UNIVERSIDAD DE LA HABANA. FACULTAD DE F´ISICA.

arXiv:0810.1071v2 [astro-ph] 15 Oct 2008

ICIMAF.

Din´ amica de una fuente magnetizada de neutrones autogravitante. TESIS DE DIPLOMA

Autor: Daryel Manreza Paret. Tutores: Dra. Aurora P´erez Mart´ınez, ICIMAF, Cuba. MSc. Alain Ulacia Rey, ICIMAF, Cuba.

Ciudad de La Habana 2008

para mi abuela y mi mam´ a

Agradecimientos

Llegar al final ha implicado la suma de las colaboraciones de muchos en sus respectivas trincheras, sin los cuales el producto no hubiese sido tan preciado. Primeramente mi mam´a, que me compromete con su amor y su tenacidad a hacer las cosas con entrega y esmero, adem´as de estar ah´ı siempre, al alcance de mis manos. A mi abuela, mis t´ıas, mis hermanos y mis primos, esa gran familia que hace todo posible, me animan y depositan en m´ı su confianza, a la que hago ahora gala. A mi pap´a, por tanta ayuda, y porque a pesar de la distancia, se que se siente muy orgulloso por cada logro. A Karel y Yuliet, los amigos de siempre. A Aurorita, por guiarme en los estudios e iniciarme en la comprensi´on de la f´ısica de los objetos compactos, por compartir conmigo durante estos a˜ nos y constituir un ejemplo como investigadora y como persona. A Alain, que con sus ense˜ nanzas sobre gravitaci´on me motiva a investigar esta materia, y quien despierta curiosidades merece m´as que estas gracias. A Alejandro Cabo, Zochil, Augusto, Elizabeth, Alain Delgado, Nana y Eru. A mi novia Anabel, depositaria tambi´en de mi tiempo, quien lo diversifica y me devolvi´ o al trabajo con ideas frescas. A su familia, que es ya m´ıa. A los profesores de la Facultad de F´ısica, de quienes hemos aprendido el rigor cient´ıfico y la ´etica profesional. A los amigos de la carrera, con quienes he compartido cinco a˜ nos entre estudios y diversiones. A todos los que me han ayudado y me han apoyado en la carrera y en mi vida. Finalmente gracias...por todo.

Resumen La din´amica de un gas autogravitante de neutrones en presencia de un campo magn´etico, es estudiada tomando como ecuaci´on de estado del gas de neutrones la obtenida en un estudio previo [2]. Se trabaja con un espacio Bianchi I caracterizado por una m´etrica tipo Kasner que permite tomar en cuenta la anisotrop´ıa que introduce el campo magn´etico. El sistema de ecuaciones de campo de Einstein Maxwell para este gas se convierte en un sistema de ecuaciones din´amicas en un espacio de fase en 4D. Se obtienen soluciones num´ericas de dicho sistema. En particular se encuentra una soluci´on singular tipo punto para diferentes condiciones iniciales. F´ısicamente esta soluci´on singular podr´a asociarse al colapso de un volumen local de materia neutr´onica en el interior de una Estrella de Neutrones.

Abstract The dynamics of a self-gravitating neutron gas in presence of a magnetic field is being studied taking the equation of state of a magnetized neutron gas obtained in a previous study [2]. We work in a Bianchi I spacetime characterized by a Kasner metric, this metric allow us to take into account the anisotropy that introduces the magnetic field. The set of Einstein-Maxwell field equations for this gas becomes a dynamical system in a 4-dimensional phase space. We get numerical solutions of the system. In particular there is a unique point like solution for different initial conditions. Physically this singular solution may be associated with the collapse of a local volume of neutron material within a neutron star.

Contenido 0.1

Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Estrellas de Neutrones. 1.1 Caracter´ısticas generales. . . . 1.2 Formaci´on y evoluci´on. . . . . 1.3 Campos magn´eticos intensos. 1.4 Evidencia observacional. . . .

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1 4 4 6 8 9

2 Gas de neutrones. 10 2.1 Ecuaci´on de Dirac para part´ıculas neutras con momento magn´etico an´omalo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Ecuaciones de estado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Relatividad General, m´ etrica Kasner. 14 3.1 Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Variables din´amicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Ecuaciones din´ amicas. 4.1 Variables adimensionales. . . . . . . . . . 4.2 Soluciones num´ericas y discusi´on f´ısica . 4.2.1 Comportamiento de las funciones. 4.2.2 Espacio de fase. . . . . . . . . . . 4.3 Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Direcciones del trabajo futuro. . . A Significado del tiempo adimensional (τ ). i

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19 19 20 20 24 25 26 27

0.1

Introducci´ on

Entre los objetos que habitan en el universo uno de los m´as interesantes y que poseen mayor riqueza de fen´omenos f´ısicos son las Estrellas de Neutrones (ENs). El estudio de este tipo de objetos presenta una gran variedad de atractivos para los f´ısicos, tanto te´oricos como experimentales. En las ENs concurren una amplia gama de condiciones f´ısicas extremas como son: altas densidades, elevados campos magn´eticos y el hecho de ser una de las cinco configuraciones estelares (Enanas Blancas, Estrellas de Neutrones, Huecos Negros, Estrellas Supermasivas y grupos de estrellas relativistas) en las cuales es preciso tener en cuenta los efectos de la Relatividad General (RG) [1]. Su complejidad hace que adem´as de la Gravitaci´on haya que tener en cuenta las otras tres interacciones fundamentales (fuerte, d´ebil y electromagn´etica). En el a˜ no 1934 se predijo por primera vez, bas´andose en c´alculos te´oricos, la existencia de una ENs y a partir de esa fecha se estudiaron muchos modelos para describirlas, pero no es hasta el a˜ no 1967 en que se verifica observacionalmente por azar la existencia de un objeto con las caracter´ısticas de una ENs. Las ENs no se hab´ıan observado antes debido a que no emiten en el visible, por lo cual fue necesario que pasaran m´as de 30 a˜ nos y que la tecnolog´ıa permitiera la construcci´on de radiotelescopios capaces de detectar las primeras ENs. El descubrimiento de la primera ENs provoc´o un aumento en el n´ umero de trabajos te´oricos encaminados a describir los procesos f´ısicos que ocurren en el interior de estos objetos. Desde hace veinte a˜ nos los estudios de las Estrellas de Neutrones se nutren de cuantiosas observaciones que se obtienen gracias a observatorios que detectan emisiones de rayos X y radiaci´on gamma colocados en sat´elites. Entre los observatorios m´as conocidos est´an el Telescopio Espacial Hubble, el Observatorio de Rayos X Chandra y el Observatorio de Rayos Gamma Compton. Actualmente las principales interrogantes concernientes a la f´ısica de las ENs son: • Determinaci´on de cotas para la masa y el radio. Determinados por ecuaciones de estado mas realistas. • Estructura interna de las Estrellas de Neutrones y sus consecuencias observacionales: estudio de los Sideramotos o disminuci´on del per´ıodo 1

de rotaci´on que pudiera deberse al choque entre la corteza y l´ıquido superfluido. • Origen, evoluci´on y cotas de los campos magn´eticos que ellas soportan. • Determinaci´on de las propiedades de la materia en reg´ımenes cr´ıticos, alta densidad por encima de la densidad nuclear. • Existencia de ondas gravitacionales como consecuencia de los marcados efectos relativistas que traen consigo las ENs. Al tratar de dar respuesta a estas preguntas se tropiezan con muchas dificultades por lo que es preciso hacer modelos que describan de forma aproximada los procesos que ocurren en el interior de las ENs. Muchos de estos modelos se basan en tomar en cuenta diferentes ecuaciones de estado y luego comparar los resultados con los que se obtienen por medio de las observaciones. Como los campos magn´eticos en las ENs son elevados resulta razonable estudiar las ecuaciones de estado del gas de neutrones magnetizado. En [2] se ha estudiado el gas de neutrones relativista en presencia de campo magn´etico interactuando con ´el a trav´es del momento magn´etico an´omalo. Uno de los resultados obtenidos en este estudio es que las presiones presentan anisotrop´ıas y el gas colapsa en la direcci´on del campo. Debido a que los sistemas con anisotrop´ıas, como el descrito en [2] en general no son estables en el universo un objeto de este tipo deber´ıa colapsar o realizar una transici´on a un estado estable. Incluir la gravedad nos permite obtener informaci´on sobre el papel que ella juega cuando aparecen estos tipo de anisotrop´ıas en las presiones. Esta ser´ıa la principal motivaci´on de este trabajo y nos llevar´ıa a responder las siguientes preguntas: • ¿La Gravedad frenar´a o estimular´a el colapso? • ¿Podr´a este sistema evolucionar a una configuraci´on estable? Con el objetivo de responder estas interrogantes, estudiaremos en esta tesis, el gas de neutrones magnetizado autogravitante. Utilizaremos una m´etrica no estacionaria para obtener la evoluci´on en el tiempo del sistema. Por supuesto la formulaci´on de un modelo de una estrella neutr´onica en presencia de campo magn´etico requiere del uso de una m´etrica mucho m´as 2

complicada, que se traduce en un problema n´ umerico m´as engorroso. Nuestro modelo aunque simplificado puede dar informaci´on cualitativa muy interesante sobre los procesos din´amicos que le ocurren a un volumen local en el interior de una ENs y constituye un primer paso en el estudio de un sistema tan complejo. En un trabajo anterior [3] fue estudiado el gas de electrones magnetizado utilizando igualmente un espacio-tiempo Bianchi I y una m´etrica Kasner. Este trabajo pretende entonces hacer un estudio similar para el gas de neutrones. La tesis tendr´a 2 cap´ıtulos introductorios que consideramos b´asicos para entender la problem´atica que nos ocupa. los cap´ıtulos 3 y 4 se dedicaran a la parte original de la tesis. El contenido est´a distribuido de la siguiente forma: Cap´ıtulo 1 se describen las caracter´ısticas generales de las ENs as´ı como su formaci´on y evoluci´on, adem´as se discute el rol de los campos magn´eticos en estos sistemas y se discuten algunas evidencias observacionales que existen actualmente sobre las ENs. Cap´ıtulo 2 se obtienen las ecuaciones de estado de un gas degenerado de neutrones en presencia de un campo magn´etico interactuando con ´el a trav´es del momento magn´etico an´omalo de los neutrones. Cap´ıtulo 3 se utiliza la RG, introduciendo variables din´amicas para obtener un sistema de ecuaciones diferenciales que describen la evoluci´on de un volumen local de una ENs. Cap´ıtulo 4 se estudian las soluciones del sistema de ecuaciones en funci´on de diferentes condiciones iniciales as´ı como las trayectorias en el espacio de fase. Posteriormente se exponen las conclusiones.

3

Cap´ıtulo 1 Estrellas de Neutrones. 1.1

Caracter´ısticas generales.

El f´ısico sovi´etico L. D. Landau fue el primero en sugerir que cuando la densidad de la materia es muy grande, los electrones se ven obligados a fusionarse con los protones. Landau predijo que se llegar´ıa a una nueva configuraci´on de equilibrio, en la que la densidad de la materia es tan alta que los n´ ucleos at´omicos en contacto forman un gigantesco n´ ucleo. En el a˜ no 1932 el neutr´on fue descubierto por Sir James Chadwick lo cual aclar´o el problema de la evoluci´on estelar a altas densidades. La existencia de un objeto estelar compuesto fundamentalmente por neutrones fue propuesto de forma te´orica por primera vez en 1934 por Walter Baade y Fritz Zwicky [4] en un art´ıculo sobre la naturaleza de las supernovas, sugiriendo que las ENs se formaban en este tipo de explosiones. Son de se˜ nalar los trabajos de Oppenheimer y Volkoff realizados en 1939 [5], en los cuales estudian las posibles configuraciones de equilibrio de una ENs utilizando un modelo de estrella en el cual la presi´on del gas degenerado de neutrones compensa la presi´on gravitacional como mismo ocurre con el gas de electrones en las Enanas Blancas (EBs). Actualmente se consideran como Estrellas de Neutrones (ENs) [6] a las estrellas con masas del orden de 1.5 veces la masa del sol (M = 1, 5 M⊙ ), radios de alrededor de 12 km (R ∼ 12 km) y densidades comparables con las del n´ ucleo at´omico (ρ ∼ 1014 g/cm3 ). La temperatura superficial de una estrella de neutrones se encuentra entre 3 × 105 K y 106 K y la temperatura central es del orden de 108 K. La energ´ıa de Fermi (µF ) la podemos estimar 4

conociendo que: Nmn N ρ ρ= ⇒ = =n∼ V V mn

(

6.022 × 1036 m−3 , para ρsup ∼ 1010 kg/m3 , 4, 21 × 1044 m−3 , para ρcent ∼ 7 × 1017 kg/m3 ,

donde ρ es la densidad, N es el n´ umero de part´ıculas, mn es la masa del neutr´on y V es el volumen. La energ´ıa de Fermi es [7]: ( 1.06 × 10−16 J, en la superficie, N ~2 (3π 2 )(2/3) ∼ µF = 2mn V 1, 80 × 10−11 J, en el centro, y la temperatura de Fermi (TF = TF ∼

(

µF ) queda: kB

7.69 × 106 K, en la superficie, 1, 30 × 1012 K, en el centro.

Para que un gas fermi´onico se pueda considerar degenerado tiene que cumplirse T ≪ 1, como vemos en la ENs esto se cumple para regiones la condici´on TF T ∼ 10−4 . cercanas al centro donde TF Aunque la mayor parte de la estrella est´a formada por neutrones, existen adem´as protones y suficientes electrones para garantizar la neutralidad de la estrella. Producto de las altas densidades tambi´en se pueden encontrar toda una amplia gama de part´ıculas en su interior. La estructura interna de una ENs consta de una serie de capas de diferentes composiciones, la misma se divide en 5 partes fundamentalmente [6]. Una representaci´on esquem´atica se muestra en la figura (1.1). La atm´osfera y la envoltura contienen una cantidad despreciable de masa, pero la atm´osfera juega un papel importante en la forma del espectro de los fotones que salen de la estrella, y la envoltura tiene una influencia crucial en la liberaci´on y el transporte de la energ´ıa t´ermica de la superficie de la estrella. La corteza se extiende entre 1 a 2 km por debajo de la superficie y est´a formada fundamentalmente por n´ ucleos at´omicos. El n´ ucleo de la estrella contiene el 99% de la masa de la estrella. El n´ ucleo exterior consiste en una combinaci´on de nucleones, electrones y muones. En el n´ ucleo interior pueden existir part´ıculas ex´oticas, se piensa que incluso puede ser posible la transici´on a una fase mixta de materia hadr´onica y quarks libres. 5

Figura 1.1: Regiones fundamentales en las que se divide una ENs y posible composici´ on.

1.2

Formaci´ on y evoluci´ on.

Cuando las estrellas llegan al final de su vida, producto del agotamiento del combustible que mantiene las reacciones termonucleares necesarias para garantizar el equilibrio, evolucionan hacia un estado final dependiendo de su masa. Algunas explotan dispers´andose en el medio estelar, otras se contraen formando enanas blancas, ENs o agujeros negros. 6

Las estrellas de neutrones surgen producto del colapso gravitatorio del n´ ucleo de una estrella masiva (> 8 M⊙ ). Al final de su vida una estrella masiva expulsa la mayor parte de su masa en una explosi´on conocida como supernova tipo II, es precisamente en esta explosi´on donde surgen las ENs. En una estrella ocurren reacciones de fusi´on en las cuales el hidr´ogeno se transforma en helio, este por ser m´as pesado se va acumulando en el n´ ucleo, 8 cuando ´este alcanza una temperatura de 10 K los 3 procesos alfa comienzan, form´andose 12 6 C mediante las reacciones: 4 2 He

+42 He → 84 Be +42 He →

12 6 C

+ γ + 7.367MeV.

Reacciones como estas se repiten form´andose elementos m´as pesados (20 O, 28 Si). Mientras m´as pesados sean los elementos producidos en cada reacci´on menor es la energ´ıa que se libera, las reacciones contin´ uan hasta que se forma 56 Fe que es el n´ ucleo con menor energ´ıa por nucle´on. La energ´ıa no puede continuar produci´endose por la fusi´on y el n´ ucleo de la estrella formado por hierro crece. Este aumento contin´ ua hasta sobrepasar el valor de 1, 4 M⊙ (l´ımite de Chandrasekhar), en este punto el n´ ucleo comienza a colapsar, pues la presi´on del gas degenerado de electrones no es suficiente para contrarrestar la fuerza gravitatoria y las capas superficiales son expulsadas hacia afuera, esta explosi´on es la supernova. En el n´ ucleo de la estrella, protones y electrones son comprimidos form´andose neutrones (n) y neutrinos (νe ). Producto del colapso la densidad aumenta y los n´ ucleos at´omicos se vuelven m´as ricos en neutrones, los cuales comienzan a escapar de los n´ ucleos. Para densidades superiores (ρ ∼ 1013 g/cm3 ) los n´ ucleos remanentes se desintegran quedando la materia compuesta,en su mayor parte, por neutrones. Los neutrones libres son inestables con un tiempo de vida media cercano a los 15 minutos decayendo a trav´es de la reacci´on β − : n → p + e− + νe− . En la materia a altas densidades el decaimiento β − no ocurre gracias al Principio de Exclusi´on de Pauli [8]: Si todos los niveles energ´eticos bajos de los electrones y protones est´an ocupados, solo los neutrones suficientemente energ´eticos podr´an decaer. Por otro lado, los protones y electrones energ´eticos podr´an combinarse mediante la reacci´on β + : e− + p → n + νe . Entre los procesos β + y β − habr´a un equilibrio si los potenciales qu´ımicos de los neutrones, electrones y protones cumplen la relaci´on: µn = µe + µp . El destino final del n´ ucleo de la estrella est´a determinado por su masa. Si esta se mantiene por debajo 7

de 3 M⊙ se habr´a formado una ENs, si es superior el n´ ucleo continuar´a su colapso form´andose as´ı un agujero negro.

1.3

Campos magn´ eticos intensos.

Las ENs son uno de los objetos astrof´ısicos a los cuales se les atribuyen los mayores valores de campos magn´eticos que existen en la naturaleza. Estos superan por muchos ´ordenes de magnitud a los campos que son familiares para los seres humanos. Por ejemplo, el campo terrestre es 0, 6 G en los polos, el campo permanente m´as intenso que se ha obtenido en el laboratorio es de 105 G mientras que el campo de una ENs puede llegar hasta 1018 G. Existen varias hip´otesis para explicar la formaci´on de los campos magn´eticos en las ENs. El modo m´as simple de explicar su surgimiento es producto de la compresi´on del flujo magn´etico durante el colapso del n´ ucleo de la estrella progenitora:  R 2 0 BEN s = B0 ∼ (1011 − 1013 ) G, RENs

donde BEN s es el campo de la ENs, B0 es el campo del n´ ucleo de la estrella 5 6 progenitora, R0 = (10 − 10 ) km son los valores entre los que se encuentran los radios del n´ ucleo de la estrella progenitora y RENs = 10 km es el radio t´ıpico de una ENs. Con este mecanismo se explican los campos magn´eticos de los radiopulsares, sin embargo hay observaciones que arrojan valores mayores en los campos (∼ 1015 G) asociados a objetos llamados Magnetars. Para explicar el surgimiento de tan elevados campos se han propuesto mecanismos m´as complejos, como son los procesos tipo dinamo que consisten b´asicamente en la generaci´on de corrientes internas producto de la rotaci´on. La explicaci´on y determinaci´on del origen, valor y evoluci´on de los campos magn´eticos es un problema abierto para los astrof´ısicos y f´ısicos de part´ıculas. La cota m´axima de los campos magn´eticos la podemos estimar exigiendo que la energ´ıa magn´etica sea menor que la energ´ıa gravitatoria: GN M2 B2 4πR3 < 8π 3 R

⇒ B ∼ 1018 G.

Estos campos magn´eticos se encuentran en ENs j´ovenes pues a medida que la estrella envejece pierde energ´ıa rotacional y los campos magn´eticos disminuyen hasta valores de 109 G. 8

1.4

Evidencia observacional.

En 1967 se confirma observacionalmente la existencia de las ENs gracias a los esfuerzos de Joselyn Bell, estudiante de doctorado del profesor Antony Hewish de Cambridge, que descubre la primera fuente de radio (Pulsar), en el Radio Observatorio de dicha Universidad. Este primer pulsar lleva el nombre de CP 9119. Actualmente se conocen m´as de 1600 p´ ulsares, que no son m´as que ENs que emiten radiaci´on electromagn´etica de forma peri´odica. El per´ıodo m´ınimo de una ENs lo podemos estimar igualando la fuerza centr´ıfuga en el ecuador con la fuerza gravitacional: s G Mm R3 N mω 2 R = ⇒ T = 2π = 0, 5 ms. min R2 GN M Este valor tan bajo del per´ıodo es uno de los principales indicadores de que estamos en presencia de una ENs. Los per´ıodos de los p´ ulsares observados van desde 8, 51 s (PSR J2144-3933 [9]) hasta 716 Hz ⇒ 1.3 ms (PSR J17482446ad) [10] que es el pulsar m´as r´apido que se conoce. Recientemente ha sido descubierto una ENs con una frecuencia de 1122 ± 0.3 Hz, la misma fue observada en el transiente de rayos X XTE J1739-285 [11]. Objetos compactos que roten con per´ıodos menores que 0, 5 ms han hecho pensar en la posibilidad de la existencia de estrellas de quarks (EQs). Las masas observadas para las ENs se encuentran entre 1 M⊙ −2, 1 M⊙ [12] con un valor promedio de 1.35 M⊙ , as´ı tenemos al pulsar PSR J0751+1807 con una masa de 2, 1 ± 0, 2 M⊙ , el caso mas t´ıpico se puede encontrar en el pulsar binario PSR 1913+16 [12] en el cual las masas son (1.3867 ± 0.0002) M⊙ y (1.4414 ± 0.0002) M⊙ respectivamente. La masa m´as peque˜ na es la del pulsar J1756-2251 [13] con un valor de (1.18 ± 0.02) M⊙ . Las mediciones de los radios de las ENs son muy imprecisas (9 − 15 km) pues no se conoce exactamente la composici´on qu´ımica de la atm´osfera ni la distancia exacta de las estrellas.

9

Cap´ıtulo 2 Gas de neutrones. 2.1

Ecuaci´ on de Dirac para part´ıculas neutras con momento magn´ etico an´ omalo.

El gas de neutrones en presencia de un campo magn´etico ha sido estudiado en [2], [14]. En esta secci´on nos limitaremos a exponer los resultados fundamentales que nos ser´an u ´ tiles en la tesis. Trabajaremos en el Ensemble Gran Can´onico, considerando un subsistema (en el contexto Astrof´ısico pudiera ser un elemento de volumen dentro de la estrella), el cual se encuentra bajo la influencia del campo magn´etico ~ Producto de la presencia de este campo creado por el resto del sistema H. el subsistema se polariza, cre´andose una magnetizaci´on en el medio (gas de ~ = B~ − 4π M. ~ El campo H ~ es externo neutrones) que satisface la relaci´on H al subsistema mientras que B~ es externo a cualquier part´ıcula que se escoja ~ la contribuci´on 4π M ~ dentro del subsistema, pues esta siente en adici´on a H, del resto de las part´ıculas del subsistema. Para encontrar las ecuaciones de estado del gas de neutrones es necesario calcular los autovalores de la energ´ıa de las part´ıculas que conforman el sistema. Para esto se resuelve la ecuaci´on de Dirac para part´ıculas neutras con momento magn´etico an´omalo: (γµ ∂µ + m + iqσµλ Fµλ )ψ = 0,

(2.1)

donde σµλ = 21 (γµ γλ − γλ γµ ) es el tensor de spin y Fλµ es el tensor del campo electromagn´etico. 10

En la ecuaci´on (2.1) se ha tomado el convenio ~ = c = 1, en este sistema de unidades [L] = [T] = [M−1 ]. A lo largo de la tesis emplearemos este convenio en el manejo de las ecuaciones por lo que en ninguna de estas aparecer´an factores que contengan a ~ o a c. No haremos uso del convenio cuando estemos estimando ordenes de magnitudes, expresando estas en el SI o en el CGS lo cual ser´a evidente por sus unidades. De la soluci´on de la ecuaci´on (2.1) se obtienen los siguientes autovalores de la energ´ıa [14], [15]: En (p, B, η) =

r

p23

q + ( p2⊥ + m2n + ηqB)2 ,

(2.2)

donde p3 , p⊥ son respectivamente las componentes del momentum en las direcciones paralela y perpendicular al campo magn´etico (B), mn es la masa del neutron, q = −1.91µN es el momento magn´etico del neutron (µN = e/2mp es el magneton nuclear), η = ±1 son los autovalores de σ3 correspondientes a las dos orientaciones del momento magn´etico con respecto al campo magn´etico. No hemos tenido en cuenta las correcciones radiativas por lo cual consideraremos que el momento magn´etico se mantiene constante para campos elevados. El gran potencial termodin´amico toma la forma Ω = −kT ln Z,

(2.3)

donde k es la constante de Boltzman, T es la temperatura, Z = T r(ˆ ρ) es la ˆ ˆ )/kT ˆ −(H−µ N funci´on de partici´on del sistema y ρ = e , H es el Hamiltoniano, µ ˆ el potencial qu´ımico y N el operador n´ umero de part´ıculas.

2.2

Ecuaciones de estado.

La forma del tensor energ´ıa-momentum de la materia en un campo magn´etico externo constante es [16]: T ik = (T

∂Ω X ∂Ω i 4 ∂Ω )δ 4 δ k + 4F il Flk 2 − δ ik Ω, + µr ∂T ∂µr ∂F

(2.4)

Este tensor en el caso de limite de campo cero reproduce el tensor T ik = P δ ik − (P + U)δ i4 δ 4k de un fluido ideal. 11

Las componentes de este tensor son: T 33 = P3 = −Ω, T 11 = T 22 = −Ω − BM, T 44 = −U = −T S − µN − Ω,

(2.5a) (2.5b) (2.5c)

donde S es la entrop´ıa, N = −∂Ω/∂µ es la densidad de part´ıculas, M = −∂Ω/∂B es la magnetizaci´on, U es la densidad de energ´ıa y P3 es la presi´on en la direcci´on del campo. La expresi´on para el potencial termodin´amico consta de dos t´erminos: Ω = Ωsn + ΩV n , el primero es la contribuci´on estad´ıstica y el segundo la del vac´ıo [2], expl´ıcitamente tenemos: Z ∞ 1 X Ωsn = − 2 p⊥ dp⊥ dp3 ln[f + (µn , ξ)f − (µn , ξ)], (2.6) 4π ξ η=1,−1 0 donde ξ = 1/kB T , f ± (µn , ξ) = (1 + e(En ∓µn )ξ ) representan las contribuciones de las part´ıculas y de las antipart´ıculas. La expresi´on para el t´ermino de vac´ıo esta dada por la expresi´on: Z ∞ 1 X ΩV n = 2 p⊥ dp⊥ dp3 En , (2.7) 4π ξ η=1,−1 0 que es divergente pero se puede regularizar obteni´endose que para B < 1018 G no es importante su contribuci´on [2], por lo que no se tendr´a en cuenta en nuestro estudio. La expresi´on (2.6) se puede integrar f´acilmente en nuestro caso (T = 0) obteni´endose:  X  µfη3 (1 + ηβ)(5ηβ − 3)µfη (1 + ηβ)3 (3 − ηβ) ηβµ3 Ωsn = −λ + + Lη − sη , 12 24 24 6 η=1,−1 (2.8)

donde hemos introducido las notaciones: fη =

p

µ2

− (1 +

ηβ)2 ,

  µn 1 + ηβ π , µ= sη = − arcsin 2 µ mn 12



 µ + fη B Lη = ln , β= , 1 + ηβ Bc siendo Bc = mn /q ≃ 1.56 × 1020 G el campo cr´ıtico y λ =

m4n = 4.11 × 4π 2 ~3 c3

1036 erg cm−3 . A partir del Potencial Termodin´amico Ω podemos obtener todas las cantidades termodin´amicas del sistema. En particular la densidad de neutrones y la magnetizaci´on, de esta forma obtenemos que N = N0 ΓN y M = M0 ΓM donde N0 = λ/mn , M0 = N0 q y los coeficientes ΓN , ΓM vienen dados por: X  fη3 ηβ(1 + ηβ)fη ηβµ2  ΓN = + − sη , 3 2 2 η=1,−1  X  (1 − 2ηβ)µfη (1 + ηβ)2(1 − ηβ/2) µ3 ΓM = − η − Lη + sη . 6 3 6 η=1,−1 Teniendo en cuenta lo anterior, (2.5) y (2.8) podemos escribir las ecuaciones de estado para un gas relativista degenerado de neutrones en un campo magn´etico externo en la forma: U = µn N + Ω = λΓU (β, µ), p = −Ω = λΓP (β, µ), M = BM = λβΓM (β, µ),

(2.10a) (2.10b) (2.10c)

donde ΓP

 X  µfη3 (1 + ηβ)(5ηβ − 3)µfη (1 + ηβ)3 (3 − ηβ) ηβµ3 + + Lη − sη , = 12 24 24 6 η=1,−1

ΓU = µΓN − ΓP .

13

Cap´ıtulo 3 Relatividad General, m´ etrica Kasner. 3.1

Relatividad General

Debido a las altas densidades que se dan en las Estrellas de Neutrones los efectos de la Relatividad General son muy marcados por lo que se hace imprescindible introducir las ecuaciones de Einstein para la descripci´on de este tipo de sistema. Una prueba de la acci´on del campo gravitatorio en este sistema la podemos obtener f´acilmente estimando la velocidad de escape para una ENs t´ıpica (M = M⊙ , R = 10 km):  2G M 1/2 N ∼ 0.5 c, vesc = R

donde c es la velocidad de la luz y GN es la constante gravitacional. Si la comparamos con la de la tierra (11.2 km s−1 ) e incluso con la del sol (617.5 km s−1 ) o la de una EB (∼ 0.02 c) podemos ver que la velocidad de escape de una ENs es mucho mayor. Asumiremos que nuestro sistema queda descrito por las ecuaciones de Einstein las cuales vinculan el contenido de energ´ıa-materia del sistema con la geometr´ıa del espacio-tiempo [1]: Gµ ν = κT µν ,

8πGN , GN = 6.67 × c4 es el tensor de Einstein el cual viene

donde κ = 8πGN en el SI κ tiene la expresi´on κ = 10−11 m3 kg−1 s−2 , Gµν = Rµν − 12 Rgµν

(3.1)

14

determinado por el tensor de Ricci Rµν y por el escalar de Ricci R = Rµ µ , estos u ´ ltimos dependen de segundas derivadas de la m´etrica. Rµν = Γαµν,α − Γαµα,ν + Γαµν Γβαβ − Γβµα Γανβ ,

(3.2)

las cantidades Γαµν son los ´ındices de Christoffel, que dependen de primeras derivadas de la m´etrica por la f´ormula, Γαµν

g αβ = (gβµ,ν + gνβ,µ − gµν,β ). 2

(3.3)

T µν es el tensor energ´ıa impulso (2.4) que en nuestro caso lo podemos escribir como: 2BM , (3.4) T µν = (U + P )uµuν + P δ µν + Πµν , P = p − 3 en el cual Πµν = diag[Π, Π, −2Π, 0],

Π=−

BM , 3

Πµµ = 0.

(3.5)

Para hallar la forma del tensor de Einstein debemos tomar una m´etrica apropiada, como ya dijimos es conveniente en el caso que nos ocupa elegir una m´etrica tipo Kasner pues esta es compatible con la anisotrop´ıa del gas de neutrones magnetizado: ds2 = A(t)2 dx2 + B(t)2 dy 2 + C(t)2 dz 2 − dt2 ,

(3.6)

con la m´etrica (3.6) y el tensor (3.4) se obtiene que las componentes no nulas de la ecuaci´on (3.1) son: B˙ C˙ BC A˙ C˙ = AC A˙ B˙ = AB A˙ B˙ = AB

− Gxx = −Gyy −Gzz −Gtt

¨ C¨ B + = −κ(p − BM), B C A¨ C¨ + + = −κ(p − BM), A C ¨ A¨ B + + = −κp, A B A˙ C˙ B˙ C˙ + + = κU. AC BC +

(3.7a) (3.7b) (3.7c) (3.7d)

La notaci´on del punto significa derivada respecto el tiempo, por ejemplo dA ¨ d2 A A˙ = ,A= 2. dt dt 15

La ecuaci´on de Einstein implica la conservaci´on de la energ´ıa: T µν ;ν = 0.

(3.8)

El punto y coma denota la derivada covariante, por ejemplo: T µν;α =

∂T µν − Γγνα T µγ + Γµγα T γν . ∂xα

(3.9)

Tomando en cuenta la ecuaci´on (3.8) obtenemos: ˙ + U) C(p A˙ B˙ U˙ = − ( + )(−BM + p + U). C A B

(3.10)

Tomemos adem´as las ecuaciones de Maxwell: F µν ;ν = 0, F[µν;α] = 0,

(3.11)

as´ı obtenemos:

A˙ 1 B˙ B˙ + + = 0. (3.12) A B 2B Hemos obtenido las ecuaciones (3.7, 3.10, 3.12) en las que tenemos derivadas de primero y segundo orden de las funciones A, B, C y U. Para obtener un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden cuya integraci´on num´erica resulte mas sencilla introduciremos un conjunto de nuevas variables.

3.2

Variables din´ amicas.

Para la descripci´on din´amica de un elemento de volumen utilizaremos las variables que usualmente se usan en cosmol´ogica para caracterizar la evoluci´on del universo. As´ı tomaremos un sistema comovil en el cual la cuatrivelocidad es uα = δtα y cumple que uα uα = −1. Introduciremos las siguientes variables definidas a partir del vector uα hαβ = gαβ + uα uβ ,

(3.13)

hαβ se denomina tensor de proyecci´on si este se contrae con otro tensor, como resultado lo proyecta sobre un 3-espacio ortogonal a la 4-velocidad uα , cumpli´endose que hνα hβν = hβα ,

hαβ uβ = 0, 16

hαα = 3.

(3.14)

Tambi´en se puede descomponer la derivada covariante uα;β en las siguientes partes irreducibles, 1 uα;β = σαβ + ωαβ + Θhαβ − aα uβ , 3

(3.15)

donde σαβ es un tensor sim´etrico de traza nula, ωαβ un tensor antisim´etrico, y uα σαβ = uα ωαβ = 0, siendo, Θ = uα;α ,

(3.16a) β

aα = uα;β u , 1 1 (uα;µ hµβ + uβ;µ hµα ) − Θhαβ , σαβ = 2 3 1 µ µ (uα;µ h β − uβ;µ h α ). ωαβ = 2

(3.16b) (3.16c) (3.16d)

La cantidad Θ se llama escalar de expansi´on, la misma caracteriza la velocidad a la cual el elemento de volumen ortogonal a uµ se expande o contrae, aa es la 4-aceleraci´on del fluido. El tensor σab es el rango de deformaci´on, el cual describe la manera en la que el elemento de volumen ortogonal a la cuatrivelocidad (uµ ) cambia su forma, la magnitud de este tensor viene dada por: 1 σ 2 = σαβ σ αβ , (3.17) 2 y ωαβ es el tensor de vorticidad, el cual es una medida de la rotaci´on presente en la materia y es conveniente definirlo vectorialmente como: 1 ω α = η αβγδ uβ ωγδ , 2

(3.18)

aqu´ı η es el tensor totalmente antisim´etrico, adem´as se satisface que uα ωα = 0, y la magnitud de la vorticidad viene dada por, 1 ω 2 = ω α ωα = ω αβ ωαβ , 2

(3.19)

si la vorticidad es cero entonces se dice que el vector del campo uα es irrotacional. Esto es algunas veces conveniente para combinar la magnitud del rango de la deformaci´on con la expansi´on, quedando el tensor de expansi´on como, 1 Θαβ = σαβ + Θhαβ . (3.20) 3 17

En el caso de la m´etrica (3.6) y la 4-velocidad uα = δtα , la 4-aceleraci´on se anula, el escalar de expansi´on Θ y el tensor de deformaci´on σνµ toman la forma: A˙ B˙ C˙ Θ= + + , σνµ = diag[σxx , σyy , σzz , 0], (3.21) A B C donde B˙ C˙ 2A˙ σxx = − − , (3.22a) 3A 3B 3C 2B˙ A˙ C˙ σyy = − − , (3.22b) 3B 3A 3C 2C˙ A˙ B˙ σzz = − − . (3.22c) 3C 3A 3B Haremos el siguiente cambio de notaci´on para mayor comodidad en el tratamiento de las ecuaciones: σxx → Σ1 , σyy → Σ2 , σzz → Σ3 .

(3.23)

Haciendo uso de estas variables din´amicas y teniendo en cuenta las ecuaciones (3.10) y (3.12) obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 2 U˙ = −(U + p − BM)Θ − BMΣ3 , 3 κBM − ΘΣ2 , Σ˙2 = − 3 2 κBM − ΘΣ3 , Σ˙3 = 3 ˙ = κ(BM + 3 (U − p)) − Θ2 , Θ 2 2 β˙ = β(3Σ3 − 2Θ). 3 Adem´as de (3.7d) se obtiene que

(3.24a) (3.24b) (3.24c) (3.24d) (3.24e)

Θ2 − Σ23 = κU. (3.25) 3 Notemos que hemos obtenido un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden en las variables U, β, Θ, Σ2, Σ3 m´as la ligadura (3.25). La soluci´on de este sistema describe la evoluci´on din´amica de un volumen local de un gas de neutrones magnetizado que podr´ıa ser un volumen local en el interior de una ENs. − Σ22 − Σ2 Σ3 +

18

Cap´ıtulo 4 Ecuaciones din´ amicas. 4.1

Variables adimensionales.

En este cap´ıtulo estudiaremos la din´amica del gas de neutrones magnetizado que equivale al volumen local de una ENs. Nuestro inter´es fundamental es responder la pregunta inicial de si en el marco de la Relatividad General el colapso obtenido en [2] se mantiene. Para realizar la descripci´on din´amica del volumen local de la estrella de neutrones introduciremos un conjunto de variables adimensionales con las cuales obtendremos un sistema de ecuaciones m´as compacto y con un significado f´ısico mas claro, de esta manera introduzcamos las nuevas variables: H=

Θ d 1 d , = , 3 dτ H0 dt

(4.1)

y las nuevas funciones adimensionales: H=

Σ2 Σ3 B H , S2 = , S3 = , β= , H0 H0 H0 Bc

(4.2)

donde H0 es una constante que por conveniencia la escogeremos como 3H02 = κλ ⇒ |H0 | = 1.66 × 10−4 cm−1 , notemos que en cosmolog´ıa H0 = 0.59 × 10−28 cm−1 es la constante de Hubble cuyo inverso es una medida de la escala del universo (1/H0 = 1.69 × 1028 cm), en nuestro caso tenemos que 1/H0 ∼ 6 km, magnitud razonable para nuestro sistema. S2 y S3 est´an relacionados con la segunda y tercera componente del tensor σαβ . El nuevo tiempo adimensional (τ ) lo definimos a partir de la ecuaci´on (4.1), notemos 19

que este tiempo puede tomar valores r tanto positivos como negativos, depenκλ diendo su signo del de H0 = ± , para una mayor profundizaci´on en el 3 significado del signo del tiempo adimensional ver el A. Comprobar que las variables antes definidas no tienen dimensi´on es muy simple si recordamos que los coeficientes de la m´etrica (3.6) (A, B, C) son adimensionales, adem´as de (3.21) y (3.22) notamos que las variables Θ, Σ2 y Σ3 tienen unidades de inverso de longitud al igual que H0 . Si sustituimos las variables (4.2) en el sistema de ecuaciones (3.24) obtenemos:   1 (2H − S3 )(ΓM − 2ΓU,β )β − 3H(ΓP + ΓU ) , (4.3a) µ,τ = ΓU,µ S2,τ = −βΓM − 3S2 H, (4.3b) S3,τ = 2βΓM − 3S3 H, (4.3c) 3ΓP 1 3 1 H,τ = βΓM − − S2 S3 − H2 − (S22 + S32 ), (4.3d) 2 2 2 2 β,τ = 2β(S3 − 2H), (4.3e) la coma indica derivada respecto al tiempo adimensional (τ ), por ejemplo dS3 S3,τ = . Hemos cambiado la variable U por µ, por (2.10) sabemos que dτ U = U(β, µ) ⇒ U,τ = λ(ΓU,µ µ,τ + ΓU,β β,τ ) de donde podemos despejar µ,τ . Adem´as de (3.25) tiene que cumplirse que: − S22 − S32 − S2 S3 + 3H2 = 3ΓU .

(4.4)

El sistema de ecuaciones diferenciales (4.3) lo resolveremos num´ericamente empleando el programa Maple. Sus soluciones nos dar´an el comportamiento en el tiempo del elemento de volumen del gas magnetizado de neutrones. De (4.4) podemos despejar H obteniendo dos ra´ıces, de las cuales escogeremos la negativa que garantiza (ver 4.5) la condici´on de colapso.

4.2 4.2.1

Soluciones num´ ericas y discusi´ on f´ısica Comportamiento de las funciones.

Las soluciones que buscamos son las que nos dan el colapso del gas magnetizado de neutrones que podr´ıa implicar el colapso de un volumen de la 20

ENs. Para garantizar la condici´on de colapso basta con exigir en las ecuaciones(4.3) que la expansi´on inicial sea negativa (H(0) < 0) pues su signo es el que nos indica si el volumen esta colapsando o expendi´endose. De (4.2) y (3.21) se obtiene que el promedio del volumen local (V = ABC) lo podemos expresar como: Z τ

V = V (0) exp(3

Hdτ ).

(4.5)

τ0

Seg´ un el comportamiento de los coeficientes de la m´etrica podemos clasificar las singularidades como [17]: 1. tipo punto (A, B, C → 0), 2. tipo cigarro (dos de los coeficientes m´etricos tienden a cero y el tercero se va a infinito), 3. tipo barril (dos de los coeficientes m´etricos tienden a cero y el tercero tiende a un valor finito),

4. tipo pancake (uno de los coeficientes m´etricos tienden a cero y los otros dos tienden a un valor finito). Estas denominaciones se refieren al cambio de forma del elemento de volumen. Fueron introducidas por Thorne (1967) en estudios sobre modelos Bianchi I, pero pueden aplicarse a casos generales. Para investigar el tipo de colapso a partir del comportamiento de los coeficientes espaciales de la m´etrica observemos que estos y las variables din´amicas antes definidas (H + Si , i = 1, 2, 3) est´an relacionados a trav´es de las siguientes expresiones: R A(τ ) = A0 exp[ (S1 + H)dτ ], (4.6a) R B(τ ) = B0 exp[ (S2 + H)dτ ], (4.6b) R C(τ ) = C0 exp[ (S3 + H)dτ ], (4.6c) donde A0 , B0 , C0 son constantes, estas relaciones se obtienen de (3.21) y (3.22). Para la soluci´on del sistema (4.3) utilizaremos diferentes condiciones iniciales t´ıpicas para las ENs, por ejemplo: µ = 2 ⇒ ρ ∼ 1015 g/cm3 , β0 = 10−2 − 10−5 para campos de entre 1018 G y 1015 G. Impondremos siempre la condici´on de colapso del volumen H(0) < 0 y tomaremos S2 (0) = 0, ±1, 21

S3 (0) = 0, ±1 correspondientes a casos con deformaci´on inicial cero y deformaci´on inicial en la direcci´on de los ejes y o z. La soluci´on de H(figura 4.1) para distintas condiciones iniciales nos muestra que H → −∞ independientemente de las condiciones iniciales. El campo magn´etico tiende a aumentar manteni´endose por debajo del campo cr´ıtico. Su comportamiento para las condiciones iniciales estudiadas se puede apreciar en la figura 4.2.

Figura 4.1: Comportamiento de H vs τ para diferentes condiciones iniciales.

De las soluciones del sistema de ecuaciones (4.3) obtenemos los gr´aficos (4.3), (4.4) cuyo comportamiento nos da la forma en que colapsa el elemento de volumen. Podemos observar como los Si +H se van a −∞ por lo que los coeficientes espaciales de la m´etrica tienden a cero (A, B, C → 0) de donde podemos inferir que el volumen colapsa en una singularidad tipo punto. 22

Figura 4.2: El comportamiento del campo magn´etico (β = B/Bc) muestra una tendencia a incrementarse, manteni´endose el valor del campo por debajo del campo cr´ıtico.

Figura 4.3: Comportamiento de (S1 + H) y de (S2 + H) vs τ . Podemos observar la tendencia a −∞ adem´as de distintos tiempos de colapso para diferentes condiciones iniciales

23

Figura 4.4: Gr´afico de (S3 + H) vs τ . Igualmente so observa que (S3 + H) → −∞

4.2.2

Espacio de fase.

Si utilizamos la ecuaci´on (4.4) podemos reducir el sistema (4.3) a un sistema de ecuaciones en las variables S3 , β, µ, H quedando:   1 µ,τ = (2H − S3 )(ΓM − 2ΓU,β )β − 3H(ΓP + ΓU ) , (4.7a) ΓU,µ S3,τ = 2βΓM − 3S3 H, (4.7b) 3 H, τ = βΓM + (ΓU − ΓP ) − 3H2 , (4.7c) 2 β,τ = 2β(S3 − 2H), (4.7d) notemos que la u ´ nica ecuaci´on que ha cambiado es la de H. Las trayectorias en la secci´on (S3 , β, µ) del espacio de fase se muestran en la figura (4.5). La evoluci´op n del sistema queda determinada por el signo de H0 . Para τ < 0 ⇒ H0 = − κλ/3 el sistema evoluciona hacia el atractor p estable (punto marcado con la a), mientras que para τ > 0 ⇒ H0 = κλ/3 la evoluci´on es hacia una singularidad. Un estudio similar se realiz´o para las dem´as secciones del espacio de fase obteni´endose que las coordenadas del atractor son: (S3 = 0, β = 0, µ = 1, H = 0). 24

Figura 4.5: Trayectorias en la secci´on del espacio de fase (S3 , β, µ). Los puntos sin marca representan las condiciones iniciales, el punto “a” representa el atractor .

4.3

Conclusiones.

Hemos estudiado la evoluci´on de un volumen local de un gas magnetizado de neutrones bajo condiciones que pueden ser las que existan en el interior de 25

una ENs. Para aproximarnos a la soluci´on de este problema hemos utilizado las ecuaciones de estado de dicho gas y las ecuaciones de Einstein-Maxwell junto a la ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa, obteniendo de esta forma un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales. El sistema obtenido lo hemos puesto en funci´on de nuevas variables que permiten reducir el orden de las derivadas a la vez que dan una mejor interpretaci´on de los resultados. Para la soluci´on del sistema de ecuaciones diferenciales hemos introducido nuevas variables adimensionales, realizando los c´alculos num´ericos con el programa Maple. Los principales resultados obtenidos son: 1. La din´amica del volumen magnetizado de neutrones presenta una soluci´on singular que equivale a un colapso de la materia. Este resultado se obtiene para todas las condiciones iniciales estudiadas. Con ello respondemos la pregunta de que si los efectos de la RG al ser tomados en cuenta favorecer´ıan o no el colapso magn´etico descrito en [2]. Como podemos ver la gravitaci´on hace que el colapso se manifieste y ocurra en forma de punto. 2. A diferencia del estudio din´amico realizado para el gas de electrones magnetizado [3] el tipo de singularidad que aparece en este caso es de tipo punto y no cigarro. Este resultado sugiere que los efectos de la gravedad para un gas de neutrones magnetizado son m´as marcados que para el gas de electrones, cambiando la forma de la singularidad. 3. El espacio de fase muestra que el sistema evoluciona, para H0 < 0, a un punto de equilibrio, es decir una configuraci´on estable. 4. El campo magn´etico tiende a aumentar, manteniendo valores por debajo de campo cr´ıtico.

4.3.1

Direcciones del trabajo futuro.

Resultar´ıa interesante estudiar un volume de gas de neutrones, electrones y protones que obedezcan el equilibrio β y la neutralidad de carga, lo que describir´ıa de manera mas realista las condiciones en el interior de una ENs. Otros espacio-tiempo como Bianchi V, VII ´o IX permitir´ıan tomar en cuenta m´as grados de libertad, acerc´andose m´as a la descripci´on de lo que le ocurre a un volumen local de una ENs. 26

Anexo A Significado del tiempo adimensional (τ ). El tiempo adimensional (τ ) se define a partir de la ecuaci´on (4.1): d 1 d = dτ H0 dt

⇒ τ = H0 t,

(A.1)

en la cual podemos notar que el signo de τ depende del signo de t y del signo de H0 . Para comprender el sentido f´ısico del tiempo adimensional τ observemos que de (4.2) y (3.21) obtenemos: C˙ 1d 1 A˙ B˙ ln(V ), HH0 = H = ( + + ) = 3 A B C 3 dt V

Rt

3 Hdt V , = ABC ⇒ =e 0 V0

y despejando H de (4.4) tenemos: q 1 H=± 3ΓU + S22 + S32 + S2 S3 , 3

(A.2a) (A.2b)

(A.3)

Si fijamos t > 0, de (A.2) tenemos la siguiente interpretaci´on f´ısica: I =3

Zt 0

Hdt ⇒

(

I > 0 ⇒ V > V0 ⇒ expansi´on, I < 0 ⇒ V < V0 ⇒ colapso 27

Las posibles combinaciones de signo se dan en el cuadro A, en el cual aparecen resaltados los convenios que hemos escogido en esta tesis. Casos H >0 H 0 y H0 > 0 Expansi´on H < 0 y H0 < 0 V > V0 H < 0 y H0 > 0 Colapso H > 0 y H0 < 0 V < V0 H=0 V = V0

τ τ τ τ

τ >0 0 0. Notemos que el sistema comienza a evolucionar a partir de t = τ = 0, para τ > 0 el sistema colapsa y para τ < 0 el sistema tiende hacia un estado diluido como se puede ver en el gr´afico (4.5).

28

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30