12 de Abril de 2011

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Clase 03) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Álgebra Lineal y Geometría Analítica

José Luis Quintero 1

Puntos a tratar

1. Determinante de una matriz 2. Propiedades de los determinantes 3. Cálculo del determinante operaciones elementales

usando

4. Determinante de orden 3

Álgebra Lineal y Geometría Analítica

José Luis Quintero 2

Determinante de una matriz

Sea A una matriz de orden n , si n=1 se tiene: A=[a], det A= a Se llama determinante de la matriz A de orden 2 al número a11.a22-a12.a21 y escribimos:

Álgebra Lineal y Geometría Analítica

José Luis Quintero

Puntos a tratar

1. Determinante de una matriz 2. Propiedades de los determinantes 3. Cálculo del determinante operaciones elementales

usando

4. Determinante de orden 3

Álgebra Lineal y Geometría Analítica

José Luis Quintero 4

Propiedades de los determinantes

1. Determinante de la traspuesta Si A es cualquier matriz cuadrada, entonces: det(A)= det(A )t

2. Si B se obtiene INTERCAMBIANDO dos filas de A, entonces el determinante cambia de signo: det B = - det A (OPERACIÓN ELEMENTAL 1)

3. Si B se obtiene MULTIPLICANDO una fila de A por el escalar c, entonces el determinante queda multiplicado por c. det B = c (det A) (OPERACIÓN ELEMENTAL 2) Álgebra Lineal y Geometría Analítica

José Luis Quintero

Propiedades de los determinantes

4. Si B se obtiene sumando a una fila de A un múltiplo de otra fila de A, entonces el determinante no se altera det B = det A (OPERACIÓN ELEMENTAL 3)

5. Determinante de una matriz triangular El determinante de una matriz triangular está dado por el producto de los elementos de su diagonal.  a1 1   0 det  0   .  0 

a1 2

a1 3

...

a2 2 0

a2 3 a3 3

... ...

.

.

...

0

0

0

Álgebra Lineal y Geometría Analítica

a1n   a2 n  a 3n   ...  a n n 

= a11 a 22 a 33 ... a nn

José Luis Quintero

Propiedades de los determinantes

6. Determinante de la inversa Si A es no singular, entonces det(A) ≠ 0, y :

1 det( A ) = det(A) −1

Es decir una matriz tiene inversa si su determinante es diferente de cero. Si el determinante de una matriz es cero , la matriz no tiene inversa. Álgebra Lineal y Geometría Analítica

José Luis Quintero

Propiedades de los determinantes a. Si un renglón o columna tiene solo ceros, el determinante es cero. b. Si se intercambian 2 renglones o columnas, el signo del determinante cambia c. Si dos columnas o renglones son iguales, el determinante es cero. d. Si se multiplica un renglón o columna por un numero real el determinante se multiplica por ese número real. e. Si se suma un múltiplo de un renglón o columna a otro renglón o columna, el determinante no se altera. f. El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada una. g. El determinante de la inversa es el inverso del determinante de la matriz original. Álgebra Lineal y Geometría Analítica

José Luis Quintero

Propiedades de los determinantes

det AT = det A det A =

5

7

3 −4

= −41

det A = T

5

3

7 −4

= −41

Si dos filas (columnas) de una matriz A de n × n son idénticas, entonces det A = 0.

 6 2 2   A =  4 2 2 9 2 2  

Álgebra Lineal y Geometría Analítica

6 2 2 det A = 4 2 2 = 0 9 2 2

José Luis Quintero

Propiedades de los determinantes

Si todos los elementos de una fila (columna) de una matriz A de n × n son cero, entonces det A = 0. Si B es la matriz obtenida por intercambio de dos filas (columnas) de una matriz A n × n, entonces:

det B = −det A 2 det B = 6

1 3

4 −1 9

0 7 =− 6

4 −1 9 Álgebra Lineal y Geometría Analítica

2

0 7 = − det A 1 3 José Luis Quintero

Propiedades de los determinantes

Si B se obtiene de una matriz A n × n multiplicando una fila (columna) por un número real k, entonces:

det B = k det A det B = kai1Ci1 + kai 2Ci 2 + ⋯ + kainCin =

k (ai1Ci1 + ai 2Ci 2 + ⋯ + ain Cin ) 











= k det A

expansión de det A por cofactores a lo largo de la i -ésima fila

5

8

20 16

= 5．8．2

=5

1 1 2 1

Álgebra Lineal y Geometría Analítica

1

8

4 16

= 5．8

1 1 4 2

= 80(1 − 2) = −80 José Luis Quintero

Propiedades de los determinantes

Si A y B son matrices n × n, entonces det AB = det A ⋅ det B. 6 2  3 − 4 A=  , B= 5  1 − 1 − 3

 − 12 22  AB =    6 − 9

det AB = −24, det A = −8, det B = 3, det AB = det A ⋅ det B. Álgebra Lineal y Geometría Analítica

José Luis Quintero

Propiedades de los determinantes

Si B se obtiene como combinaciones lineales de filas o columnas de una matriz A n × n, entonces:

det B = det A 1 2  −3 R + R  5 1 2 5   1 3  A =  3 0 7 ⇒  3 0 7 = B  4 −1 4  − 11 − 4 − 2      det A = 45 = det B = 45. Álgebra Lineal y Geometría Analítica

José Luis Quintero

Propiedades de los determinantes

0 0  a11   A =  a21 a22 0 a  a a  31 32 33 

det A = a11

a22

0

a32

a33

=

a11 (a22 a33 − 0 ． a32 ) = a11a22 a33

matriz triangular inferior

3 0

3  2  A= 5  7

0  0 9 −4 0  2 4 − 2 0 6

0 0

Álgebra Lineal y Geometría Analítica

0

2 6 0 det A = 5 9 −4 7 2

0 0 = 0

4 −2

3 ． 6 ． (−4) ． (−2) = 144 José Luis Quintero

Propiedades de los determinantes

matriz diagonal

−3 0 0 − 3 0 0   A =  0 6 0  det A = 0 6 0 = (−3)．6．4 = −72  0 0 4 0 0 4  

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José Luis Quintero

Puntos a tratar

1. Determinante de una matriz 2. Propiedades de los determinantes 3. Cálculo del determinante operaciones elementales

usando

4. Determinante de orden 3

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José Luis Quintero 16

Cálculo del determinante por operaciones elementales

Se ha afirmado que para el caso especial de una matriz triangular, el determinante es igual al producto de los elementos sobre la diagonal. Entonces, si una matriz puede reducirse a una matriz escalonada por filas, es evidente que el determinante podrá calcularse como el producto de los elementos diagonales, considerando en el desarrollo las operaciones elementales por filas y su efecto en el valor del determinante. Se usará un ejemplo para ilustrar esta situación:

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José Luis Quintero

Cálculo del determinante por operaciones elementales

Hallar el determinante de la matriz

2  3  A= 0  2

Álgebra Lineal y Geometría Analítica

2 3 1 0

0 2 3 2

4  2 2  1

José Luis Quintero

Cálculo del determinante por operaciones elementales Solución: se tiene que 2 3

2 3

0 2

4 2

0

1

3

2

2

0

2

1

= 2

1 3

1 3

0 2

2 2

0

1

3

2

2

0

2

1

= −2

1

1

0

2

0

1

3

2

0

0

2

−4

0

0

8

1

(suma de filas) (multiplicación por un escalar)

= 2

1

1

0

2

0

0

2

− 4

0

1

3

2

0

− 2

2

−3

(dos veces suma de filas) 1 0 = −2 0 0

1 1 0

0 3 2

2 2 −4

−2

2

−3

(intercambio de filas) Álgebra Lineal y Geometría Analítica

= −2(2)

1

1

0

2

0

1

3

2

0

0

1

−2

0

0

8

1

(multiplicación por un escalar) = −2(2)

1

1

0

2

0

1

3

2

0

0

1

−2

0

0

0

17

(suma de filas) det (A)= (-2)(2)(17)=-68 José Luis Quintero

Cálculo del determinante por operaciones elementales

Es conveniente aclarar que para el cálculo de los determinantes, las operaciones básicas también pueden realizarse por columnas, dependiendo del ejemplo de que se trate.

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José Luis Quintero

Puntos a tratar

1. Determinante de una matriz 2. Propiedades de los determinantes 3. Cálculo del determinante operaciones elementales

usando

4. Determinante de orden 3

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José Luis Quintero 21

Determinante de una matriz de orden 3

En el caso de matrices cuadradas de orden 3, también podemos calcular el determinante de la siguiente manera:
Copie la primera y segunda columna de la matriz a su derecha:

a11 a12 a13 a11 a12 A = a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

+

-

A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − (a12a21a33 + a11a23a32 + a13a22a31) Álgebra Lineal y Geometría Analítica

José Luis Quintero

Ejercicios 1. Evalúe el determinante de las siguientes matrices:  5 A =  7  − 4

4 2 3

− 1 − 3  1 

1 − 1 0 B =  2 − 2 − 1 − 1 1 1 

2. Para que valor de a el determinante es cero:

1− a

2

3

2 + a

1

0

− 2

− 4

a

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José Luis Quintero

Pensamiento de hoy

“No es lo que no sabemos lo que nos inquieta, es lo que sabemos que no es así”. Will Rogers

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