DIDÁCTICA DEL CÁLCULO INTEGRAL

Tomás Ortega Análisis Matemático y Didáctica de la matemática Facultad de Educación. Universidad de Valladolid.

1. INTRODUCCIÓN Se pretende dar una visión global de la didáctica del cálculo integral analizando todos los currículos españoles que tratan el tópico, haciendo una propuesta curricular de aula, revisando el material didáctico, dando orientaciones metodológicas, exponiendo un brevísimo apunte epistemológico, presentando el concepto en un marco de resolución de problemas con tres problemas reales, desarrollando los puntos más conflictivos y resolviendo los tres problemas propuestos antes.

2. MARCO CURRICULAR Los antecedentes curriculares del cálculo integral tienen su origen en el plan de 1934. Aquí se recogen los conceptos relativos a esta unidad desde este plan hasta la LOGSE.

PLAN DE 1934 Séptimo año: Noción de integral definida como expresión de un área.

PLAN DE 1938 Séptimo año: Nociones elementales sobre cuadraturas como límite de una suma de elementos infinitesimales; su cálculo formal.

PLAN DE 1953 No se contempla

PLAN DE 1957 Sexto año La integral definida. El problema del cálculo de áreas. Concepto de integral definida. La relación entre el área y la función primitiva. Integral indefinida. Teorema de la media.

Cálculo de áreas sencillas. Ejercicios. Aplicaciones del cálculo integral. Volumen de un cuerpo definido por una integral. Cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos sencillos. Aplicaciones a los cuerpos de revolución. Estudio del movimiento uniformemente variado. Otras aplicaciones físicas del cálculo integral. Ejercicios.

PLAN DE 1972 Tercero de BUP: Calculo diferencial. y Cálculo Integral. Aplicaciones. Matemáticas Comunes de COU: No aparece. Matemáticas Especiales de COU: Prácticamente idéntico al plan siguiente. Las matemáticas ii de 1988. La integral. Primitivas, la integral definida, cálculo de áreas.

EL CURRÍCULO DE LA LOGSE, 1990 2º de MACS Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. El problema del cálculo de áreas. 2º de MCNSyT Introducción al concepto de integral definida a partir del cálculo de áreas definidas bajo una curva. Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Aplicación al cálculo de áreas.

3. PROPUESTA CURRICULAR La siguiente propuesta se podrá llevar al aula, en el caso de MACS de forma más intuitiva, abundando en justificaciones gráficas, ejemplos y explicaciones sobre la aplicación de los conceptos. En MCNSyT se deben formar las sumas de Darboux ver la evolución con particiones más finas. Se debe establecer el Teorema Fundamental del Cálculo y se deben justificar las aplicaciones de la integral mediante sumatorios de Riemann. Se señalan los objetivos y contenidos de la unidad. Objetivos El fundamental es que los alumnos entiendan el concepto de integral definida y sean capaces de aplicarlo para calcular áreas, volúmenes y centros de masas.

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Distinguir y relacionar la integral definida e indefinida de una función. Saber integrar numéricamente, ver su generalidad y saber aplicarlo Conocer las técnicas elementales del cálculo de primitivas. Conceptos Concepto de integral definida. Integración numérica. Teorema fundamental del cálculo. Técnicas elementales para el cálculo de primitivas. Cálculo de áreas, volúmenes y centros de gravedad. Procedimientos El concepto de integral definida deberá establecerse a partir del cálculo de áreas definidas bajo una curva. Se construirán las sumas de Darboux a la vez que se dibujarán para una función positiva. Eligiendo un punto interior de cada subintervalo se construyen las sumas de Riemann, lo que da, de forma natural, un método general de integración numérica.

y=f(x)

a=x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6=b Conviene notar que para cada partición Figura 1. Integral de Darboux sólo hay dos sumas de Darboux, mientras que hay infinitas sumas de Riemann. Las de Darboux son más interesantes para relacionar el concepto con el de área, pero las de Riemann son más apropiadas para efectuar una integración numérica.

Si f es acotada en [a,b], entonces f es integrable Darboux sií lo es Riemann. Cuando se haga integración numérica conviene que la partición sea uniforme. En este caso, utilizando una hoja de cálculo los puntos en los que se evalúa la función se generan de forma automática. La regla de trapecios es muy intuitiva y tiene mayor orden de convergencia. El Teorema Fundamental del Cálculo, que debe establecerse inmediatamente después de definir el concepto de primitiva, da un método analítico para determinar integrales definidas y con él se establece la necesidad del cálculo de primitivas.

y=f(x)

El currículo establece con absoluta claridad que sólo se deben desarrollar los métodos generales de cálculo de primitivas: descomposición, sustitución e integración por partes.

a=x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6=b

Figura 2. Regla de los trapecios.

Se deben justificar las aplicaciones de la integral definida mediante procesos de sumatorios de Riemann: de áreas de rectángulos, de volúmenes de cilindros y de centros de masas de rectángulos

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Actitudes Hacia la valoración del trabajo realizado y confianza en las propias posibilidades de superación de las dificultades conceptuales. Apreciación del trabajo personal y colectivo, orden, sistematización, búsqueda y uso de estrategias de resolución. Interés por la precisión numérica y por la resolución analítica.

4. MATERIAL DIDÁCTICO Libros de texto Generador de volúmenes: Cartulinas de funciones Ordenador: Programas gráficos, Derive, Maple, Funciones, Calcula, Excel, QuattroPro, ... A continuación se muestran nueve gráficas que representan otras tantas cartulinas.

Cartulina 1. y=2, y=5.

Cartulina 2. y=-x+4.

Cartulina 4. y=x2-3.

Cartulina 3. y=x/2, y=-x/4

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Cartulina 6. y=x2-2, y=1.

Cart. 5. y=(4-x2)1/2+1, y=-(4-x2)1/2+1

Cart. 7. y=(4-x2)1/2+3, y=-(4-x2)1/2+3

Cart. 8. y=-x3/6+x2/2-7x/32-11/96, y=x3/6-x2/2+1/3

Cartulina 9. y=x2-2, y=x.

Cartulina 10. y=x2-2, y=x. I=[-2,2]

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Cartulina 12. y=(9-x2)/3, y=(x2-9)·(x2-1)/8

Cartulina 11. y=∗x∗, y=x^2-∗2x∗

El generador de volúmenes gira las cartulinas alrededor del eje de abscisas (puede considerarse el de ordenadas) y así se obtiene una imagen del volumen que genera el recinto plano representado en la cartulina. Esta visión “real” del volumen permite que los alumnos distingan las partes huecas de las macizas y en los casos donde haya superposición de volúmenes, el recinto plano está ambos lados del eje de giro, elegir el que genera el volumen. En suma con el generador de volúmenes los alumnos podrán entender mejor qué límites de integración son los que debe tener la integral definida en cada zona.

5. METODOLOGÍA La unidad se presentará en un marco de resolución de problemas, tratando de resolver los tres problemas reales que se describen después. Habrá presentaciones y exposiciones conceptuales a cargo del profesor, haciendo partícipes a los alumnos de las mismas mediante preguntas y propuesta de pequeñas aplicaciones de tipo evocativo. Los alumnos trabajarán en grupos e individualmente ejercicios de aplicación. Manipularán el generador de volúmenes para delimitar los límites de integración de los volúmenes de revolución que generan las “cartulinas” para que distingan partes “huecas” de “macizas” y, en suma, las funciones que generan el volumen. Harán prácticas de ordenador en las que tendrán que aplicar integración numérica, con la hoja de cálculo, y simbólica, con Derive o Maple, para resolver problemas de cálculo de áreas, volúmenes de revolución y centros de masas.

6. BREVE ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO El primer procedimiento para calcular volúmenes de revolución se debe a Arquímedes (287, 212) a.C. Arquímedes en su tratado Sobre Conoides y Esferoides expone un método para calcular los volúmenes de revolución de segmentos de elipsoides, paraboloides e hiperboloides cortados por un plano perpendicular al eje principal. Arquímedes divide al

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segmento AB del eje en n partes iguales de longitud h y considera cilindros de revolución como hoy en día se hace en Cálculo Integral. La diferencia de los métodos de Arquímedes con estos hay que buscarla en la no aplicación del concepto de límite funcional.

A h

Fue Simon Stevin el primero en modificar los métodos de Arquímedes, llevándolos hacia el análisis infinitesimal. En el año 1586 publicó su Estática y en ella probó que el centro de gravedad de una lámina triangular está sobre la mediana.

B Figura 3. Método de Arquí-

En 1635 Bonaventura Cavalieri publicó Geometria medes para calcular volúmenes indivisibilibus continuorum que expone la idea fundamental de que un área está formada por segmentos rectilineos indivisibles y un volumen por segmentos o áreas indivisibles. Principio de Cavalieri: Si dos cuerpos sólidos tienen la misma altura y si las secciones que determinan planos paralelos a las bases y a distancias iguales de ellas están siempre en una razón dada, entonces los volúmenes de los dos sólidos están también en la misma razón. Aplicando este criterio, por ejemplo, al cálculo del área de la elipse y al volumen del elipsoide de revolución, respectivamente, se obtiene: b

a

A=2

b a 2 − x 2 dx ∫ 20

a

a

b2 A = 2π 2 ∫ (a 2 − x 2 )dx 2 0

En realidad este método había sido descubierto por Fermat en 1629 para las curvas de ecuación y=xn Figura 4. Método de Cavalieri (para n>0 parábolas de Fermat y para n