

=

%' % % %' & % & % % % % % % = 4 · (−(12 + 9)) + 7 · (−4 −615)−3 + 0 · (−(6 − 30)) − 133 + 0−2 = −217 −2 =5−84 5 %% % % % % % det(A) = 4 · − % +7·% + 0· −% = 3 2 % 3 2% 6 −3%

Ejercicio: Calcula, desarrollando por la fila que t´ u elijas los determinantes de las matrices: = 4⎛· (−(12 +⎞9)) + 15) +⎛0 · (−(6 − ⎛ 7 · (−4 − ⎞ ⎞30))⎛= −84 −⎞133 + 0 = −217 1 8 1 3 4 −6 7 8 0 0 3 1 ⎝1 7 0 ⎠ ⎝2 −1 1 ⎠ ⎝0 −7 3⎠ ⎝ 0 2⎠ Ejercicio: Calcula, desarrollando por la fila que t´ u elijas los−2determinantes de las matrices: 1 6 −1 5 3 −5 1 0 1 3 4 0

⎛

⎛

⎞

⎞

⎛

⎛

⎞

⎞

⎛

⎛

⎞

⎞

⎛

⎞

Ø , (b) Ø 18 10 28 Ø , (c) Ø 19 11 29 Ø , (d) Ø (a) ØØ -104 -22 (d) Ø Ø Ø Ø Ø Ø 6 1 2 Ø 6 1 1 1 Ø Ø 12 7 16 Ø Ø 12 7 16 Ø Ø 22. Calcula los siguientes determinantes usando las propiedades Ø 6 las Ø de 3 3propiedades 10 Ø 6 éstos: 3 3 ientes determinantes usando de éstos: Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø 7 17 Ø 13 8 7 17 6 8 7 26 Solución: Ø 6 3Ø 8 Ø Ø 6 Ø3 8 Ø Ø Ø Ø ØØ Ø 3 3 14 Ø 3 3 14 Ø Ø Ø Ø Ø Ø 4 7 Ø 12 5 4 Ø 7 Ø Ø Ø 628(b)Ø4, (c)4-24, Ø 29-22 Ø(d) Ø Ø(a) Ø Ø Ø 10 18 10 19 11 , (b) , (d) 48, (c) -180 Ø , (b)Ø Ø 9 Ø 10 Ø ,1 (c) Ø Ø (a) Ø Ø Ø Ø Ø 10 11 50 Ø , (d) 49 1 1 6 1 2 Ø Ø 12 7Ø 3 Ø ETERMINANTES Ø ØØ 11Ø Ø 16 Ø1 1 Ø 121 Ø7 16 Ø Ø Ø Ø 3 10 6 3las 3propiedades Ø Ø 6usando Ø 10 Ø 6de éstos: Ø 20. CalculaØlos siguientes determinantes 7 28 7 28 Ø 3 3 3 16 Ø Ø Ø Ø Ø 10 las Ø Ø Ø Ø 11 8 7 ientes determinantes usando deØØ éstos: 8 propiedades 7 20 ØØ Ø Ø Ø Ø Ø 5 3 10 5 3 10 Ø 10 4 4 8 Ø Ø Ø ØØ Ø Ø 10 5 4 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Solución: Ø-22 (d) Ø Ø Ø Ø Ø -180 15 10 35 16 11 36 (a) , (b) , (c) , (d) 7-24, 26 (c) 7 8 7 26 Ø ØØ Ø Ø 5 1 2 Ø Ø 3 3 Ø 145 Ø 1 1Ø 31 Ø 3 14Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø10 7Ø 6205 4 10 Ø10 7 20 4 10 ØØ Ø(b) Ø11 Ø 5 3 3 Ø 9 42, Ø ,las Ø-21, Ø éstos: Ø (d) Ø 5 3 3 12 ientes determinantes usando propiedades de 10 49 10 50 , (b) (c) , (d) (a) (c) -10 -126 Ø Ø Ø Ø Ø 3 1 2 1 Ø 1 1 ØØ Ø Ø Ø Ø ØØ Ø Ø 6 7 28 6 7 28 ØØ Ø Ø Ø 16 Ø Ø Ø Ø Ø Ø3113 83 71620 73 20 ØSolución: Ø Ø 5 determinantes Ø Ø usando lasØ propiedades de éstos: 23.ØØ Calcula los siguientes 5 3 10 3 10 Ø Ø Ø Ø Ø 10 5 4 8 Ø 4 8 Ø Ø Ø Ø Ø Ø 15 1050, 35 16 (c)11Ø 36-20 , (b) Ø(a) , (c) -25, , (d) (d) ØØ -180 (b) Ø Ø Ø Ø Ø Ø 1 1 Ø 5 1 2 1 Ø 10 7 Ø 20 Ø 8 7Ø 1029 7Ø 20 Ø Ø Ø Ø ØØ Ø Ø 4 Ø Ø 3 -21, 12 (c) 21. Calcula 53 3las 3propiedades Ø Ø 2usando Ø12 Ø 2de éstos: Ø -10 (d) Ølos siguientes -126 determinantes 16 3 16 Ø 4 4 4 11 Ø Ø Ø Ø Ø Ø ØØ las propiedades Ø Ø Ø Ø Ø , de Ø Ø , (d) 6 10 56 7 11 57 (a)usando (b) , (c) ientes determinantes éstos: Ø ØØ Ø 9 Ø8 7 2 Ø Ø 28 81 71 23 1ØØ Ø ØØ Ø Ø ØØ Ø Ø Ø Ø Ø Ø 8 4 4 9 Ø Ø Ø 4 Ø 34Ø 127 Ø 32 ØØØ 4 3 Ø 12 Ø 4 Ø 7 32 Ø 8 5 4 9 Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø -21, (c)

a − 2 1150 + 143 3 ) = −28 4

21 0

1

23 0

3

1

4

2 0

3

(1) Desarrollamos por la 3a columna. (2) Sumamos la 3a fila aala 2a. (3) Desarrollamos por la 2a fila. a Desarrollamos por la 3 columna. (2) Sumamos la 3 fila (2 ) Desarrollamos(1) por la 3 a columna. CIO 4 : Hallar los valores de t que anulan el primer determinante, y calcula cuánto vale el segundo determinant 42: Hallar valores devalores t quedeanulan el primer determin t 2 En2EJERCICIO es determinantes. el apartado posibles t a) b)a), −calcula, 1 además, − 2 los 1 los a) 1 1 b) 2 0 −a) 12 3 3t4 12 2 2 t1 − 0t b) − 2 1 − 2 1

1

1t t 0 t

2

4

1− 1 1 3 2 025 2t 4 −2 1 0 − 1 4 0 13 t

t

0

0

2

3

1

t

−1

3

0

2

− : rollamos el determinante e igualamos a 1cero el 4 −2 1 0 3 resultado: 3 1 2 Solución: t = 0 3 3 2 0 1=− tt + 4 t − 2t − 4t = t − 2 t = t t − 2 = 0 → →  2 2 a) Desarrollamos el determinante e igualamos t − 2 = 0 → t = 2 a→cero t = el ± resultado: 2  2 2 2 2 t 0 = t + 4(1 − t ) − 2 t (1 − t ) − t = t + 4 − 4 t − 2 t + 2 t − t = 3t − 7 t + 4

(

)

t 2 2 t soluciones : t1 = 0; t 2 = − 2 ; t 3 = 3 2 3 2 2 t 0 = t + 4 t − 2 t − 4 t = t − 2 t = t t −2 = 0 FILAS  8 4 t = 6 = 3 1 −2 1 −2 1 1 1 −t 2 t1 7 ± 49 − 48 2 7 ±11 5 2 minante: 3 t − 7 t + 4 = 0 → t =  2 3 1 2 1 5 60 (1) = 6 2 −1 = Hay tres soluciones:= t−1 3= 0 ;1 t42 ==6− 2 ; t 3 = 2

(

a

a

3

0

2

a

a

3 − 2 ⋅1

a

3

1

4

0

t=  4 −2 1

=1

)

→ →

t = 0  2 t − 2 = 0

a

a

1 − 3⋅ 2

=

2

a

− 5a) 13 t 0 2 2 3

a

3 −2⋅2

a

b)

−2 1 −2 1 13 0 +2143) =3 −281 = −(− 115

2 t (2 )0

−5

1

− 11 23

−5 1 = −

− 11 23 0

t

t

−1 3 4 −2

0

2

1

0

(2) Desarrollamos por la 3 columna. Solución: (1) Desarrollamos por la 4 columna. a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado: tEJERCICIO 2 2 2 : Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado a), calcula, además, los posibles valores de t t = 0 3 2 t 0 = t + 4 t − 2t − 4t = t 3 − 2 t = t t 2 − 2 = 0 a)→ 1→ 1  12− t b) 2 − 1 3 4 t −2 = 0 → t2 = 2 → t = ± 2  1 t t a

(

Hay tres soluciones : t 1 = 0 ; sea t 2cero: = − 2; para que el determinante

)

t3 = 2

FILAS

b)

−2 1 −2 0 2 3 Solución: −1 3 0 4 −2 1

=

a

a

2 −1 a

a

3 + 2 ⋅1

a

1 t

0

1

1

2 5

2 4

t

−1

4

0 3

1

3

3 1

a 1 −2 1 −2 1 1 2 1 5 a a 1 2 1 5 0 (1) 2 −1 = =− 3 1 4 = 2 3 a − 2 ⋅ 1a 3 1 4 0 4 −2 1 1 1 1− t a 0 4 −2 1 0 4 2

a)FILAS Calculamos el valor del determinante: 1 t 1

a

0

= t + 4(1 − t ) − 2t (1 − t ) − t = t 2 + 4 − 4t − 2 t + 2 t 2 − t = 3t 2 − 7 t + 4

2 4 t 2 1 5 a a ( 1) Desarrollamos por la 4 columna. (2 ) Desarrollamos por la 2 columna. ( 2) 1 − 1 − 1 0 −1 = = 11 + 8 = 19  8 4 8 11 t = 6 = 3 8 0 11 7 ± 49 − 48 7 ± 1  2

 6 6  b):6 EJERCICIO 5 : Resuelve la ecuación propuesta en a) y calcula el valor del determinante propuesto en t = = 1 a) a a 1 b) − 2 1 0 3  6 1 1 a =0 1 0 2 1 4 El determinan te vale cero cuando t = y cuando t = 1 . 0 −1 1 3 −1 1 1 4 Veamos para que valores de t se anula el determinante: 3t − 7 t + 4 = 0 → t =

FILAS

3

1 −1 − 2

=