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CIENCIA Y TECNOLOGÍA Número 5 Año 1999 Rector Gustavo TéIIez Iregui Vicerrector Académico Juan Carlos Orozco Cruz Vicerrector Administrativo Jorge Hernández Guzmán Comité Editorial RÓMULO GALLEGO BADILLO Decano de la Facultad ELSA LEONOR TALERO Jefe del Dpto. de Biología GERMÁN BAUTISTA ROMERO Jefe Dpto. de Física JORGE EDGAR PÁEZ Jefe Dpto. de Matemáticas MAURO PINZÓN RODRÍGUEZ Jefe Dpto. de Química CÉSAR A. LARA ÁNGEL Jefe Dpto. de Tecnología Comité Asesor Fidel Antonio Cárdenas Salgado Lilia Reyes Gloria García de García Germán Bautista Edgar Andrade Londoño Roymán Pérez Miranda Rosalba Pulido de Castellanos Juan Carlos Orozco Cruz Luis F. Maldonado Hernán Díaz UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL 1999 FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA Dirección: Calle 72 No. 11-86 Of. 222-B Fax: 3473551 -2173321 Santa Fe de Bogotá, D.C., Colombia

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EDITORIAL El Departamento de Matemáticas en su compromiso de formar profesionales de la educación en todos los niveles de la educación del sistema educativo, ofrece los programas entendidos como proyectos de investigación de Licenciatura en Matemáticas, Especialización en Educación Matemáticas y la Maestría en Docencia de las Matemáticas, tendientes a formar y cualificar profesionales de la Educación Matemática, con la intención de dar respuesta a: • ¿Cuál debe ser el conocimiento de un profesor de Matemáticas para considerarlo un profesional de la enseñanza de las Matemáticas? • ¿Logra el proyecto Curricular de Especialización en Educación Matemática de la Universidad Pedagógica, formulado teniendo en cuenta la formación previa del Licenciado en Matemáticas y estructurado con base en resultados de la investigación en didácticas de áreas específicas de las Matemáticas, cualificar el conocimiento profesional para el desempeño de la labor docente en el aula? Además como agente orientador, innovador y dinamizador de los procesos pedagógicos, centra su atención en la Educación Matemática y busca construir y consolidar grupos de trabajo entorno a la enseñabilidad y educabilidad en las líneas del Álgebra, Cálculo, Geometría, Informática y sus aplicaciones. En la actualidad se ha proyectado y se proyecta, con la participación permanente de los profesores y alumnos, en el Coloquio Distrital de Matemáticas, evento anual organizado, desde hace 16 años, en colaboración con la Universidad Nacional y la Universidad Distrital, en el Encuentro Anual de Geometría y sus Aplicaciones que organiza el Departamento de Matemáticas, desde hace 10 años, y recientemente, en las Reuniones Latinoamericanas de Matemática Educativa -RELME- con el ofrecimiento de cursos y talleres para profesores de la educación básica y media. El ambiente investigativo del departamento permea los programas, orienta al estudiante hacía las problemáticas del aula y permite la iniciación en el estudio de los métodos propios de la investigación educativa mediante la vinculación como auxiliar de investigación en Los diferentes proyectos que se desarrollan. La presente revista de la Facultad de Ciencia y Tecnología, cuyo número está a cargo del Departamento de Matemáticas, se ha dividido en las siguientes secciones: • Artículos. Se presentan algunos desarrollos de los trabajos de investigación de los profesores sobre la Matemática y la Educación Matemática. • Avances de Proyectos de Investigación. Se presentan proyectos de investigación en curso. • Notas de clase. Se presentan reflexiones sobre trabajos en el aula. • Proyectos Curriculares. Se presentan los avances de los proyectos curriculares enviados a la Comisión Nacional de Acreditación para su socialización y critica de la Comunidad Educativa

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• Informes sobre eventos impulsados por el Departamento. Se presentan los eventos en los cuales el Departamento impulsa y desarrolla.

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¿QUE HAY DETRÁS DE LAS DIFICULTADES QUE PRESENTA LA COMPRENSIÓN DEL CONCEPTO DE NÚMERO REAL? Gloria García O., Celly Serrano, Hernán Díaz* Abstract This article is based upon the concept of epistemological obstacle, error and difficulty An epistemological curriculum and cognitive analysis is carried out, with first semester students, to try to determine the motives for the difficulties in the comprehension of the concept of real number. Using the result of the analysis, suggestions for teaching the concept of real number are made. INTRODUCCION La enseñanza y el aprendizaje del concepto de número real genera muchas dificultades en profesores y alumnos. Tradicionalmente en la enseñanza de las matemáticas, su procedencia se ha adjudicado a las capacidades intelectuales del estudiante, pero en los últimos veinte años, esta concepción ha venido siendo desvirtuada para situar la procedencia de las dificultades no sólo en las capacidades del estudiante, sino también en el ámbito escolar, en los factores externos a la propia escuela, los cuales hacen parte del proceso de enseñanza y aprendizaje, y en la propia constitución de los objetos matemáticos. Particularmente la reflexión sobre la propia constitución de los objetos matemáticos, es quién aporta de manera contundente para modificar el concepto de dificultad de aprendizaje asociado a lo cognitivo y asociarla a dificultad conceptual surgida del propio proceso de constitución de los objetos matemáticos. De otro lado, desde la perspectiva curricular, la enseñanza del concepto de número real se introduce en los niveles de la Educación Básica casi en todos los países. En el sistema educativo colombiano las secuencias y presentación ordenada que le precede es la construcción de los sistemas numéricos: naturales, enteros y racionales. El enfoque que se privilegia es la presentación de estructura algebraica, con énfasis en la utilización de símbolos algebraicos y el manejo y construcción de operadores unarios y de operaciones binarias de acuerdo a las necesidades que requiera cada sistema. De otra parte as investigaciones en educación matemática y especialmente las que conciernen al aprendizaje, errores y dificultades ponen de manifiesto que la problemática de la comprensión del número real reside principalmente en la comprensión de características, procedimientos y conceptos que subyacen a la misma estructura lógica que lo define axiomáticamente. Estos estudios, fundamentados sobre posiciones epistemológicas distintas a la concepción de la matemática como producto, han conducido a reformulaciones importantes y a planteamientos distintos sobre el tratamiento del concepto de número real en la secundaria. Así, el aspecto puramente numérico, las representaciones decimales, se ha convertido en los intermediarios para iniciar el camino a la comprensión del concepto de número real. Desde esta perspectiva, se propone *

Profesores Departamento de Matemáticas, Universidad Pedagógica Nacional

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explicitar el carácter introductorio que presentan los reales en la construcción del continuo matemático, para postergar su construcción como estructura algebraica a otros niveles del sistema educativo. Es en este sentido, que el objetivo de este trabajo presenta los resultados de un estudio realizado para analizar los motivos de las dificultades que presenta la comprensión del concepto de número real, desde un enfoque epistemológico, curricular y cognitivo. Obstáculos, errores y dificultades en el conocimiento matemático La respuesta al interrogante formulado como título a este trabajo ¿Qué hay detrás de las dificultades que presenta la comprensión del concepto de número real? sintetiza en gran medida la presencia necesaria para la Educación Matemática de estudios históricos, filosóficos y epistemológicos sobre las matemáticas. Desde la perspectiva epistemológica de G. Bachelard la noción obstáculo epistemológico es asumida y re-construida para la Didáctica de las matemáticas por G. Brosseau (1983). En las perspectivas epistemológicas formuladas por Popper, Lakatos y Russell, L. Rico (1984, 1995) reconstruye el papel del error en el aprendizaje de las matemáticas. Para situar al lector en la comprensión e importancia de estos conceptos, y sus interrelaciones, para la educación matemática a continuación describimos los presupuestos en que se asientan uno y en otro enfoque. Para Bachelard el acto de conocer presupone conocer en contra de conocimientos anteriores, pues en general el proceso normal de construcción de los conocimientos ha estado acompañado por la superación de modos de conocer que no son adecuados para enfrentar la solución a nuevas situaciones y problemas que exigen cambios en la teoría existente. Los conocimientos satisfactorios para resolver una cierta clase de problemas se convierten en obstáculos en el pensamiento por cuanto se vuelven inadecuados para asumir cambios en las teorías existentes. Brosseau, en su teoría de los Obstáculos Cognitivos, señala que todos los estudiantes poseen concepciones sobre determinadas nociones, que en algunas ocasiones se revelan falsas, insuficientes, ineficaces o inadaptadas para la resolución de situaciones y problemas lo que provoca errares repetitivos y resistentes, convirtiéndose en obstáculos en el surgimiento de nuevas concepciones. En esta perspectiva, s claro entonces que la manifestación de obstáculos en los estudiantes es una manifestación caracterizada por: conocimiento y no ausencia de conocimiento este conocimiento le permite producir respuestas y soluciones a determinadas situaciones y problemas a su vez, este conocimiento es el responsable de respuestas erróneas para otro tipo de problemas. Brosseau señala que los obstáculos se manifiestan en los estudiantes en los errores y clasifica los obstáculos que se presentan en los estudiantes según su origen en los siguientes tipos:

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De origen ontogenético: debido a limitaciones del sujeto en un momento de su desarrollo. Este tipo de obstáculo esta asociado a las capacidades cognitivas del estudiante. De origen didáctico: asociado al sistema de enseñanza en el que se encuentra inmerso el estudiante (currículos, textos). Se localizan en decisiones del sistema educativo o en las del profesor en el aula. De origen epistemológico: asociados al conocimiento matemático, se encuentran en La evolución de los conceptos y hacen parte del significado del mismo. Esta clasificación, permite a la Didáctica de las Matemáticas desligar la can natación cognitiva exclusiva del significado de dificultad. Los orígenes didáctico y epistemológico, por su parte propician vías de solución para su tratamiento. Desde la perspectiva epistemológica que se preocupa par la falibilidad del conocimiento (popper, Lakatos), se reconoce que el error’ es una posibilidad permanente en la adquisición y consolidación del conocimiento” (Rico, 1984, p. 188); su estudio debe incluir las condiciones que lo hacen posible y las funciones que desempeña en el dominio y avance de la ciencia. Particularmente Lakatos, en su estudio sobre el descubrimiento y elaboración de conceptos matemáticos sostiene que los errores son parte del proceso usual de construcción de los conocimientos matemáticos. Por consiguiente, el proceso de construcción del conocimiento matemático debe incluir el diagnóstico y la superación de los mismos. En el terreno de la práctica, es en los procesos de aprendizaje, donde se manifiestan los errores y las dificultades. Estas últimas emergen cuando la solución de un problema exige el enriquecimiento estructural del concepto, es decir, cuando se precisa un cambio importante en la teoría matemática correspondiente para solucionar el problema (El Bouazzoui, 1988). Estas contribuciones y sus respectivas reconstrucciones para la educación matemáticas traen consigo serios cuestionamientos al tratamiento y valoración con que la enseñanza de las matemáticas ha manejado los errores y las dificultades. Respecto al tratamiento, este no puede ser asumido ni por explicaciones cada vez más claras y precisas ni tampoco, por la ejercitación repetitiva y tediosa. Muy al contrario, lo que se precisa es de rupturar la satisfacción de un conocimiento que ha servido para solucionar ciertas situaciones, por tanto es a través de la construcción de actividades de aprendizaje novedosas y cuestionadoras, parlas que se logra tal ruptura. De igual forma la valoración del error y la concepción sobre dificultad, puede llegar a establecer la línea divisora entre estereotipos de profesor (Rico, 1984). En la línea convencional, sesgada por la herencia de las capacidades necesarias para aprender matemáticas, el error y la dificultad son consideradas como el dato objetivo que demuestra el desconocimiento o la ignorancia del estudiante. Por tanto debe ser corregido o penalizado. Para un profesor que comparte los planteamientos modernos descritos, el error es la muestra de un conocimiento parcialmente construido resultado de un proceso en curso, a cuya evolución el profesor debe contribuir evitando las sanciones” (Rico, 1984, p. 186). Finalmente cabe señalar que el reconocimiento al error como parte del proceso de construcción del conocimiento le otorga una dimensión positiva, pues es una Digitalizado por RED ACADEMICA

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manifestación de conflicto cognitivo entre conocimientos anteriores y las situaciones nuevas, lo que conduce a crear situaciones para reorganizarlas y ajustarlos con el fin de producir un aprendizaje significativo para el estudiante. Retomando el papel del error en la construcción del conocimiento y la clasificación de sus orígenes en la perspectiva de la didáctica, a continuación se expone el motivo de las dificultades para comprender el concepto de número real. Los motivos de las dificultades: ¿el origen epistemológico? Para identificar las dificultades de origen epistemológico en la construcción del concepto de número real, nos hemos basado en los estudios que sobre dicho concepto y sobre el continuo matemático y la continuidad han realizado Romero (1996, 1997) y Rigo (1995) con el fin de establecer los problemas, nociones, procedimientos y conceptos que han estado presentes en la constitución del número real. Romero identifica las siguientes tres etapas históricas cruciales en la constitución del concepto de número real: Descubrimiento de la irracionalidad: realizada en el contexto de la matemática griega, más precisamente en el terreno de la medición de longitudes. Surge cuando no se puede plantear la existencia de longitudes cuya relación no puede expresarse en términos de la relación de enteros” (Gadiner, citado por Romero, 1997, p.66). La segunda etapa la sitúa, en el seno de la discusión que generó el tratamiento de sí los decimales infinitos no periódicos eran números o no, a raíz de los desarrollos realizados por Stevin (s.XVI) sobre las fracciones decimales. La tercera etapa, la identifica con la “construcción formal del concepto del número real” (s. XIX). Romero señala: esta etapa se caracteriza por la fundamentación lógica que realiza Dedekind, sobre el número irracional y las realizadas por Cantor y Weirstrass sobre el número real. De la primera etapa, se puede deducir que el problema de la irracionalidad es un problema que surge en un contexto muy específico, el de la geometría griega, de medición teórica, pero en él mismo subyace el problema de los procesos infinitos. En lo que concierne a lo numérico la irracionalidad también aparece asociada y justificada por los radicales cuadráticos, su existencia se reduce a la demostración por reducción al absurdo. Pero en este tipo de presentación se elude de nuevo el problema del proceso infinito. A su vez, las notaciones decimales también enfrentan el problema del de los procesos infinitos y del infinito actual. Finalmente aparece la relación entre el número real y el continuo numérico. Esta última enfrenta de nuevo al problema del infinito actual y la analogía con las propiedades y operatividad del continuo geométrico ideal. Rigo (1993, 1995) desde la perspectiva de la construcción del continuo matemático describe la relación entre la construcción del concepto de número real y la construcción del continuo numérico. Rigo, en el estudio sobre Dedekind, identifica cómo a través de la construcción del concepto de número real introduce la definición aritmética de la continuidad; construye primero, de manera lógica y axiomática la continuidad de la recta geométrica, para pasar a construir una estructura numérica con las mismas propiedades de la recta, y establecer el isomorfismo entre el continuo y la recta. Digitalizado por RED ACADEMICA

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Los procesos y la operatividad que subyacen en estas construcciones son la actualización de procesos infinitos y la aceptación de conjuntos actualmente infinitos. El problema del infinito y la aceptación de la actualidad tanto al exterior como al interior se presenta como el concepto clave en la construcción del concepto de número real, su evolución conceptual es parte esencial de esta construcción, por consiguiente amplia de manera sustancial la mirada que desde la perspectiva educativa de las matemáticas debe hacerse para establecer los obstáculos que se presentaron en la construcción de dicho concepto, pues como tal infinito mismo se torno en un problema para su constitución. Una mirada a diversos estudios históricos y epistemológicos (Moreno y Waldegg 1991, Arboleda y Recalde, 1993; D’ Amore 1996) sobre la evolución conceptual del infinito permite afirmar que desde las postulaciones de Aristóteles se acepta el infinito en extensión y el infinito al interior solo de manera potencial, es decir sin existencia por si mismo. Euclides al concebir la serie de números naturales como resultado di un proceso iterativo, mediante el cual se genera un nuevo número en cada paso, da cabida a esta idea sobre el infinito. Con el desarrollo de la nueva cosmología, (de mundo geocéntrico, e incluso antropocéntrico de la astronomía griega y medieval al mundo heliocéntrico) que se inicia con los trabajos de Keppler y Galileo, el problema del infinito se torna de orden metafísico. A la concepción de un mundo ordenado finito se impone la concepción del universo indefinido, aun infinito, que se unifica mediante leyes y no por la subordinación natural, lo que contradecía el carácter que se le adjudicaba desde la mitología griega, pertenecía sólo a los dioses. En la aceptación de procesos infinitos potencialmente subyace la hipótesis de la prolongación indefinida del tiempo, lo que se convierte en un obstáculo para la conceptualización del infinito actual, fundamentado sobre operaciones lógicas atemporales, desligadas de un orden cronológico. Para Moreno y Waldegg, la aceptación de la matemática griega de los procesos infinitos como acciones cuyo punto final no existe, y por consiguiente la aceptación del infinito potencial es la base para desarrollar nuevos objetos conceptuales como es el del infinito actual. La construcción de este nuevo ente matemático es totalmente distinta a la concepción de los entes particulares que producen los procesos infinitos. Con los acercamientos descritos a la estructura compleja que conforma el concepto de número real y teniendo en cuenta que la matemática escolar reconstruye de manera distinta la naturaleza del conocimiento matemático (Chevellard, 1991), somos conscientes que los obstáculos epistemológicos por si solos no pueden se trasladados hacia los procesos de aprendizaje, ellos deben ser integrados a los resultados que desde los estudios cognitivos y desde las otras disciplinas se conforman para especificar lo propiamente didáctico. Por tal razón, en el caso que nos ocupa, abordamos a continuación la naturaleza institucional, como se presenta en e currículo colombiano el concepto de número real. Las dificultades en la propuesta curricular El saber escolar, que aparece en los programas curriculares y en los textos ha sufrido una serie de adaptaciones en los que se manifiesta, entre otros aspectos concepciones, obstáculos y dificultades, todas ellas relacionadas con el saber científico, en nuestro caso matemático (Chevellar, 1991), por tal razón su análisis nos puede permitir extraer Digitalizado por RED ACADEMICA

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consecuencias pertinentes para ampliar el campo de indagación sobre el interrogante formulado al inicio de este trabajo. Particularmente, en la enseñanza de las matemáticas se han identificado concepciones históricas presentes en las distintas reformas curriculares realizadas. Específicamente, la reforma conocida como la Reforma de la matemática Moderna, que introdujo la ideología Bourbaki como filosofía en los currículos para la enseñanza de las matemáticas en la primaria y la secundaria, trajo como consecuencia la concepción de presentar a los conceptos matemáticos desde su versión más abstracta, concediéndole prioridad al manejo riguroso de la notación simbólica, a la teoría de conjuntos y a su lenguaje como unificador y, a la versión axiomática del álgebra, entre otros aspectos. Las reformas curriculares en el país no han estado exentas de estas posiciones, el Marco general que describe las características de la Renovación Curricular (Ministerio de Educación Nacional, MEN, 1991) y aún vigente para el sistema educativo, comparte esta concepción pues considera que para la comprensión de conceptos y procesos matemáticos se requiere de un mínimo de teoría de conjuntos y la introducción de un mínimo de simbolismo formal a lo largo de toda la Educación Básica, (MEN, Marco General, Matemáticas Propuesta de Programa Curricular, 1991, p. 8). En lo que se refiere a la presentación de los sistemas numéricos, estos se abordan desde el enfoque de sistemas, como enfoque que suministra una organización o estructura de carácter general para el área ( MEN, 1991, p.13). Específicamente, para los números reales se formula una propuesta de construcción en el grado octavo y el sistema de los números reales se formula para el grado noveno. La construcción se realiza mediante el enfoque de operadores ampliadores y reductores de longitudes. La propuesta incluye también el tratamiento a la conmensurabilidad y la inconmensurabilidad, especial atención merece algunos casos de inconmensurabilidad de longitudes. Y agrega la introducción de nociones del álgebra como un sistema simbólico necesario para obtener símbolos para los resultados, a través de la mera manipulación de los símbolos de los argumentos” (MEN, 1991, p. 33). Se inicia la propuesta de aproximación a los reales, con la identificación de operadores ampliadores y reductores de longitudes, haciendo énfasis en la necesidad de insistir en la “construcción de operadores ampliadores y reductores conceptuales, construidos por el cerebro”, (MEN, 1991, p. 35) puesto que se considera crucial esta construcción para la comprensión del sistema conceptual de operadores y transformadores con sus respectivas operaciones y relaciones y los sistemas simbólicos que se utilizan para representar los números reales. En cuanto al tratamiento de la conmensurabilidad, el modelo didáctico es de orden teoría práctica, pues se señala que esta debe formularse teóricamente para verificarla empíricamente la hipótesis. Esta forma de abordar la conmensurabilidad, hace a un lado el trabajo con estimaciones y aproximaciones de medida, lo que interesa es la existencia de un operador ampliador o reductor racional que permita expresar una de las longitudes en términos de la otra. Así mismo se llama la atención para identificar relaciones, binaria, simetría que existe entre las dos longitudes y aún transitiva y reflexiva. Llama la atención para señalar que los ampliadores y reductores actúan como transformadores para cualquier longitud, pues si no se tiene en cuenta esta característica las longitudes que aparentemente son conmensurables en la práctica no lo serán en la teoría. En particular el tratamiento de la inconmensurabilidad se centra en la demostración del Teorema de Pitágoras, desde situaciones geométricas de medición, para posteriormente introducir ampliadores y reductores no racionales. La demostración de Digitalizado por RED ACADEMICA

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operadores irracionales como √2 se realiza recurriendo a la demostración por el absurdo. Luego se utilizan ampliadores como √3, √5, .. .con construcciones geométricas elaboradas sobre rectángulos. Una consecuencia didáctica que se deriva, es la de plantear la irracionalidad en este contexto, pero a las prácticas de medición en este contexto debe preceder prácticas con instrumento como la comparación de longitudes, pues de otra manera es casi imposible constatar la condición de inconmensurabilidad sobre figuras. Estos ampliadores son también identificados como las raíces cuadradas de números primos, se identifica las raíces cuadradas de números compuestos como no racionales, pero únicamente se señala que la demostración de que no son racionales “no es tan fácil”. Con esta presentación se sugiere a los profesores la conveniencia de que los estudiantes “busquen un número suficiente de operadores irracionales tanto ampliadores como reductores hasta caer en la cuenta de que no se puede hacer una lista completa de estos y de que el cerebro puede seguir construyendo muchos más “(MEN, 1991, p. 44). La representación en la recta graduada, se asume desde su continuidad intuitiva, lo importante es fijar un origen, determinar una longitud unitaria par representar ampliaciones y reducciones racionales e irracionales de la longitud unitaria. Lo importante señala el documento, es “domesticar la recta” es decir fijar el origen y determinar la longitud unitaria. La construcción de los reales se completa con la presentación de operadores reflectores, simbolizados - ( ), estos se clasifican en reflectores ampliadores del tipo, -√2, -√3... y en reflectores achicadores del tipo √2 2 Para la presentación oficial de los números reales el documento señala, que hay que “olvidarse del carácter activo de estos operadores reales, para obtener el conjunto numérico de los números reales” (MEN, 1991, p 48), ya continuación señala que es a este conjunto se le simboliza usualmente con la letra R. La simbolización de estos números se identifica con símbolos como ℓ л con las notaciones radicales que son raíces indicadas “no expresables exactamente con fracciones ni con decimales infinitos”. Conviene subrayar que en esta presentación es la primera vez que se alude a los decimales como formas de expresión de números, más simbólicos de operadores racionales y de los reales. Sobre la base de este presupuesto, se presentan las expresiones decimales como otra forma de representar las fracciones decimales. Se relaciona así al operador racional con expresiones decimales periódicos o decimales infinitos periódicos. Sobre esta relación entre representaciones de expresiones, se formula la pregunta “,Existirá algún decimal no periódico e infinito? De ser así ¿qué clase de número representarla?” (MEN, 1991 p. 51), el texto se contesta señalando que si existen y también las reglas para obtenerlos, da ejemplos y a estas expresiones las denomina representaciones de un operador irracional. El problema de la representación de operadores reales en su versión decimal en la recta, es abordado desde la posibilidad de “continuar representando indefinidamente números” reales sobre la recta que se asume doblemente infinita, por la posibilidad de prolongación indefinidamente en ambos sentidos. El acento de la herramienta del microscopio, subdivisión de intervalos en la recta para números irracionales, se utiliza para obtener expansiones decimales. En general puede afirmarse que este tipo de presentaciones de los números reales, es coherente con la concepciones de la reforma de la matemática moderna para a educación matemática por cuanto mezcla concepciones que subyacen en la presentación Digitalizado por RED ACADEMICA

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del saber matemático escolar como un conocimiento sesgado por el interés teórico, riguroso y en búsqueda de la precisión que estuvo presente en el pensamiento griego de la matemática y en la filosofía que impulso la reforma de las matemáticas moderna. Un ejemplo lo constituye los llamamientos implícitos que hace el texto para identificar y distinguir el interés por las mediciones exactas, identificándola “como un valor que la humanidad ha tenido en alta estima” y relegando al problema de la aproximación y estimación a la práctica de la medición. Esta presentación de las matemáticas asumió que la formulación de las matemáticas escolares solo era cuestión de un isomorfismo con la matemática científica. De aquí, que se traslade a ellas cuestiones tan profundas y teóricas como el problema de la conmensurabilidad e inconmensurabilidad, desligada la primera de la presentación de los problemas en el terreno de la medición y el tratamiento que se da a la misma en el terreno geométrico. Este tipo de presentaciones trae consigo, lo que Chevellard denomina necesidad de recurrir a evidencias, para hacer ver la ausencia de conceptos que aun hacen falta para completar la definición y tratar con esta herramienta de evitar las confusiones que pueda presentar la definición. Un ejemplo claro de esta situación es el continuo llamado que hace el texto para reiterar que el operador es una cuestión de cerebro y el llamado a olvidar el carácter activo de los operadores reales, en donde operador real significa objeto concreto. Las dificultades que presentan los estudiantes Este aparte del presente estudio, debería ocupar el primer lugar de exposición en el trabajo por cuanto es el motivo que originó la indagación que hemos descrito. En a práctica, como docentes de matemáticas para estudiantes que ingresan a los programas de formación inicial de profesores en ciencias y matemáticas nos encontramos que uno de los núcleos centrales de la enseñanza de la matemática en el primer nivel, es precisamente el número real, desde su estructura algebraica, campo ordenado o como estructura numérica que completa otros sistemas numéricos. El acento que se coloca en uno y otro enfoque, es en el sistema simbólico algebraico pero, la realidad cognitiva de los estudiantes para pensar e interpretar los reales muestra la profunda contradicción entre la estructura ideal e incuestionable de los reales y las nociones, ideas y concepciones de los estudiantes Esta contradicción se expresa de diversas formas, por ejemplo, donde los reales requieren ser usados en cuestiones elementales para estos niveles, como es el trazado de gráficas de funciones de variable real o el trabajo con sus representaciones decimales. En la primera situación, hemos encontrado que en el uso para el trazado de gráficas de funciones de variable real, este último atributo de la función no tiene significado alguno para los estudiantes porque en situaciones de construcción de la gráfica, vía traducción ecuación-gráfica, los números que utilizan son los enteros, sin embargo la gráfica es siempre continua, por el supuesto intuitivo de la continuidad de las rectas geométrica que conforman el sistema cartesiano. En cuanto al uso de las representaciones decimales también podemos afirmar que como han demostrado las diversas investigaciones realizadas al respecto, las ideas y nociones de los estudiantes actúan a manera de obstáculos para aceptar que expresiones como 0.333..., puedan ser consideras como números. A lo anterior se agrega, que la idea de número se encuentra asociado a la de cantidad, portal razón, utilizando términos Digitalizado por RED ACADEMICA

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matemáticos el conjunto numérico más aceptado es quizá el de los racionales. Además el significado de la palabra real en el uso diario se arrastra hacía la matemática. En términos generales, estos desencuentros entre las nociones de los estudiantes y la enseñanza de estructuras matemáticas ideales, como la del número real nos condujo a indagar sistemáticamente para construir una investigación, la cual se ha orientado hacia el estudio del Cálculo como un campo conceptual. Como una primera respuesta a las cuestiones formuladas para caracterizar el campo conceptual del Cálculo, elaboramos un cuestionario, tomando como referencia los construidos por investigadoras como Rigo y Romero específicamente, con el fin de realizar un estudio descriptivo y cualitativo de las dificultades asociadas a la comprensión del número real. Asumimos la comprensión de los conceptos matemáticos desde la perspectiva de Sierpinska, (1994) para señalar que las posibilidades de la comprensión de conceptos matemáticos se encuentran determinadas por la coordinación de sus diversos registros de representación. También acogemos la propuesta que diversos investigadores han elaborado (Kaput, 1992; Duval, 1993) para establecer que a un mismo concepto están asociados diversos sistemas de representación, semióticos para Duval. Con base en estas consideraciones, el instrumento utilizado se estructuró un cuestionario sobre los siguientes ítems: Contenido

Dificultad

Idea sobre el número real

Asociada al adjetivo real Número como cantidad.

Identificación de representaciones de números reales

Como entes no numéricos Como procesos que no terminan.

Correspondencia de representaciones Como aproximaciones de números reales. decimales de números reales y puntos Asociadas a adjetivos de los decimales, periódicos infinitos. en la recta Procesos infinitos y limite

Lo indeterminado. Asociado a un conjunto con infinitos elementos. Asociado a la acción particular que produce el proceso.

Estructura de la recta geométrica

Recta como conjunto de puntos discretos. Recta como puntos ordenados por el siguiente.

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En el momento de resolver el cuestionario, los estudiantes se encontraban tomando el curso de Fundamentos y un curso paralelo de Cálculo 1, en el cual se aborda también como primera instancia la enseñanza de los números reales como campo. El análisis que ha continuación se describe esta basado en las respuestas de 32 estudiantes al cuestionario. a.

Idea sobre el número real

Esta pregunta inicia el cuestionario, con ella se busca conocer la idea o noción que manejan los estudiantes sobre el número real, no necesariamente ligada a objetos matemáticos. Casi la mitad de los estudiantes asocian el número real con la idea de número como cantidad pues esta “construido por la abstracción de fenómenos físicos”. Esta idea es coherente con la otra mitad de estudiantes para quienes el adjetivo real es indicación de objetos tangibles pues “representan objetos de la vida diaria”. b.

Identificación de números reales

Esta pregunta pretende establecer la coherencia de la idea de número real con los ejemplos asociados a representaciones propias del número como son las notaciones ‘√2, √3, л Las respuestas de los estudiantes se sintetizan en justificaciones como: “no porque son números infinitos y no son periódicos” explicitando el conflicto de aceptación de propiedades periódico, no periódico de los decimales, como si el término periódico evitara el infinito, ésta inicia el Camino para enfrentar numéricamente el problema de infinito potencial, puesto que sin son periódicos son representaciones de racionales. c.

Correspondencia entre representaciones decimales de reales y puntos en la recta numérica

Con la respuesta a la pregunta existen puntos en la recta que les correspondan números como 0.666..; л = 3.14159; 2,14987..., se busca ampliar el campo de conflicto que representan las propiedades de los decimales descritas además de establecer la correspondencia entre ellos y la recta numérica. Las respuestas son coherentes con las del ítem anterior puesto que la posibilidad de representación esta supeditada a los atributos descritos: Los números periódicos no tienen punto en la recta No se pueden ubicar porque son infinitos no periódicos si se pueden situar con un compás lo más próximo posible, pues es un número decimal periódico ésta última respuesta identifica la contradicción entre aceptar que ciertos números si son reales, pero las representaciones decimales son sólo aproximaciones a ellos. Las justificaciones también ponen de presente el problema entre el infinito potencial, denotado por los puntos suspensivos o por la propiedad periódica o no periódica de las expresiones decimales que denotan procesos y la actualización del infinito. Digitalizado por RED ACADEMICA

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d

Procesos infinitos y límites

Con las respuestas a la pregunta sí la suma de 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 +... es un número, de nuevo se explicitan las concepciones de infinito potencial que generan la flotación que expresa procesos infinitos. Entre las justificaciones formuladas por los estudiantes citamos las siguientes por considerarlas representativas de las respuestas de los estudiantes: como la serie indica infinito y el infinito no se tiene, no habrá respuesta Asociada a la idea de infinito potencial determinada por la notación de los puntos suspensivos. Justificaciones como: Esta suma es infinita porque a xxx se amplifica por 2 y al resultado otra vez por dos hasta el infinito colocan el acento del infinito potencial en el proceso de prolongación indefinida generada por la acción de amplificación y los puntos suspensivos. Respuestas como: es igual a 1/α muestran que la idea queda supeditada a elemento particular que produce la acción que genera el proceso infinito. e.

Estructura de la recta

La recta geométrica ha sido tomada como modelo ideal de continuidad en la enseñanza de las matemáticas. Sin embargo, para hacernos una idea de como los estudiantes conciben la estructura de la recta, segmentos o puntos y la forma como estos se relacionan entre sí, se preguntó a los estudiantes por su estructura, utilizando la herramienta del microscopio para ampliarla. En un primer momento, cuando no sé tenia el microscopio los estudiantes identificaron puntos, uno detrás de otro. Con la herramienta, dibujaron la recta y círculos tangentes entre sí. Cuando se les pregunto si entre los círculos tangentes existían puntos, todos coincidieron en afirmar que entre dos gordos tangentes, no existe ninguno. A lo que se suma la idea de puntos de gordos como átomos indivisibles. Para algunos estudiantes, la organización de los gordos, conserva el orden del siguiente en los números naturales. Como se puede deducir de las justificaciones y respuesta que los estudiantes formulan, se concluye que manejan términos del lenguaje matemático, pero que el significado de los mismos no ha sido aprehendido, quizá porque la enseñanza ha enfatizado sobre el conocimiento de la gramática de las definiciones en detrimento de su comprensión. Consideraciones finales El análisis que hemos realizado proporciona argumentos razonables para identificar que el problema de las dificultades que presentan los estudiantes en la comprensión del número real, no obedece exclusivamente a condiciones ontógeneticas, es más de orden didáctico, de su relación con los obstáculos epistemológicos propios de la evolución conceptual y de su transposición como conocimiento matemático escolar. Por estas razones, la solución no puede ser entendida en el sentido de reorganizaciones de orden didáctico, de permutaciones de orden, primero números decimales, después..., o de su Digitalizado por RED ACADEMICA

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expulsión del sistema didáctico, creemos que la solución esta dada, entre otros aspectos, por la posibilidad de una reflexión profunda sobre cuestiones como el cuestionamiento a que la enseñanza de las definiciones no arrastra consigo la comprensión del concepto, al contrario es necesario considerar la construcción de vías de acceso para incluir las nociones y procedimientos que condujeron a su formulación como objeto matemática ideal; que un concepto solo adquiere significado en el marco de sistemas de conceptos. De otro parte, tal como lo demuestran las diversas investigaciones citadas sobre procedimientos, nociones y conceptos que confluyen para la comprensión de los reales, las intuiciones en los estudiantes se forman debidas más en buena parte a la experiencia y persisten a pesar de las presentaciones formales de la definición. La enseñanza aún de objetos matemáticos complejos, no comienza en un terreno virgen, los estudiantes tienen ya un cierto número de ideas, de intuiciones y a pesar de que participen en la formulación de definiciones en la clase no desaparecen, son resistentes al cambio. Por tales razones es necesario abocar la Construcción de matemáticas escolares que además de sustentarse sobre el desarrollo histórico de los conceptos, delimite ventajosamente, como expresa Chevellard, en el sentido de resumen mejorado, toda la riqueza de desarrollos fecundos y a veces olvidados de la construcción histórica (1983) y se integre en el marco de las condiciones en que se lleva a cabo el proyecto social y cognitivo de la enseñanza de las matemáticas.

Referencias bibliográficas ARBOLEDA L. O., RECALDE L. C. (1995). Formación y manejo operatorio de conceptos matemáticos: la historia y epistemología del infinito. En Matemáticas. Enseñanza Universitaria. Volumen IV N0 1 y 2. CHEVELLARD, G., (1983) Le transposición didactique. Le pensee sauvage. EL BOUAZZAQUI, [1. (1996). Conceptions des éléves et des professeurs á propos de la notion de continuité d’une fonction PHD. Université de Bordeaux 1. KLINE, M. (1987). Calculus: an lntuitive and Physical Aprroach, John Wiley. MORENO, L. E., WALDEGG, G. (1991). The conceptual evolution of actual mathematical infinity. En Educational Studies in Mathematics 1. RICO, L. (1995). Errores en el aprendizaje de las Matemáticas. En Educación Matemática. Grupo Editorial Iberoamericana. U. De los Andes. U de Granada. RICO, L. (1997). Reivindicación del error en el aprendizaje de la Matemáticas. En Epsilon de la S.A.E.M. Thales. Nº 38. RIGO, M. (1994). Elementos históricos y psicogenéticos en la construcción del continuo matemático. Primera y Segunda parte. En Educación Matemática. Grupo Editorial Iberoamericano. ROMERO A., I. (1997). La introducción del número real en la enseñanza secundaria: una experiencia de investigación-acción. Colección Mathema. Digitalizado por RED ACADEMICA

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ROMERO, C. (1996). Una investigación sobre los esquemas conceptuales del continuo. Ensayo de un cuestionario. En Enseñanza de las Ciencias. Nº 14. SFARD, A. (1992). On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics. Nº 22. TUREGANO, P. (1996). Intuición del infinito en estudiantes de Primero de B. U. P. En Revista Epsilon de la S.A.E.M. Thales. Nº 34. MARCO GENERAL. MATEMÁTICAS. PROPUESTA CURRICULAR Octavo Grado (1990). Ministerio de Educación Nacional. Dirección General de Capacitación y Perfeccionamiento Docente. Currículo y Medios Educativos. MARCO GENERAL. MATEMÁTICAS. PROPUESTA CURRICULAR; Noveno Grado (1990). Ministerio de Educación Nacional. Dirección General de Capacitación y Perfeccionamiento Docente. Currículo y Medios Educativos.

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SUGERENCIAS PARA EL DESARROLLO DE HABILIDADES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Carmen Samper de Caicedo*

Abstract The main purpose of this article is to iIlustrate some of the phases, of the method proposed by Professor George PóIya, for the resolution of problems, through specific problems. Different ways to approach each phase are shown and problems, directed to students that have not initiated Algebra and that exemplify each aspect, are given.

Una de las tareas de los profesores de matemáticas es la de preparar al alumno para resolver problemas. ¿Qué es un problema? Es una situación que representa un reto para la persona que lo enfrenta porque no ve una solución inmediata. Retomando las palabras de George Pólya, problema significa “buscar concretamente una acción para lograr una meta claramente concebida pero no inmediata de alcanzar.” La capacidad intelectual del ser humano le permite ser analítico. Esto quiere decir que toda situación que se vive, por más trivial que parezca, es un pequeño problema que se analiza para hallar una solución, tomar una decisión. Estos problemas se resuelven sin pasar por toda la angustia que acompaña la resolución de problemas en la matemática. ¿Por qué la diferencia? Una situación problemática deja de ser problema si la persona no está interesada en resolverlo. La falta de interés puede estar motivada por alguno de los siguientes aspectos: el tema no es llamativo, no se entiende el problema, no se tienen las herramientas para escoger la estrategia adecuada para resolverlo, no se tienen los conocimientos necesarios para determinar la solución. Nosotros, los profesores de matemáticas, tenemos la oportunidad de retar la curiosidad de nuestros alumnos, proporcionándoles problemas a su nivel, además de las ayudas y métodos para que puedan resolverlos satisfactoriamente. El Profesor George Pólya, un estudioso de la heurística, el estudio de los métodos y reglas del descubrimiento y la invención, proporciona un método que puede ser usado para la resolución, no sólo de problemas de índole matemático, sino de cualquier tipo de problema. A continuación se resume dicho método. Método para Resolución de Problemas 1. Comprensión del problema. Identificar qué es lo que pide el problema y cuál es la información que se necesita para resolverlo. *

Profesora Departamento de Matemáticas, Universidad Pedagógica Nacional.

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2. Organización de información. Recoger toda la información y organizarla en tablas o gráficas para lograr una mejor comprensión. 3. PIan para resolución. Hacer un dibujo, lista o tabla para buscar patrones, descartar posibilidades o ilustrar la situación. Según el nivel del estudiante, expresar la situación por medio de una ecuación algebraica. 4. Ejecución del plan. Llegar a la solución aplicando la estrategia escogida a la información recocida. 5. Verificación del resultado. Preguntarse si la respuesta tiene sentido, si satisface las condiciones dadas en el problema. Este método debe comenzar a usarse tempranamente y no cuando el alumno llega al álgebra, ya que los problemas no son solamente de tipo algebraico. Esta preparación debe hacerse en varias etapas. A continuación se darán algunos ejemplos de problemas que pueden ser usados, con alumnos de sexto o séptimo grado de a educación básica, para ir desarrollando la habilidad necesaria en cada uno de los tres primeros pasos del método anterior. Comprensión del problema Se puede comenzar planteando a los alumnos diferentes situaciones problemáticas, para que ellos determinen cuál puede ser el problema, hagan el análisis requerido y propongan caminos para resolverlos. Estas situaciones deben ser de interés general A continuación se enumeran algunas situaciones y varios problemas que pueden surgir de éstas. 1. Situación problemática: El departamento de deportes del colegio necesita comprar todo el equipo para que los alumnos puedan jugar beisbol. ¿Cuál puede ser el problema? a. En qué consiste el equipo que se desea comprar. b. De cuánto dinero se dispone. c. Cómo se puede conseguir más dinero. 2. Situación problemática: Un derrumbe en la tubería que conduce el agua a una ciudad bloqueó el paso de ésta. ¿Cuál puede ser el problema? a. b. c. d. e.

En que sector de la tubería fue el derrumbe. Qué equipos y cuántos hombres se necesitan para corregir el daño. Cuánto tiempo se demoran en hacer los arreglos. Cómo abastecen a la ciudad de agua durante la emergencia. Cómo pueden los habitantes de la ciudad ayudar mientras dura la emergencia.

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Organización de información Es necesario enseñar a los alumnos a interpretar la información que se ha dado, no solamente de forma explícita, sino también en gráficas o tablas, como lo hacen principalmente los medios de comunicación. Ellos deben discernir entre aquellos datos que necesitan para resolver el problema y los que no son pertinentes. Deben determinar qué información hace falta para poder resolver el problema. En este momento, es más importante organizar la información que resolver el problema en sí. En cada uno de los problemas que se presentan a continuación, se da la información de forma diferente. 1. En la siguiente tabla se indica cuál es el uso que se da al agua del Lago de Tota. Escoja la información necesaria de la dada en la tabla, para resolver cada situación mencionada y determine qué otros datos se necesita para resolverla. Uso Litros por segundo Acerías Paz del Río 200 Poblaciones: Cuítiva 1.3 Tota 2.5 Sogamoso 300 Aquitania 3.0 Haciendas: A B C D Regadío de cebolla Evaporación

120 30 80 70 1.000 1.625

a. ¿Cuántos litros por segundo se sacan del Lago de Tota para uso industrial o agrónomo? b. ¿Cuántos litros por segundo son para consumo doméstico? c. ¿En una hora, cuánta agua se evapora? d. Cada pino consume 9 litros de agua por día. ¿Cuántos litros de agua consume en una hora? 2. Usando el mapa que se muestra a continuación, determine cuál es la información que ayuda a resolver el interrogante y, si hacen falta datos para hallar la solución, diga cuáles son.

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a. ¿Cuánto tiempo demora un viaje al Lago de Tota desde Santa Fe de Bogotá? b. ¿Cuántas rutas pueden tomarse para hacer el viaje y. para cada una, por cuáles pueblos se pasa? 3. ¿Cuáles preguntas se pueden contestar con la información dada? Haga una tabla o un dibujo para organizar la información. Cristina estudia arquitectura y tiene que hacer una maqueta de un edificio. Compró 3 pliegos de cartón paja a $1400 el pliego, 2 tubos de pegante a $2950 cada uno, in bisturí de $3240, 8 varillas de balso, cada una de 90 cm, a $750 la varilla, y una lámina de icopor. También compró los siguientes elementos decorativos: 2 docenas de arbolitos, 8 carros, 15 personas y 27 arbustos. a. ¿Cuánto pagó por el cartón paja y las varillas? b. Necesita 15 árboles y tres docenas de arbustos. ¿Compró suficiente cantidad de cada uno? c. ¿Cuánto dinero invirtió para hacer la maqueta? d. Cristina usó 3/4 de la lámina de icopor. ¿Cuántos centímetros cuadrados de icopor sobraron? e. Ella empleó 6 1/5 varillas. ¿Cuántos centímetros de balso sobraron? 4. La gráfica muestra el número de metros excavados diariamente por una cuadrilla de obreros de una compañía petrolera. Usando la información dada, responda los interrogantes.

a. Aproximadamente, ¿cuántos metros excavaron en la semana? b. Cuando el terreno es muy rocoso se dificultan las excavaciones y las brocas se acaban más rápido. ¿Cuál de los siguientes esquemas corresponde al número de brocas usadas?

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Plan para resolución Existen varias estrategias que pueden ser utilizadas en la resolución de problemas. Se pueden hacer listas o tablas, las cuales al analizarlas muestran el patrón que, al generalizarlo, lleva a la solución. Se pueden hacer dibujos y finalmente, se pueden hacer modelos de material manipulable. Todas estas estrategias son pasos previos necesarios para cuando el alumno pueda usar el lenguaje algebraico para escribir ecuaciones o desigualdades que modelen el problema. Por eso es importante que ellos hayan usado estas estrategias anteriormente. A continuación se presentan algunos problemas en los cuales se puede hacer uso de alguna de estas estrategias para resolverlo. Dibujo 1. El capitán de un barco tiene 3 banderas de diferenteS colores, que se colocan verticalmente en el mástil, para mandar mensajes a otras embarcaciones. ¿Cuántos mensajes diferentes se pueden formar usando 2 banderas? 2. Un ganadero necesita dividir un potrero rectangular de 100 m por 40 m en 4 potreros de igual área. El costo de la cerca es de $15.280 por metro.

a. Dibuje 5 posibles divisiones del potrero. b. ¿Para cuál de las posibilidades anteriores es menor el costo de la cerca interna? c. ¿Cuál es el costo en ese caso? Lista y tabla 1. La sucesión de Fibonacci consta de la siguiente lista de números: 1,1,2,3,5,8,13,….. a. ¿Cuál es la regla que se usa para determinar el siguiente número en la lista? b. Escriba los siguientes tres números de la lista. c. Escoja tres números consecutivos de la lista, cuatro veces más, y complete la tabla. Números Cuadrado del segundo número Producto del primer y tercer número 1,1,2 1 2 1,2,3 4

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Compare los resultados y escriba una conclusión. d. Escoja cuatro números consecutivos de la lista, cuatro veces más, y complete la tabla. Números 1,1,2,3 1,2,3,5

Producto del segundo y tercer número 2 6

Cuadrado del primer y cuarto número 3 5

Compare resultados y escriba una conclusión. 2. Comenzando a las 8:00 a.m., un reloj se atrasa 5 minutos cada hora. ¿Cuándo volverá a mostrar la hora correcta? 3. Mauricio salió de Bogotá hacia Ibagué al medio día, manejando su carro a una velocidad promedio de 45 km/h. A la 1:00 p.m., Rodolfo salió de Bogotá, en la misma dirección, pero él maneja a 60 km/h. a) Complete y amplíe la tabla para averiguar a qué hora alcanza Rodolfo a Mauricio. hora Kilometraje hora Kilometraje hora Kilometraje recorrido recorrido recorrido Mauricio 1:00 45 2:00 Rodolfo 1:00 0 2:00 60 b) Si la distancia entre Bogotá e Ibagué es de 204 kilómetros, ¿cuántos kilómetros hacen falta para llegar a Ibagué después de encontrarse? 4. La tabla muestra los precios que cobran en el correo, según el peso, para enviar cartas o paquetes dentro del territorio colombiano. peso (g) 0-25 26-50 51-100 101-250 251-500 501-1000 1001 -2000 kilo adicional

costo 500 1000 1500 2000 2500 3000 3700 700

Una señora envió 10 cartas y pagó $10 000.00. Dé, por lo menos, 4 combinaciones posibles del número de cartas de cada franja de peso que pudo haber enviado

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5. Complete la tabla para hallar la solución al problema. La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es nueve. El valor del número es nueve veces el dígito de unidades. ¿Cuál es el número? Material manipulable 1. Carlota tiene un negocio de pastelería. En una ocasión, le encargaron unas barras de torta de medidas 33 cm x 10 cm. Ella dispone de latas rectangulares de medidas 37 cm x 87 cm y de 47 cm x 77 cm. ¿Cuál ata debería usar para que resulten la mayor cantidad de barras y haya el menor desperdicio? a. Recorte un rectángulo del tamaño de cada lata. b. Recorte 10 rectángulos de 33cm x 10cm. estos representarán las barras. o. Coloque las barras sobre las latas, primero de tal forma que todas queden en la misma dirección y luego combinando de cualquier forma. En una hoja de papel, ilustre cada patrón que se invente y anote la cantidad que se desperdicia. d. Responda la pregunta. 2. Invente algún tipo de material que le ayude a resolver el siguiente problema. Martha tenía unas cajitas selladas, con dos chicles cada una, que compartió con sus amigos. También tenía unas cajas abiertas. A Catalina le da la mitad de las cajas y un chicle de una de las cajas abiertas. A Jairo le da la mitad de las cajas que le quedan y un chicle de las cajas abiertas. A Susana le da la mitad de las cajas que quedan y un chicle. Ella se queda con tres cajas. ¿Cuántas cajas de chicles selladas tenía Martha originalmente y cuántas abiertas? Dada la edad de los alumnos hacia quienes va dirigida esta propuesta, la estrategia de traducir el problema a una ecuación no es viable. Algunos de los problemas pueden ser resueltos de esa forma, más fácilmente. Sin embargo, el uso de estas estrategias puede mostrarle al alumno cuál es la ecuación necesaria cuando ya tenga las herramientas algebraicas necesarias. Algunos problemas tienen varias respuestas. Se espera que esto capte el interés de los alumnos porque deben suscitar discusiones. Se construyeron varios de los problemas alrededor de datos que tienen que ver con regiones de nuestro país. El propósito es doble: despertar el interés de los alumnos y aumentar sus conocimientos del país. Para el profesor, son ejemplos de problemas que ellos pueden inventar. Desarrollar las habilidades anteriores, con problemas no rutinarios, puede hacer el proceso más agradable y significativo. La persona que ha resuelto algún problema matemático siente el triunfo de ser un inventor, un descubridor, y desarrolla el gusto por la matemática.

Bibliografía POLYA, George. (1957): How to Salve It. Garden City, NY: Doubleday & Company, Inc. Digitalizado por RED ACADEMICA

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LAS REPRESENTACIONES EN MATEMÁTICAS Y LA INTERVENCIÓN DEL PROFESOR: UN EJEMPLO Luis Eduardo Espitia Supelano*

Abstract This article shows the teacher’s role in the process needed to overcome some of the difficulties that students have, when different representations are used to illustrate the statement of a word problem.

INTRODUCCIÓN Este escrito pretende mostrar la participación de los estudiantes y el profesor, y algunas interacciones que se efectúan en el desarrollo de una actividad simple, como es la búsqueda de una solución a un problema (?) planteado. DESARROLLO En un curso, para alumnos (25) de Licenciatura, de Cálculo Diferencial se propuso el siguiente problema (?): “Un rectángulo con base de longitud X está inscrito en una circunferencia de radio 2. Exprese el área del rectángulo corno una función de X

Y/2

•

2 X/2

A continuación se describe la manera como se desarrolla la búsqueda de una solución. Se plantea considerar parte del enunciado “Un rectángulo con base de longitud x está inscrito en un círculo de radio 2. ... Como una ocurrencia espontánea (del profesor) se solicita “por favor, traducir a un gráfico el anterior enunciado”. Luego de dar un tiempo prudencial se observan los siguientes gráficos: *

Profesor Departamento de Matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional.

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•

•••

•

(a)

(b)

(c)

•

(d)

¡ Estos muestran que la noción de estar inscrito no esta clara en los estudiantes y parecería ser una primera dificultad. Después de discutir un poco sobre el significado de estar inscrito se acuerda que la gráfica (d), propuesta por el alumno P, es la traducción correspondiente al enunciado. Ahora se continúa con el enunciado “... exprese el área del rectángulo como una función de x’ y se sugiere la gráfica:

Y/2

•

2 X/2

En la iniciación de la búsqueda de la solución (a esta parte del enunciado) se observa que aparecen escrituras como: A= b.h; A= b.a; A= x.h; A= (b.a)/ 2 Nuevamente, se solicita la justificación de cada una de ellas y el alumno K, quien planteó la última expresión aceptó (?) que tenía un error. Puede apreciarse que algunos recuerdan la fórmula de la escuela primaria (variables concretas), otros avanzan un poco en la utilización de la variable (que en este caso está indicada en el enunciado). Luego de aceptar que se toma como expresión de partida: A= x.h. ¿Qué se debe hacer ahora? ¿cómo se sigue? ¿Buscamos quién es h? y teniendo en cuenta la gráfica se concluye que h es y, en consecuencia se tiene: A= x.h=x.y *

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¿Y, ahora qué? se reemplaza y en términos de x, ¿Cómo? En la gráfica se tiene como relacionar y con x, aplicando el teorema de Pitágoras. ¿Qué dice el teorema de Pitágoras? “Hipotenusa al cuadrado es igual a un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado y en este caso:

22 =

x

y +

2

2

x2 4 =

y2

+ 4

16 =

4

x2 + y2 (i)

16 – x2 = y2 √ 16 – x2 = y Luego

4–x=y

¿Están de acuerdo con el anterior desarrollo? Siii Ante tal exclamación, se presenta: 4 = √16 + √26-9 + √25 – √9 = 5-3= 2 Es decir, 4 = 2 5 = √25 = √16+9 = √16 + √9 = 4+3 =7 Luego 5 = 7 ¿Existe un error? Síii ¿Dónde? ¿En qué paso? Aquíii, en el tercer igual. ¿Por qué? La raíz de una diferencia no es igual a la diferencia de las raíces .o la raíz de una suma no es igual a la suma de las raíces. Por lo tanto, no se puede concluir que y = 4 - x, es decir, sólo se tiene que Digitalizado por RED ACADEMICA

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y = √16 – x Hay alguna restricción o condición? Si.

X≥0Λx≤4 ¿Porqué? Si X > 4, se tendría para Y un valor imaginario. ¿Puede usted dar una mejor explicación? Veamos: l6 - X2 ≥ 0 16 ≥ X2 ≥ 0 Para todo real X 4 ≥ │x│ -4≤ x≤ 4 Como X es la longitud de la base del rectángulo , X no puede ser negativo. ¿Qué, si puede ser? Positivo. ¿Sólo positivo? También puede ser 0. ¿En conclusión? Entonces

0≤x≤4

y = √16 – x2 , 0 ≤ x ≤ 4

Por lo tanto, reemplazando en * se tiene: 4 = x √16 -X2, 0 ≤ x ≤ 4 ¿Alguna otra pregunta? Síii. ¿Cuál? ¿Es posible considerar el siguiente gráfico para encontrar la relación entre X y Y? Sí. Aplicando Pitágoras en el triángulo rectángulo ABC se tiene: 16 = x2 + y2

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X

y, estaríamos en el planteamiento (1) del desarrollo anterior. CONCLUSIONES — En una situación como la presentada, muy simple para el profesor, pero muy densa para el alumno se requiere que éste tenga varios conceptos previos que le permitan iniciar con éxito la búsqueda de una solución. Entre ellos están: la fórmula del área para un rectángulo, el teorema de Pitágoras, manejo de ecuaciones y de desigualdades, búsqueda de condiciones para las variables, etc. — Otro elemento relevante corresponde a las traslaciones de las diferentes representaciones de un enunciado, tales como: de lo verbal a lo gráfico, de lo gráfico a lo simbólico, de lo verbal a lo simbólico, etc. Aquí, se presume que es muy fácil pasar de una representación a otra, tal vez por el poco tiempo disponible y la necesidad de avanzar” en el desarrollo de una temática, pero parecería necesario permitir que cada estudiante haga su traslación y luego se discuta con los compañeros y el profesor para precisar la traslación adecuada. — A pesar de que un enunciado privilegie una representación, es posible que los alumnos realicen lecturas sobre ella y propongan nuevas interpretaciones, permitiendo con ello dinamizar el proceso que se realiza y obligando al profesor a releer y tal vez a repensar. — Etc.?

BIBLIOGRAFIA 1.

JANVIER, C. (editor) 1987. Problems of representation in the teaching and learning of mathematics. Londres: LEA Publ. Londres.

2.

STEWART, James. Cálculo. México: Grupo Editorial Iberoamericano. 1994.

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H - CONJUNTOS Jorge Páez O. * Carlos Luque A. * Albedo Donado N. *

Abstract Using predicates with values in a Heyting Algebra H, a generalized notion of set, denoted H-set, is constructed. The algebraic structure of this sets and the notions of product and relations between them is studied.

INTRODUCCIÓN Así como la lógica asociada al álgebra de Heyting 2, permite construir la teoría de conjuntos clásica, cualquier otra álgebra de Heyting H permite construir por analogía teorías que llamaremos de H-conjuntos [8], los cuales están definidos por predicados cuyos valores de verdad son los elementos del conjunto H y donde las proposiciones que ellos generan pueden conectarse mediante las operaciones (٨ ,,٧→ ), propias del álgebra considerada. En estas teorías es posible desarrollar conceptos que generalizan nociones entre conjuntos como las de producto, relaciones y funciones, etc. A pesar de que el conjunto de valores de verdad de H permite incluir casos como el del intervalo real [0,1] y que las operaciones (٨) e (٧) a definir coinciden con las de la lógica difusa [3], esta teoría difiere de aquella por no considerar definido un complemento y por considerar el operador (→) como el adjunto a derecha del operador (٨). 1.

ALGEBRAS DE HEYTING

En esta sección se presenta la noción de álgebra de Heyting, se observa la forma como de la misma manera en que el álgebra de Boole 2 aporta su estructura a ‫( ص‬x), la estructura de un álgebra de Heyting H se extiende al conjunto de funciones con rango en H y dominio en un conjunto X y al conjunto de H-conjuntos con ellas asociado. 1.1 Definición Un retículo H es un conjunto ordenado en el cual para cada dos elementos a, b Є H existe el extremo superior (notado a ٧ b) y extremo inferior ( a ٨ b). [9]. Un retículo H tiene exponenciales si para cada dos elementos a, b Є H existe un elemento y Є H tal que x ≤ y si y solo si x ٨ a ≤ b. La exponencial de a y b, también conocida como la implicación entre a y b, es notada a → b. *

Profesores Universidad Pedagógica Nacional.

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Un retículo H tiene elemento mínimo, si existe 0 Є H tal que para cada a Є H se tiene que 0 ≤ a. Un retículo H tiene elemento máximo, si existe 1 Є H tal que para cada a Є H se tiene que a ≤1. Un álgebra de Heyting H es un retículo con exponenciales que posee elemento mínimo. En un álgebra de Heyting H, el pseudocomplemento de un elemento a Є H, notado ~a, se define como a → 0 1.2 El álgebra de Heyting HX Sea H un álgebra de Heyting, el conjunto HX de funciones de X en H es también un álgebra de Heyting definiendo: i) ‫ ≤ ג‬µ si y solo si ( x) (‫(ג‬x) ≤µ (x)) ii) (‫ ג‬٨ µ) (x) = ‫( ג‬x) ٨ µ (x) iii) (‫ ג‬٧ µ) (x) = ‫( ג‬x) ٧ µ (x) iv) (‫ → ג‬µ) (x) = ‫( ג‬x) → µ (x) Los elementos mínimo y máximo del retículo son respectivamente las funciones 0(x) = 0, y, 1 (x) = 1. El pseudocomplemento está definido por la función (- ‫( ) ג‬x) = ~ ‫( ג‬x) y la igualdad por ‫ = ג‬µ si y sólo si ( x) ( ‫( ג‬x) = µ (x)). El orden definido en HX corresponde al orden producto en HX, es decir, componente a componente. Si H = {0 , 1}, HX es isomorfo a ‫( ص‬X). El conjunto HX puede interpretarse como un conjunto de predicados polivalentes [7] (tantos valores como elementos tenga H) definidos sobre un conjunto X. 1.3 El álgebra de Heyting de los H - Conjuntos Dados dos conjuntos X e Y, toda función ‫ג‬: X → Y define una función ‫( ص ! ג‬Y) → ‫( ص‬X) B → ‫( ! ג‬B) {X Є X : ‫( ג‬x) Є B} Como las partes unitarias de Y son isomorfas con Y, si consideramos una función ‫ ג‬Є YX , la restricción de ‫ ! ג‬a las partes unitarias de Y nos define una función (‫ ●)ג‬: Y → ‫( ص‬X) h → (‫ ( ●)ג‬h) = ‫{ ( ! ג‬h} ). Si llamamos Ah = (‫( ●)ג‬h) para cada h Є Y, entonces Digitalizado por RED ACADEMICA

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X = U Ah, y Ah ∩ Ak = ø si h ≠ k es decir, la colección { Ah : Є Y } es casi una partición del conjunto X, salvo que en este caso, los Ah no necesariamente son diferentes de vacío. El conjunto Λ● x = { ‫ ●ג‬:H → ‫( ص‬X), ‫ ג‬Є HX } Es también un álgebra de Heyting, donde: i. ii iii. iv.

‫●ג‬ ‫●ג‬ ‫●ג‬ ‫●ג‬

≤ µ● si y solamente si ‫ ≤ ג‬µ ٨ µ● = ( ‫ ג‬٨ µ)● ٨ µ● = ( ‫ ג‬٧ µ)● → µ● = ( ‫ → ג‬µ)●

Los elementos mínimo y máximo del retículo son respectivamente 0● y 1●, el pseudocomplemento de ‫ ●ג‬es - ‫( = ●ג‬-‫ ) ●ג‬y la igualdad por ‫ = ●ג‬µ● si y solamente Si ‫ = ג‬µ Los elementos de Λ● los llamaremos H — Conjuntos sobre X. De esta manera, a cada predicado H-valente ‫ ג‬Є HX, se le asigna un H-conjunto sobre X. En particular si H = n = { 0, 1/( n -1), 2/(n -1), 3/(n -1),…, (n - 1) /(n -1) = 1 } con el orden inducido por el orden usual de los números racionales del intervalo [0, 1], H es un álgebra de Heyting, las operaciones ٨, ٧ son las usuales dadas por el inf y el sup respectivamente, la implicación entre p y q esta dada por la fórmula [4] 1 si p ≤ q p→q= q si q > p Cada función ‫ג‬: X n, determina un n -conjunto ‫ ●ג‬que puede identificarse con la n-upla (A1, A(n-2) / (n-1), …, A0), donde A = { x: ‫( ג‬x) = i / (n-1) }. ¡ 1 e’— 1> En esta colección Λ● de n-conjuntos, [6] dados A● = (A1,..., A0) y B● (B1,..., B0), las operaciones básicas entre ellos en términos de sus componentes están dadas en la tabla 1, donde ( )h representa la componente h del H-conjunto asociado a la operación correspondiente. 2. H - Definiciones Una definición en lógica bivalente es una expresión de la forma A ↔ B donde A es un término nuevo de una teoría y B es una expresión con sentido completo en el lenguaje de la teoría (una fórmula bien formada). Estas fórmulas son proposiciones, decir tienen valores de verdad verdadero o falso. Generalmente no es necesario explicitar mas que Digitalizado por RED ACADEMICA

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uno de estos valores (lo que es el término definido) puesto que al hacerlo el otro queda plenamente identificado debido a que sólo hay dos valores posibles y el uno es el complemento del otro.

En el caso de que un álgebra de Heyting H tenga más de dos valores, una proposición tiene tantos valores de verdad posibles como elementos tenga H y por lo tanto cada definición en este contexto es multivalente y da lugar a tantas definiciones bivalentes como elementos existan en H. Ya no solo es necesario decir que es un objeto, sino se hace necesario decir que “1/2 es”, etc. Precisamos esto en lo que sigue. 2.1 Definición polivalente Si partimos de predicados sobre un conjunto X, ellos nos dan lugar a proposiciones mediante el uso de cuantificadores propios del álgebra H, definidos por: ( x)(p(x) )= inf {p(x)} xЄX (Эx) (p(x)) = sup {p(x)} xЄX Por ejemplo, si consideramos H = n, la definición de igualdad entre predicados sobre un conjunto X, da origen a n definiciones bivalentes así: p = kq si y solamente si ( x) (p(x) ↔ q(x) )=k

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las cuales, de acuerdo con las definiciones dadas para el cuantificador universal, son equivalentes a: p = kq si y solamente si inf { p(x) ↔ q(x) } = k x ЄX y si Ah, = { x: p (x) =h} y Bh,{x: q(x) = h} son los subconjuntos asociados con cada uno de los predicados p y q respectivamente, esto es, cada una de las componentes de las n-uplas que identifican a los H-conjuntos, entonces la definición de k-igualdad corresponde al par de condiciones: a) Э x0 Є X tales que p(x0) ↔ q(x0)= k b) X c U

J≥K

(∩ (A1 ∩ B1 )) U ( U (A1 ∩ B1) = ((U A1) ∩ (U B1)) U ( U (A1 ∩ B1 ))

J≥K

J≥K

J≥K

J≥K

J≥K

En general, llamaremos H-Definición a una proposición de la forma p ↔ q donde p es un término nuevo en la teoria y q es una proposición construida con los términos del lenguaje permitidos por la lógica de H. Presentamos dos ejemplos básicos de ellas: la H-igualdad y la H-contenencia entre Hconjuntos. 2.2

H - Igualdad entre H - conjuntos

Dos H - conjuntos ‫ ●ג‬y µ●, son H-iguales si y sólo si ( x) ((‫(ג‬x) ↔ µ ( x))1, notado ‫●ג‬ ≡ µ● diremos que son k- iguales, notado ‫= ●ג‬k µ●, si y solo si ( x) ((‫(ג‬x) ↔ µ ( x)) = k Esto significa que: ‫= ●ג‬k µ●, si y solamente si inf { ‫( ג‬x) ↔µ (x) } x ЄX lo cual en el caso H = n, es equivalente a que: i) Э x0 Є X tales que ‫( ג‬x0) ↔ µ (x0) = k Digitalizado por RED ACADEMICA

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ii)

x Є X1 (‫(ג‬x) ↔ µ (x) = k

Si escribimos A● = ‫ ● ג‬y B● = µ● como n-uplas, las anteriores condiciones toman la forma: i) (A ↔ B)k = ( U (Ak ∩ Bi) U ( U (Bk ∩ Ai) ≠ Ø i>k

i>k

ii) X c U (A ↔ B)j = ( U (Aj ∩ Bi) U (U (Bj ∩ Ai)) i>k

2.3

i>j

i>j

H - Contenencia entre H - conjuntos

Dados dos H-conjuntos A● = ‫ ● ג‬y B● = µ● diremos que A● esta H-contenido en B●1 notado A● < B●, si y solo si ( x) ((‫(ג‬x) ↔ µ ( x))1, y que A● está k- contenido en B●1 notado A● ≤k B● si y solo si ( x) ((‫(ג‬x) ↔ µ ( x)) = k Es decir, A● ≤k B● si y solamente si inf { ‫( ג‬x) ↔µ (x) } = k x ЄX lo cual en el caso H = n es equivalente a: i) Э x0 Є X tales que ‫( ג‬x0) ↔ µ (x0) = k ii)

x Є X, (‫(ג‬x) ↔ µ (x) ≥ k

Si escribimos A● = ‫ג‬ adopta la forma:

●

y

B● = µ● como n-uplas, el anterior par de condiciones

(A● → B●)k = BK ∩ (U Aj ) ≠ Ø j>k

si k ≠1 o (A● → B●)l = U Aj ∩ (U Bj) ≠ Ø iЄH

j≥ i

II) x c U (A● → B●)h h≥k

Nota: La relación de orden (≤) entre H-conjuntos definida en la sección 1.3 corresponde a la 1-contenencia. Esto es, si A● = ‫ ● ג‬y B● = µ● ‫ ≤ ● ג‬µ● si y solamente si y A● ≤ 1 B● Digitalizado por RED ACADEMICA

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2.4 H - Conjuntos Unitarios Dados a Є X y h Є H, al H-conjunto A● = (Uh a)● definido por la función h

(U a) (x) =

h si

x=a

o si

x ≠a

lo llamamos un H - Conjunto unitario asociado al punto a. En el libro Fuzzy Topology [1 0] se presenta una noción de H-punto borroso definido por Goguen[3] con esta misma función, sin embargo en esta teoría los conjuntos borrosos se corresponden con funciones de HX y no con los elementos de Λ● x1,adicionalmente no se considera la multivalencia de las definiciones propias del retículo considerado. Nota: El H-conjunto unitario (Uh a) es el menor H-conjunto para el que ‫(ג‬a) = h esto es, de acuerdo al orden generado por la 1-contenencia entre H-conjuntos, puesto que (Uh a)● = Λ { ‫ ●ג‬: ‫( ג‬a) = h} ‫●ג‬ЄΛ●

Puesto que (Uh a)● = Є { ‫ ●ג‬: ‫( ג‬a) = h} Y si B● = µ●Є

{ ‫ ●ג‬: ‫( ג‬a) = h}

como Ak = Ø para todo k ≠ 0, h, entonces Ak c U Bi i ≥k

es decir A● ≤1 B● Todo H - conjunto A●, puede escribirse como unión (sup) de H - conjuntos unitarios. Si A● = ‫ ● ג‬se tiene: A● = V (U ‫( ג‬x)x)● Para el caso H = n, dado x Є X y h Є n (Uh x)● = (Ø ,…, { x},…,{ x}c) donde {x} está en la h-ésima componente. 3.

PRODUCTOS Y RELACIONES ENTRE H-CONJUNTOS

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La presente sección tiene como propósito extender las nociones de producto cartesiano de conjuntos y relaciones entre ellos a productos y relaciones entre Hconjuntos, a las que llamaremos H-productos y H-relaciones. 3.1 H-Productos entre H-conjuntos El producto cartesiano A x B de dos conjuntos A y B [5] es el conjunto de parejas ordenadas (a, b) con primera componente en el conjunto A y segunda componente en el conjunto B. Esta definición está construida sobre dos conceptos: el de pareja ordenada y el conectivo ٨. La generalización que haremos en éste trabajo deja igual la noción de par ordenado de puntos y utiliza los conectivos propios del álgebra H para extender la noción de producto. Esto es: Si H es un álgebra de Heyting y X e Y son conjuntos, ‫ ג‬Є HX, µ Є HX y los H-conjuntos asociados a ‫ ג‬y µ respectivamente, definimos el H- producto entre ‫ ●ג‬y µ● según el conectivo lógico © como el H-conjunto sobre X x Y ‫ ●ג‬x© µ● = ( ‫ ג‬x© µ)● donde ‫ ג‬x© µ : X x Y → H (x, y) → ‫( ג‬x) © µ (y) y © corresponde a cualquier conectivo lógico de los definidos sobre H. Así por ejemplo, la primera componente del producto construido con el conectivo A corresponde al producto cartesiano usual entre los conjuntos A y B y la primera componente del producto construido con el conectivo → corresponde al producto fibrado (Pullback)[1] entre las funciones características ‫ ג‬y µ de A y B respectivamente. Notas: 1. Vistos como H-conjuntos sobre X x Y, los H-productos definidos por los los conectivos lógicos están ordenados según el siguiente diagrama 1XxY ‫ ●ג‬x → µ● ‫ ●ג‬x ٧ µ● ‫ ●ג‬x ↔ µ●

‫ ●ג‬x ٨ µ●

Este diagrama no es un subretículo [2] del álgebra de Heyting formada por todos los Hconjuntos en X x Y, por ejemplo, el inf entre los H-productos ‫ ●ג‬x → µ● y ‫ ●ג‬x ٧ µ● no Digitalizado por RED ACADEMICA

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aparece en él, lo que queremos resaltar es que. el producto usual, correspondiente al conectivo Λ, es el menor de todos los productos considerados. 2. Un caso particular, se obtiene cuando ‫ = ●ג‬1x y µ● = 1Y, pues en él todos los productos coinciden y se tiene que. 1X x© 1Y= 1XxY 3.2 H-relaciones entre H-conjuntos Dados ‫ ●ג‬y µ● H-conjuntos sobre los conjuntos X e Y respectivamente y un Hproducto ‫ ●ג‬x© µ● t. según el conectivo lógico © entre ellos, llamaremos una H-relación según © a cualquier H-conjunto p● que esté H-contenido en, ‫ ●ג‬x© µ● es decir, si p● <

‫ ●ג‬x© µ●

Esta es una frase multivalente que da origen a tantas definiciones bivalentes de relación, como elementos tenga H. Así diremos que p● es una h-H-relación según el conectivo © de ‫ ●ג‬en µ● , notado, p● ≤h ‫ ●ג‬x© µ● si la frase p● < ‫ ●ג‬x© µ● tiene valor de verdad igual a h. Centraremos nuestro interés en: 1. Las H-relaciones definidas con respecto al producto asociado al conectivo lógico Λ ya que este es el menor de los productos definidos, lo que implica que si p● es una Hrelación entre ‫ ●ג‬y µ● se tiene que p● es una H-relación según © entre ‫ ●ג‬y µ● . En adelante omitiremos el símbolo © cuando nos refiramos al producto definido con el conectivo Λ. 2. Las 1-H-relaciones Notas: i).

Toda 1-H-relación p● de ‫ ●ג‬en µ● de X en .t es una 1-H-relación entre los Hconjuntos 1●x y 1●y.

ii)

p● es una 1-H-relación entre los H-conjunto 1●x y 1●y. si y solamente si p• ≤1 1●XxY.

3.3 Funciones asociadas a las H-relaciones Toda relación entre dos conjuntos X e Y define un par de funciones entre sus conjuntos de partes, conocidas como las funciones imagen directa e imagen recíproca. Así mismo, toda H-relación entre H-conjuntos define un par de funciones entre los conjuntos de H-conjuntos Λ●x y Λ●y definidos sobre X e Y, respectivamente. Para su construcción requerimos del manejo de algunas funciones que precisamos enseguida: Digitalizado por RED ACADEMICA

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●

●

Dada una H-relación p de ‫ ג‬en µ , existen funciones asociadas a ella: 1. La función ρ: X x Y → H que define a p● como H-conjunto. 2. Para cada x Є X y para cada y Є Y, las inclusiones: iy: X → XxY

ix: X → XxY

x → iy (x) = (x,y)

y→ ix (x) = (x,y)

Con ellas podemos formar, para cada x e X y para cada y e Y, nuevos H-conjuntos sobre X y sobre Y, utilizando las funciones compuestas: Px : Y → H Y→ p (ix (y)) = p (x,y) Py : X → H x → p (iy (y)) = p (x,y) Estos H-conjuntos, a su vez, nos permiten definir la función R1: Λ● x1 → Λ● µ● → V ((ρy Λ µy)●) yЄY

donde µy es la función constante µy : X → H x →µy (x) = µ(y) A la función R1 la llamaremos la función imagen recíproca por la H-relación ρ● En forma análoga, definimos la función R1:

Λ● x

Λ● y

‫ → ●ג‬V ((ρ Λ ‫ג‬x)●) xЄX

donde ‫ג‬y es la función constante ‫ג‬x Y → H y → ‫ג‬x (y) ‫( ג‬x) A la función R la llamaremos la función imagen directa por la H-relación ρ● Afirmamos que tanto R1 como RІ son morfismos de conjuntos ordenados puesto que si ‫ג‬, θ Є HX definen los H-conjuntos ‫●ג‬, θ● y ‫(ג‬x) ≤ θ (x) para todo x entonces para todo y Є Digitalizado por RED ACADEMICA

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Y, ‫ ג‬x (y) ≤ θx (y) y por tanto ρx Λ ‫ ג‬x ≤ ρx Λ θx luego R1 (‫ ≤ )ג‬R1(θ) y Similarmente, si µ ≤ φ entonces Rl (µ) ≤ Rl (θ). 3.4 Dominios y Rangos de H-relaciones Las funciones imagen directa e imagen recíproca asociadas a una H-relación ρ●, nos permiten caracterizar su dominio y su rango así: i). El dominio ρ●, notado d●, es el H-conjunto ρ●,

d●, = Rl (1●y) = V ((py Λ 1y)●) = V((ρy) ●) ρ●,

yЄY

yЄY

donde 1y (x) = 1 para todo x en X. ii) El rango de ρ●, notado r●, es el H-conjunto ρ●,

V = Rl (1●x) = V ((px Λ 1x)●) = V((ρx) ●)

xЄX

xЄX

xЄX

donde 1x (y) = 1 para todo y en Y. Un resultado análogo al que se tiene para las relaciones usuales entre conjuntos lo tenemos para las funciones imagen directa e imagen recíproca entre H-conjuntos, a saber: 1. Si ‫ < ●ג‬d● , entonces ‫ < ●ג‬Rl (Rl (‫))●ג‬ ρ●

2. Si µ● < r● entonces µ● < Rl (Rl (µ●)) ρ●

La demostración de esta afirmación, se sigue parafraseando la demostración para relaciones usuales, teniendo cuidado en cambiar los cuantificadores existencial y universal por sup e inf respectivamente, veamos: Sea p una ρ● relación de ‫●ג‬, un H-conjunto sobre un conjunto X, en µ●, un H-conjunto sobre un conjunto Y, Si ‫ < ●ג‬d●, entonces ρ●

‫ < ●ג‬V((ρy Λ 1y)●) ≡ V ((ρ y)●) yЄY

Es decir

yЄY

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‫( ג‬x) ≤ V((ρy Λ 1y) ) (x)) = V ((ρy)(x)) yЄY

(*)

yЄY

‫( ג‬x) ≤ V (ρ (x, y)) para todo x en X yЄY

Operando a ambos lados de la desigualdad con (x) obtenemos: ‫( ג‬x) ≤ V (ρ (x, y) ٨ ‫( ג‬x) ) yЄY

para todo x en X y por lo tanto: (**)

‫( ג‬x) ≤ V xЄX

V (ρ (x, y) Λ ‫( ג‬x) ) yЄY

De (*) y (**) se tiene que ‫( ג‬x) ≤ (V (ρ (x, y) ))

٨ (V

yЄY

xЄX

V (ρ (x, y) Λ ‫( ג‬x) )) yЄY

para todo x en X. Utilizando la propiedad distributiva obtenemos que ‫( ג‬x) ≤ V (ρ (x, y) ٨ ( V (ρ (x, y) Λ ‫( ג‬x) )) yЄY

xЄX

para todo x en X. O equivalentemente ‫( ●ג‬x) ≤ V (ρy Λ (V (ρx ٨ ‫ ג‬x)) x) (x) yЄY

xЄX

para todo x en X. O sea ‫ < ●ג‬V (ρy Λ (V (ρx ٨ ‫ ג‬x)) y)● yЄY

xЄX

‫ < ●ג‬Rl ((V (ρx ٨ ‫ ג‬x)) y)● entonces ‫ < ●ג‬Rl (Rl (‫) ) ●ג‬ como queríamos demostrar. Análogamente se demuestra que Si µ● < r● entonces µ● < Rl (Rl (µ●)) Digitalizado por RED ACADEMICA

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3.5 Los H-conjuntos como categoría Además de las operaciones de intersección, unión, implicación, equivalencia y seudocomplementación definidas entre H-relaciones entre dos H-conjuntos ‫ ●ג‬Є Λ●x y µ● Є Λ● y, a las que se tiene derecho por ser H-conjunto del producto X x Y podemos definir la operación composición entre H-relaciones así: Dadas ρ● < ‫ ●ג‬x µ● y σ● < µ● x v● dos H-relaciones, la composición de ρ● y notada σ● y ρ● es la H-relación definida por:

σ●

(σ● o ρ● ) = (σ o ρ●) donde (σ o ρ) = (x, z) = V (ρ (x,y) ٨ σ (y,z)) En las relaciones usuales, el manejo de las funciones imagen directa e imagen recíproca asociadas con cada relación, facilitan el cálculo de la compuesta, por cuanto dadas las relaciones R c X x Y y S c Y x Z, S o R = { (x, z) z Є S!, ( R! ({ x }) ) } También en las H-relaciones puede calcularse fibra por fibra la compuesta de los relaciones, determinando para cada x el H-conjunto (S! (R! )) ((Uhx )● ) donde (Uhx )● es el H conjunto unitario asociado con cada elemento x del dominio de la relación R. Esto es, para todo x Є X y para todo z Є Z (S o R) (x, z) = (S!, ( R! )) (Uhx )●

donde h = (R(x,y)) En efecto,

(S!, ( R! )) (Uhx )● ≡ S!, ((V ( ρa ٨ (Uhx )a)● ) ≡ (V σ ٨ (V ( ρa ٨ (Uhx )a))y)● aЄX

yЄY

aЄ X

y para cada z Є Z, tenemos: V σy ٨ (V ( ρx ٨ (Uhx )a))y) (z) = V (σ (y,z) ٨ (V ( ρa ٨ (Uhx )a))y (z))

yЄY

aЄX

yЄY

aЄX

como (V ( ρx ٨ (Uhx )a))y) (z) = (V (p (a,y) ٨ (Uhx )a (y) ) = (V (p (a,y) ٨ (a)) = p (x,y) aЄX

aЄX

para todo y en Y Digitalizado por RED ACADEMICA

aЄX

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entonces V σy ٨ (V ( ρx ٨ (Uhx )a))y) (z) = V (σ (y,z) ٨ p (x,y)

yЄY

aЄX

yЄY

La composición de H-relaciones permite reconocer una estructura categórica [1] sobre los H-conjuntos considerados como objetos y las H-relaciones como morfismos, debido a que se satisface. 1. Asociatividad. Sean R● es una H-relación de ‫ ●ג‬en µ● , σ● una H-relación de µ● en ρ y T● una relación de ρ● en θ entonces ●

(T● o σ● ) o ρ● ≡ T● o

(σ● o ρ● )

2. Para cada H-conjunto ‫ ●ג‬la H-relación 1●‫ ●ג‬: ‫●ג →●ג‬ definida por la función 1‫( ●ג‬x, y) =

‫( ג‬x)

si x=y

0

si x=y

actúa como elemento idéntico para la composición.

BIBLIOGRAFÍA [1] Adamek J.; Theory of Mathematical Structures, Reidel Publishing C., 1983. [2] Dubreil P., Dubreil-Jacotin M.; Lecciones de Algebra Moderna, Reverte 1965. [3] Goguen, J.A.; L-Fuzzy Sets, J. Math Anal. AppI; 18. (1967). 145-174. [4] Goldblatt, R. Topoi, The categorical analysis of Logic. North Holland, 1984 [5] kinsolving M; Set Theory and the Number Systems, International Textbook Co., 1967. [6] Luque C., Donado A., Páez J.; Caracterización de conjuntos por ternas, XIII Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística, 1996. [7] Luque C., Donado A., Páez J. Nociones conjuntistas sobre álgebras de Heyting, VIII Encuentro de Geometría y sus aplicaciones. 1997. [8] Luque C., Donado A., Páez J.; H-conjuntos: Una generalización de la noción de Conjunto, XIV Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística, 1997. [9] Oostra A.; Álgebras de Heyting, XIV Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística, 1997. Digitalizado por RED ACADEMICA

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[10] Ying-Ming L., Mao-Kang L., Fuzzy Topology, World Scientific, 1997.

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UNA APROXIMACIÓN EPISTEMOLOGICA, DIDÁCTICA Y COGNITIVA A NOCIONES BÁSICAS Y CONCEPTOS DEL CÁLCULO

Gloria García O., Celly Serrano, Hernán Díaz*

Abstract This article presents the une of investigation “An epistemological didactic and cognitive approximation to the basic motions of Calculus”, of the Master’s program in Mathematics Education. A revision of the tendencies and problems, with respect to the teaching of Calculus and about the cognitive aspects of investigations already completed is presented. A synthesis of the concepts and theories that support the framework of this line of investigation is given.

INTRODUCCIÓN La modelización matemática del cambio ha estado, desde sus inicios, íntimamente ligada a la invención y desarrollo del Cálculo infinitesimal. Hoy en día, se puede afirmar que casi todas las manifestaciones del universo son manifestaciones del cambio. Estos pueden ser simples o comp!ejos, Stewart (1998) identifica entre los cambios simples el ciclo de las estaciones o el flujo y reflujo de las mareas, entre los cambios complejos se encuentran por ejemplo las recesiones económicas y las epidemias. Es por esta razón que una de las metas que se debe proponer la educación matemática es la de desarrollar en los estudiantes las competencias necesarias para entender y controlar el mundo cambiante en que vivimos” (Stewart, 1998), por consiguiente el reto que se plantea es conseguir una enseñanza del Cálculo cognitivamente eficiente. Pero la enseñanza de esta área de la Matemática, no puede seguir siendo aquella que se reduce a la presentación formal los conceptos, pues la investigación en educación matemática ha demostrado que las posibilidades de su comprensión reposan sobre nociones e ideas básicas como la de infinito, procesos infinitos, aproximación y variación. Estas nociones como mecanismos de aproximación a la construcción lógica de los conceptos de límite y derivada están presentes desde épocas muy tempranas en la Historia de la Matemática. Sin lugar a dudas puede afirmarse, que coexistieron en las distintas actividades matemáticas que se desarrollaron desde la antigüedad griega hasta la culminación de los conceptos que conforman la estructura matemática ideal que hoy conocemos como el Cálculo Diferencial. Desde la perspectiva educativa el análisis de la Enseñanza del Cálculo permite detectar que su enseñanza se ha convertido en uno de los problemas neurálgicos para la educación matemática. Entre los posibles problemas que presenta su enseñanza es el referido a la concepción sobre las matemáticas con que se asume la enseñanza, la *

Profesores Departamento de Matemáticas, Universidad Pedagógica Nacional.

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mayoría de las veces esta concepción esta inscrita en la tradición axiomática - deductiva parlo que prevalece la presentación formal y axiomática de los conceptos y donde el estudio del cambio no tiene cabida. Esta concepción es contraria a la historia del desarrollo conceptual del Cálculo, pues tal como se ha descrito, las nociones se usan primero para reconocerse y definirse lógicamente mucho tiempo después (19 siglos). Otro de los problemas que presenta la enseñanza del Cálculo, es el de convertir sus conceptos básicos, límite y derivada, en un conocimiento algoritmizado desde lo algebraico puesto que son reducidos al manejo de manipulaciones algebraicas. El propósito de este trabajo es describir los fundamentos de la línea de investigación Una aproximación epistemológica, didáctica y cognitiva a nociones y conceptos del Cálculo” como línea que responde a las necesidades de solución a los problemas de la enseñanza de las matemáticas en el país, y en particular a la construcción de una concepción de las matemáticas, como un área de estudio abierta a la interpretación y a la modelización de fenómenos y situaciones de la cultura. La línea se estructura integrando las investigaciones que en la didáctica de las matemáticas, específicamente en el Cálculo, se han realizado y por consiguiente proveen elementos para posibles respuestas al complejo problema de la enseñanza y aprendizaje del Cálculo. EL LÍMITE Y LA DERIVADA COMO PROBLEMAS COGNITIVOS La comunidad matemática dispone hoy de una caracterización formal del límite y de la derivada. Respecto a estos conceptos, las definiciones propuestas por Weirstrass y Cauchy respectivamente, mantienen, aún hoy, su vigencia. La caracterización lógico-formal del límite y la derivada ha sido una de los fundamentos en ciertos modelos de enseñanza. Pero tal como lo muestran los resultados de investigaciones didácticas (Cornu, 1991) desarrolladas las dificultades que presentan los estudiantes son fuertes y resistentes. Para comprender los aportes de las investigaciones en cuanto al estudio de las dificultades es necesario hacer referencia a la noción de obstáculo epistemológico introducida por el filósofo G. Bachelard. Para este filósofo, el conocimiento científico no se desarrolla en un proceso continuo, ni lineal, es el resultado del rechazo de formas previas de conocimiento que se constituyen en obstáculos epistemológicos. La evolución histórica de los conceptos matemáticos ha sido un proceso caracterizado por la presencia de obstáculos epistemológicos. Estos se manifiestan en el aprendizaje de los conceptos en forma de dificultades cuando la solución de un problema que surge en un determinado momento de enriquecimiento estructural del concepto no precisa un cambio básico de la teoría matemática correspondiente. En lo que se refiere al límite, Artigue (1998) y Cornu (1983) están de acuerdo en identificar los siguientes obstáculos epistemológicos: • Sentido común de la palabra límite, lo que induce a concepciones persistentes de límite como barrera infranqueable o como último término de un proceso. • Sobregeneralización de las propiedades de los procesos finitos a los procesos infinitos. Digitalizado por RED ACADEMICA

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• Aspecto metafísico de la noción, ligado con el infinito, ya que introduce una nueva forma de razonamiento. Obstáculos debidos al “horror al infinito” • Los conceptos de cantidades infinitamente grandes y cantidades infinitamente pequeñas. A los anteriores obstáculos se suma la doble dimensión que tienen estos conceptos; proceso—objeto, u, operacional- estructural. Esta doble dimensión pone de manifiesto la complementariedad de ambos aspectos tanto a nivel cognitivo como en el desarrollo histórico conceptual de los objetos matemáticos mencionados. Sfard, (1992) ha señalado que esta dualidad esta presente en el proceso de formación del conocimiento matemático, pues la etapa operatoria suele preceder a la etapa estructural. Para el caso de las nociones de procesos infinitos, infinito potencial y variación, la etapa operacional precederá a la consideración de estos procesos como objetos matemáticos estructurados (infinito actual). En consideración a que la formación de concepciones estructurales es un proceso lento y lleno de dificultades, uno de nuestros objetivos es construir vías de acceso, didácticamente cognitivas, a lo largo de la Educación Básica, para establecer qué grado de estructuración van desarrollando los estudiantes a partir del estudio de los procesos que nos ocupan. EL MARCO TEÓRICO El marco conceptual en que se enmarca la línea tiene como fundamento los siguientes principios: • El conocimiento matemático es un fenómeno social y cultural; la educación matemática cumple una función social puesto que es la responsable de reconstruirlo, con sentido y significado, así como la cultura contribuye a la construcción de valores en la sociedad. • La construcción del conocimiento matemático, necesario para modelizar el cambio, comienza en dominios conceptuales como la Aritmética, la Geometría escolar, la medición y la estructura multiplicativa; avanza por los sistemas numéricos, el álgebra escolar con especial énfasis en la construcción de la variable, en la función y sus modelos, hasta alcanzar la formalización axiomática de las estructuras matemáticas. • Desde un enfoque sistémico, la investigación en Educación Matemática tiene como meta la resolución de los problemas de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en el sistema educativo. En razón de estas consideraciones, la línea se orienta a estudiar los fenómenos de la enseñanza y el aprendizaje y las acciones comunicativas de nociones y conceptos y procedimientos del Cálculo. Este dominio se aborda desde una triple orientación. En primer lugar, estudia las nociones, conceptos y procedimientos que constituyen la estructura matemática del Cálculo; en segundo lugar estudia las funciones cognitivas que las personas desarrollan mediante el uso de conceptos, procedimientos, propiedades y estructuras conceptuales del Cálculo y, en el estudio de las dificultades y errores que presenta el campo para su adquisición. Por último, tiene en cuenta el campo de fenómenos y situaciones y problemas que se abordan y resuelvan con la estructura matemática del Cálculo. Digitalizado por RED ACADEMICA

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Fuera del campo pero como requisitos necesarios para su acceso se encuentran conceptos como los de razón, función y el continuo numérico. Se determinan los siguientes tres núcleos: El primer núcleo, referido al aprendizaje y la cognición de nociones básicas, conceptos y procedimientos, especialmente: Errores y dificultades en los procesos de aprendizaje. Procesos individuales de construcción de conocimiento. Representaciones cognitivas. El segundo núcleo referido a la enseñanza, específicamente en cuestiones como: Características, organización y estructura de los elementos curriculares y las funciones culturales y económicas que los caracterizan. Formación didáctica del profesor de matemáticas en lo referente a sus procesos de formación y actualización. Proyectos curriculares. El tercer núcleo esta asociado a la práctica de la enseñanza y el aprendizaje, con especial énfasis en los hechos educativos reales como: Recursos y medios para dichos aprendizajes. Adecuación de diseños curriculares a intereses de los estudiantes, de las necesidades científicas de nuestra sociedad y a las diferencias individuales. El campo teórico general, sin pretender definir elementos teóricos que se conviertan en algoritmos para la acción, integra los siguientes cuatro aspectos básicos de la Educación matemática: Historia y Epistemología, Aprendizaje y cognición, enseñanza y estudios curriculares. Los estudios sobre la Historia y la Epistemología de los conceptos básicos del Cálculo, tienen como propósito mostrar que la actividad matemática es un proceso complejo que alberga tanto los resultados (significados y definiciones, teoremas), las técnicas y los métodos que en épocas determinadas permitieron abordar las soluciones a determinados problemas. Además estos estudios permiten encontrar cómo diferentes disciplinas de las matemáticas abordan aspectos centrales de la génesis y evolución de los conceptos y por tanto permiten encontrar los conceptos comunes en que se cimientan diversas disciplinas de la misma matemática. Para el caso de las técnicas y métodos que precedieron a la axiomatización del límite, encontramos, por ejemplo, que éste se apoya en procedimientos como los procesos infinitos y de aproximación y conceptos como el infinito y el continuo numérico. A su vez, este último concepto, el continuo numérico, se encuentra en la base de la construcción del continuo matemático y los procedimientos enunciados hacen parte de su constitución como objeto matemático estructurado. Particularmente el concepto de infinito se convierte en el concepto clave para comprender con certeza lo que es el límite. En la perspectiva educativa, a este concepto no se le otorga la importancia señalada puesto que el énfasis de su enseñanza recae en las presentaciones axiomáticas. Pero tal como lo señalan, Arboleda y Recalde “con el infinito nos encontramos con un concepto Digitalizado por RED ACADEMICA

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fundamental para la epistemología de las matemáticas, de alta relevancia para la historia de las disciplinas y, no obstante, solamente reconocido en las axiomáticas como resultado de un proceso o como presupuesto para procesos operatorios” (1995, p. 156). Por su parte, los estudios cognitivos sobre errores y dificultades que tienen los estudiantes en los procesos de adquisición y comprensión de los conceptos mencionados, coinciden en señalar que son precisamente los procedimientos, métodos, técnicas y conceptos claves, los que obstaculizan la comprensión de las formalizaciones presentadas a los estudiantes. La perspectiva de la enseñanza del Cálculo se encuentra inmersa en su perspectiva educativa, por tanto el conocimiento de nociones y conceptos debe articular los intereses de los estudiantes, sus necesidades de formación para integrarlas en la construcción de las estructuras conceptuales propias del Campo, los procedimientos y estrategias que fomenten la creatividad, el pensamiento divergente, en particular el pensamiento matemático, y el cultivo de valores y actitudes. BIBLIOGRAFIA RELACIONADA CON EL TEMA Los trabajos que hasta el momento hemos podido consultar se clasifican en los siguientes grupos: a)

En torno a fa Adquisición de límite y derivada

Estos trabajos son los más abundantes, están desarrollados con base en la noción de obstáculo epistemológico. En los trabajos de Cornu (1980, 1982, 1991) y Sierpinska (1985,1987), se destaca y comparte que los obstáculos que están ligados a las concepciones de límite son los asociados al infinito, los geométricos, y los ligados al significado común de la palabra límite y al de función. b)

En torno a la adquisición del continuo

En estos trabajos se destacan los realizados por M., Rigo (1995), I. Romero (1996) en donde se señala que no es posible seguir sosteniendo la tesis didáctica de la intuitividad inmediata del continuo. Rigo estudia la concepción que tienen los maestros de secundaria sobre el continuo matemático y concluye que la idea que prevalece en los profesores sobre el continuo es la de adjetivo asociada a un espacio y tiempo continuo; así mismo señala que las estrategias didácticas construidas para la enseñanza de este concepto no sólo han sido insuficientes sino obstaculizadoras, porque tienen como fundamento hacer a un lado las concepciones intuitivas que tienen profesores y estudiantes con respecto a la continuidad y al infinito. Por su parte, Romero, en los resultados del estudio realizado con estudiantes de la secundaria, pone de manifiesto que el esquema conceptual del continuo es un agregado inconexo de imágenes, de enunciados y de propiedades que causan un comportamiento errático en los estudiantes. c)

En torno a las intuiciones del infinito

En estos trabajos se destacan los de Moreno y Waldegg (1991) y Turégano (1996). Moreno y Waldegg elaboran un estudio sobre la evolución conceptual del infinito actual en estudiantes universitarios. Los resultados muestran que los esquemas conceptuales de los estudiantes sobre el infinito actual siguen el mismo proceso histórico de su Digitalizado por RED ACADEMICA

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constitución. El conflicto aparece al aceptar que el todo es igual a una de sus partes, lo cual contradice el esquema intuitivo del todo mayor que sus partes; igualmente las correspondencias biyectivas como instrumento de comparación presenta serias dificultades. Turégano en su estudio con estudiantes de secundaria sobre las contradicciones que presentan las construcciones intuitivas del infinito con sus conceptualizaciones, encuentra: los esquemas de pensamiento son más de orden finitista que infinitista, la aceptación de los procesos infinitos como algo definido y acabado presenta dificultades y la imagen del infinito potencial es el mayor obstáculo con que se encuentran los estudiantes para concebir un proceso infinito como algo definido y acabado. El infinito actual se acepta en mucho menor grado y como algo que involucra indeterminación. d)

En torno a la construcción del discurso didáctico del Cálculo y al pensamiento variacional

En estos trabajos sobresalen los orientados hacía la construcción de la analiticidad, la noción de convergencia, el comportamiento tendencial de las funciones y el tratamiento de la derivada a través de la variación (R. Cantoral, 1989,1990, 1992; Farfán 1989,1998; C., Doloresl998), orientados a la formación y actualización de profesores de matemáticas de nivel superior en diversas especialidades de ingeniería y de la educación media. El problema medular de estas investigaciones, es el análisis de los procesos de construcción del conocimiento matemático a través del pensamiento físico. En la perspectiva didáctica se reconstruyen los objetos y los procesos que permitieron pensarla matemática, para diseñar unas situaciones didácticas experimentales sobre la base de las fenomenologias intrínsecas de los conceptos matemáticos y sobre el análisis de la “didáctica de antaño”. Esta posición se apoya en los estudios acerca de la Fenomenología Didáctica y de la Transposición didáctica de conceptos matemáticos. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ARBOLEDA L. O., RECALDE L. C. (1995). Formación y manejo operatorio de conceptos matemáticos: la historia y epistemología del infinito. En Matemáticas. Enseñanza Universitaria. Volumen IV, Nº 1 y 2. ARTIGUE, M. (1998). Enseñanza y aprendizaje del análisis elemental: ¿qué se puede aprender de las investigaciones didácticas y los cambios curriculares? En Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa RELIME Nº 1.

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DESARROLLO DEL RAZONAMIENTO DEDUCTIVO A TRAVÉS DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA Leonor Camargo Uribe Carmen Samper de Caicedo*

Abstract An approximation to the framework of the investigation project «Development of deductive reasoning through Euclidean Geometry» is presented. The project is in an initial stage and the ultimate goal is to validate a didactical model for the Iearning of Euclidean Geometry which emphasizes the development of deductive reasoning.

1.

INTRODUCCIÓN

La identificación de la Educación Matemática y la Didáctica de la Matemática como campos académicos e investigativos desde un enfoque sistémico (escuela francesa), supera la concepción instrumental de didáctica, para situarla como campo investigativo, uno de cuyos frentes de trabajo es la producción teórica en matemáticas escolares y su validación mediante propuestas curriculares concretas. Uno de los propósitos de la investigación que estamos iniciando es contribuir a la búsqueda de soluciones, desde la didáctica de la matemática, a los problemas de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en la educación básica secundaria. Una de las metas es poder incidir en el diseño y desarrollo del currículo, en términos de buscar alternativas a la secuenciación y compartimentalización de los saberes matemáticos en la escuela, a través del reconocimiento de dominios conceptuales que se desarrollan en largos periodos de tiempo y a través de procesos de adquisición significativos. Debido a la introducción de la “matemática moderna” en el currículo de la matemática escolar, en las décadas de los 70 y 80 en Colombia, la geometría, área de vital importancia en la educación matemática, sufrió un duro golpe en las reformas escolares al quedar relegada a un segundo plano, reducida en los libros de texto de matemáticas a una sola unidad y considerada como área de segunda categoría a la cual se le dedica un mínimo de tiempo; su potencial para desarrollar el pensamiento espacial o como herramienta para modelar situaciones problemáticas fue por varias décadas casi completamente ignorado. Por estas razones, nuestro centro de interés es la geometría euclidiana. Con la nueva propuesta curricular en matemáticas planteada en los lineamientos curriculares del Ministerio de Educación Nacional (1998), que señalan como aspecto central de una posible estructura curricular para el trabajo en matemáticas, la búsqueda de un equilibrio entre los procesos que tienen que ver con el aprendizaje tales como el razonamiento y la resolución de problemas y los conocimientos básicos referentes a los *

Profesoras Departamento de Matemáticas, Universidad Pedagógica Nacional.

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procesos específicos que desarrollan el pensamiento matemático, la geometría y en particular el desarrollo del pensamiento lógico deductivo, se convierte en sustrato fundamental con el cual desarrollar la capacidad de reflexión, herramienta fundamental para explorar la realidad, representarla, explicarla, predecirla y actuar en ella Como marco de referencia, los lineamientos adoptan el punto de vista de David Perkins (1994) según el cual: el objetivo de enseñarlas habilidades de pensamiento no se debería considerar como algo opuesto al de enseñar el contenido convencional sino como complemento de este. La capacidad de pensamiento y el conocimiento son como la trama y la urdimbre de la competencia intelectual, y el desarrollo de cualquiera de las dos cosas en detrimento de la otra, nos produciría algo muy distante de una tela de buena calidad” (p. 82). Ante propuestas de esta naturaleza, corresponde a la investigación aportar a la búsqueda de alternativas curriculares que respondan a las nuevas exigencias sociales y a los planteamientos que la comunidad internacional ha ido adoptando frente al papel de la Educación Matemática. El objetivo de esta presentación es dar a conocer una primera aproximación al marco teórico del proyecto de investigación: Desarrollo del razonamiento deductivo a través de la geometría euclidiana” que actualmente se encuentra en una etapa inicial y cuya meta apunta a la validación de un modelo didáctico para el aprendizaje de la geometría euclidiana, con énfasis en el desarrollo del pensamiento deductivo. Pensamos, con esta investigación, lograr un aporte a problemas de la enseñanza y el aprendizaje de la geometría en la Educación Básica secundaria. El esquema que se propone apunta al desarrollo de estrategias de razonamiento, a partir de actividades de construcción del conocimiento geométrico y a la integración de variables relativas a la cultura como a negociación de significados, contenidos flexibles, establecimiento de relaciones democráticas en torno al aprendizaje y preocupación por la comprensión acerca del conocimiento informal que los estudiantes llevan a la escuela. Lo dicho anteriormente permite reconocer la contribución que la educación matemática debe realizar en la formación de ciudadanos, proporcionándoles herramientas matemáticas básicas para el desempeño social y profesional. Se integra así una difusión de valores democráticos y la realización del ejercicio de la crítica, como parte integrante de la cultura matemática escolar. 2.

MARCO TEÓRICO

La estrategia para abordar la aproximación a la geometría euclidiana, como elemento básico en la formación del pensamiento deductivo, parte de una re-conceptualización sobre la disciplina matemática misma. En los procesos de construcción de matemáticas escolares, la matemática debe asumirse desde una perspectiva cultural, como una disciplina resultado de la actividad de grupos humanos ubicados en una sociedad, en un periodo histórico y en permanente cambio. La aproximación al sistema formal axiomático deductivo ha de partir de los conocimientos intuitivos para llegar a la formalización. El principio que sustenta la propuesta es que, por medio de experiencias manuales significativas, se hacen “descubrimientos” que llevan al establecimiento de conjeturas, las cuales posteriormente se demuestran. Sin desconocer que la esencia de la enseñanza de la geometría es llegar a la comprensión de un sistema deductivo, esta propuesta Digitalizado por RED ACADEMICA

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considera que éste debe ser el punto de llegada y no el punto de partida. De esta manera, el aprendizaje de la geometría se concibe como una actividad y no como un conjunto de contenidos a retener, pues existe la convicción según a cual, la comprensión no se alcanza con la información dada sino a través de la experiencia. Elemento importante a incorporar es la herramienta tecnológica, como un nuevo sistema de representación, donde los objetos matemáticos se “materializan” en elementos susceptibles de ser manipulados y transformados, dando así a la matemática un carácter casi “empírico”. Desde esta perspectiva, cualquier modelo didáctico que se proponga ha de basarse en investigaciones previas acerca del razonamiento geométrico y en investigaciones didácticas acerca de la construcción de conceptos geométricos en la escuela. En los apartes siguientes haremos mención de estos aspectos. El razonamiento en geometría El apoyo fundamental, para identificar elementos particulares del razonamiento, se derivará del trabajo realizado por los esposos Van Hiele (1957). Los esposos, Dina van Hiele y Pierre Marie van Hiele, profesores de matemáticas en colegios de secundaria en Holanda, preocupados por lograr en sus alumnos comprensión de los conceptos en lugar de simple memorización de definiciones, demostraciones o algoritmos, realizaron un trabajo de investigación acerca de los procesos de aprendizaje en Geometría, el cual concluyó con sus respectivas tesis doctorales en 1957, en las cuales propusieron su modelo. El propio Pierre M. Van Hiele explicó así el origen de su interés por el tema (1986): Cuando empecé mi carrera como profesor de Matemáticas, pronto me di cuenta de que era una profesión difícil. Había partes de la materia en cuestión que yo podía explicar y explicar y aún así los alumnos no entendían. Podía ver que ellos lo intentaban realmente, pero no tenían éxito. Especialmente al comienzo de la Geometría, cuando había que demostrar cosas muy simples, podía ver que ellos daban el máximo de sí, pero la materia parecía ser demasiado difícil. De pronto, parecía que comprendían la materia en cuestión. Podían hablar de ella con bastante sentido y a menudo decían: “No es tan difícil, pero, ¿por qué nos lo explicó usted de forma tan complicada? En los años que siguieron cambié mi explicación muchas veces, pero las dificultades se mantenían. Parecía como si siempre estuviera hablando en una lengua distinta. Y considerando esta idea descubrí la solución, los diferentes niveles de pensamiento.” La propuesta de los esposos Van Hiele está sustentada a partir de las siguientes afirmaciones: • Es posible encontrar diferentes niveles de perfección en el razonamiento de los estudiantes en geometría (y en general en matemáticas). • Un estudiante sólo podrá comprender realmente aquellas partes de las matemáticas que el profesor le presente de manera adecuada a su nivel de razonamiento. • Si una relación matemática no puede ser expresada de forma comprensible, para el nivel de razonamiento actual de los estudiantes, es necesario esperar a que éstos alcancen un nivel de razonamiento superior para presentársela. Digitalizado por RED ACADEMICA

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• No se puede enseñar a una persona a razonar de una determinada forma sólo se aprende a razonar mediante la propia experiencia. En lugar de ello, se puede ayudar a esa persona, a adquirir, lo antes posible, la experiencia necesaria para que llegue a razonar de esa manera. Así pues, los van Hiele enfatizan en la existencia de diferentes formas de razonamiento y señalan la necesidad de que los profesores tengan en consideración la capacidad de razonamiento de sus alumnos al decidir la forma y el rigor de sus cIases. El cuadro número 1 recoge las características principales de los cuatro primeros niveles de razonamiento matemático de Van Hiele e indicadores del logro en los estudiantes. El nivel 5 (Rigor) no se presenta pues supone un tratamiento geométrico que supera las ambiciones de la Educación Básica. Nivel 1 Reconocimiento Características Percepción global de las figuras, en su totalidad, Inclusión de atributos irrelevantes en las descripciones, generalmente de tipo físico o visual (orientación, tamaño, etc). Referencia a prototipos visuales para caracterizar las figuras. Percepción individual de cada figura. No se generalizan las características a otras figuras de la misma clase. No se reconocen explícitamente las partes de que se componen las figuras ni sus propiedades matemáticas. No se utiliza lenguaje geométrico apropiado.

Indicadores Uso de cualidades imprecisas para comparar, identificar, caracterizar y escoger figuras: “está torcido”, “está deforme” “este lado es mas largo”, “es mas gordo que”, etc. Caracterización de figuras mediante expresiones como: “ parece un cono boca abajo”, “tiene forma de casita”, etc. Descripciones basadas en semejanzas físicas globales: “Se parece a una puerta “Tiene forma de cono”.. Realización de selecciones incorrectas a partir de propiedades que no pertenecen realmente a la figura: “Todos los rombos tienen una punta hacia arriba” Uso incorrecto de las propiedades como condiciones necesarias al determinar una figura: Al adivinar con pistas, utilizan sólo algunas de ellas y olvidan las demás.

Nivel 2 Clasificación Características Comienzos de razonamiento formal en matemáticas. Reconocimiento de las reaciones entre propiedades. Reconocimiento de implicaciones: posibilidad de clasificar lógicamente diferentes familias de figuras a partir de sus propiedades y relaciones ya conocidas. No obstante sus razonamientos lógicos, el apoyo es la manipulación. Digitalizado por RED ACADEMICA

Indicadores Una reacción típica de los estudiantes del segundo nivel o de los inferiores es que, ante la petición del profesor de que demuestren alguna propiedad, le contesten: “¿Por qué tenemos que demostrarla, si ya sabemos que es verdad?” En las demostraciones, no se contentan

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Descripción de manera formal: definiciones matemáticas correctas, comprensión del papel de las definiciones y los requisitos de una definición correcta. Comprensión de los sucesivos pasos individuales de un razonamiento lógico formal de manera aislada, ya que no se entiende la necesidad del encadenamiento de pasos ni la estructura de la demostración. Los alumnos pueden entender una demostración explicada por el profesor o desarrollada en un libro de texto pero no construirla por si mismos. Identificación de las propiedades necesarias y suficientes.

con la comprobación de unos pocos casos. Hay una necesidad de dar alguna consistencia mayor en términos de presentación de una justificación general o de cubrir de alguna manera los posibles casos que se puedan presentar. Forman definiciones completas de tipos y formas y son hábiles para modificar definiciones y aceptar usar definiciones equivalentes de los conceptos. Hacen referencia explícita a las definiciones. Aceptan los ordenamientos lógicos parciales entre tipos de figuras incluida la inclusión de clases. Son hábiles para escoger formas, de acuerdo a una serie de atributos matemáticos precisos. Usan, explícitamente, las expresiones condicionales: “si, entonces”. Forman argumentos deductivos informales, usando formas lógicas como la ley transitiva [p → q y q → r] → ( p → r) y la ley de separación modus ponens [(p→ qΛ p) → q]. Confunden los roles de axiomas y teoremas. Al no ser capaces de realizar razonamientos lógicos formales por su propia cuenta, ni sentir su necesidad, los estudiantes no comprenden la estructura axiomática de las matemáticas.

Nivel 3 Análisis Características Razonamiento formal. Comprensión y desarrollo de demostraciones formales. Comprensión de la estructura axiomática de las matemáticas: sentido de axiomas, teoremas, términos definidos, términos no definidos. Aceptación de la posibilidad de llegar al mismo resultado desde distintas premisas. Necesidad de la demostración como único medio para verificar la verdad de una afirmación, Capacidad de razonamiento lógico Digitalizado por RED ACADEMICA

Indicadores Exigen plantear preguntas ambiguas y tareas problemáticas en lenguaje preciso. Realizan frecuentes conjeturas e intentos de verificarlas deductivamente. Construyen demostraciones y ven la posibilidad de desarrollar una demostración de distintas maneras. Pueden comprender y contrastar diferentes demostraciones de un mismo teorema. Confían en la comprobación como la autoridad final. Diferencian el rol de los componentes de un discurso matemático: axiomas, definiciones, teoremas, comprobaciones. Identifican las interacciones entre las condiciones necesarias y las suficientes y distinguen entre

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matemático y visualización una implicación (p → q) y su recíproca (q → p). globalizadora del área de geometría. Aceptan implícitamente los postulados de la geometría euclidiana. Nivel 4. Deducción Formal Características Indicadores Comparación de sistemas basados en Posibilidad de diferenciar varias geometrías en diferentes axiomas. ausencia de modelos concretos. Máximo nivel de rigor matemático según los parámetros actuales. Cuadro 1

Uno de los presupuestos para el desarrollo de este trabajo, manifiesto en las dificultades detectadas en diferentes evaluaciones escolares sobre el desempeño en razonamiento deductivo, es la identificación de un vacío curricular en actividades de aprendizaje que apunten al desarrollo de competencias propias de los niveles 1 al 3. Por esto, la propuesta enfatiza en el acercamiento geométrico apropiado a estos niveles. Propiedades de los niveles • Un nivel no es exclusivo de una cierta edad o curso. Cada vez que se presenta un nuevo concepto, los estudiantes pasan por cada nivel, si bien, algunas veces el paso es más o menos lento. • Los niveles están jerarquizados por grados de sofisticación en el razonamiento matemático que puede usar una persona. • Cada nivel de razonamiento se apoya en el anterior. Pensar en el segundo nivel no es posible sin tener la capacidad de razonamiento del primero. • Los niveles tienen una estructura recursiva. Hay habilidades que se usan implícitamente por los estudiantes y cuyo uso explicito se logra en el siguiente nivel (ver tabla 1). Nivel Elementos explícitos 1 Figuras

Elementos implícitos Partes y propiedades de las figuras

2 Partes y propiedades de las figuras

Relaciones entre las propiedades

3 Relaciones entre las propiedades

Deducción formal de teoremas

4 Deducción formal de teoremas

Reconocimiento de un sistema formal.

5 Reconocimiento de un sistema formal Tabla 1 Digitalizado por RED ACADEMICA

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• Las actividades propuestas a los estudiantes deben estar orientadas a explicitar y tomar conciencia de los elementos implícitos. • Hay una estrecha relación entre el lenguaje y los niveles. En cada uno hay diferentes formas de expresión y significado dado al vocabulario. Por ejemplo, en el nivel 2 los conjuntos de cuadrados y de rectángulos son disyuntos, mientras que en el nivel 3 el conjunto de los cuadrados está contenido en el de los rectángulos. El término comprobar significa, en el nivel 2, verificar, por ejemplo, por medio de mediciones que la afirmación es cierta en unos pocos casos, incluso en uno sólo, mientras que en el nivel 3 se realizan razonamientos lógicos, aunque con argumentos informales, basados en observación de ejemplos concretos. Esto se traduce a veces en demostraciones incorrectas (falacias geométricas). Sólo en el nivel 4, comprobar implica realizar un proceso deductivo con el rigor necesario. • El paso de un nivel al siguiente se produce en forma continua. Propuestas didácticas Dentro de las investigaciones en didáctica que se utilizarán para configurar la propuesta didáctica se reseñan los trabajos de Hercowitz y Vinner (1987), Kalin y Corbett (1990) y Gutiérrez (1996). Todos ellos señalan, como elemento fundamental, el trabajo profundo para lograr la comprensión de las definiciones de conceptos geométricos. Utilizaremos la propuesta de Gutierrez para configurar actividades didácticas que lleven a la construcción de conceptos geométricos. Esta propuesta se presenta en el cuadro 2. Gutiérrez basa su propuesta en los trabajos de Vinner acerca de la formación de conceptos y su relación con las definiciones matemáticas. Al trabajar un concepto geométrico, las personas se forman una idea de éste (imagen conceptual) que no siempre coincide con la que se deriva de su definición. Tener una idea “completa” de un concepto no significa tener en la mente unos pocos ejemplos sino que incluye las propiedades matemáticas de éste y sus relaciones con otros conceptos. Como cualquier ejemplo concreto siempre posee las características propias del concepto (propiedades relevantes) junto con otras que no son necesarias para caracterizarlo (propiedades irrelevantes), en la construcción de situaciones didácticas para la enseñanza de un concepto geométrico dado han de proponerse ejemplos que abarquen un gran rango de posibilidades para ir descartando las propiedades irrelevantes y configurando la noción completa del concepto trabajado.

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Análisis del CONCEPTO

PUNTO DE VISTA MATEMATICO

PUNTO DE VISTA DIDACTICO

SELECCIÓN DE LA DEFINICIÓN MÁS ADECUADA

ESTUDIO DE DIFICULTADES DE COMPRENSIÓN

Análisis del contexto educativo para prever situaciones de clase (preconceptos conceptos, edad, nivel) Determinación de PROPIEDADES IRRELEVANTES (para discriminar los ejemplos)

Lista de PROPIEDADES RELEVANTES extraídas de la definición

Generación de EJEMPLOS y CONTRAEJEMPLOS

ORDENACIÓN DE EJEMPLOS Y CONTRAEJEMPLOS PARA FACILITAR EL PROCESO DE APRENDIZAJE Cuadro 2 3.

FASES DEL PROYECTO

En una primera fase, el proyecto se centrará en la determinación de competencias previas al razonamiento propiamente deductivo que sirvan de puente, como señalan los esposos Van Hiele, entre el pensamiento informal y el formal, enfocando la atención en Digitalizado por RED ACADEMICA

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aspectos específicos del estudio de polígonos. De acuerdo a cada competencia, se elaborarán actividades didácticas para detectar y desarrollar dichas competencias. La segunda fase apuntará al desarrollo de competencias propias del razonamiento deductivo. 4. ASPECTOS METODOLÓGICOS El método seleccionado para llevar a cabo la investigación corresponde a la categoría de métodos cualitativos. Las técnicas para registrar l~ información corresponderán a estudios de caso, entrevistas, observaciones directas, registro de lo sucedido, evidencias documentadas etc. Para validar el modelo, hasta el momento se tiene prevista la construcción, a partir del estudio de las competencias previas requeridas para superar cada una de las fases, de unidades de análisis para la organización de los contenidos (establecen los aspectos concretos de contenido y las situaciones problema que se proponen), unidades de análisis para la comprensión del contenido (permiten establecer los distintos aspectos cognitivos que se ponen en juego a los alumnos) y unidades de análisis para la interacción didáctica (permiten estudiar las interacciones que tienen lugar entre el proceso y los estudiantes a lo largo del proceso didáctico y su relación con la construcción). La fiabilidad de la investigación se sustentará en la fiabilidad externa e interna características de la investigación cualitativa.

5.

BIBLIOGRAFIA

CROWLEY, M. (1987). The Van Hiele Model of the development of geometric thought. En NCTM Learning and Teaching geometry K-12 (1987) Yearbook. Reston. GUTIERREZ A., JAIME A. (1989). Bibliografía sobre el modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele. Revista Enseñanza de las Ciencias, 7(1), 89-95 PERKINS, D.(1994). Enseñar a pensar, Ediciones Paidos JAIME, A. GUTIÉRREZ, A. (1990). Una propuesta de fundamentación para la enseñanza de la geometría: El modelo de Van Hiele. En Linares 5, Sánchez, M.: Teoría y práctica en Educación Matemática. Ediciones Alfar, Sevilla. JAIME, A. GUTIÉRREZ, A. (1998). Geometría y algunos aspectos generales de la Educación Matemática. Una empresa Docente. Universidad de los Andes. SERRA, M. (1998) .Discovering Geometry: an inductive approach. Key Curriculum Press. San Francisco. ACUÑA, C. (1996).Un modelo de tratamiento didáctico para la enseñanza de la geometría en el nivel medio superior En Espinosa F: Investigaciones en Matemática educativa. Grupo Editorial Iberoamérica. México.

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FARREL, M. (1987).Geometty for Secondaty School Teachers. En NCTM Learning and Teaching geometry K-12 (1987) Yearbook. Reston HERSHKOWITZ, R., VINNER, S., BRUCKEIMER, M. (1987).Activities with Teachers Based en cognitive research.. En NCTM Learning and Teaching geometry K-12 (1987) Yearbook. Resten.

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RAZONANDO CON COLORES (Una aproximación a la lógica intuicionista) Jorge Páez Q * Carlos Luque A. * Alberto Donado N. *

Abstract We present an intuitive approach to Intuitionist logic based on the notion of n-paintings which generalizes the notion of sets; using several tonalities of a color, we construct operations between n-paintings that can be interpreted in terms of propositions and logical reasoning based on Heyting algebras.

1.

INTRODUCCIÓN

La lógica clásica, en cuya construcción intervienen proposiciones que sólo pueden tomar dos valores de verdad (Verdadero y Falso), ha sido utilizada para la elaboración de la teoría de conjuntos, piedra fundamental para el desarrollo de la matemática moderna y como paradigma para la fundamentación teórica de las ciencias. Para representar conjuntos suelen utilizarse los diagramas de Euler-Venn, en los que a cada punto de un rectángulo que representa el universo, se le asigna un color para distinguir los puntos que representan los elementos que pertenecen a un conjunto y un color para los elementos que no pertenecen a él, el cual normalmente es el fondo del papel. Existen lógicas con más de dos valores de verdad [3] y diferentes formas para su construcción [1], [2] que están siendo consideradas como herramientas para los desarrollos tecnológicos actuales [6], lo que hace indispensable facilitar el acercamiento a las mismas y su pronta inclusión en los currículos de las matemáticas escolares con el fin de familiarizar a los estudiantes con otras formas de razonamiento lógico. La lógica intuicionista, por formar parte de los últimos desarrollos de la matemática es presentada de forma axiomática y exige de bastantes prerrequisitos para su comprensión. Nuestra intención es lograr una aproximación intuitiva, partiendo de la noción de pintura (generalización de la noción de conjunto) como interpretación de la realidad para llegar a las leyes de una lógica asociada a un álgebra de Heyting lineal, [4] proceso inverso al que se utiliza con frecuencia en los textos de matemáticas [9] en donde a partir de la lógica clásica y sus leyes se llega a establecer las propiedades de pinturas de dos colores, que corresponden a los conjuntos.

*

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Dentro del concepto de pintura que presentamos en el presente articulo, deberían incluirse varios colores y una forma de ordenarlos, sin embargo esto no lo consideramos necesario, debido a que con varias tonalidades de un mismo color basta para ejemplificar todas las construcciones que se harían en un caso más general y pueden dar una buena aproximación a las interpretaciones de la realidad. 2.

n-pinturas

Comencemos con una gama de n tonalidades del mismo color ordenados ascendentemente del más oscuro al más claro que representaremos por H y con una hoja pintada de la tonalidad más clara disponible, que notaremos X, la cual nos servirá como universo de referencia.

Figura 1. El orden en H podemos ponerlo en correspondencia con el orden del conjunto {0, 1,2,3,…( n -1)} como lo muestra el siguiente esquema para el caso de 9 tonalidades de grises:

Figura 2. La parte izquierda de la figura 3 se ha construido con estas tonalidades, haciendo una cuadrícula en X y asociando por sencillez a cada cuadro uno de los colores de H. Por supuesto el dibujo será más cercano a la realidad, cuanto más fina sea la cuadrícula y cuanto mayor sea el número de tonalidades seleccionadas.

Figura 3. Digitalizado por RED ACADEMICA

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Al resultado de este proceso de asignación de colores de H a cada punto del universo X lo llamaremos una n-pintura. Notemos que no es necesario que todas las n-pinturas tengan todas las tonalidades, de hecho puede haber n-pinturas con una sola de las tonalidades disponibles. 3.

Construcción de n-pinturas: n-predicados lnicialmente generaremos n-pinturas mediante dos procedimientos básicos:

Una primera forma consiste en partir de un modelo, que bien puede ser un objeto real o mental, plasmado en la hoja a la manera de los pintores, con las limitaciones propias de la gama de colores seleccionados. Otra forma de lograrlo es disponer de una instrucción o un conjunto de instrucciones que nos indique como llenar la hoja, esto es, como asignar a cada punto de nuestro universo (X) una única tonalidad de las inicialmente seleccionadas (H). A estas instrucciones las llamaremos n-predicados. Un ejemplo de ello se presenta en la parte derecha de la figura 3. Queda entonces definida una función entre el conjunto de n-predicados, que podríamos identificar con el conjunto de funciones de X en H (notado HX), y el conjunto de las n-pinturas. Algunos ejemplos de 3-pinturas son:

Figura 4. Resaltamos las 3-pinturas marcadas con V y F, asociadas a los 3-predicados “asignar a cada punto el color más claro y “asignar a cada punto el color más oscuro”, que dejan la hoja de un solo color, pues serán de particular importancia para los desarrollos que siguen. Estas 3-pinturas tienen una generalización, cualquiera que sea la selección de n tonalidades, pues siempre va a haber una n-pintura con la tonalidad más clara en todos Digitalizado por RED ACADEMICA

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los puntos, que llamaremos V y una con la tonalidad más oscura en todos sus puntos, que llamaremos F. Ejemplos de 2-pinturas, que bien pudieran verse como diagramas de Euler Venn son:

Figura 4 La primera 2-pintura, más cercana a nuestra tradición escolar, representa los elementos que forman un conjunto A (zona clara) y los que forman su complemento (zona oscura). Es así como en la figura 5N la zona clara muestra los puntos que pertenecen a una representación de una vaca y en la 5M los que no pertenecen a la representación de un gato (aunque tiene toda la apariencia de gato). 4.

Orden entre n-pinturas

El conjunto de las tonalidades H se puede considerar como un conjunto ordenado por la relación ser mas oscuro o igual, orden que permite establecer una relación de contenencia entre n-pinturas, de la misma manera como en la teoría de conjuntos, el orden existente en el conjunto 2 = {0, 1} permite definir la relación de contenencia entre conjuntos [7]. El mecanismo consiste en utilizar el conectivo implica ( → ) de la lógica bivalente, de la siguiente manera: se dice que la frase “un conjunto A está contenido en otro conjunto B” es verdadera, si la frase “para todo x Є X, (x Є A → x Є B)” es verdadera, lo cual se obtiene cuando el valor de verdad de la frase (x Є A) (asumiendo 0 como falso y 1 como verdadero) es menor o igual que el valor de verdad de la frase (x Є B). La frase “para todo x Є X, (x Є A → x Є B) tiene el valor de verdad de (x Є B) en otro caso. Esto es, ella es falsa, cuando el valor de verdad de (x Є A) sea mayor. Esta idea puede traducirse en términos de colores en las 2-pinturas, diciendo que el color de cada punto en la 2-pintura asociada con A, sea más oscuro o igual que el color en la n-pintura asociada con B. Lo cual generalizado a n-pinturas adquiere la siguiente forma: La n-pintura A está contenida en la n-pintura B, notado A ≤ B si cada punto en la n-pintura A es más oscuro o igual que en la n-pintura B. La siguiente figura ilustra contenencias entre 4-pinturas: Digitalizado por RED ACADEMICA

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Figura 6. Con esta definición de contenencia, las n-pinturas V y F de la figura 3, que son n-pinturas para cualquier valor de n, se comportan como los conjuntos universal (X) y vacío (Ø) de la teoría de conjuntos en el sentido de que toda n-pintura A está contenida en la n-pintura V y F está contenida en toda n-pintura. Esto es, para toda n-pintura A y todo valor de n, se tiene que F ≤ A ≤ V. 5.

Operaciones entre n-pinturas

Análogamente a lo que sucede en teoría de conjuntos cuando se definen las operaciones de unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complementación entre ellos, utilizando los conectivos lógicos de disyunción, conjunción, implicación, equivalencia y negación, podemos utilizar el orden definido entre n-pinturas para generar operaciones entre ellas que sean generalizaciones de las generadas en los conjuntos por los conectivos de la lógica bivalente. Con este propósito, observamos que los conectivos lógicos pueden obtenerse del orden del conjunto 2 = {0, 1} así: Dado un conjunto X, considerado como conjunto referencial, A y B subconjuntos de él, para cada x Є X se tiene que: i. El valor de verdad de (x Є (A U B)), es el mayor de los valores de verdad de las proposiciones (x Є A) y (x Є B). ii. El valor de verdad de (x Є (A ∩ B)), es el menor de los valores de verdad de las proposiciones (x Є A) y (x Є B). iii. El valor de verdad de (x Є (A → B)), es 1 si el valor de verdad de la proposición (x Є A) es menor o igual que el valor de verdad de la proposición (x Є B) y es el valor de verdad de la proposición (x Є B) en caso contrario. Digitalizado por RED ACADEMICA

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iv. El valor de verdad de (x Є (A ↔ B)), es el menor de los valores de verdad entre (x Є (A → B) y (x Є (B → A)). 0))1.

v. El valor de verdad de (x Є Ac), es el valor de verdad de la proposición (x Є (A →

Por tanto una generalización de estas operaciones a n-pinturas puede obtenerse [8] del orden existente entre las tonalidades de colores seleccionadas así: Dadas dos n-pinturas A y B, definimos: 1. La intersección de A y B que notamos A ٨ B como la n-pintura que se obtiene de asignar a cada punto de la hoja la tonalidad más oscura de las presentes en cada una de ellas o igual .si las dos coinciden 2. La unión de A y B que notamos A ٧ B como la n-pintura que se obtiene de asignar a cada punto de la hoja la tonalidad más clara de las presentes en cada una de ellas, o igual si las dos coinciden. 3. La codiferencia de A y B que notamos A → B como la n-pintura que se obtiene de asignar a cada punto de la hoja la tonalidad más clara de todas las posibles, si en A es más oscura o igual que en B; el color en B si no es así. 4. La codiferencia simétrica de A y B que notamos A ↔ B como la n-pintura resultante de intersectar A → B y B → A. 5. El negativo de A que notamos ¬ A como la n-pintura resultante de la operación A→F. Veamos algunas ilustraciones de estas operaciones en el caso de tres tonalidades de grises: Si A y B son las 3-pinturas que se muestran en la figura 7.

Figura 7.

1

Esta es una forma alternativa de presentar la negación de una proposición cualquiera, debido a que ~ (p → q ) = p ٨ ~q, de donde p → q = p ٧ q y si q es falso (F) entonces p → F = ~ p. Digitalizado por RED ACADEMICA

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Su intersección y su unión son respectivamente las 3-figuras:

Figura 8. Su codiferencia y su codiferencia simétrica se muestran en la figura 9.

Figura 9. Los negativos de las 3-pinturas A y B se presentan en la figura 10, los cuales por su definición, sin importar que tan amplia sea la gama de tonalidades que se escoja, siempre serán n-pinturas en sólo dos tonalidades, la más clara y la más oscura de las tonalidades posibles.

Figura 10.

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Cuando se reduce el estudio a dos tonalidades se tienen las operaciones de la teoría usual de conjuntos y los diagramas resultan similares a los de Euler-Venn, resaltando que: i. El color más claro representa a los elementos que forman parte del conjunto. ii. La codiferencia y la codiferencia simétrica corresponden a los complementos de la diferencia entre A y B (A — B) y de la diferencia simétrica (A ∆ B), lo que motivó la elección de los nombres. iii. El negativo corresponde al complemento, aunque en el caso general éste es tan sólo un pseudocomplemento [5] debido a que satisface que A ٨¬ A = F pero no que A ٨¬ A = V como se presenta en la figura 11 para el caso de la 3-pintura B.

Figura 11. 6.

Operaciones entre n-predicados

Si identificamos con p (x) y q (x) a los n-predicados que definen las n-pinturas A y B respectivamente y recordamos que, teniendo un universo como referencia, cada n-pintura representa un n-predicado y viceversa, podemos hacer corresponder a cada operación entre las n-pinturas una operación entre n-predicados de acuerdo con la siguiente tabla: OPERACIONES n-pinturas Intersección Unión Codiferencia Digitalizado por RED ACADEMICA

n-predicados Conjunción Disyunción Implicación

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Codiferencia Simétrica Equivalencia Negativo Seudonegación Por ejemplo la conjunción de los predicados p (x) y q (x), notado (p ٨ q) (x), está definido para cada x Є X por la tonalidad correspondiente al punto x en la n-pintura A ٨ B. 7.

n - proposiciones

Llamaremos n-proposición a la frase que nos permite seleccionar una tonalidad en una n-pintura; del resultado de esta elección diremos que es un valor de verdad, debido a que este proceso corresponde en lógica bivalente a la elección de un valor de verdad (verdadero (V) o Falso (F)) de los posibles para un predicado en un universo de referencia preestablecido. Esta selección puede hacerse por diversos caminos, algunas alternativas son las siguientes: 1. Escogiendo el color de un punto x0 de una n-pintura dada. Esto es el equivalente en la lógica clásica a la obtención de proposiciones p (x0) a partir de un predicado p (x), evaluándolo en un elemento x0 del conjunto universal. 2. Escogiendo la tonalidad más clara utilizada en toda la n-pintura. Esta selección de tonalidad garantiza la presencia de por lo menos un punto con esa tonalidad, junto con la ausencia de una tonalidad más clara en toda la pintura. Tomaremos esta escogencia como definición del cuantificador existencial (Э), generalizado a n-pinturas, puesto que cuando nos restringimos a solo dos tonalidades, esta elección resulta de la tonalidad más clara (que identificamos con el valor verdadero) si existe algún punto de la hoja con esa tonalidad y es de la tonalidad más oscura (que identificamos con el valor falso) si toda la hoja tiene esa tonalidad. 3. Escogiendo la tonalidad más oscura utilizada en toda la n-pintura, obtenemos la definición para el cuantificador universal (V) generalizado a n-pinturas, garantizando que hay un punto con esa tonalidad y la ausencia de una tonalidad más oscura, puesto que cuando nos restringimos a dos tonalidades, la elección tiene valor verdadero cuando toda la hoja está pintada del color más claro y tiene valor falso si hay por lo menos un punto con la tonalidad más oscura. Estos no son las únicas opciones para seleccionar una tonalidad de una n-pintura. Otras posibilidades se presentan aplicando los cuantificadores definidos a cualquier zona (subconjunto de X) de la n-pintura. Es así como podría escogerse la tonalidad más clara utilizada en Tos ojos de la Monalisa, suponiendo que esta zona está bien delimitada. En la vida cotidiana se presentan situaciones que usualmente son descritas con afirmaciones que solo tienen dos posibilidades extremas: Sucio o limpio, bueno o malo, bello o feo, etc. Sin embargo, ampliando la gama de posibilidades utilizando algún criterio preestablecido, estas podrían describirse mejor. Por ejemplo, si el universo es un conjunto de seres humanos, el predicado “x es sagaz” genera una división del universo en tantas partes como opciones de clasificación de lo sagaz tengamos. Y si logramos una lista de comportamientos que permitan clasificarlo en n estados, podríamos hacer el mapa de sagacidad de la población, el cual Digitalizado por RED ACADEMICA

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correspondería a una n-pintura, de tal manera que si logramos establecer principios de razonamiento válidos utilizando n-pinturas, tendremos principios de razonamiento válidos para lógicas con dos o más valores, tarea que abordaremos enseguida. 8. Tautologías Dado un conjunto de n-pinturas, es posible definir operaciones entre ellas cuyo resultado sea una n-pintura de una sola tonalidad, que en particular puede ser la n-pintura V o la F. Por ejemplo si R y S son las 3-pinturas:

Figura 12. Su unión es la 3-pintura V, pero esto naturalmente no es válido para cualquier par de n-pinturas. Sin embargo, existen operaciones entre n-pinturas cuyo resultado es una hoja de una sola tonalidad, sin importar las n-pinturas que se utilicen para efectuar la operación, por ejemplo: La operación (A ٨ B) → A tiene como resultado la n-pintura V, independiente de las n-pinturas A y B que se escojan para ser operadas, como puede verificarse en el caso particular siguiente:

Figura 13 Digitalizado por RED ACADEMICA

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. Esta verificación en uno o varios casos particulares no constituye una demostración, pero nos permite acercarnos de manera intuitiva a la validez de la afirmación realizada, lo que constituye uno de nuestros propósitos fundamentales. Una demostración deberá hacerse en términos de n-pinturas y tonalidades arbitrarias, utilizando las definiciones dadas para las operaciones. Por ejemplo, en el caso que nos ocupa debemos observar que dadas dos n-pinturas A y B cualesquiera, la tonalidad que tiene en un punto elegido de manera arbitraria en la n-pintura (A ٨ B) es más clara que la que tiene el mismo punto en cualquiera de las n-pintu ras A y B, (por la definición de (A ٨ B)), esto significa, por la definición del orden entre n-pinturas, que (A ٨ B) ≤ A y por lo tanto la tonalidad del punto en la n-pintura (A ٨ B) → A es el más claro de todos los posibles (por ¡a definición de X resultado la n-pintura que hemos notado V.

Y), lo que da como

En el lenguaje de n-predicados, diremos que si p(x) y q(x) son dos n-predicados cualesquiera, asociados con a-pinturas A y B respectivamente el n-predicado ((p(x) q(x))

p(x))

que es el asociado a la n-pintura (A ٨ B)

A

asigna la tonalidad más clara en todos los puntos de la hoja y por lo tanto da lugar a una proposición que escribiremos simbólicamente: ( x) ((p(x) ٨ q(x))

p(x))

la cual tiene el valor de verdad de la tonalidad más clara (verdadero) independiente de las n-pinturas que se escojan para hacer la operación. Las proposiciones que tengan esta característica las llamaremos tautologías. Sí de manera similar se puede construir proposiciones a partir de operaciones entre n-pinturas en las que sin importar cual sea el conjunto inicial de a-pinturas el resultado sea una hoja de una sola tonalidad, no necesariamente la más clara (digamos la tonalidad asociada con k), las llamaremos k-tautologías. En particular a las O-tautologías las llamaremos contradicciones y las (n-1)-tautologías simplemente tautologías. 9.

Razonamientos Toda tautología de la forma

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x (p(x)

q(x))

la llamaremos un razonamiento válido. Así mismo, llamaremos un k-razonamiento a la proposición x (p(x)

q(x))

si para cualquier par de u-predicados p(x) y q(x) es ella una k-Tautología. Usaremos de nuevo las u-pinturas A y B de la figura 13, que suponemos asociadas con los predicados p(x) y q(x) respectivamente, para intuir razonamientos válidos y para encontrar razonamientos que siendo válidos en la lógica clásica, no lo son cuando consideramos más valores de verdad. La demostración de la validez de un razonamiento requiere, como antes, la consideración de todas las tonalidades y todas las n-pinturas, pero la demostración de su no validez sólo requiere de un contraejemplo. En particular usaremos 3-pinturas para ilustrar nuestras afirmaciones. 1. Hemos observado que la 3-pintura (A ٨ B) → A tiene la tonalidad más clara en todos sus puntos y se ha demostrado que esto es válido cualesquiera que sean las n-pinturas A y B seleccionadas, por lo tanto el razonamiento x ((p(x) ٨ q(x)) → p(x)) conocido como la ley de eliminación es válido. 2. Otra forma clásica de razonamiento que se encuentra en la base de todas las demostraciones en matemáticas es conocida como el modus ponendo ponens, ella se utiliza para inferir la verdad de una proposición a partir de una implicación. En la figura 14, se representa la secuencia de operaciones que conducen a la n-pintura ((A → B) ٨ A) → B asociada con la proposición x (((p(x) → q(x)) ٨ (p(x)) → q(x))

Figura 14. Digitalizado por RED ACADEMICA

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sugiriéndonos que el razonamiento es válido también cuando se consideran tres valores de verdad en correspondencia con las tres tonalidades de grises presentadas. Una demostración de su validez para el caso de n tonalidades, tiene la siguiente forma: Sea x un punto arbitrario de un universo X, A y B dos n-pinturas en X. Analicemos dos casos: Si la tonalidad que tiene el punto x en la n-pintura A es más oscuro o igual a la tonalidad que tiene en la n-pintura B, el color del punto en A → B es el correspondiente a la tonalidad más clara de todas las posibles y por lo tanto al compararla con la tonalidad del punto en A con la operación intersección, en (A → B) ٨ A nos da como resultado el color que tiene en A. Por consiguiente, la tonalidad que tiene el punto x en la n-pintura ((A → B) ٨ A) → B será la tonalidad más clara de todas las posibles. Si por el contrario, la tonalidad que tiene el punto x en la n-pintura A es más Clara que la que tiene en la n-pintura B, el color del punto en A → B es el correspondiente a la tonalidad que tenga en la n-pintura B y por lo tanto al compararla con la tonalidad del punto en A con la operación intersección, en ((A → B) ٨ A) nos da como resultado el color que tiene en B. Por consiguiente, la tonalidad que tiene el punto x en la n-pintura ((A → B) A) → B será la tonalidad más clara de todas las posibles. 3. Un razonamiento que es válido en la lógica clásica es el principio del tercio excluso, el cual afirma que una proposición cualquiera o su negación, siempre es verdadera. Este sin embargo no es válido cuando se consideran tres o más valores le verdad, asociados con diferentes tonalidades de un mismo color, como lo garantiza el ejemplo representado en la figura 15, correspondiente a la 3-pintura A ٧¬ A, la cual no coincide con la 3-pintura V.

Figura 15 Por tanto la proposición

x (p(x) ٧¬ p(x)) no es un razonamiento válido.

4. A pesar de que la seudonegación no tiene el mismo comportamiento que la legación de la lógica clásica, como puede verse en la ley del tercio excluso, las proposiciones.

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x x x x

( ¬ ( p(x) ٨ q(x)) → (¬ p(x) ٧ ¬ q(x)) (( ¬ ( p(x) ٧ ¬q(x)) → (¬ (p(x) ٧ q(x)) ( ¬ ( p(x) ٧ q(x)) → (¬ p(x) ٧ ¬ q(x)) ( ¬ ( p(x) ٨ ¬q(x)) → (¬ p(x) ٧ q(x))

que son equivalentes a las leyes de De Morgan, son también razonamientos válidos cuando se consideran valores de verdad asociados con varias tonalidades de un mismo color, como lo sugieren los diagramas de la figura 16.

Figura 16. Son también razonamientos válidos, que sugerimos intuya a partir de las n-pinturas: Ley de Agregación:

x(p(x) → (p(.x-) ٧ q(x))).

Principio de no-contradicción: Ley de casos:

x( ¬ (p(x) ٨ ¬ p(x))).

x(p(x) → q(x)) ٨ ( p(x) → q(x))) → ((p(x) y p(x)) → q(x))).

Ley del absurdo:

x(p(x) → q(x)) ٨ ( p(x) → ¬ q(x)) → ¬ p(x))

Se tiene solamente una de las implicaciones de la ley de doble negación: x(p(x) → (¬¬, p(x))). Son ejemplos de razonamientos válidos en la lógica clásica, que se puede comprobar mediante diagramas, que no son válidos en lógicas con más de dos valores de verdad como las construidas a partir de las tonalidades: La otra implicación de la ley de doble negación: Digitalizado por RED ACADEMICA

x(¬ (¬p(x)) →, p(x)).

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Ley de la contrapositiva:

x(¬ q(x) → (¬p(x)) → (p(x) →q(x)))

Ley de reducción al absurdo: x(p(x) ٨ ¬ q(x)) → (p(x)٨ ¬ p(x)) → (p(x) → q(x))). Hasta aquí hemos presentado una manera para aproximarnos intuitivamente a razonamientos válidos en lógicas no clásicas, utilizando inicialmente las n-pinturas y el orden existente entre las tonalidades de un mismo color para definir operaciones entre ellas con el fin de asociar con cada n-pintura un n-predicado y con cada operación un conectivo lógico que nos permite construir proposiciones con tantos valores de verdad como tonalidades. Con estas herramientas podemos identificar razonamientos válidos dentro de una lógica así construida, reconociendo resultados de operaciones que dejan la hoja de la tonalidad más clara, sin importar las n-pinturas de partida. Consideramos que este tratamiento es susceptible de ser llevado al aula con la intención de facilitar el acercamiento de los estudiantes a la lógica intuicionista.

BIBLIOGRAFIA [1] BARNES, D. y MACK, J. An algebraic introduction to Mathematical Logic. SpringerVerlag. New York. 1975. [2] CAICEDO, X. Elementos de Lógica y calculabilidad. Una empresa Docente. Universidad de los Andes. Santafé de Bogotá, 1990. [3] COPI, l. M. Lógica Simbólica. Ed. Continental. México. 1979. [4] GOLDBLATT, R. Topoi: A Categorical analysis of Logic. Elsevier Science Publishers. New York. 1984. [5] GRATZER, S. Lattice theory: First concepts and distributive lattices. W.H. Freeman. U.S.A. 1971. [6] KAUFMANN, A. Introducción a la teoría de subconjuntos borrosos. C.E.C.S.A. México. 1977. [7] LUQUE, C.; DONADO, A. y PÁEZ, J. Caracterización de conjuntos por temas. XllI Coloquio Distrital de Matemáticas y estadística. Universidad Nacional. Santafé de Bogotá, 1996. [8] LUQUE, C.; PÁEZ, J.; DONADO, A. H-conjuntos: Una generalización de la noción de conjunto. XIV Coloquio Distrital de Matemáticas y estadística. Universidad Pedagógica Nacional. Santafé de Bogotá, 1997. [9] STOLL, Robert. Set theory and logic. W. H. Freeman. U.S.A. 1963.

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PROYECTO CURRICULAR DE ESPECIALIZACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA Departamento de Matemáticas Universidad Pedagógica Nacional

Abstract What follows is a description of the Specialization program in Mathematics Education; a postgraduate program directed forward students with a Teacher Degree in Mathematics or Mathematics and Physics, or a Bachelor Degree in Mathematics. The objective of the program is the qualification of the Mathematics teacher’s daily practice. The curriculum is developed during three semesters, each of which centers its attention on the didactics of a particular area of school mathematics. Students can choose three of any of the following areas: Calculus, Algebra, Geometry, Probabiity and Statistics, and the Use of Technology in the teaching of school mathematics.

INTRODUCCIÓN El proyecto curricular de Especialización en Educación Matemática, resultado de un proceso de recontextualización y renovación del programa actual de Especialización en Educación Matemática, será ofrecido por el Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencia y Tecnología, la cual está conformada por los Departamentos de Física, Química, Biología, Matemáticas y Tecnología. El Departamento de Matemáticas ofrece en la actualidad, además del programa de Especialización, otros programas académicos, cuales son, la Licenciatura en Matemáticas y la Maestría en Docencia de la Matemática. Estos programas, formulados, en su momento, a partir del reconocimiento de aspectos básicos de la problemática de la enseñanza de la matemática en los niveles básico y medio de nuestro país, se articulan y nutren entre si, retroalimentándose recurrentemente. La actividad investigativa en el Departamento se ha centrado en los campos del diseño, análisis y desarrollo curricular y de la investigación didáctica, particularmente. Los docentes investigadores en el Departamento de Matemáticas no están adscritos a ninguno de los programas académicos que éste ofrece; los resultados y logros de la investigación que desarrollan alimentan a todos y a cada uno de los proyectos curriculares que ofrece y a las actividades de extensión que realiza. La socialización y extensión a la comunidad se ha consolidado, de manera particular, con la participación permanente de los profesores y alumnos del Departamento en el Coloquio Distrital de Matemáticas, evento anual organizado, desde hace 16 años, en colaboración con la Universidad Nacional y la Universidad Distrital, en el Encuentro Anual de Geometría y sus Aplicaciones que organiza el Departamento de Matemáticas, desde hace 10 años, y recientemente, en las Conferencias Latinoamericanas en Educación Digitalizado por RED ACADEMICA

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Matemática, así como también a través del desarrollo de prácticas pedagógicas de los estudiantes en diferentes ambientes escolares, y en el ofrecimiento de cursos y talleres para profesores de la educación básica y media. El trabajo investigativo y de extensión ha enriquecido la ubicación contextual del Departamento y de cada uno de los programas académicos que ofrece. La socialización de estas actividades y de sus resultados se da, además, a través de publicaciones como los cuadernillos del Coloquio Distrital de Matemáticas, las memorias del Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, la revista de la Facultad de Ciencia y Tecnología de la U.P.N., publicaciones de docentes del Departamento en revistas nacionales e internacionales, y a través de los demás medios de difusión de las actividades de la Universidad. Dado el estrecho vínculo entre docencia, investigación y extensión que se ha establecido en las actividades que desarrolla el Departamento de Matemáticas, los diferentes espacios académicos y el desarrollo de la actividad investigativa propiamente dicha se constituyen en sí mismos en espacios de cualificación para sus docentes. Los profesores hacen igualmente uso de las oportunidades de cualificación que brinda la Universidad tales como la participación en cursos, talleres, encuentros, coloquios, seminarios nacionales e internacionales, etc. Esta forma de asumir la cualificación de los profesores se basa en la convicción de que la formación permanente de los docentes está estrechamente relacionada con la calidad de la actividad que éstos realizan y con su participación activa en la comunidad académica de docentes. ANTECEDENTES Y JUSTIFICACIÓN Dentro de los cuestionamientos que se han hecho a la enseñanza tradicional de las matemáticas en la escuela, se destacan: • El modelo transmisionista que ignora el papel protagónico del estudiante. • La concepción del profesor y el texto como únicas fuentes de verdad y de conocimiento. • La percepción del saber matemático como la habilidad para desarrollar procesos y memorizar fórmulas. • La idea generalizada de cómo el hacer matemáticas consiste en la ejecución mecánica de algoritmos. • La visión de la matemática como un cuerpo de conceptos terminado y procesos aislados de otras ramas del saber. Esta situación de la enseñanza tradicional fue el resultado de paradigmas investigativos psicológicos y pedagógicos, cuya vigencia ha caducado. Las investigaciones recientes en psicología cognitiva y Educación Matemática han generado nuevos paradigmas que a su vez han permitido avances notorios en el campo de la Educación Matemática con nuevos planteamientos sobre el quehacer profesional del docente, el análisis de la importancia de la comunicación y la forma de acceder a los conceptos matemáticos, entre otros aspectos. Particularmente, hoy se considera: Digitalizado por RED ACADEMICA

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• Los estudiantes y el profesor conforman una comunidad matemática en la cual todos participan activamente en la construcción significativa del saber matemático. • La memorización ha de dar paso a procesos de razonamiento. • El trabajo matemático se concibe como una actividad en la cual se conjetura, se crean y resuelven problemas, y se establecen conexiones entre las ideas y las aplicaciones de la matemática. • La matemática se ha de ver, no sólo como una actividad cognitiva dentro de la matemática y para la matemática, sino como un instrumento que ayuda a resolver problemas sociales de la vida cotidiana. • El maestro ha de ser un agente de cambio dentro de la comunidad en la cual está inmerso porque está activamente involucrado en la solución de los problemas que ésta posee. El aprendizaje de las matemáticas implica la construcción de un conjunto de herramientas intelectuales indispensables para dar sentido a diversas situaciones de la vida cotidiana, las ciencias y las matemáticas. Algunas de estas herramientas son: la habilidad para explorar, conjeturar y razonar lógicamente; la capacidad para resolver problemas no rutinarios; la competencia para comunicar ideas acerca de y por medio de las matemáticas; la destreza para conectar conceptos dentro de las matemáticas y entre las matemáticas y otras actividades intelectuales. Los planteamientos de las nuevas concepciones de enseñanza y aprendizaje de la matemática, del conocimiento profesional especifico del profesor de matemáticas y los cambios que la escuela colombiana requiere, exigen el continuo perfeccionamiento del maestro en ejercicio y una educación continuada, concebida como la formación secuencial, en diferentes niveles; particularmente exigen perfeccionar docentes, de la educación básica y media, más hábiles en seleccionar tareas que capten el interés e intelecto de sus estudiantes, que ofrezcan oportunidades para profundizar la comprensión de la matemática estudiada y de sus aplicaciones, que dirijan sus clases de tal forma que promuevan en ellas la investigación y el desarrollo de ideas matemáticas, y que estén capacitado para usar los últimos adelantos tecnológicos y para impulsar a sus alumnos al uso de éstos, como herramienta en su trabajo. Respecto a la Didáctica, en el programa de Especialización, aun cuando no se buscaba un desarrollo teórico, se trabajaban dos modelos didácticos. En los seminarios de profundización matemática se utilizaba un modelo de “auto reflexión”, cuyo objetivo era cuestionar el conocimiento específico acerca de un tema e inducir, a partir de actividades que ponían en conflicto los conocimientos previos y despertaban el asombro de los participantes, la construcción matemática y el logro del aprendizaje significativo. En los seminarios de Didáctica se presentaba otro modelo, basado en la propuesta de Higginson (1980), en el cual se visualiza la didáctica de la matemática en términos de las interacciones entre las disciplinas desde las cuales se asumen preguntas básicas como qué enseñar” “por que”, “a quién y donde” y “cuándo y cómo”. El “qué” hace referencia al contenido matemático u objeto de estudio, el cual se debe seleccionar con base en un amplio conocimiento del panorama de la disciplina, de los intereses de los estudiantes, de los requerimientos del plan de estudios y del contexto social, entre otros. El “cómo” reflexiona sobre el método para abordar el “qué” con el fin de lograr un mejor Digitalizado por RED ACADEMICA

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aprendizaje. El cómo” se considera determinado por el “qué” y es el objeto de estudio de la didáctica de la matemática. Particularmente el proyecto asumía la propuesta del Ministerio de Educación, producto de la renovación curricular de los años 80, sin cuestionarla. En la actualidad se reconoce que el conocimiento matemático, al igual que todo conocimiento es fruto de las experiencias de personas que interactúan en entornos particulares, en culturas diferentes y períodos históricos diversos. Este reconocimiento redimensiona el papel del docente de matemáticas, lo compromete con a función social de la escuela y lo induce a aprovechar su disciplina como herramienta intelectual esencial para dar respuesta a un sin número de opciones e intereses sociales que entrecruzan el mundo actual. En la actualidad, la Didáctica de Matemática se considera una disciplina teóricopráctica de enfoque sistémico, con objeto propio de estudio y metodologías particulares de investigación. Fruto de sus desarrollos es el tratamiento didáctico particular para cada una de las áreas de la matemática. Desde esta perspectiva, se asume la necesidad de la renovación del proyecto curricular de la Especialización. Como el Departamento de Matemáticas de la UPN es consciente que los programas de formación inicial ofrecidos hasta el momento, no han enfatizado en esta nueva orientación, compete a un proyecto curricular de especialización, proporcionar los espacios de cualificación y perfeccionamiento a este respecto. Las demandas sociales exigen cambios en la matemática escolar, que conlleven al desarrollo de valores democráticos, de mentes capaces de enfrentar los desarrollos tecnológicos y de comunicación que la sociedad exige. EL PROYECTO CURRICULAR DE ESPECIALIZACIÓN MATEMÁTICA COMO PROYECTO DE INVESTIGACIÓN

EN

EDUCACIÓN

La necesidad de mejoramiento de la situación actual de la educación matemática en los niveles básico y medio en nuestro país, ha comprometido la reflexión profunda de profesores y estudiantes del Departamento de Matemáticas, sobre la complejidad de los aspectos que se deben conjugar en un proyecto curricular que pretenda incidir en la cualificación de la práctica profesional del docente de matemáticas en esos niveles. Con base en el análisis sobre la forma de relación entre los procesos del conocimiento disciplinar específico y los procesos que se desarrollan en la práctica profesional misma, entendida ésta en todas sus dimensiones, se ha planteado el siguiente interrogante: ¿Logra el Proyecto Curricular de Especialización en Educación Matemáticas de la UPN, que atiende a la formación previa del licenciado en matemáticas y está estructurado con base en resultados de investigaciones en didácticas de áreas especificas de las matemáticas, modificar el conocimiento profesional para el desempeño de la labor docente en el aula? Los profesores del Departamento de Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional han considerado, para responder este interrogante, integrar al proyecto el estudio sobre: Digitalizado por RED ACADEMICA

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• El desarrollo histórico - epistemológico del saber matemático. • Los elementos para la construcción de una didáctica en áreas particulares de las matemáticas. • Las dificultades cognitivas asociadas al aprendizaje de áreas particulares de las matemáticas: concepciones, obstáculos, errores. Como eje curricular del proyecto se propone el estudio de la didáctica de la matemática (de las diferentes áreas) y de sus desarrollos, conforme a los avances que el campo de la educación matemática ha logrado. Desde esta perspectiva, se impulsará en el proyecto los procesos de perfeccionamiento de los licenciados, integrados a las actividades propias de la investigación en el campo profesional del profesor, quien necesita conocimientos cada vez más especializados y fundamentados en el equilibrio entre una sólida formación en matemáticas con una buena formación profesional en didáctica de la matemática. La hipótesis que se plantea es la siguiente: Es posible perfeccionar y cualificar el desempeño profesional del licenciado en matemáticas, a través de su participación en un programa de especialización cuyo contenido y estructura se definen específicamente en el nuevo “Proyecto Curricular de Especialización en Educación Matemática del Departamento de Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional”. El proyecto de investigación curricular se inscribe en la línea de investigación Investigación Acción Diagnóstica- Investigación Acción Empírica”. La primera se enfoca hacia la recolección de datos, su interpretación, diagnóstico y recomendaciones para la acción, en tanto que la segunda se orienta hacia el diseño de acciones para el cambio. Las etapas fundamentales de la investigación del proyecto serán características de la Investigación Acción (planificación, acción, observación y reflexión). La propuesta de evaluación del proyecto curricular, como proyecto de investigación, caracteriza a la evaluación como una actividad de autorregulación de procesos, fundamentada en el concepto de autoevaluación. Específicamente, para la autoevaluación del proyecto curricular se han previsto las siguientes etapas: • Planificación y diseño del programa: En esta fase se establecen los criterios para la autoevaluación. • Organización de la autoevaluación: Se realiza en términos de la conformación de grupos de trabajo con responsabilidades específicas para conducir la autoevaluación de diferentes aspectos y la recolección y procesamiento de información específica requerida para la autorregulación. • Conducción de autoevaluaciones: A lo largo del desarrollo del proceso se detectarán los problemas, las debilidades y las fortalezas del programa, lo cual permitirá tomar las decisiones e iniciar las acciones pertinentes para una autorregulación constante y oportuna. Digitalizado por RED ACADEMICA

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• Elaboración de informes: Estos informes deben dar cuenta de los procesos seguidos, de los análisis evaluativos y de las conclusiones en las que se incorporen los cambios, adecuaciones e innovaciones necesarios para continuar aproximándose al logro de los criterios de calidad esperados. De otra parte, la autoevaluación del proyecto curricular comprende los siguientes aspectos: • La pertinencia reflejada en ¡a declaración de propósitos del mismo, su razón de ser y los objetivos de aprendizaje que direccionan y le dan identidad al proyecto curricular. • Los procesos: La autoevaluación permitirá analizar la organización del plan de estudios, su consistencia, equilibrio y pertinencia, así como juzgar los compromisos de trabajo y las acciones docentes, la investigación y la extensión, en relación con su coherencia con los propósitos del programa. • Los resultados: Este aspecto de la autoevaluación está estrechamente relacionado con lo que se podría denominar el impacto del proyecto, medido a través de la modificación del conocimiento profesional para el desempeño de la labor docente en el aula. En consistencia con la decisión de formular y asumir el proyecto curricular de Especialización como proyecto de investigación, los parámetros de su evaluación cumplirán los establecidos para un proyecto de investigación. En este sentido los resultados particulares que se esperan de su desarrollo son de una parte, la producción de conocimiento y de otra el impacto en los estudiantes usuarios del proyecto. La producción de conocimiento se concretiza en los informes que cada uno de los equipos docentes encargados de los diferentes núcleos presenta. En razón a que cada uno de los núcleos del programa se alimentara de los resultados del trabajo investigativo que desarrollan los diferentes equipos de docentes del Departamento, colateralmente los informes de avances de estas investigaciones se consideraran productos del programa en tanto que se realizan para alimentarlo. El impacto en los estudiantes se concretiza en el logro de las competencias formuladas. SUPUESTOS CONCEPTUALES Uno de los presupuestos que mejor permite planificar, profesionalizar y perfeccionar la función docente, uniendo teoría y práctica, es la concepción del diseño y desarrollo curricular como proyecto de investigación, considerando al mismo como objeto de discusión y debate. Es bien aceptada la premisa de que el perfeccionamiento del licenciado y la caracterización del perfil del profesor especialista, están determinados por un diagnóstico preciso de la situación de la educación matemática en nuestro medio por un conocimiento cabal de la formación previa que tiene el licenciado y por las relaciones coherentes entre los ambientes en los cuales se forma y se perfecciona el profesor y la concepción de la práctica profesional misma. Digitalizado por RED ACADEMICA

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Acerca de la didáctica de las matemáticas Como ya se anotó, la concepción que sobre la didáctica manejó el programa de especialización admite una reformulación de éste que requiere la incorporación de la teoría didáctica correspondiente a cada área de la matemática La didáctica de la matemática se fundamenta en el conocimiento profundo de la disciplina y en el conocimiento del sistema didáctico. Su acción ha de centrarse en el análisis y la búsqueda de respuestas a la problemática de la enseñabilidad de la matemática escolar y de la educabilidad del discente. En la reflexión teórica acerca de la didáctica el “qué matemático” se convierte en objeto de análisis puesto que los conocimientos matemáticos no sólo hacen referencia a contenidos específicos de su estructura actual, sino también a la actividad mediante la cual se construyen y a la forma como han evolucionado. De este modo los conceptos matemáticos se perciben dinámicos y no como un conjunto fijo de conocimientos. Quien “hace matemáticas”, comete errores, conjetura, abstrae, generaliza y comprueba para luego comunicar los resultados a la comunidad de especialistas, bajo esquemas acordados, escondiendo el proceso usado en su generación, proceso valioso en la formación del aprendiz de matemática. Inherentes al conocimiento matemático van insertos no solamente los conceptos sino también la representación simbólica y los procesos de desarrollo y validación. Aprender matemática no consiste en acumular información para resolver ejercicios. Es un proceso en el cual debe vincularse el individuo, mediante vivencias significativas, en el desarrollo de los conceptos, es decir, “hacer matemática”. El sistema didáctico hace referencia a las interrelaciones entre los profesores, los estudiantes y el conocimiento matemático, teniendo en cuenta, además, el mundo exterior a la escuela conformado por la sociedad, los padres y los matemáticos entre otros. El papel del profesor deja de ser el de autoridad para transformarse en guía que recontextualiza el saber que quiere comunicar a sus alumnos con el propósito de propiciar en el aula de clase una actividad verdaderamente científica. El estudiante asume un papel activo en su aprendizaje para construir conocimiento, formularlo, validarlo, incorporarlo a su estructura cognitiva, y usarlo en futuras situaciones. La investigación didáctica busca la sistematización de teorías y nuevas herramientas para acceder a los conceptos matemáticos. Aporta elementos teóricos para el perfeccionamiento de la actividad educativa, teniendo en cuenta los criterios de enseñabilidad de la disciplina y de la educabilidad del estudiante. Acerca de lo pedagógico La decisión de asumir un enfoque pedagógico que oriente y determine el Proyecto Curricular, debe tener en cuenta la confrontación teórica y práctica que desde tiempo atrás contrapone dos perspectivas pedagógicas. En una perspectiva se quiere instruir y formar al estudiante desde el exterior, por lo que el acto pedagógico se concibe como una actividad de dirigir, modelar y equipar de conocimientos al estudiante. La antítesis de esta perspectiva es la de considerar que el estudiante lleva en sí mismo los medios para lograr su propio desarrollo y que toda acción que intervenga, desde el exterior, no hará sino deformarlo y obstaculizarla. Estas dos perspectivas, fortalecidas por desarrollos teóricos, han conducido a polarizar el debate sobre lo pedagógico como un campo de posicionamiento exclusivo y a veces dogmático. Digitalizado por RED ACADEMICA

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El equipo de profesores del Departamento de Matemáticas es consciente de la confrontación que suscitan estas posiciones y acorde con los criterios descritos, considera que toda situación pedagógica es cambiante, compleja, responde a fines y metas, y presenta conflictos. Por consiguiente, no existe, ni puede existir, una única y reconocida teoría pedagógica científica desde la cual se orienten unívocamente los medios y las reglas para alcanzar los fines propuestos. La premisa anterior, aunada a la convicción que son “lo pedagógico” y “lo didáctico” el objeto de estudio y de trabajo del profesional de la educación, nos lleva a establecer que asumimos la tarea de construir un enfoque pedagógico como una tarea reflexiva y compleja, que se desarrolla en escenarios singulares, claramente determinados por los contextos cargados de conflictos de valor, que requieren opciones éticas y políticas diversas (Pérez, 1993). Consideramos que lo pedagógico trasciende ampliamente el carácter exclusivo de la enseñanza, para integrar la reflexión sobre la complejidad de las relaciones que determinan el desempeño del profesor. El perfeccionamiento del profesor no está enmarcado exclusivamente desde la perspectiva de la adquisición puntual de conocimiento, para responder a exigencias de los diferentes ambientes de formación. En términos generales, podemos afirmar que la profundización de conocimientos por parte del estudiante-profesor, es un proceso que adquiere su verdadero valor cuando los conocimientos se integran al desarrollo de la propia personalidad y cuando se convierten en competencias significativas para su desempeño profesional. Los supuestos de la intervención pedagógica, en esta propuesta. se caracterizan por la incorporación de conocimiento significativo y relevante para comprender y experimentar, en cada contexto singular (ambiente de formación), procesos de reflexión en la acción, para desarrollar competencias en el estudiante que le permitan, en sus actuaciones de la vida profesional, elaborar diagnósticos, valorar sus componentes, diseñar estrategias alternativas y prever, en lo posible, el curso de futuros acontecimientos. De esta manera, el conocimiento académico, teórico y científico se integra significativamente en esquemas de pensamiento más genéricos, en contraposición a la concepción de adquisición de conocimiento en parcelas aisladas. Además de la postura expuesta anteriormente, que caracteriza el enfoque pedagógico que asume el Departamento de Matemáticas de la UPN, a continuación se presentan las concepciones que ha elaborado sobre otros núcleos del saber pedagógico y el análisis de las interrelaciones entre éstos, análisis que enriquece la reflexión pedagógica en que se empeña: Acerca de la enseñabilidad Las condiciones que determinan las posibilidades de la enseñanza del conocimiento matemático están dadas por las funciones sociales que se le asignen al proyecto de enseñanza y por la concepción sobre la naturaleza del conocimiento matemático. Un ejemplo de esta relación, se encuentra en la propuesta de formación de profesores de la década del setenta, cuyo modelo de enseñanza se concibió bajo el carácter exclusivo de formación de matemáticos y en el cual los objetos matemáticos se consideraban independientes de los sujetos, con una naturaleza absoluta, incuestionables. La matemática era considerada como cúmulo de verdades absolutas, eternas e inmodificables. La propuesta actual, por el contrario, si asume el carácter de proyecto social de la enseñanza de las matemáticas en el programa de perfeccionamiento de profesores y Digitalizado por RED ACADEMICA

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espera que éste cumpla además otros varios fines. Además del conocimiento y comprensión del cuerpo de teorías matemáticas y de su lenguaje científico, debe aunarse la búsqueda de la interpretación de las matemáticas mismas. El profesor de matemáticas debe elaborar transformaciones de los conocimientos matemáticos para recontextualizarlos, re-personalizarlos, re-temporalizarlos en los contextos de su actuación como profesional de la docencia de la matemática. De esta manera, la enseñabilidad de las matemáticas es una elaboración del profesor con base en sus compromisos epistemológicos, pedagógicos y didácticos y, que depende además de sus estructuras conceptuales, estéticas, actitudinales y axiológicas. Los profesores de matemáticas enseñan esta disciplina de acuerdo con ciertas ideas que ellos tienen acerca de las matemáticas y de cómo éstas deben ser aprendidas parlas estudiantes; en la práctica de la enseñanza de las matemáticas, el profesor continuamente toma decisiones respecto al contenido y la forma de presentación en el salón de clases. Una de las funciones del profesor de matemáticas es precisamente la de construir matemáticas para la escuela, y esto de suyo determina la enseñabilidad de las mismas. Acerca de la educabilidad Siguiendo con el desarrollo de los criterios planteados en este documento, es claro entonces que asumimos que los alumnos aprenden y asimilan teorías, actitudes y desarrollan competencias, no sólo como consecuencia de la socialización e intercambio de ideas y conocimientos explícitos en el currículum, sino también, por las posibilidades de interacción social que se propicien en la institución en general y en el aula en particular y por la estructura de la tareas que se propongan. De esta manera, concebimos el aprendizaje, en función de la comunicación y mediado por el aprendiz y las circunstancias reales en que se desarrolla la intervención educativa. Quien aprende reconstruye y construye nuevos significados, formas de significar y de actuar intencionalmente; de esta manera, se halla en posicionamientos diferentes desde los cuales atribuir otros sentidos al mundo. En este sentido, toda aproximación al saber es realizada desde las estructuras conceptuales, metodológicas, estéticas, actitudinales y axiológicas que cada quien ha elaborado, y es desde ellas que se hacen las respectivas lecturas, atribuyéndoles el sentido que se considera apropiado y pertinente. Puesto que por muy equivalentes que sean esas estructuras entre los miembros de la comunidad, no son estrictamente iguales unas a otras, es de esperarse que las lecturas no coincidan y, por tanto, que existan siempre controversias y la necesidad de negociar acuerdos programáticos. (Gallego y Pérez, 1999). La interacción y la cooperación movilizan la reflexión sobre la acción, la cual es considerada como un mecanismo básico para acceder a los niveles superiores de abstracción e internalización. Es esta la razón por la cual, en la educabilídad, está implícito el reconocimiento del otro y que el acto de educar, que se desprende de esta concepción, se traduce en un acompañamiento del educando para que ingrese de si o por sí mismo en el orden que se le ofrece. Esta concepción no desconoce las lógicas de las intencionalidades curriculares en la dirección incuestionable de que todo educando ha de, finalmente, incorporarse críticamente al proyecto cultural, social, político y económico con miras a realizar su proyecto ético de vida. Digitalizado por RED ACADEMICA

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Acerca de la interdisciplinariedad La interdisciplinariedad tanto de la matemática como de la educación matemática están claramente definidas. La historia y la epistemología de las matemáticas cobran todo su valor en el desempeño del profesor de matemáticas, por cuanto es en la comprensión de la construcción de diferentes saberes y conceptos matemáticos, en el estudio de los obstáculos y errores que se sortearon en el proceso de gestación de dichos conceptos, y la comprensión de las condiciones históricas socioculturales que rodearon su desarrollo, donde el profesor de matemáticas adquiere el verdadero sentido y comprensión, tanto de la actividad matemática misma, como de las variantes que intervienen en la construcción comprensiva de ella. Las disciplinas anteriormente mencionadas amplían la perspectiva sobre la naturaleza de las matemáticas. La construcción inductiva junto con la resolución de problemas como fuentes de la generación del conocimiento matemático se integran a la aproximación deductiva como herramientas esenciales tanto en el ambiente correspondiente a la formación disciplinar del profesor de matemáticas como en la tarea de diseñar y desarrollar matemáticas escolares. No se puede dejar de mencionar el aporte de la psicología, la antropología, las ciencias naturales, la biología y en particular la neurología, la filosofía, la historia de la matemática, la lógica, la lingüística y la informática a la comprensión sobre la naturaleza de las matemáticas y la relación conocimiento-profesor-alumno. Como se puede deducir, las preguntas y los referentes teóricos que soportan el Proyecto, nos remiten a campos de conocimiento muy diversos y a marcos teóricos muy variados y complementarios. Puesto que los problemas que plantean la formación y el perfeccionamiento de profesores de matemáticas no pueden ni desmenuzarse, ni ser resueltos por una sola área de conocimiento, el campo de formación no puede ser considerado como una simple suma o yuxtaposición de áreas de conocimiento. La búsqueda de la interdisciplinariedad se constituye en un reto para el mismo proyecto. PROPÓSITOS DEL NUEVO PROYECTO CURRICULAR El proyecto curricular de Especialización en Educación Matemática, inscrito en el marco de la nueva normatividad educativa, busca responder, en lo posible, a las necesidades propias de la enseñanza de las matemáticas en nuestro contexto, particularmente en los niveles de la educación básica y media. En concordancia con las finalidades que plantea la Ley General de Educación, especialmente en lo referente a la formación de educadores de la más alta calidad científica y ética, al desarrollo de la teoría y la práctica pedagógica como parte fundamental del saber del educador y al fortalecimiento de la investigación en el campo pedagógico y en el saber específico y, consistentemente con la misión y propósitos de la UPN presentados en su proyecto educativo institucional y con los objetivos particulares del Departamento de matemáticas, se plantean como propósitos específicos del proyecto curricular de Especialización en Educación Matemática: • Ofrecer un programa académico de especialización, como una opción de perfeccionamiento para el licenciado, a través del cual pueda modificar su conocimiento profesional. Digitalizado por RED ACADEMICA

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• Sistematizar el perfeccionamiento y la capacitación de los docentes de matemáticas y estructurar esta última alrededor de metas claramente definidas. Particularmente, se plantean como propósitos formativos del proyecto curricular de Especialización los siguientes: • Propiciar la reflexión sobre la problemática contemporánea de la enseñanza de la matemática y favorecer la toma de conciencia sobre las principales dificultades que afectan el aprendizaje de esta disciplina, con miras a generar en el profesor, y consecuentemente en sus estudiantes, una nueva actitud frente a la matemática y a su aprendizaje. • Generar estrategias para la profundización en el estudio de la didáctica de las matemáticas, a partir de la reflexión y sistematización de sus prácticas cotidianas. • Formular proyectos de aula que transformen la docencia convencional y que, a través de la investigación didáctica, permitan aproximarse a la solución de los problemas educativos derivados de la actividad docente específica. • Contribuir a la conformación de grupos de trabajo de profesores de matemática de los niveles básico y medio que puedan incidir favorablemente en el mejoramiento de la práctica profesional del docente de esta disciplina, en nuestras escuelas y colegios. ESTRUCTURA CURRICULAR En razón a que el proyecto de Especialización en Educación Matemática está encaminado a generar procesos de formación y de perfeccionamiento en la acción, a que el enfoque desde el cual se plantea la cualificación de los participantes parte del conocimiento de la formación inicial del licenciado y a que apunta a la generación de condiciones adecuadas para un mejoramiento de la enseñanza de las matemáticas, en particular, en las instituciones en donde están vinculados los estudiantes del programa, el plan de estudios es flexible y receptivo a las condiciones y preferencias de tales instituciones y a las de los profesores participantes. Como ya se anotó anteriormente, el proceso actual de renovación de los proyectos de licenciatura, especialización y maestría del Departamento de Matemáticas se enfocó, entre otras, desde la perspectiva de ofrecer al estudiante que 0pta por la profesión de educador, la posibilidad de formarse inicialmente (proyecto curricular de licenciatura), perfeccionar y cualificar su práctica profesional profundizando en el conocimiento profesional propio del profesor de matemáticas (proyecto curricular de Especialización en Educación Matemática) y encaminarse hacia la investigación (proyecto curricular de Maestría en Docencia de la Matemática). Es, desde esta perspectiva de formación y perfeccionamiento continuo que se define la estructura del proyecto curricular de la Especialización alrededor de la didáctica de la matemática como eje central y que se definen, en coherencia con los lineamientos curriculares del Proyecto Político Pedagógico Institucional de la UPN, los núcleos temáticos e integradores y los ambientes vivenciales de formación que imprimirán en el estudiante las características particulares de unnal de la educación formado en la UPN.

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El núcleo integrador de la estructura curricular del proyecto enfoca el análisis y la profundización de los procesos de formalización, construcción, explicación, sistematización y contextualización, caracterizados por el conocimiento didáctico El diseño curricular del proyecto se expresa en la caracterización de los ambientes de formación disciplinar específica, pedagógico, científico e investigativo, deontológico y en valores humanos y lingüístico en los cuales se desarrolla y, en el plan de estudios que caracteriza los ejes curriculares, los núcleos integradores y temáticos del mismo, así como en la concepción de evaluación que acoge. Ambientes de formación Con respecto a estos ambientes, un estudiante del Programa de Especialización del Departamento de Matemáticas, vivenciará particularmente los siguientes: Formación disciplinar específica El ambiente de formación disciplinar específica se centra en la Didáctica de las matemáticas. En particular se enfatiza en: • Los procesos de formalización, globalización y síntesis del conocimiento matemático, los cuales en la licenciatura han sentado las bases para generar actividades investigativas propias del docente de matemáticas y cuyo estudio profundo y sistemático le permitirá al licenciado, que accede al proyecto, comprender y desarrollar didácticas específicas en cada área. • El acercamiento del docente a desarrollos en la disciplina, con el objeto de estudiar la pertinencia y viabilidad de transformarlos en conocimientos escolares. • La concepción de las matemáticas y de su enseñanza como actividades constructivas. Esta concepción conllevará al estudiante a vivenciar todas aquellas actividades propias, tanto del quehacer matemático como del quehacer del profesor de matemáticas • Un análisis histórico-epistemológico de la evolución del conocimiento matemático Formación pedagógica El ambiente de formación pedagógica por cuanto todos los proyectos curriculares que ofrece el Departamento se enmarcan en un campo de acción cuya disciplina fundante es la pedagogía y orientan sus acciones a la formación y perfeccionamiento de profesionales de la educación capaces de promover acciones individuales y colectivas y de comprender y actuar ante la problemática educativa en la perspectiva del desarrollo integral y humano. En el proyecto de la Especialización, el docente comparte con sus colegas condiscípulos la experiencia de «enseñar» matemáticas, profundiza en su formación teórica, actualiza sus conocimientos incorporando, a sus saberes, los desarrollos del campo de la educación matemática particularmente los referidos del conocimiento matemático y a la didáctica de las diferentes áreas de la matemática escolar.

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Formación investigativa El ambiente investigativo, subyace en todos los demás, por cuanto en cada uno de ellos se prioriza la generación de actitudes como las de análisis, creación, síntesis, conjetura, sistematización, etc. Este ambiente, al igual que el de formación pedagógica, permea todos los espacios académicos del Departamento. El proyecto curricular de Especialización reconoce el papel motivador preponderante que tiene el estudio del desarrollo histórico de la matemática y sus conexiones con las demás ciencias, desde la perspectiva de estudiar situaciones en las cuales se han generado y desarrollado conceptos matemáticos. Todos los espacios académicos del proyecto de Especialización se caracterizarán por su orientación hacia las problemáticas en el aula y contribuirán, de manera decisiva, en la formulación de los proyectos que presenten los estudiantes al finalizar cada periodo académico. Por cuanto el programa está alimentado por los desarrollos y avances investigativos de los equipos de profesores del Departamento de Matemáticas, el estudiante-profesor se verá enfrentado a los procesos propios de una investigación. Formación deontológica y en valores humanos El de formación deontológica y en valores humanos, caracterizado por la práctica vivencial cotidiana que se interioriza para construir la conciencia de cómo todo saber es intersubjetivo y obedece a creaciones colectivas que conllevan aportes, acuerdos, reconocimientos y compromisos, se constituye en la praxis que orienta y determina las prácticas sociales de construcción y negociación colectiva. El Departamento no desconoce la necesidad de referentes teóricos que contribuyan a la formación de valores, pero es consciente que sólo la vivencia de éstos, el ejercicio de la aceptación de la diferencia, el dialogo y búsqueda de la equidad y aceptaciones cotidianas y pedagógicas permite adquirir el significado y sentido de la formación ética y necesaria para el desempeño del ciudadano colombiano. El ambiente de formación deontológica es objeto permanente de trabajo en el Departamento, en tanto que la reflexión sobre cómo todos los saberes están inmersos en un contexto más amplio, el de la cultura, la cual es fundamento de la nacionalidad e involucra, además, valores éticos, estéticos, morales, intelectuales, democráticos y educativos entre otros, es cotidiana. En el proyecto curricular de Especialización se contribuye particularmente al afianzamiento y crecimiento de la conciencia profesional del educador matemático. Formación lingüística El ambiente de formación lingüística enfatiza en el uso de competencias lingüísticas y comunicativas necesarias para el aprendizaje y para la enseñanza, para el fomento el debate y la argumentación, y se expresa, particularmente en el programa, en el estudio de informes de investigación, de artículos y comunicaciones, tanto en español como en inglés, y de temas relacionados con las didácticas específicas que se trabajan. La presentación y sustentación de ensayos y proyectos de aula, exige, por parte del estudiante, el dominio del lenguaje oral y escrito.

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PLAN DE ESTUDIOS Ejes curriculares El plan de estudios de la Especialización, en concordancia con los propósitos del proyecto curricular tiene como eje central la didáctica de la matemática y como ejes curriculares los siguientes: • El desarrollo histórico-epistemológico del saber matemático. Los elementos para la construcción de una didáctica en un área particular de las matemáticas. • Las dificultades cognitivas asociadas al aprendizaje de un área particular de las matemáticas: concepciones, obstáculos, errores. Núcleos temáticos El plan de estudios está conformado por tres grandes núcleos temáticos que desarrollan, cada uno, en un periodo académico de un trimestre, sin disgregación asignaturas, con miras a lograr una alta intensidad en la problemática que se trabaja y mínimo de diversidad en cuanto al estudio simultáneo de otros núcleos. Cada núcleo pandera académicamente en 12 créditos.

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El principio de flexibilidad en que se soporta el plan de estudios permitirá, de una parte, incrementar la proyección, la apertura, el rendimiento social, el impacto, la pertinencia y la cobertura del proyecto, y de otra parte le permitirá al estudiante, que conservando los ejes curriculares del proyecto, personalice el contenido del plan según sus propios intereses y necesidades, seleccionando cursar, parlo menos, tres de los siguientes núcleos: • • • • • •

Didáctica del cálculo. Didáctica del álgebra. Didáctica de la geometría. Didáctica de la probabilidad y la estadística. Didáctica de la aritmética. Uso de la informática en la enseñanza de las matemáticas escolares.

Al cursar cada uno de los núcleos propuestos, se pretende que el estudiante: • Profundice en el conocimiento de los elementos teóricos fundamentales para la comprensión y desarrollo de las didácticas particulares de cada área de la matemática. • ldentifique e interprete conceptualmente los elementos técnicos y metodológicos necesarios para configurar y estructurar el respectivo proyecto de aula. Particularmente se espera de los egresados las siguientes competencias: • La generación de propuestas de aula, consistentes e innovadoras que, atendiendo al contexto particular de su escuela, propendan por el logro de mejores niveles de aproximación al conocimiento matemático en niños y jóvenes. Digitalizado por RED ACADEMICA

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• El reconocimiento a la importancia y pertinencia de la gestación de grupos de trabajo en su escuela o zona (y de la participación activa en los mismos), que aborden el estudio de la didáctica de la matemática y propicien la sistematización y socialización de las prácticas docentes cotidianas. • El desempeño integral y comprometido como docente de matemáticas. Como ya se expresó, en cada uno de los núcleos temáticos del plan de estudios se trabajará la didáctica de un área específica de las matemáticas escolares. Los contenidos curriculares particulares de cada núcleo están determinados por los avances y desarrollos que alcancen, en cada área, los diferentes equipos que han conformado, según sus líneas de trabajo, los profesores del departamento. El contenido que se prevé para cada uno de los núcleos es el siguiente: Núcleo:

Didáctica de la Geometría

El grupo de estudio del Departamento de Matemáticas, que centra su preocupación en la Didáctica de la Geometría, considera prioritario ofrecer a los profesionales de la Educación Matemática en ejercicio, un programa de perfeccionamiento en geometría en donde, además de cubrir los vacíos de formación que hayan podido tener en esta área durante la etapa de formación obligatoria, se presente una panorámica de los desarrollos investigativos en este campo y se de lugar a la reflexión sobre las posibles formas de recuperar los espacios de formación en geometría de sus educandos, espacios que las reformas curriculares de los años cincuenta y sesenta a nivel mundial y setenta en nuestro país, constriñeron al grado de casi suprimir la geometría de la escuela. Hasta el momento el grupo de estudio viene trabajando en un modelo para la enseñanza de la geometría que seria el eje sobre el que se fundamentaría las actividades de formación que propondría el programa. El modelo está sustentado en la investigación sobre el razonamiento geométrico de Van hiele, recoge propuestas similares realizadas por las escuelas norteamericana e Israelí e incorpora el uso de la tecnología como herramienta de apoyo a la conceptualización geométrica. Núcleo:

Didáctica del Cálculo

Los conceptos de límite, derivada e integral son contenidos que se contemplan como necesarios en la enseñanza del Cálculo en la Educación Media. Su introducción se hace en este nivel como preparación para la matemática universitaria. Sin embargo en los primeros semestres se convierte en uno de los cursos con mayor grado de reprobación. Esta situación compartida por casi todos los sistemas de enseñanza, ha conducido a que su problemática sea considerada como uno de los problemas de investigación para la Educación matemática. La razón reside en que el Cálculo es una de las herramientas matemáticas más poderosas para modelar diversos fenómenos de la vida científica y cultural. A lo anterior se suma que es reconocido como un puente necesario hacia el pensamiento matemático avanzado. Particularmente en a educación universitaria colombiana, el problema ha sido abordado desde la perspectiva de la investigación (Gómez, Carulla, y otros, 1990), y aunque en la educación media se encuentran algunas innovaciones en el aula es necesario enfocar el problema, a este nivel, desde la perspectiva de la investigación en educación matemática, como uno de los elementos esenciales para los procesos de diseños y desarrollos curriculares que en la actualidad adelanta la comunidad de Digitalizado por RED ACADEMICA

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profesores de matemáticas, puesto que determina las posibilidades reales de mejora de la calidad de la educación matemática en el país. Un grupo de estudio del Departamento de Matemáticas que centra su preocupación en la didáctica del Cálculo, considera prioritario ofrecer a los profesores de matemáticas, un programa de perfeccionamiento fundamentado en la Didáctica del Cálculo, que aborde algunas de las siguientes temáticas, resultado de sus primeros acercamientos al estudio de la Didáctica del Cálculo. El estudio, representación y solución de situaciones en las cuales están presentes nociones que sirven de fundamento a la construcción de los conceptos del Cálculo, como son: — Variación y cambio: patrones — Relación entre variaciones: La función como dependencia. — Procesos de aproximación: el error — Procesos infinitos. — El continuo numérico: los números reales. Problemática de la enseñanza y aprendizaje, en la escuela, de los conceptos del cálculo infinitesimal. El pensamiento avanzado propio de la construcción de los conceptos básicos del Cálculo. Estudio de investigaciones actualizadas sobre la enseñanza y el aprendizaje de los conceptos del Cálculo Infinitesimal. Núcleo:

Didáctica del Álgebra

Los conceptos de operación, función y estructura algebraica están presentes en la matemática de la educación básica y media. Sin embargo, muchos estudiantes, apenas manejan algoritmos en forma mecánica, sin dar sentido ni razones que justifiquen su acción sobre los elementos de un conjunto. Si esto es, de par, si, un indicativo inquietante en el aprendizaje, mayores son las deficiencias cuando de analizar, plantear y resolver problemas se trata. Es aquí donde aparecen las mayores dificultades para el estudiante. Parece que la falta de situaciones que le permitan hacer conjeturas de resultados generalizadas y su simbolización, la caracterización de estructuras algebraicas, la coherencia lógica de los procesos, le impiden enfrentar los retos que ofrece la solución de problemas. La concepción de un álgebra sustentada en la pedagogía, con una didáctica específica, será uno de los propósitos de este núcleo en la Especialización, con el ánimo de superar las dificultades expuestas. Tópicos centrales que estarían presentes en este núcleo: Sistemas numéricos: estructuras algebraicas de los conjuntos de números enteros, racionales, reales y complejos. Teoría de grupos. Construcción de grupos finitos y su aplicación para el desarrollo de procesos didácticos. Modelos geométricos para grupos finitos y Digitalizado por RED ACADEMICA

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La estructura de anillo y campo como fundamento teórico del álgebra elemental. Teoría de ecuaciones. Núcleo:

Didáctica de la Aritmética

Tradicionalmente, la aritmética en la escuela se ha considerado como el ámbito en el cual se adquieren destrezas para la realización de cálculos numéricos y resolución de problemas, en el marco de las operaciones básicas de los conjuntos numéricas N, Z y Q. El énfasis puesto al estudio de los conjuntos numéricos ha ido cambiando a través de las diferentes propuestas curriculares, Una nueva perspectiva intenta desplazar la organización temática, que se centra en la teoría de conjuntos, y en la presentación formal de las estructuras numéricas, en la cual cada conjunto numérico surge como respuesta a problemas de tipo matemático. Ahora, se trata de aprovechar que la aritmética contribuye a ampliar la capacidad matemática, a través del desarrollo del sentido numérico y del razonamiento aritmético y proporcional, y que además aumenta las competencias comunicativas propias en este dominio. Tópicos centrales que estarían presentes en este núcleo: Tratamientos curriculares que posibiliten la comprensión de los números y las operaciones, así como la inclinación a usarlos de forma flexible para hacer estimaciones numéricas, desarrollar estrategias operativas útiles y resolver problemas. Complejidad de la construcción conceptual del número. Perspectivas histórico-críticas en su evolución: del número natural al número entero, de la fracción al racional, etc. Investigaciones relativas a la resolución de problemas aritméticos, clasificación de problemas, obstáculos y dificultades en su aprendizaje. Aproximación al álgebra a través de la aritmética. La teoría de números y su potencial para desarrollar competencias de generalización, búsqueda de patrones de regularidad y formas inductivas de aproximación al conocimiento. La calculadora como herramienta de desarrollo del pensamiento aritmético. Núcleo:

Didáctica de la Probabilidad y Estadística

En la actualidad la toma de decisiones sobre cualquier tópico se fundamenta en el análisis profundo de los datos pertinentes. En el mundo de hoy “La nacionalidad ya no puede seguir siendo identificada con la certeza, ni tampoco la probabilidad con la ignorancia” (Prigogine, 1986, pág. 183). La probabilidad es característica propia de los razonamientos no demostrativos y determinar la validez y significado de dichos razonamientos es papel de la filosofía de la probabilidad. El currículo actual de la Educación Básica y Media considera como parte importante de la formación del futuro bachiller el conocimiento de las herramientas probabilísticas y estadísticas para la mejor comprensión de los fenómenos naturales y sociales. Se ha hecho énfasis en la parte —dejando de lado la parte inferencial, por ello se hace necesario contribuir a la formación de los docentes en fundamentos de estadística y probabilidad y en su aplicación inferencial. Digitalizado por RED ACADEMICA

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El objetivo del núcleo es facilitar la comprensión conceptual de la probabilidad y de la estadística y de las dificultades de su aprendizaje, así como de los métodos requeridos para su enseñanza. El curso requiere trabajar con los docentes en tres niveles de reflexión: La estructura matemática de la probabilidad y la estadística. Conceptos, métodos y diagramas o medios de representación, es decir, el propio contenido eslocástico. Los contextos de actividad y aprendizaje para los alumnos. Medios especiales de representación, sistemas de tareas, y todos los instrumentos que permitan el aprendizaje de los alumnos por un camino significativo. La perspectiva de la actividad del profesor sobre el proceso de enseñanza. Planificación, organización, desarrollo modificación y evaluación de los procesos de aprendizaje y enseñanza del conocimiento eslocástica. Núcleo:

Uso de la Informática para la enseñanza de las matemáticas escolares

El computador es una herramienta poderosa que ayuda en el proceso de aprendizaje de la matemática. La facilidad de graficar y de realizar movimientos y simulaciones permite un buen acercamiento a muchos conceptos de la geometría, el álgebra y el cálculo escolares. Procesos lentos y rutinarios se mejoran con el empleo de programas que por su presentación y herramientas disponibles facilitan la labor del docente. Una componente básica en el trabajo del especialista en educación matemática de hoy y del futuro es a utilización de los computadores en la enseñanza de la misma, por ello se hace necesario que el docente conozca las posibilidades que este tipo de paquetes ofrecen. Es importante ver que la computación permite al estudiante representar en su propio ambiente de objetos cada nueva noción y concepto que aprende y a través de esta tarea y de la representación misma conseguir un mayor acercamiento a la matemática. Por ejemplo un lenguaje como LOGO, permite al niño y al adolescente explorar, representar y plantarse conjeturas que luego pueden ser despejadas con la orientación del docente. El objetivo central de este núcleo es capacitar al docente para el empleo de los computadores en sus propias clases de matemáticas como herramienta que ayude en el proceso de aprendizaje. Para conseguirlo se requiere un conocimiento de la máquina y de su funcionamiento y el manejo profundo de uno o más paquetes de aplicación. En el núcleo se trabajan dos elementos: uno de fundamentación en informática en la cual se desarrollen temas como la arquitectura básica de los microcomputadores los lenguajes de programación y las posibilidades y limitaciones de las máquinas y otro de aplicación de paquetes comerciales para la enseñanza de la matemática. Dependiendo de los intereses de los estudiantes se pueden utilizar algunos de los siguientes paquetes: Digitalizado por RED ACADEMICA

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Logo (versión Terrapín de Harvard 1998). Con el cual se hacen construcciones geométricas, elementos de pre-geometría, introducción a los números enteros, elementos de trigonometría y de geometría analítica. Derive: herramienta que permite el manejo de funciones y todas sus propiedades, gráficas y aproximaciones. Matlab: herramienta que ayuda a la introducción de conceptos del álgebra lineal para el grado noveno, trabajo con funciones y gráficas, aplicaciones estadísticas, estudio de elementos de cálculo. Mathematíca: paquete con el cual se consigue desarrollar conceptos alrededor de cualquier tema de las matemáticas escolares, permitiendo que el maestro elabore sus propios programas y guías para el trabajo con los alumnos. Cabri, programa exclusivo par el aprendizaje de la geometría, que por la riqueza de opciones que ofrece permite trabajar con mucho éxito la geometría del bachillerato y proponer interesantes problemas que motivan y estimulan a los alumnos. METODOLOGÍA Y ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS El proyecto curricular de Especialización parte del supuesto que el docente posee un saber. Los espacios formales están diseñados para cualificar sus experiencias y prácticas, además de abrir nuevos horizontes de significados que lo lleven a integrar en su quehacer los avances en la didáctica de la disciplina, particularmente buscan que el estudiante vivencie nuevas experiencias de aprendizaje, la experiencia de construir conocimiento y de “aprender a aprender”. El desarrollo del programa académico se realiza a través de actividades de tipo presencial, de estudio independiente y dirigido y, de tutorías. Las actividades presenciales se desarrollan mediante exposiciones, conferencias, discusiones, debates, estudios de casos, talleres y simulaciones. Las actividades de trabajo independiente dirigido comprenden lecturas especializadas con guías de estudio, que los estudiantes deben procesar en forma particular y que constituyen la base sobre la cual se realizan las actividades presenciales. Las tutorías se ofrecen para orientar a los estudiantes en la planeación, diseño y desarrollo del trabajo que cada quien presentará al finalizar cada período académico. En razón a que el proyecto de Especialización se enfoca prioritariamente a la cualificación de la práctica profesional del licenciado en matemáticas, el trabajo anteriormente mencionado se centrará en la construcción de vías didácticas para el tratamiento de nociones específicas de la matemática escolar en algún nivel particular de la educación básica o media. Control del flujo de estudiantes El cupo máximo para cada núcleo es de veinticinco estudiantes, seleccionados entre los aspirantes que cumplan los requisitos de admisión establecidos para el proyecto curricular. Digitalizado por RED ACADEMICA

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El proyecto de Especialización adopta el sistema de promoción continua. Ningún núcleo es prerrequisito de otro, los estudiantes podrán seleccionarlos e inscribirlos de acuerdo a sus intereses personales. Para aprobar cualquier núcleo se requiere el cumplimiento de los requisitos específicos correspondientes, situación que se traduce en una nota mínima estipulada en la reglamentación académica de la Universidad. En el evento en que no se hayan cumplido, a satisfacción los requisitos y se hayan agotado todos los medios de recuperación establecidos, se reprobará el núcleo. En tal caso, el estudiante debe cursar y aprobar otro núcleo del plan de estudios. LA EVALUACIÓN EN EL PROYECTO La evaluación es, en este proyecto curricular, un elemento dinamizador fundamentalmente útil, tanto para el estudiante como para el cuerpo profesoral que les permitirá una conceptualización de los procesos vividos por cada uno de ellos en el programa y que alimentará recurrentemente el proceso para la toma de decisiones sobre el proyecto curricular mismo. El modelo de evaluación que se acoge, en coherencia con el PEI, hace realidad el criterio según el cual la evaluación es un mecanismo de orientación y en concordancia con el sentido pedagógico del proyecto curricular, se acoge el enfoque de evaluación formativa, en el cual la evaluación se realiza para favorecer los procesos de adquisición de competencias en los alumnos. Se entiende la evaluación, en el proyecto de Especialización, como la reflexión sistemática, integral, dinámica y formativa sobre los procesos desarrollados en los diferentes espacios académicos, que busca apreciar, estimar y valorar en forma comprensiva y participativa los avances conceptuales y metodológicos de los estudiantes en lo referente a la formulación, desarrollo y sustentación de los proyectos de aula que presentan cada trimestre, además del cumplimiento de los requerimientos específicos para cada uno de los núcleos que conforman el plan de estudios del proyecto. Los instrumentos que se utilicen para la evaluación en los diferentes espacios y momentos del desarrollo del proyecto curricular han de ser sensibles al proceso de cambio que viven sus actores, buscarán la expresión y la participación de los mismos más que la inhibición, en la idea de fomentar la modalidad de evaluación participativa como oportunidad para generar alternativas de construcción y autoevaluación, en el sentido de pensar, analizar y actuar. La aplicación de la evaluación formativa, se asocia en el proyecto con la evaluación continua a través de procedimientos formales e informales que permitirán la formulación de diagnósticos y el uso de la información que se obtenga permitirá ir ajustando para autorregular el proyecto curricular o apartes del mismo a los grupos y a los desarrollos de competencias propuestos.

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BIBLIOGRAFÍA GUTIERREZ, A. (ed) (1991). Área de Conocimiento: Didáctica de la Matemática. Colección Cultura y Aprendizaje. Editorial Síntesis NCTM (1991).

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EVENTOS XVI COLOQUIO DISTRITAL DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA El Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística, que llega este año a su versión XVI, es un evento anual organizado por las universidades Nacional de Colombia. Pedagógica Nacional y Distrital Francisco José de Caldas, con el ánimo de reunir a las comunidades de matemáticos, estadísticos y docentes en las diferentes actividades que se desarrollan dentro del certamen Son objetivos del evento: • Contribuir carla actualización y profundización de los conocimientos de todas aquellas personas cuyo quehacer guarde estrecha relación con la matemática o su enseñanza • Brindar a oportunidad de divulgar los trabajos de investigación que se han realizado e intercambiar los resultados en los campos investigativo, docente o de aplicaciones • Facilitar un espacio académico en donde todas las personas inquietas por la matemática o su enseñanza puedan discutir sobre sus temas de interés Este año el evento se realizará del 29 de noviembre al 3 de diciembre en las instalaciones de la Universidad Nacional, en donde se ofrecerán 30 cursillos en tres diferentes horarios para que cada asistente tenga la oportunidad de seleccionar 3 de acuerdo con sus inquietudes y preferencias. De cada uno de ellos es posible conseguir la publicación correspondiente. Se ofrece además una amplia gama de conferencias en diferentes tópicos de la matemática y su enseñanza, así como foros y seminarios en temas de interés general. Su participación en la elaboración de propuestas de cursillos, talleres, comunicaciones o conferencias que sean de interés para docentes de cualquier nivel educativo, investigadores o personas que de una u otra manera se sirvan de la matemática o la estadística, puede tramitarse por intermedio de alguno de los Departamentos de Matemática de las Universidades organizadoras. Igualmente las inscripciones para participar como asistente y las informaciones que se requieran sobre el evento pueden ser solicitadas en ellos. Universidad Pedagógica Nacional Departamento de Matemáticas. Oficina B-306. Tel: 3473562/67/70. Ext: 254 Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas y Estadística. Tel: 3165000. Ext: 13162 Universidad Distrital “Francisco José de Caldas” Departamento de Matemáticas. Tel: 2842373 X. ENCUENTRO DE GEOMETRÍA Y SUS APLICACIONES Digitalizado por RED ACADEMICA

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El Encuentro de Geometría y sus aplicaciones es un evento académico organizado por las Universidades Pedagógica Nacional, Distrital Francisco José de Caldas y el Grupo Vialtopo (Visión Algebraica de la Topología) de la Universidad Nacional de Colombia bajo la dirección del doctor Carlos Ruiz Salguero; se realiza de manera ininterrumpida en el mes de junio de cada año desde 1990 teniendo como sede la Universidad Pedagógica Nacional, en 1999 se llevará a cabo entre el 15 y el 17 de junio. Los objetivos del evento son: • Contribuir con la difusión de los avances logrados en investigaciones en curso en Geometría, Topología, su enseñanza y sus aplicaciones y de los problemas que han llevado a plantearlas. • Contribuir a la actualización de docentes de primaria, secundaria y de educación superior en las áreas que trata el evento. • Propiciar el encuentro de matemáticas y usuarios de la matemática, que favorezca el intercambio de ideas y experiencias. El Encuentro de Geometría y sus aplicaciones cuenta con la participación de profesores de reconocida trayectoria académica e investigativa de varias universidades del país y grupos de investigación en las diferentes áreas de Matemáticas y la Educación Matemática. En cada versión del evento se dictan alrededor de 30 conferencias donde se exponen resultados de investigación en Geometría, Topología, su pedagogía y sus aplicaciones y8 cursillos de divulgación y actualización. Se han editado las memorias de los nueve eventos anteriores, con la colaboración de las oficinas de Publicaciones de las Universidades Distrital y Pedagógica. En cada encuentro hay un tema central en el cual se enfatiza, ejemplos de ellos son: El arte y la Geometría, las aplicaciones de la Geometría y la Topología en Física, la Geometría de las culturas precolombinas, relaciones entre el Álgebra y la Geometría, Lógica y Geometría, etc. En la versión de 1999 haremos énfasis en los Fundamentos de la Geometría como una celebración a los 100 años de la aparición del libro Grundlagen der Geometrie de David Hilbert. Los costos para las personas que deseen inscribirse son: estudiantes $ 30.000, profesores $ 45.000. Mayor información: Departamento de Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, Calle 73 No. 11-93, Teléfonos: 3473548, 3471190. Ext. 254, Fax: 2173321 o con el Departamento de Matemáticas de la Universidad Distrital, Teléfono: 2869666 Ext. 216-218. Coordinador Carlos Julio Luque Arias Profesor Departamento de Matemáticas Universidad Pedagógica Nacional

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