CAPÍTULO 3: DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Parte A: determinantes. A.1- Definición. Por simplificar, consideraremos que a cada matriz cuadrada se le asocia un número llamado determinante que se calcula siguiendo un conjunto de propiedades. A.2- Matriz inversa. Se define la matriz inversa de

y se denota por

a aquella matriz que verifica

y

siendo la matriz identidad. La condición necesaria y suficiente para que una matriz sea regular (es decir, que

) es que

su determinante sea distinto de cero. A.3- Propiedades de los determinantes Sea

una matriz cuadrada. Se verifican las siguientes propiedades:

Al multiplicar una fila o columna de es igual al producto

por un escalar

el determinante de la matriz resultante

.

, siendo - Ejemplo: calcular el determinante de una matriz Tomando determinantes en la igualdad

antisimétrica de orden impar. resulta

la matriz. Como n es impar la igualdad anterior equivale a

, siendo n el orden de de donde se sigue que

. - Ejemplo: ¿Existe una matriz antisimétrica de orden 5 que verifique la ecuación

?

(indicación: tomar determinantes a ambos lados de la igualdad) Si la suma de todos los elementos de cada fila (o columna) de una matriz es múltiplo de n, entonces el determinante de dicha matriz es múltiplo de n. Si se cambia el orden de dos filas (o columnas) de una matriz, el determinante cambia de signo:

Si en un determinante una fila (o columna) se puede descomponer como la suma de dos elementos entonces el determinante se puede descomponer como la suma de dos determinantes tal como se indica a continuación:

Pedro_CC

1

El determinante de una matriz vale cero si y solo sí una fila (o columna) es combinación lineal de las restantes filas (o columnas) de la matriz. El determinante de una matriz no varía si a una fila (o columna) se le suma una combinación lineal de las restantes fila (o columnas) de la matriz. A.4- Menor complementario. Dada una matriz

se denomina menor complementario del elemento

al determinante

obtenido al suprimir la fila y la columna del determinante inicial. Se denotará

.

A.5- Adjunto de un elemento. Dada una matriz

se denomina adjunto de un elemento y se denota por

al valor

A.6- Cálculo de determinantes. Matriz de orden 2:

Matriz de orden 3:

A.7- Desarrollo de un determinante por los elementos de una fila o columna. Si tenemos una matriz

su determinante se puede obtener desarrollando por la fila :

También se puede obtener desarrollando por la columna j:

A.8- Regla de Chio o del elemento pivote. Para calcular un determinante de orden n podemos hacer que todos los elementos menos uno de una fila o columna sean cero empleando las propiedades de los determinantes. Después, se desarrolla dicho determinante por la fila o columna en cuestión. A.9- Triangulación.

Pedro_CC

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Podemos transformar un determinante en otro triangular utilizando las propiedades de los determinantes. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. A.10 Determinantes y matrices. A.10.1- Rango de una matriz El rango de una matriz de orden mxn es el número de columnas o filas linealmente independientes de dicha matriz. Se puede demostrar que el número de columnas de una matriz que son linealmente independientes de una matriz es igual al número de filas linealmente independientes de dicha matriz, por lo que la definición anterior es consistente. A la hora de hacer cálculos, el rango de una matriz es el orden del mayor determinante no nulo que se puede formar con sus filas y columnas. A.10.2- Inversa de una matriz Dada una matriz cuadrada

Siendo

de determinante no nulo su inversa viene dada por la siguiente expresión:

la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto.

Otra forma de calcular la inversa de una matriz consiste en realizar transformaciones de tipo fila a la matriz hasta obtener la matriz identidad. Si hacemos las mismas transformaciones a la matriz identidad obtendremos la inversa de dicha matriz. A.10.3- Determinante de un producto. Si

son matrices cuadradas de orden :

A.10.4- Menores principales Sea

una matriz cuadrada de orden . Se denomina menor principal de orden

obtenido al suprimir

a todo determinante

filas y columnas correspondientes a elementos de la diagonal principal.

- Ejemplo: los menores principales de orden 2 de la matriz

son

.

Los menores principales de orden 1 de la matriz anterior son 1,1,2. Parte B: Sistemas de ecuaciones. B.1- Definición Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto definido de la siguiente forma:

Pedro_CC

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Se dice que este sistema tiene m ecuaciones y n incógnitas. B.2- Representación matricial y vectorial. Si tomamos

,

entonces el sistema anterior se puede

.

expresar en la forma Si

,

tomamos

,

,…,

y

entonces el sistema admite la representación vectorial La matriz

se denomina matriz de coeficientes y la matriz

- Ejemplo: sea el sistema

y

Si

se denomina matriz ampliada.

un conjunto de soluciones del mismo. Determinar la para que

condición que deben verificar

= .

sea solución del sistema.

es solución del sistema tenemos que

operando la parte izquierda de la igualdad y teniendo en cuenta que igualdad

, ,

,… se obtiene la

de donde se sigue inmediatamente que la condición pedida es si

cualquier valor de

. Si

entonces

es solución del sistema para

.

B.3- Solución de un sistema Una solución del sistema

es un vector

tal que se verifica

. Un sistema de ecuaciones

lineales puede tener 0,1 o infinitas soluciones. Si el sistema tiene 1 solución diremos que es compatible determinado, si tiene 0 soluciones diremos que es incompatible y si tiene infinitas soluciones diremos que es compatible indeterminado. B.4- Sistemas equivalentes Diremos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Para obtener sistemas equivalentes de ecuaciones se pueden emplear las mismas operaciones que para obtener sistemas equivalentes de vectores (sumarle a una ecuación una combinación lineal de las demás, multiplicar una ecuación por un escalar,...) Un método muy usual consiste en transformar un sistema en otro lo más triangular posible (método de Gauss). Al triangular un sistema podemos obtener tres situaciones diferentes: - La última ecuación tiene una incógnita con coeficiente distinto de cero. En ese caso el sistema es compatible determinado. - La última ecuación tiene más de una incógnita con coeficientes distintos de cero. En ese caso el sistema es compatible indeterminado.

Pedro_CC

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- La última ecuación es de la forma

, siendo

. En este caso el sistema es

incompatible. B.5- Solución de un sistema de ecuaciones. Los sistemas de Krammer son sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas con , o también por

(compatibles). Su solución viene dada por obtiene al sustituir la i-sima columna de

siendo

la matriz que se

por el vector de términos independientes .

Teorema de Rouche-Frobenius. Si tenemos un sistema representado en forma vectorial dicho sistema tiene solución si y solo sí y

= es fácil ver que

es combinación lineal de se deduce que

.

Como

si el sistema tiene

solución (es compatible). Enunciado: Un sistema

es compatible si y solo si

. Además se tiene que:

- Si nº incógnitas=

el sistema es compatible determinado.

- Si nº incógnitas>

el sistema es compatible indeterminado.

B.6- Sistema homogéneo. El sistema

se dice que es homogéneo si

.

Todo sistema homogéneo admite solución trivial, y si

=0 el sistema es compatible indeterminado y

admite soluciones distintas de la trivial. B.7- Determinante de Vandermonde Se dice que un determinante es de Vandermonde si es de la forma:

(Es aconsejable simplificar el determinante y desarrollarlo por la primera fila para ver que se obtiene la parte izquierda de la igualdad) La definición es análoga para matrices

.

-Resumen capítulo 3 Igual que en el capítulo 1, muchas cosas de este tema deberían ser conocidas del bachillerato. Si es así, basta con que practiquéis haciendo cuestiones y problemas de examen de otros años para coger una cierta soltura de cara a los exámenes. Por otra parte, suelen aparecer cuestiones que valen entre 1 y 1.5 puntos tanto en el examen intercuatrimestral como en el cuatrimestral.

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Las cuestiones del examen de octubre se suelen centrar más en la parte A del tema y también emplean propiedades sobre la transposición de matrices para su resolución (como ya vimos en el resumen del capítulo 1), aunque también puede aparecer alguna cuestión en la que sólo haya que emplear propiedades de los determinantes. Un ejemplo sería: CUESTIÓN 2 (intercuatrimestral noviembre 2009, 1.5 puntos) Calcular el orden del siguiente determinante para que se verifique la igualdad:

- Solución 1: en un principio esta cuestión puede ser un poco “intimidante” en el sentido de que tenemos que calcular un determinante de una matriz de orden , donde puede ser todo lo grande que se desee (a priori al menos). Sin embargo, al tratarse de una cuestión de 1.5 puntos tiene que haber alguna forma fácil de calcular el determinante anterior. En efecto, si le restamos la primera fila al resto de filas el determinante queda:

Como todos los elementos por debajo de la diagonal principal del último determinante son cero se sigue que el valor del determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal, es decir, Simplemente “a ojo” se obtiene que

por lo que el orden pedido es .

- Solución 2: si no se nos ocurre restarle la primera fila a todas las demás todavía podemos contestar correctamente la cuestión y obtener toda la puntuación. Una buena estrategia a la hora de contestar cuestiones donde aparece un genérico (aquí es el orden de un determinante) consiste en resolver el problema para valores pequeños de Notad que en realidad no nos piden calcular el determinante para todo encontrar un concreto. Para el caso

Para el caso Pedro_CC

y ver qué pasa.

sino que nos piden

el determinante queda:

el determinante queda: 6

Para el caso

el determinante queda:

Para calcular este determinante necesitamos tener una fila (o columna) cuyos elementos sean todos ceros menos uno para poder desarrollar el determinante por dicha fila (o columna). Para cambiar un poco respecto a la otra solución vamos a desarrollar el determinante por la cuarta columna. Si le restamos a la segunda fila la primera, a la tercera la primera y a la cuarta cuatro veces la primera el determinante queda:

Por lo que podríamos concluir que el valor pedido es caso general. Incluso si no llegamos a resolver el caso

sin necesidad de haber hecho el es preferible hacer los casos

antes que dejar la cuestión en blanco para rascar algunas décimas.

Las cuestiones del examen cuatrimestral se suelen centrar más en la parte B del tema y en ocasiones es necesario emplear alguna propiedad de subespacios vectoriales para resolverlas completamente. El siguiente ejemplo es un clásico (que es una forma sutil de decir que es importante porque cae con una cierta periodicidad): PROBLEMA 1 (cuatrimestral febrero 2011, 1.5 puntos) Discutir para los distintos valores de los parámetros

Resolver el sistema para aquellos valores de

el sistema de ecuaciones lineales:

para los que sea compatible

indeterminado. ¿Es en este caso el conjunto de soluciones del sistema un subespacio vectorial de ? Razonar la respuesta. En primer lugar comentaré algo muy importante de este tipo de cuestiones: como el vector nulo pertenece a todo subespacio vectorial la condición necesaria y suficiente para que las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales tengan estructura de espacio vectorial es que en la columna de términos independientes todos los elementos sean cero. En este caso, sin Pedro_CC

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embargo, la columna de términos independientes tiene términos no nulos independientemente de los valores que tomen por lo que vector nulo no es solución del sistema (si hacemos

en la primera ecuación obtenemos

). Por tanto,

podemos afirmar que el conjunto de soluciones del sistema no va a ser un subespacio vectorial en ningún caso y contestar la segunda parte de la cuestión de un golpe de vista y de haciendo una cuenta trivial. Para estudiar el sistema calculamos primero el valor del determinante de la matriz de coeficientes:

de donde se sigue que si . Si

el sistema es compatible determinado para cualquier valor de

podemos expresar el sistema en forma matricial:

Es claro que los coeficientes de la última ecuación son la suma de los coeficientes de la primera ecuación y la segunda ecuación por lo que para que el sistema tenga soluciones es necesario que . Si podemos prescindir de la última ecuación y resolver el sistema:

haciendo

, pasando la variable

a la columna de términos independientes y resolviendo

el sistema resulta

, y hemos terminado.

Veamos otro ejemplo donde no aparecen subespacios vectoriales: CUESTIÓN 2 (examen enero 2012, 1 punto) Estudiar si el siguiente sistema de ecuaciones puede ser un sistema compatible indeterminado para dos valores del parámetro real

En primer lugar calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

Pedro_CC

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Para que el sistema sea compatible determinado necesitamos que dicho determinante se anule, por lo que nuestra única posibilidad es que tanto para como para el sistema sea compatible indeterminado. Veamos el caso

. El sistema queda:

que claramente es compatible indeterminado. Veamos el caso

. El sistema queda:

Si cambiamos las dos primeras ecuaciones de signo y las sumamos obtenemos la tercera ecuación, por lo que podemos prescindir de la última ecuación y resolver el sistema pasando la variable a la columna de términos independientes. Haciendo se obtiene que las soluciones del sistema son de la forma

por lo que el

sistema es compatible indeterminado y, por tanto, existen dos valores del parámetro

que

hacen que el sistema sea compatible indeterminado.

Pedro_CC

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