Matrices y Determinantes. Sistemas Ec. Lineales Matrices.Definiciones.Se llama matriz de orden nxm a toda ordenación de n.m números ordenados en n filas y m columnas. Se suelen llamar con letras mayúsculas A = (aij), 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. El subíndice i indica el número de fila y el j el número de columna. Ejemplo: A2x3 =



a11 a12 a13 a21 a22 a23



1 0 −1 √ 2 3 2

=

Matriz fila, aquella donde m=0.

!

p.e.

2 4 5 7 6 

 2  3     −1  6

Matriz columna, aquella donde n=0 p.e.




Matriz cuadrada, aquella donde n=m y se expresa como An. Matriz opuesta, aquella donde todos sus elementos están cambiados de signo, es ! decir, -A=

−1 0 1 √ −2 −3− 2

Matriz traspuesta, aquella donde se cambian los elementos de las filas por las  columnas, y se escribirá At. =  

1 2 0 3  √  −1 2

Matriz nula, aquella donde todos sus elementos son 0. Dentro de las matrices cuadradas de orden n, se tiene como elementos significativos, la Diagonal principal y secundaria, matriz triangular superior si aij = 0, i > j , matriz triangular inferior si aij = 0, i < j , matriz diagonal si aij = 0, si i = j , y por último, matriz simétrica si aij = aji. Matriz Identidad, aquella matriz cuadrada diagonal con aii = 1. p.e.



 1 0 0  0 1 0  0 0 1

Operaciones con matrices.Igualdad de matrices.- Dos matrices son iguales si lo son término a término, es decir, Anxm = (aij) , Bnxm = (bij), A = B ⇔ aij = bij ∀i, j. Suma.- Deben de tener la misma dimensión es decir nxm. y se sumarían elemento a elemento, es decir, Anxm = (aij) , Bnxm = (bij) , p.e.

1 0 −1 √ 2 3 2

!

+



−1 7 0 −2 4 0



Anxm + Bnxm = (aij + bij). =

0 7 0 √ 0 7 2

!

1

Verifican las propiedades de asociativa, conmutativa, elemento neutro y opuesto Producto de un número real por una matriz.- Para multiplicar un escalar λ por una matriz A, basta con multiplicarlo por cada uno de sus elementos, es decir, λ · Anxm = (λ · aij) p.e.

√

2·

1 0 −1 √ 2 3 2

!

=

√ ! √ 0 − 2 2 √ √ 2 2 3 2 2

Las matrices con esas dos operaciones tiene estructura de Espacio Vectorial (Ya veremos lo que significa). Producto y potencia de matrices.- Para multiplicar dos matrices, ya no es tan intuitivo, se construye la multiplicación de la siguinete forma: Anxm · Bmxp = Cnxp, donde cada cik = p.e.

1 0 −1 √ 2 3 2

 !  1 0 · − 1 0 = 0 −1

m P

aij · bjk = ai1 · b1k + ai2 · b2k + + aim · bmk

j =1

1 1 √ −1 − 2

!

Como sepuede observar, no es conmutativa la multiplicación de matrices, pero verifica las siguientes propiedades: a) A(BC)=(AB)C (Asociativa) b) A(B+C)=AB+AC

(Distributiva)

c) (A+B)C=AC+BC d) (AB)t = B tAt Otras propiedades de la matriz traspuesta con respecto a las operaciones definidas son: •

(At)t = A

•

(A + B)t = At + B t

Matriz inversa.- Si consideramos solamente las matrices cuadradas, donde existe matriz unidad o Identidad, se puede hablar de matriz inversa por la izquierda y por la derecha, a aquella que al multiplicarla por la matriz me da la Identidad, es decir, A−1A = AA−1 = I Si la matriz cuadrada tiene inversa se dice regular y si no singular, más adelante calcularemos matrices inversas de forma más metódica que por el método de Gauss-Jordan. 2

Para resolver sistemas y ecuaciones matriciales, basta con conocer las propiedades de los productos y las sumas. Ejemplo.- Si Solución:



 3 0 A= − 1 2  0 −1

y



 1 1 B= 0 0  −1 −1

Calcular una matriz X/

A+X=B.



     1 1 3 0 −2 1 X=B-A= 0 0  −  − 1 2 = 1 − 2  −1 −1 0 −1 −1 0

Ejercicios.Ver las páginas

del libro de texto.

Determinantes.Definición.Se llama permutación de n-elementos a la distintas maneras de ordenarlos. Se llama permutación principal de los n primeros números a la que mantiene su orden, es decir, (1,2,3,...,n). Como ya sabrás, hay n! permutaciones de n-elementos. Se llama inversión a cada una de los cambios de posición de dos elementos con respecto a la permutación principal. Una permutación se dice par si es producto de un número par de inversiones, e impar si lo es de un número impar. Sea A una matriz cuadrada de orden n, se llama determinante de A y lo notaremos P ( − 1)tai1 j1 · ai2 j2 · .ainjn, donde t es el número de inver|A| = det(A) = siones para pasa de α = (i1, i2, , in) a β = (j1, j2, , jn). Hay n! sumandos, la mitad con signo positivo y la otra mitad con negativo. Determinante de orden dos. a11 a12 A = a a = a11 · a22 − a12 · a21 21

p.e.

1 2 0 −1

22

=−1−0=−1

Determinante de orden 3. a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a21 · a32 · a13 − a13 · a22 · a31 − a12 · a21 · a31 a32 a33 a33 + a11 · a32 · a23. 3

Para recordar esta regla llamada de Sarrus, basta con tener orientación positiva y negativa

1 0 −1 p.e. 2 − 2 1 0 1 1

=

-2-2+0-0-1-0=-5

Propiedades de los determinantes.-

a) El determinante de la matriz nula es 0 y el de la Identidad es 1. b) El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. c) Si permutamos dos filas o columnas, el determinante cambia de signo. d) Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales, su determinante vale 0. e) Si todos lo elementos de una fila (o columna) son cero, el determinante vale 0. f) Si dos filas son proporcionales, entonces el determinante vale 0. g) Si se multiplican todos los elementos de una línea por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. h) El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal principal. 4

i) Si todos los elementos de una fila se descomponen en suma de dos sumandos, el determinante es suma de otros dos determinantes. j) Si una fila es combinación de otras dos, el determinante no varia. k) Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela a ella, multiplicada previamente por un número, el valor del determinante no varía.

Una matriz se dice regular si su determinante es no nulo. Si la matriz es de orden mayor a tres, se utilizan estas propiedades para conseguir ceros y aplicar el desarrollo por sus adjuntos mucho mś facilmente (Regla de Chio).

Desarrollo de un determinate por los elementos de una línea.Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se llama submatriz complementaria del elemento aij de una matriz, a la de orden 1 menos, que se obtiene de la anterior, eliminando la fila y la columna que contienen a dicho elemento.La vamos a expresar por αij. Se llama menor complementario del elemento aij, al determinante de la submatriz complementaria, es decir, |αij|. Se llama adjunto del elemento aij y se nota Aij = ( − 1)i+j · αij .

Si cada elemento de la matriz A la sustituimos por su adjunto, obtenemos la matriz adjunta de A que se notará Adj(A). Si A es una matriz cuadrada de orden n, su determinante es la suma de los productos de los elementos de una línea por sus adjuntos respectivos. Ejemplo:Si



 12 3  A = − 1 0 2 ,α11 = 10 20 1 10

= 0 − 2 = − 2;







α12 = −1 1 02 = − 2; α13 = − 11

0 1

y A11 = ( − 1)2 · α11 = − 2; A12 = ( − 1)3 · α12 = − 2; yA13 = ( − 1)4 · α13 = − 1. La matriz adjunta de A en nuestro caso es:



 −2 −2 −1 Adj(A) =  3 − 3 1 . 4 −5 2

Por tanto, el determinante de A será desarrollandolo por los adjuntos de la primera fila: |A | = a11.A11 + a12.A12 + a13.A13 = 1.( − 2) + 2.( − 2) + 3.( − 1) = − 9, por tanto es una matriz regular.

5

Cálculo de la matriz inversa.Siempre que sea regular, es decir, su determinante sea distinto de cero, tiene inversa y su valor es: 1

t

1

A−1 = |A| · (Adj(A)) = |A| · Adj(At) Para la matriz del ejemplo anterior, su inversa sería: 

A−1 =    

−1 3 2 1 9 3 1 −1 9 9 2 9



−4 9 5 9 −2 9

   

Propiedades.1. (AB)−1 = B −1 · A−1 2. (At)−1 = (A−1)t.

Rango de una matriz.Se llama menor de orden p de una matriz rectangular, A, de orden nxm a los determiantes de las submatrices de A de orden p. Se llama rango de una matriz rang(A) al mayor menor no nulo de dicha matriz. Al menor que me da el rango de la matriz se llama menor principal de la matriz A. p.e. Si A =

1 0 −1 √ 2 3 2

; rang(A) = 2, ya que 21 03 = 1  0.

!





Dicho rango se suele calcular utilizando el método del pivote, que consiste en: 1. Eliminaremos las líneas nulas y las que son combinación lineal de las restantes. (Estas me dan determinantes nulos) 2. Elegimos un elemento distinto de cero, con lo cual obtenemos rang(A)=1. Completamos ese menor con filas y columnas hasta obtener un menor distinto de cero, y así sucesivamente, consideranto los menores principales los distintos de cero y los vamos orlando o completando.

Ejercicios.Se realizarán los referidos a las páginas

del libro.

6

Sistemas de Ecuaciones Lineales.Sistemas de ecuaciones lineales en forma matricial.Consideremos en principio un sistema de n-ecuaciones con m-incógnitas, de la forma: a11x1 + a12x2 + + a1mxm = b1 a21x1 + a22x2 + + a2mxm = b2 [1]

.. .. .. .. .. .. .. ... ... ... ..... .. an1x1 + an2x2 + + anmxm = bm

En forma matricial este sistema es equivalente al siguiente: 

  a11 a12 ... a1m x1  a21 a22 ... a2m   x2  ·   an1 an2 ... anm xm

o bien,



 b1   b2  =     bm 

A · X = B.

Un sistema se llama homogéneo si B=0. Estos sistemas siempre son compatibles al tener la solución trivial X=0, como mínimo. p.e.  3x + 2y − z = 1 − 2x + z = 1  y+z=2

 x + 5y − 4z = 0 x − 2y + z = 0 Homogéneo. 3x + y − 2z = 0

[1]

Que en forma matricial sería:



     3 2 −1 x 1  − 2 0 1 · y = 1  0 1 1 z 2

Los sistemas de ecuaciones lineales (S.E.L), según sus soluciones y número de ellas se clasifican en: a) Sistema incompatible (S.I) si no tiene solución. b) Sistema compatible (S.C) si tiene solución. 1. Sistema Compatible Determinado (S.C.D) si la solución es única. 2. Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I) si tiene infinitas soluciones. Dos sistemas son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones, y para pasar de uno a otro, se realizan transformacines elementales. Ejemplo .7

     x=1 x=1 x+ y −z =2  ⇔ z=2 2x − y + z = 1 (Sumo 1y2) ⇔ 2x − y + z = 1 (1 + 2 − 3) ⇔ x − y + 2z = 2 x − y + 2z = 2 x − y+ 2z = 2 x = 1 z=2 y = 3 Este sistema último ya está resuelto.

Empezaremos resolviendo sistemas con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.

Método de Gauss.Siempre que podamos calcular la inversa por la izquierda de A, se puede resolver ese sistema, cuya solución es: X = A−1 · B . Existe el método de cálculo de la matriz inversa, llamado de Gauss-Jordan, que consiste en el siguiente. Sabemos que A debe de ser regular. Se coloca a la derecha de A la matriz identidad del mismo orden (A|I), y al conjunto obtenido le aplicamos transformaciones elementales por filas hasta obtener (I |B), donde B es la matriz inversa de la matriz A. Si al realizar las transformaciones elementales sale alguna fila 0, nos indica que la matriz no tiene inversa. p.e. En el caso del sistema [1], aplicando el método de Gauss:  3 2 −1|1 0 0  − 2 0 1 |0 1 0 (f 1 + 0 1 1 |0 0 1 



1 2 f 2) ∼  − 2 0 0 1

   1 2 0|1 1 0 0|1 1 0 1 |0 1 0 (f 2 + 2f 1) ∼  0 4 1 |2 3 0  0 1 1 |0 0 1 1 |0 0 1

y así sucesi-

vamente, aunque creo que esm sumamente más fácil por Cramer.

Regla de Cramer.Otra forma de resolver estos sistemas, es decir, un sistema de n-ecuaciones con nincógnitas, de la forma: a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 .. .. .. .. .. .. .. ... ... ... ..... .. an1x1 + an2x2 + + annxn = bn En forma matricial este sistema es equivalente al siguiente:   x1 a11 a12 ... a1n  a21 a22 ... a2n   x2 ·   .. . . ..   an1 an2 ... ann xn 

o bien,

A · X = B.



 b1   b2  =     bn 

La Regla de Cramer nos da la solución en el caso de sistemas de n-ecuaciones con n-incógnitas y compatible determinado. 8

X = A−1 · B ⇔ X =

Adj(At) b A + b A + . + bn1Ani , es decir, xi = 1 1i 2 2i|A| |A|

o lo que es lo mismo, cada incógnita es el cociente del determinante de la matriz que se forma sustituyendo esa columna por la de los términos independientes y dividirla po el determinante de la matriz de los coeficientes.

Teorema de Rouché-Fröbenius.A continuación estudiaremos cuando e número de ecuaciones e incógnitas no coincidan. Teorema de Rouché-Fröbenius.Un S.E.L »S» es compatible si y solo si el rango de la matriz de los coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada A|B, es decir, S es compatible ⇔ rang(A)=rang(A|B) Por tanto quedan así los resultados sobre sistemas: Los sistemas de ecuaciones lineales número de ellas se clasifican en: I. Sistemas homogéneos rang(A)=rang(A|0)).

(S.E.L), según su forma, sus soluciones y

(Todos

son

compatibles

puesto

que

a) Sistema Compatible Determinado (S.C.D) si rang(A)=n. b) Sistema Compatible Indeterminado (S.C.I) si rang(A)=r