Story Transcript
Di b uj o T écn i co – S e cci o n es P l a n as
2 º B a ch
SECCIONES PLANAS
37. 37.1.
INTRODUCCIÓN.
P ara h al l a r l a s ec c i ó n p l an o d e u n c u erp o geo m ét ri co s e p u ed en em p l e ar t res m ét o d o s : a . - P o r i n t ers ec ci ó n d e ari s t as o gen erat r i ces d el cu e rp o co n el p l an o . b . - Ut i l i z an d o u n c am b i o d e p l an o p a r a s i t u ar el cu erpo o el p l an o s ec an t e en p o s i ci ó n m ás fav o ra b l e res p e ct o a l o s p l an o s d e p ro ye cci ó n . c. - P o r h o m o l o gí a o afi n i d ad n o m o l ó gi c a, s ab i en d o q u e d o s s ecci o n es p l an as d e l as s up erfi ci es r ad i ad as s o n n o m o l ó gi cas o afi n es . En n u es t ro cas o v am o s a v er l o s d o s p ri m ero s m ét o d os .
SECCION PLANA DEL PRISMA
3 7 .1 .1 .
3 7. 1. 1. 1. P o r i n t er s ecci ó n d e a r i s t as l a t er a l es co n el p l a n o. Las i n t ers e cci o n es d e fi gu r as p ri s m át i c as co n p l an os d ad o s , s e res o l v er án h al l an d o l o s p u n t o s d e i n t ers ecci ó n d e cad a u n a d e l as ari s t as d el p ri s m a co n el p l an o en c u es t i ó n . Un i en d o l o s p u n t os ob t en i d o s t en d rem o s l a s ecci ó n p l an a.
Si
q u erem o s
ob t en er
d i ch as
s ecci o n es en v erd a d era m a gn i t u d , b as t ará co n ab at i r el p l an o d a d o s ob re u n o d e l o s d e p ro ye cci ó n . En l a fi gu ra v em o s l as p ro ye cci o n es d e u n p ri s m a
cu al q u i e ra
ap o yad o
en
el
p l an o
h o ri z o n t al y q u e e s s ecci o n ad o p o r u n p l an o ob l i cu o α 1 - α 2 . Hacem o s
p as ar
los
p l an o s
p ro ye c t an t es
v ert i cal es ω 1 - ω 2 , λ 1 - λ 2 , y β 1 - β 2 p o r l as ari s t as
A’ ’,
i n t ers ecci ó n
B ’’
y
co n
el
C’ ’
y
p l an o
h al l am o s d ad o
la
α1-α2
ob t en i en d o en l as p ro ye cci o n es h o ri z o n t al es d e d i ch as a ri s t as l o s p u n t o s 1 ’, 2 ’ y 3 ’, d et erm i n an d o a c o n t i n u aci ó n l a p ro yecci ó n v ert i cal d e l o s m i s m o s 1 ’’, 2 ’’ y 3 ’ ’.
227
Di b uj o T écn i co – S e cci o n es P l a n as 2 º B a ch Ob t en i en d o l a s ec ci ó n p l an a q u e s i q u e rem o s ob t en e r l a v e rd ad er a m a gn i t u d d e l a m i s m a b as t ara co n ab at i r el p l an o d ad o co n l a s ecció n i n cl u i d a s ob re el v e rt i cal u h o ri z o n t al d e p ro ye c ci ó n . 3 7. 1. 1. 2. P o r ca m b i os d e p l an o. Lo
p ri m ero
real i z ar
un
que
t en em o s
cam b i o
de
que
p l an o ,
h acer p ara
es el l o
el e gi m o s u n a n u ev a LT q u e s e a p erp en d i cu l ar a u n a d e l as t raz as d el p l an o p ara t ran s fo rm ar es t e en u n p l an o p ro ye c t an t e. En n u es t ro c as o t raz am o s l a n u ev a LT p erp en d i cu l a r a α 1 p a r a t r an s f o r ma r e l pl a n o d e c o r t e e n p r o ye ct a nt e ve r t i ca l . T o ma mo s u n p u n t o F ’ - F ’ ’ q u e p er t e n e ce a l plano
dado
α 1 -α 2
y
h a l l a mo s
l as
n u e va s
p r o ye c c i o n e s . P or F ’ t r a za mo s u n a pe r pe nd i c ul a r a l a n u e va L T y s o b r e e s t a l l e va mo s l a c o t a d e F ’ - F ’ ’ y s e o bt i e n e l a p r o ye c c i ó n ve r t i ca l F ’ ’ 1 y p o r t a n t o l a n u e va t r aza ve r t i c al
α’ 2 .
S e t o ma o t r o p u nt o E’ - E ’ ’ d e u na a r i s t a y s e r e pi t e e l mi s mo p r o c e d i mi e nt o q u e pa r a F ’ F ’ ’ y o b t e ne mo s l a nu e va p r o ye c c i ón ve r t i c a l E ’ ’ 1 , l l e va mo s A ’ , B ’ y C’ s o br e l a n ue va L T y o b t e n e mo s l as n ueva s p r o ye c c i o n e s A ’ 1 , B ’ 1 y C ’ 1 u n i mo s C ’ 1 c o n E’ ’ 1 y o b t e ne mo s l a n u e va d i r ec c i ó n d e l a s a r i s t a s d el p r i s ma , t r a za mo s p a r a l e l as p o r A ’ 1 , B ’ 1 y t e n e m o s l as n u e va s p r o ye c ci o ne s .
La s e cci ó n s ob re l a n u ev a t raz a v ert i cal es el s egmen t o 1 ’’ 1 , 2 ’’ 1 y 3 ’’ 1 es t o s p u nt o s se
l l ev an
s ob re
la
p ro yec ci ó n
h o ri z o n t al
ob t en i en d o
los
punto
1 ’, 2 ’ y
3’
a
co n t i n u aci ó n s e re fi ere a l a p ro ye cci ó n v ert i cal ant i gu a ob t en i en d o l a s ecci ó n p l an a s o l i ci t ad a. 37.1.2.
SECCION PLANA DE LA PIRÁMIDE
3 7. 1. 2. 1. P o r i n t er s ecci ó n d e a r i s t as l a t er a l es co n el p l a n o. Las i n t ers e cci o n es d e fi gu r as p i ram i d al e s co n p l an os d ad o s , s e r es o l v er án h al l a n d o l o s p u n t o s d e i n t ers ecci ó n d e cad a u n a d e l as ari s tas d e l a p i rám i d e co n el p l a n o en cu es t i ó n . Un i en d o l o s p u n t o s ob t en i d o s t en d rem o s l a s ec ci ó n pl an a . S i q u erem o s ob t e n er d i ch as s ecci o n es en v erd ad er a m a gn i t u d , b as t ará co n ab at i r el p l an o d ad o s obre u n o d e l o s d e p ro ye cci ó n . 228
Di b uj o T écn i co – S e cci o n es P l a n as 2 º B a ch En l a fi gu ra v em o s l as p ro ye cci o n es d e u n p i rám i d e ob l i cu a cu al q u i era ap o ya d o en el p l an o h o ri z o n t al y q u e es s ec ci o n ad o p o r u n p l ano ob l i cu o α 1 - α 2 . Hacem o s v ert i cal es
p as ar
los
β 1 -β 2 , ω1
p l an o s -ω2,
p ro ye c t an t es
λ 1 - λ 2 , … Tan t o s
co m o ari s t as t i en e l a p i rám i d e A’’, B ’’ y C’’ … en n u es t ro cas o s o l am en t e n o m b ram o s el p l an o
β 1 - β 2 q u e p as a p o r l a ari s t a A’’ l o s r es t an t es l o s s up o n em o s . Ha l l am o s l a i n t ers ec ci ó n d e p l an o
β1-β2
co n
el
p l an o
d ad o
α1-α2
ob t en i en d o l a i n t ers ecci ó n i ’-i ’’ q u e re s u l t a d e u n i r l o s p u n t o s d e i n t ers ec ci ó n d e l as t r az as I ’I ’’ y H ’-H ’’, l a i n t ers ec ci ó n d e l a r ec t a i ’-i ’’ co n l a ari s t a A ’-V’ n o d et erm i n a el p u n t o 1 ’ q u e re feri d o a l a p r o ye cci ó n v ert i cal ob t en em o s 1 ’’. R ep et i m o s el m i s m o p ro ced i m i en t o co n l as o t ras ari s t as y ob t en em o s el r es t o d e l o s p u n t o s 2 ’, 3 ’, 4 ’, 5 ’ y 6 ’ q u e referi d o s a l a p ro ye cci ó n v e rt i c al s e ob t i en en l as o t ras p ro ye cci o n es 2 ’’, 3 ’ ’, 4 ’’, 5 ’ ’ y 6 ’’. P ara ob t en er l a v erd ad era fo rm a d e l a s ecci ó n b as t ará
co n
ab at i r
el
p l an o
s ecci ó n
s ob re
cu al q u i era d e l o s d e p ro ye cci ó n . 3 7. 1. 2. 2. P o r ca m b i os d e p l an o. Las i n t ers ec ci o n es d e fi gu ras p i ram i d al e s co n p l an o s
d ad o s ,
p ro ced i m i en t o
se que
r es o l v erán co n
una
co n
i gu al
s up erfi ci e
p ri s m át i ca t al co m o v em o s en l a fi gu ra. Lo p ri m e ro q u e t en e m o s q u e h acer es re al i z ar u n cam b i o d e p l an o , p ara el l o el e gi m o s u n a n u ev a LT q u e s ea p erp en d i cu l a r a u n a d e l as t raz as d el p l an o p ara t ran s fo rm ar es t e en u n p l an o p ro yect an t e. En
n u es t ro
cas o
t raz am o s
la
n u ev a
LT
p erp en d i cu l a r a α 1 p a r a t r a n s f o r ma r el p l a n o d e c o r t e en p r o yec t a nt e ve r t i c a l . 229
Di b uj o T écn i co – S e cci o n es P l a n as
2 º B a ch
T o ma mo s u n p u n t o F ’ - F ’ ’ q u e p er t en e ce a l p l a n o d ad o
α 1 -α 2
y h a l l a mo s l a s nu e va s
p r o ye c c i o n e s . Po r F ’ t r a za mo s u n a p e r pen d i c ul ar a l a n u e va L T y s o b r e e s t a l l e va mo s l a c o t a d e F ’ - F ’ ’ y s e ob t i e n e l a pr o ye c ci ó n ve r t i ca l F ’ ’ 1 y p or t an t o l a n ue va t r a za ve r t i c al
α’ 2 . S e t o ma el vé r t i ce d e l a pi r á mi d e V ’ - V’ ’ y s e r e p i t e el mi s mo p r o c e d i mi e nt o qu e pa r a F ’ F ’ ’ y o b t e n e mo s l a nu e va p r o ye c ci ó n ve r t i c a l V’ ’ 1 , l l e va mo s A ’ , B ’ y C’ s o br e l a n ue va L T y o b t e n e mo s l a s n u eva s p r o ye c c i o n es A ’ 1 , B ’ 1 y C ’ 1 u n i mo s C ’ 1 c o n V ’ ’ 1 y o b t e n e mo s l a n u e va a r i s t a de l a pi r á mi d e , s e r e pi t e l o mi s mo c o n l as ot r as ar i s t a y p o r C ’ 1 , B ’ 1 y t en e mo s l a s nu e va s p r o ye c c i one s d e l a pi r á mi d e .
La s e cci ó n s ob re l a n u ev a t raz a v ert i cal es el s egmen t o 1 ’’ 1 , 2 ’’ 1 y 3 ’’ 1 es t o s p u nt o s se
l l ev an
s ob re
la
p ro yec ci ó n
h o ri z o n t al
ob t en i en d o
los
punto
1 ’, 2 ’ y
3’
a
co n t i n u aci ó n s e re fi ere a l a p ro ye cci ó n v ert i cal ant i gu a ob t en i en d o l a s ecci ó n p l an a s o l i ci t ad a.
SECCION PLANA DEL CONO
37.1.3.
Las i n t ers e cci o n es d e fi gu ras có n i cas c o n p l an o s d ad o s , s e res o l v er án h al l an d o l o s p u n t o s d e i n t ers ecci ó n d e cad a u n a d e l as ari s t as fi ct i ci as d el co n o co n el p l an o en cu es t i ó n . Un i en d o l o s p u n t o s ob t en i d o s t en d rem o s l a cu rv a s ecci ó n . En l a fi g. rep res en t am o s
l as
co n o
ap o yad o
rect o
h o ri z o n t al ,
p ro yec ci o n es
s ecci o n ad o
de
un
en
el
p l an o
por
un
plano
p ro ye ct an t e v ert i cal . P ara ob t en er l a v e r d ad era fo rm a d e l a s ecci ó n
b as t ará
s ecci ó n
s ob r e
con
ab at i r
cu al q u i era
de
el
plano los
de
p ro ye cci ó n . S ea el co n o d ad o y el p l an o α 1 - α 2 p ro ye ct an t e v ert i cal , t raz am o s u n a s eri e d e a ri s t as arb i t r ari a s A-V, B -V, C -V, DV, E -V y F-V, h al l a m o s en l a p ro ye cci ó n v ert i cal l as i n t ers eccio n es d e l as a ri s t as y l a t raz a v ert i cal α 2 p u n t o s 1 ’ ’ , 2 ’ ’ , 3 ’ ’ , 4 ’ ’ , 5 ’ ’ y 6 ’ ’ . R eferi m o s es t o s a l a p roye c ci ó n h o ri z o n t al d e l as a r i s t as y s e ob t i en en l o s p u n t o s en p ro ye cci ó n h o ri z o n t al 1 ’ , 2 ’ , 3 ’ , 4’, 5’ y 6’,
u n i m o s l os p u n t o s y t en em o s l as p ro ye cci o n es d e l a s ecci ó n q u e res u l t a u n a
el i p s e co m o er a p re v i s t o .
230
Di b uj o T écn i co – S e cci o n es P l a n as 2 º B a ch P o d em o s ob t en er l a el i p s e d e o t ra m anera ob t en i en d o l o s d i ám et ro s d e l a fo rm a s i gu i en t e. En l a p r o ye cci ó n v ert i cal h al l am o s el p un t o m ed i o d e 1 ’’-4 ’ ’ p u n t o O ’’ t raz am o s el p l an o β 2 p aral el o al PH q u e n o s d et erm i n a el rad i o O ’’-H ’’ q u e re s u l t a el s em i ej e m en o r d e l a el i p s e, h al l am o s el l a p ro ye c ció n h o ri z o n t al l o s p u n t o s O ’ y H ’ y t raz am o s u n a ci rcu n feren ci a d e cen t ro V ’ y rad i o V’ -H ’ y p o r O ’ s e t raz a el ej e m en o r y s ob re es t e s e l l ev a el rad i o V’-H ’ y t en em o s l o s d o s ej es d e l a el i p s e y t r az a m o s l a m i s m a. Ab at i m o s s ob re el h o ri z o n t al y t en em o s l a el i p s e en v e rd ad e ra m a gn i t u d . 3 7. 1. 3. 1. P o r ca m b i os d e p l an o. Las i n t ers e cci o n es d e fi gu r as có n i cas co n p l an o s d ad o s , s e res o l v erán co n i gu a l p ro ced i m i en t o q u e co n u n a s up erfi ci e p ri s m át i ca o pi r am i d al , t al co m o v em o s en l a fi gu r a Lo p ri m ero q u e t en em o s q u e h a cer es real i z ar u n cam b i o d e p l an o , p ara el l o el e gi m o s
una
n u ev a
LT
que
s ea
p erp en d i cu l a r a u n a d e l as t raz as d el p l an o p ar a t ran s fo r m ar es t e en u n p l a n o p ro ye ct an t e. En n u es t ro cas o t ra z am o s l a n u ev a LT p erp en d i cu l a r a α 1 p a r a t r a ns f or ma r e l p l a n o d e c or t e e n p r oye c t a n t e ve r t i c al . T o ma mo s u n p u n t o P ’ - P ’ ’ q u e pe r t e n ec e al p l a n o d a do
α 1 -α 2
p r o ye c c i o n e s .
P or
y h a l l a mo s l a s n u e va s P’
t r a za mo s
una
p e r p en d i c u l a r a l a nu e va L T y s o b r e es t a l l e va mo s l a c o t a d e P ’ - P ’ ’ y s e o b t i e ne l a p r o ye c c i ó n ve r t i c a l P ’ ’ 1 y p o r t a n t o l a n ueva t r a za ve r t i ca l
α’ 2 .
S e t o ma el vé r t i ce V ’ - V ’ ’ d el c o n o y s e r e p i t e el mi s mo p r o c ed i mi e n t o q u e p ar a P ’ - P ’ ’ y s e p r oc e de c omo c o n l a p i r á mi d e t r a za n do a r i s t as f i ct i c i as c ua l es q u i er a .
37.1.4.
SECCION PLANA DEL CILINDRO
Las i n t ers e cci o n es d e fi gu r as ci l í n d ri c as co n p l an os d ad o s , s e r es o l v er án h al l an d o l o s p u n t o s i n t ers ec ci ó n d e cad a u n a d e l as ari s t as fi ct i ci as d el ci l i n d ro (rect o u
231
Di b uj o T écn i co – S e cci o n es P l a n as 2 º B a ch ob l i cu o ) co n el p l a n o en cu es t i ó n . Un i en d o l o s p u n t o s o b t en i d o s , ob t en d re m o s l a cu rv a s e cci ó n . En l a fi g. r ep res en t am o s l as p ro ye cci o n es d e u n ci li n d ro ob l i cu o ap o yad o e n el p l an o h o ri z o n t al , s ecci o n ad o p o r u n p l a n o p ro ye ct ant e v ert i cal . P ara ob t en er l a v e rd ad er a fo rm a d e l a s ecci ó n b as t ar á co n ab at i r el p l an o s ecci ó n s ob re cu al q u i er a d e l o s d e p ro ye cci ó n (en es t e cas o el h o ri z o n t al ). 3 7. 1. 4. 1. P o r ca m b i os d e p l an o. Las i n t e rs ec ci o n es d e fi gu ras ci l í n d ri c as co n p l an o s d ad o s , s e res o l v er án co n i gu al p ro ced i m i en t o
que
co n
una
s up erfi ci e
p ri s m át i ca, p i ram i d al o có n i c a, t al c o m o v em o s en l a fi gu ra Lo p ri m ero q u e t e n em o s q u e h acer es real i z ar u n cam b i o d e p l an o , p ara el l o el e gi m o s u n a n u ev a LT q u e s e a p erp e n d i cu l ar a u n a de l as t raz as d el p l an o p ara t ran s fo rm ar es t e en u n p l an o p ro yect an t e. En n u es t ro cas o t r a z am o s l a n u ev a LT p erp en d i cu l a r a α 1 p a r a t r a n s f o r ma r e l p l a n o d e c or t e e n p r oye c t a n t e ve r t i c al . T o ma mo s u n p u n t o R ’ - R q u e p er t e n e ce a l plano dado
α 1 -α 2
p r o ye c c i o n e s .
y h a l l a mo s l a s nu e va s
Po r
R’
t r a za mo s
una
p e r p en d i c u l a r a l a nu e va L T y s o b r e e s t a l l e va mo s l a co t a d e R ’ - R ’ ’ y s e o bt i en e l a p r o ye c c i ó n ve r t i c al R 1 y p o r t a n t o l a n ue va t r a za ve r t i ca l ( α 2 ) . S e t o ma e l ce n t r o d e l a s ba s es A ’ - A’ ’ O ’ O’’
de l
cilindro
y
se
r e pi t e
el
mi s mo
p r o c ed i mi e n t o q u e p ar a R ’ - r ’ ’ y s e pr o ced e c o mo c o n e l c on o t r a za n d o a r i s t a s f i c t i ci a s c u a l e s q ui er a .
37.1.5.
SECCIÓN PLANA
DE LA ESFERA. 232
Di b uj o T écn i co – S e cci o n es P l a n as 2 º B a ch En fi gu ra s e r ep res e n t a l as p ro ye cci o n es h o ri z o n t ales y v ert i cal es d e u n a es fer a d e cen t ro y r ad i o co n o c i d o s . La s ec ci ó n p ro d u ci d a en u n a es f era p o r u n p l an o p ro ye ct an t e α 1 -α 2 , ob t en i en d o l a v erd ad e ra fo rm a y m agn i t u d d e l a s ec ci ó n p ro d u ci d a p o r ab at i m i en t o . Qu e en es t e cas o es u n cí rcu l o (s i em p re q u e el p l an o s ea p ro ye ct an t e). El p l an o α 1 -α 2 ve mo s q u e c o r t a a l a e s f er a s e gú n u n c i r c u l o q u e s e p r o ye c t a ve r t i ca l me n t e e n
α2
s e gú n u n a A ’ ’ - C ’ ’ u
h o r i zo n t a l me n t e s e gú n u n a el i p s e de ej es A ’ - C ’ y B ’ - D ’ . El ej e me n o r A ’ - C ’ s e obtiene refiriendo los puntos A’’ y C’’ a la p r o ye c c i ó n
h or i zo nt a l
d el
me r i di a no
p r i nc i pa l . E l ej e ma yo r B ’ - D ’ es i gu a l a l di á me t r os A ’ ’ - C ’ ’ , p or s e r l a r ec t a A C u n a f r o n t a l de plano.
Lo s p u n t o s E - F q u e s o n l o s p u n t o s d e co n t act o d e l a el i p s e co n el ecu ad o r d e l a es fe ra. S e ob t i en e n t raz an d o p o r O ’’ l a p ar al el a a l a LT, h as t a q u e co rt e a α 2 e n E ’ ’ y F ’ ’ d e bi d o a q u e es t a r e ct a e s l a p r o yec c i ó n ve r t i c a l de l e cu a d o r , de s p ué s t r a s l ad a mo s e s t os a l a pr o ye c c i ó n h o r i zo n t a l o b t e n i e n do l o s p u n t o s E ’-F’.
3 7. 1. 5. 1. P o r ca m b i os d e p l an o. C as o d e t rat a rs e d e u n p l an o ob l i cu o , p rev i o
a
la
s ec ci ó n ,
cu al q u i er t i p o d e m ét o d o t ran s fo rm ar em o s
en
y
m ed i an t e au x i l i ar, l o
p ro yect a n t e,
act u an d o l u e go d e l a fo rm a i n d i c ad a. Las s e cci o n es p l an as d e u n a es fer a s i em p re n o s res u l t ará u n cí rcu l o en v erd ad e ra m a gn i t u d .
233