MATRICES Y DETERMINANTES SISTEMAS DE ECUACIONES

Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias y Tecnología

Profesor: Jorge Escribano Colegio Inmaculada Niña Granada www.coleinmaculadanina.org

Departamento de Matemáticas Colegio Inmaculada Niña de Granada

TEMA 9.- MATRICES Y DETERMINANTES 1.-

INTRODUCCIÓN

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5. 3  3  1  , es de orden 2 x 3 Por ejemplo: A    2 1 5    5 3  2   B    3  4 0  , es de orden 3 x 3    0 2 1    3  1    La dimensión de una matriz se suele indicar: A   2 3     5 1  2 x 3 

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión (u orden) y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

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TIPOS DE MATRICES

Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.

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Matemáticas II: Matrices y Determinantes

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Atendiendo a la forma Matriz fila:

Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1n. Ejemplo

1

 2 3  11x 4

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m 1.  1    Ejemplo   2     4    3 x1

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n  n. Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.  1 3 0     4  3 Ejemplo 2   1 5 2  3 

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc. De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n  m. 5  4 2   Ejemplo A    1  3 2    0 1 4  

 2 1 0    At   5  3 1      4 2 4  

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji.  1 2 4    Ejemplo A  2 6 5     4 5 2  

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Matemáticas II: Matrices y Determinantes

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Atendiendo a los elementos Matriz nula: Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0. Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. 1 0 0    2 0    ; B  0 4 0 Ejemplo A   0 3      0 0 3  

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.  4 0 0    2 0    ; B  0 4 0 Ejemplo A   0 2      0 0 4  

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. 1 0 0   1 0    ; I3  0 1 0 Ejemplo I 2  0 1     0 0 1  

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0  i