Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.

12 de octubre de 2014

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.

Matrices

Una matriz Am×n es una colecci´ on de n´ umeros columnas   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n     .. .. ..  ..  . . . .  am1 am2 · · · amn ↓ ↓ ↓ c1 c2 · · · cn

ordenados en filas y → f1 → f2 .. . → fm

Decimos que la dimensi´ on de A es m × n. Si m = n, decimos que A es cuadrada; si m = 6 n decimos que es rectangular.

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Matrices

Diagonal principal. Si A es una matriz cuadrada de dimensi´on n, los elementos aii , i = 1, . . . , n forman la diagonal principal de la matriz; la suma de estos elementos es la traza de la matriz.

Traspuesta de una matriz: es la matriz que se obtiene cuando intercambiamos las filas y las columnas (PIZARRA)

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Matrices

Tipos especiales: (PIZARRA) Matriz identidad. Matriz diagonal. Matrices triangulares (superior, inferior). Matriz nula. Matriz fila, matriz columna. Matriz sim´etrica, hemisim´etrica (antisim´etrica).

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Matrices

Operaciones: (PIZARRA) 1. Suma. Propiedades: Conmutativa. Asociativa. Elemento neutro: matriz nula. Elemento inverso: opuesta de una matriz.

2. Multiplicaci´ on por un n´ umero. Propiedades: λ · (A + B) = λ · A + β · B (λ + µ) · A = λ · A + µ · A λ · (µ · A) = (λ · µ) · A 1 · A = A.

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Operaciones: (PIZARRA) 3. Multiplicaci´ on de dos matrices. Propiedades: En general no es conmutativa. Asociativa. Elemento neutro para matrices cuadradas: matriz identidad. Elemento inverso para algunas matrices cuadradas: matriz inversa. (A · B)T = B T · AT .

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Inversa de una matriz: dada una matriz cuadrada A, A−1 (su inversa) es la matriz, si existe, que cumple A · A−1 = A−1 · A = I

A−1 no siempre existe. Se puede caracterizar cu´ando existe utilizando determinantes, o la noci´ on de rango. (A−1 )T = (AT )−1 . (A · B)−1 = B −1 · A−1 Dos opciones para calcularla: determinantes o el m´etodo de Gauss-Jordan (lo veremos m´as adelante).

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Determinantes

Dada una matriz cuadrada A, el determinante de A, que representamos por |A|, es un n´ umero que asociamos con A. Decimos que |A| tiene orden n, si la dimensi´ on de A es n × n.

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Determinantes |A| se define primero para orden 2 (PIZARRA). Los determinantes de orden 3 se calculan desarrollando por una fila o columna, reduciendo por tanto el c´alculo a orden 2. Por ejemplo, si A es 3 × 3, desarrollando por la primera fila (aunque se puede elegir cualquier otra fila, o cualquier columna), tenemos a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 · A11 + a12 · A12 + a13 · A13 a31 a32 a33 donde Aij representa el adjunto del elemento aij (es decir, el menor complementario multiplicado por (−1)i+j ). En el caso de matrices for 3 × 3, la Regla de Sarrus puede ser, tambi´en, u ´til. (PIZARRA). Igualmente, los determinantes de orden 4 se calculan desarrollando por una fila o columna, etc.

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Determinantes

Propiedades b´ asicas: 1. |A| = |At | 2. Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces |A · B| = |A| · |B|. 3. Si todos los elementos de una fila (o columna) tienen un factor com´ un, dicho factor se puede extraer fuera del determinante. 4. Si intercambiamos dos filas (o dos columnas), el determinante cambia de signo.

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Determinantes

Propiedades b´ asicas: 5. Si A tiene una fila o una columna de 0’s, entonces |A| = 0. 6. Si A tiene dos filas (o dos columnas) iguales o proporcionales, entonces |A| = 0. Si hay una fila o columna que es combinaci´on lineal de otras, el determinante tambi´en es cero. 7. El valor del determinante no cambia si a˜ nadimos a una fila (o columna) una combinaci´ on lineal de otras filas (o columnas). Esta propiedad es esencial para calcular el valor de un determinante de manera eficiente.

C´alculo pr´actico de determinantes: PIZARRA

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Determinantes

C´alculo de la inversa de una matriz cuadrada A. La inversa A−1 existe si y s´ olo si |A| = 6 0. 1 T A−1 = · Adj (A), donde Adj(A) es la matriz adjunta, es decir, |A| la matiz cuyo elemento i, j es el adjunto del elemento aij . Alternativa: m´etodo de Gauss. (PIZARRA)

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Rango de una Matriz Decimos que una fila r (an´alogamente, una columna) es una combinaci´ on lineal de las filas ri1 , . . . , ris si existen n´ umeros α1 , . . . , αs tales que r = α1 · ri1 + · · · + αs · ris . Los α1 , . . . , αs se llaman coeficientes de la combinaci´on lineal. Decimos que ciertas filas (an´alogamente, columnas) son linealmente independientes, si ninguna se puede obtener como combinaci´ on lineal del resto. En caso contrario, decimos que son linealmente dependientes.

Pregunta: C´ omo podemos reconocer f´ acilmente si dos filas (o dos columnas) son linealmente dependientes?

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Rango de una Matriz

Definici´ on El rango de una matriz A, rg(A), es el n´ umero de filas (o de columnas) linealmente independientes de la matriz.

Definici´ on (equivalente) de rango, en t´ erminos de determinantes. Se dice que un menor, en una matriz A, es cualquier determinante que podamos obtener a partir de la matriz original, eliminando filas y/o columnas. Se puede ver entonces que rg(A) es el m´aximo orden de los menores no nulos de A. (PIZARRA)

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Rango de una Matriz

Observaciones/propiedades: Decimos que una matriz A de orden n tiene rango completo (o que es regular), si rg(A) = n. Esto sucede si y s´ olo si |A| = 6 0 (es decir, si y s´ olo si A es invertible). Si A es cuadrada y no tiene rango completo, se dice que es singular; una matriz singular no tiene inversa. El rango por filas coincide con el rango por columnas. rg(A) = rg(AT ). Si la dimensi´ on de A es m × n, entonces rg(A) ≤ min(m, n). Al calcular el rango, estamos encontrando filas (o columnas) independientes!

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Rango de una Matriz

Algunas reglas para calcular rg(A): Una matriz tiene rango 0 si y s´ olo si todos sus elementos son 0. una fila/columna de 0s no cuenta para el c´alculo de rangos. Igualmente, una fila/columna que es m´ ultiplo de otra fila/columna, o es combinaci´ on lineal de otras filas/columnas, no cuenta tampoco. El rango no cambia si realizamos operaciones elementales por filas en la matriz A (intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un n´ umero, sumar a una fila una combinaci´ on lineal de otras filas); an´alogamente por columnas. El c´alculo pr´actico de rangos se puede realizar utilizando determinantes, o el m´etodo de Gauss. (PIZARRA)

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Sistemas lineales: definiciones

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones del tipo   a11 · x1 + a12 · x2 + · · · a1n · xn = b1    a21 · x1 + a22 · x2 + · · · a2n · xn = b2 .. .. ..  . . .    am1 · x1 + am2 · x2 + · · · amn · xn = bm xi ’s: inc´ ognitas aij ’s: coeficientes bj ’s: t´erminos independientes

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Sistemas lineales: definiciones

El sistema se puede escribir en  a11 a12 · · ·  a21 a22 · · ·   .. .. ..  . . . am1 am2 · · ·

forma matricial   a1n x1  x2 a2n    ..  ·  .. .   . amn

xn

como:       =  

b1 b2 .. .

    

bm

En forma abreviada, A · x¯ = b¯ A: Matriz de coeficientes. x¯: vector de inc´ ognitas. ¯ vector de t´erminos independientes. b:

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Clasificaci´on de Sistemas Lineales

Clasificaci´ on de Sistemas Lineales: Un sistema lineal puede ser: 1

Compatible, si tiene soluci´ on. En este caso, puede ser: Determinado, si tiene soluci´ on u ´nica. Indeterminado, si tiene infinitas soluciones.

2

Incompatible, si no tiene soluci´ on.

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Clasificaci´on de Sistemas Lineales

Matriz ampliada:    B= 

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

··· ··· .. .

a1n a2n .. .

b1 b2 .. .

am1

am2

···

amn

bm

    

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Clasificaci´on de Sistemas Lineales

Teorema (Teorema de Rouch´e-Fr¨ obenius) Sea A · x¯ = b¯ un sistema lineal de m ecuaciones con n inc´ognitas, y sea B la matriz ampliada del sistema. El sistema es compatible si y s´olo si rg(A) = rg(B); en este caso, el sistema es determinado si rg(A) = rg(B) = n, y es indeterminado si rg(A) = rg(B) < n.

Si rg(A) = rg(B) = n, la diferencia n − rg(A) es el n´ umero de par´ametros de los que depende la soluci´ on.

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Resoluci´on de sistemas lineales

Dos posibilidades: 1

M´ etodo de Cramer: utiliza determinantes y debe aplicarse sobre un sistema de Cramer (es decir, un sistema donde la matriz de coeficientes tenga rango completo).

2

M´ etodo de Gauss, y de Gauss-Jordan: no requiere calcular determinantes, sino realizar u ´nicamente operaciones sobre filas/columnas. Es el m´etodo que est´a implementado en los paquetes de software matem´atico.

En ambos casos, PIZARRA

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Sistemas Lineales Homog´eneos Sistemas lineales donde los t´erminos independientes son todos nulos:  a11 · x1 + a12 · x2 + · · · a1n · xn = 0     a21 · x1 + a22 · x2 + · · · a2n · xn = 0 .. .. ..  . . .    am1 · x1 + am2 · x2 + · · · amn · xn = 0

Siempre son compatibles (por qu´e?) La pregunta interesante es si tienen o no otras soluciones, adem´as de la soluci´ on trivial (en cuyo caso tienen infinitas!) Esto sucede si y s´ olo si rg(A) < n. Si A es cuadrada, esto es equivalente a |A| = 0.

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