1 DETERMINANTES A cada matriz n-cuadrada A = (aij) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o

a11 a 21 . a n1

a12 a 22 . an2

. a1n . an2 = K . . . a nn

Una tabla ordenada n × n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz. La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas. Definición Sea A

∈ K nxn

Se llama determinante a toda función : D:

K nxn → K A→

D(A)

Que cumple los siguientes axiomas : 1) El determinante de una matriz, donde una de sus columnas es suma de otras dos, se puede expresar al determinante coma la suma de dos determinantes respectivos. 2) El determinante de una matriz, donde una columna esta premultiplicada por un escalar, es igual al producto del escalar por el determinante de dicha matriz. 3) El determinante de una matriz que contiene dos columnas idénticas es cero. 4) D ( I ) = 1

Propiedades 1) Si se permutan dos líneas ( filas o columnas ) de una matriz cuadrada, sus determinantes respectivos son opuestos. 2) Si una línea ( fila o columna ) de una matriz cuadrada es el vector nulo, entonces su determinante es igual a cero. 3) El determinante de una matriz cuadrada no varía si a una línea ( fila o columna) se le suma una combinación lineal de otra línea ( fila o columna) respectivamente.

2 DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:

a11 = a11

Así, el determinante de una matriz 1 × 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) =

a11 = a11

Ejemplos: a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos: det (24) = 24, det(-3) = -3 b)

DETERMINANTES DE ORDEN TRES Consideremos una matriz 3 × 3 arbitraria A = (aij ). El determinante de A se define como sigue:

- a23 a32 a11-a12a21a33 Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo). Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:

3

que no es otra cosa que agregar las dos primeras filas a continuación de la tercera o bien agregar las dos primeras columnas a continuación de la última y luego efectuar los productos de los elementos de la diagonal principal y sus paralelas(de tres elementos) para sumarlas, también efectuar el producto de los elementos de la diagonal secundaria y sus paralelas(de tres elementos) para luego restarlas. Ejemplo: Calcular el valor del determinante:

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63

Observaciones: T

1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A son iguales, es decir,

2. Sea A una matriz cuadrada, • Si A es triangular, esto es, A sólo tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal principal, entonces •

es igual al producto de los elementos de la diagonal.

Si A posee una línea(fila o columna ) que es múltiplo de otra , el determinante es igual

a cero. 3. Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre filas o columnas, 4. El determinante es una función multiplicativa. Es decir, el determinante del producto de matrices A y B es el producto de los determinantes: |AB| = |A| |B|.

4 DETERMINANTE DE ORDEN ARBITRARIO Desarrollo del Determinante de una matriz por medio de los cofactores de los elementos de una fila o columna. Regla de Laplace Sea A = ( a nn ) una matriz de orden arbitrario n × n (siendo n un número par). Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera: se elige una línea cualquiera , se suman los productos de los elementos de la línea por sus adjuntos.

Los signos se van alternando según la posición que ocupen las entradas del determinante o lo que es lo mismo que a cada término se lo multiplique por (-1)i+j .Es decir:

Ejemplo:

Si observamos la matriz, podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros. Así pues, si elegimos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante, nos ahorraremos calcular dos determinantes, ya que el producto de un determinante por cero es cero.

5

+

= -1(-35) + 3(35) = 35 + 105 = 140.

Ejercicio: cálculo de determinantes Calcular los siguientes determinantes:

ADJUNTA DE UNA MATRIZ ( adj a ) Consideremos una matriz n-cuadrada A = (aij ) . La adjunta de A, denotado por adj A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A:

Ejemplo:

Los cofactores o adjuntos de los nueve elementos de A son:

6

La matriz de los cofactores es la siguiente:

6   − 17 4   =  − 11 7 3   1 − 2 − 3  

M cof

La traspuesta de la matriz de los cofactores o adjuntos anteriores proporciona la matriz adjunta de A:

(

M cof

)

T

 − 17 − 11 1    = Adj.A =  4 7 − 2  6 3 − 3  

INVERSA DE UNA MATRIZ Sea una matriz A , dicha matriz admite inversa si y solo sí A≠ 0 , en ese caso dicha matriz es regular. • Aplicación del adjunto para hallar la matriz inversa Para toda matriz cuadrada A, A·(adj A) = (adj A) · A = |A|. I De este modo, si |A| ≠ 0,

Observemos que esta propiedad nos permite hallar la inversa de una matriz.

7 Ejemplo: Consideremos la matriz

y el det A:

Así pues, aplicando la propiedad anterior:

Ejercicio: cálculo de la matriz inversa 1 ) Calcular, por la propiedad anterior, la inversa de las siguientes matrices: a)

b)

a) Primero hallaremos el determinante de la matriz A:

8 El siguiente paso es hallar el adjunto de la matriz B, así pues, los cofactores de los cuatro elementos de B son: B11 = 5

B12 = -2

B21 = 1

B 22 = 3

y el adjunto de B, denotado por adj B, será

b) Empezaremos por hallar el det A,

Los cofactores de los nueve elementos de A son:

La traspuesta de la matriz de los cofactores anteriores proporciona el adjunto de A:

Aplicando la propiedad de la matriz inversa obtenemos A

-1

:

9

SISTEMA DE n-ecuaciones lineales con n-incógnitas Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables Ecuaciones Lineales con n-incógnitas.

x1 , x 2 ,........., x n se denomina Sistema de n-

 a11 x1 + a12 x 2 + ... + a n1 x n = b1  a x + a x + ... + a x = b 22 2 n2 n 2  21 1  .  . .   a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = bn

El mismo sistema puede expresarse como A . X = B denominada Forma matricial de un sistema de necuaciones lineales con n-incógnitas., donde A es la matriz de los coeficientes , X la matriz de las incógnitas y B la matriz de los términos independientes. Para encontrar el valor de la matriz X : A.X=B ( A-1 A) . X =A-1. B I . X = A-1 B X= A-1 B

 a11   a 21 Mat.de los coef. A =  :  a  n1

a12 a 22 : an2

... a1n   b11       ... a 2 n   b21   , Mat.de los térm. indep. B=  ,Mat.de las incógnitas X=    ... : :         ... a nn   bn1  

x1   x2  :   x n 

10 CENT Nº 2

COMPLEMENTOS DE ALGEBRA II Práctico de Determinante

1) Resuelve los siguientes determinantes : 1 1 1 -2 2 -1 0 1 1 1 -2 0 2 0 -1 3 2) Demuestra Las propiedades de los determinantes mediante ejemplos. 3) Aplica propiedades para transformar en ceros los siguientes elementos : a11, a31, a22 , a23 del determinante dado. 2 -3 -1 1 -3 0

1 2 1

5 3 1 3

1 -1

1 2

-2

1

4) Calcula la inversa , si es que existe, de las siguientes matrices aplicando el método de las adjuntas. 2 4  A=  2 -2 0 1 

1  0 2 

3 1 1    B =  0 -2 1   1 - 3 3  

5  C= 2 4 

1 5 2

-1   - 1 - 1

5) Calcula la inversa de las matrices del ejercicio anterior utilizando el método de Gauss-Jordan . 6) Encuentra el conjunto solución , si es que existe, de los siguientes sistemas.  x + 3y - 2z = 1   x - 2y + 2z = - 2  - x + 3y - z = - 1 

 2x 1 + x 2 - x 3 = -3   x 1 + 2x 2 - 2x 3 = 1  x - 4x + 2 = 0 3  1

 x 1 - 4x 2 + 2x 3 - 1 = 0   2x 2 + x 3 - 3 = 0  x - x + x -3= 0 3  1 2

11