SUPERFICIES-2

Carlos S. Chinea

DIRECCIONES SOBRE UNA SUPERFICIE Líneas de curvatura principal. Direcciones principales. Nota: las nociones básicas que se manejan en este artículo (formas fundamentales, curvatura normal, teorema de Meusnier) pueden ser consultadas en la primera parte, Superficies_1, en esta misma web (http://personales.ya.com/casanchi/mat/superficies01.htm).

Sabemos que las direcciones sobre una superficie S en un determinado punto P de

r

la misma, presentan distinta curvatura k , y también, por consiguiente, distinta

r

r

curvatura normal K n , proyección sobre el vector normal N del vector de curvatura

r k en dicho punto P.

El sentido del vector de curvatura normal puede ser el mismo que el sentido del vector normal o bien puede ser de sentido contrario, esto es, puede ser la proyección positiva, negativa o nula, dependiendo de las dos formas fundamentales, ya que sabemos que es

Kn =

l du 2 + 2l12 du1 du 2 + l 22 du 22 II = 11 12 I g11 du1 + 2 g 12 du1 du 2 + l 22 du 22

r r

Como I siempre es positiva ( I = dr .dr = ds > 0 ) el signo de K n viene determinado 2

por la segunda forma fundamental II. Así, se tienen tres casos posibles: 1) II > 0 → K n > 0. El punto P se llama punto elíptico. 2) II = 0 → K n = 0. El punto P se llama punto parabólico. 3) II < 0 → K n < 0. El punto P se llama punto hiperbólico. Para poder determinar de qué forma es el contacto con el plano tangente a la superficie en el punto P, en cada uno de estos tres casos, debemos establecer el

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grado de aproximación de la superficie al plano tangente en cada situación. Esto lo podemos conseguir con el siguiente teorema. Teorema 06: Si es T el plano tangente a la superficie S en el punto P y es q un punto de S infinitamente próximo a P, entonces la distancia de q al plano tangente es igual a la mitad de II más un infinitésimo de tercer orden:

d ( q, T ) = Demostración:

1 II + θ 3 2 r

(r − rr ).N = 0 la ecuación

r r

Siendo rp , rq los vectores de posición de ambos puntos y r

p

r r r 1 2r 1 3r del plano tangente, es rq = rp + dr + d r + d r + ... , y la distancia del punto q al 2 3! plano tangente es

r r 1 r r 1 r r r r r d (q, T ) = (rq − rp ).N = dr.N + d 2 r .N + d 3 r .N + ... = 2 3! r r r r 1 r r 1 = 0 + r11 .N .du12 + r12 .N .du1 du 2 + r22 .N .du 22 + θ 3 = II + θ 3 2 2

(

)

Teorema 07: 1) En un punto elíptico toda la superficie S está a un lado del plano tangente en dicho punto. 2) En un punto parabólico P se cumple que la dirección en la que II=0 es asintótica y tiene el mayor contacto posible con el plano tangente. 3) En un punto hiperbólico la superficie corta al plano tangente. Demostración:

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1) Si es II > 0 , la distancia es siempre positiva: d ( q, T ) =

1 II + θ 3 > 0 , y por 2

consiguiente, los puntos de la superficie S se encuentran a un lado del plano tangente. 2) Si es II = 0 , la distancia es un infinitésimo de orden 3: d ( q, T ) = θ 3 → 0 y la superficie S está en la mayor proximidad posible al plano tangente T en la dirección en la que se anula la segunda forma fundamental. (dirección asintótica). 3) Si es II < 0 , la segunda forma fundamental es indefinida y la superficie no está totalmente del mismo lado del plano tangente, es decir, lo corta. El ejemplo más clásico de superficie en la que se distinguen los tres tipos de puntos es el toro.

1) Los puntos exteriores de la superficie, engendrados al rotar ABC, son elípticos. 2) Los puntos de las circunferencias que definen tanto el movimiento del punto A como el movimiento del punto C, son parabólicos. 3) Los puntos interiores, engendrados al rotar el arco ADC, son hiperbólicos.

De lo anterior inferimos que en cada punto P de la superficie pueden haber direcciones en donde se anula la curvatura normal (direcciones asintóticas de puntos parabólicos), direcciones en donde la curvatura normal es positiva (puntos elípticos) y direcciones en donde la curvatura normal es negativa (puntos hiperbólicos). Podemos también tratar de encontrar aquellas direcciones en las que la curvatura normal presenta valor máximo o valor mínimo (presenta un extremo). Tales

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direcciones se llaman principales y las correspondientes curvaturas se denominan curvaturas principales. Para encontrar el valor máximo o mínimo de la curvatura normal emplearemos el cálculo diferencial, derivando e igualando a cero la curvatura normal con respecto a

 du 

2  . la variable dirección  du  1

Si hacemos x =

du 2 II en K n = : du1 I

K n ( x) =

l11 + 2l12 .x + l 22 .x 2 g11 + 2 g12 .x + g 22 .x 2

Bastará obtener los valores de x para los cuales

(

)

dK n ( x) = 0. dx

(

)

dK n ( x) (2l12 + 2l 22 x ) g 11 + 2 g12 x + g 22 x 2 − (2 g12 + 2 g 22 x ) l11 + 2l12 x + l 22 x 2 = =0⇒ 2 dx g11 + 2 g12 x + g 22 x 2

(

⇒ (l12 + l 22 x ) g 11 + 2 g12 x + g 22 x 2

( ) − (g

12

(

)

)

+ g 22 x ) l11 + 2l12 x + l 22 x 2 = 0

[1]

de lo cual:

l12 + l 22 x l11 + 2l12 x + l 22 x 2 l + l x + (l12 + l 22 x )x = = 11 12 = kp 2 g12 + g 22 x g11 + 2 g12 x + g 22 x g11 + g12 x + (g12 + g 22 x )x

[2]

ordenando [1] con respecto a las potencias de x:

(l12 g11 − l11 g12 ) + (l22 g11 − l11 g 22 )x + (l22 g12 − l12 g 22 )x 2 = 0 y los valores de x =

du 2 que hacen extrema la curvatura normal son las soluciones du1

de dicha ecuación de 2º grado:

x1 = x2 =

l11 g 22 − l22 g11 +

(g11l22 − g 22l11 )2 − 4(g12l22 − g 22l12 )(g11l12 − g12l 11 ) 2( g12l22 − g 22l12 )

l11 g 22 − l22 g11 −

(g11l22 − g 22l11 )2 − 4(g12l22 − g 22l12 )(g11l12 − g12l 11 ) 2( g12l22 − g 22l12 )

que, por lo demás, cumplen que:

x1 + x2 = −

l22 g11 − l11 g 22 l22 g12 − l12 g 22

x1.x2 =

l12 g11 − l11 g12 l22 g12 − l12 g 22

[3]

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Veamos como obtener los valores máximo y mínimo de la curvatura normal mediante el siguiente teorema. Teorema 08: Los valores de las curvaturas principales son las soluciones Kp de la ecuación de segundo grado

l11 − g 11 k p l12 − g 12 k p

l12 − g12 k p =0 l 22 − g 22 k p

Demostración: De la igualdad [2] y teniendo en cuenta la conocida equivalencia de proporciones:

A C A A + r.C = ⇔ = B D B B + r.D

r real

se tiene:

l12 + l 22 x l + l x + (l12 + l 22 x )x l +l x l +l x = 11 12 = k p ⇒ 12 22 = 11 12 = k p g12 + g 22 x g11 + g12 x + (g 12 + g 22 x )x g 12 + g 22 x g11 + g12 x de lo cual:

l12 − g 12 k p + (l 22 − g 22 k p ) x = 0 l11 − g 11 k p + (l12 − g 12 k p ) x = 0

y siendo x =

 l11 − g11 k p  l − g k 12 p  12

du 2 , podemos escribir du1

l12 − g12 k p  du1   0   =  l 22 − g 22 k p  du 2   0 

de donde, finalmente:

l11 − g 11 k p

l12 − g12 k p

l12 − g 12 k p

l 22 − g 22 k p

=0

[4]

Asimismo podemos obtener la ecuación de las líneas de curvatura principal de la superficie S en un punto P. Teorema 09: Las ecuación de las líneas de curvatura principal viene dada por

(g11l12 − g12 l11 ).du12 + (g11l 22 − g 22 l11 ).du1du 2 + (g 22 l12 − g12 l 22 ).du 22 = 0 Demostración: De [1]:

(l12 + l 22 x )(g11 + 2 g12 x + g 22 x 2 ) − (g12 + g 22 x )(l11 + 2l12 x + l 22 x 2 ) = 0

⇒

⇒ ( g11l12 − g12 l11 ) + ( g11l 22 − g 22 l11 )x + ( g12 l 22 − g 22 l12 )x 2 = 0

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y sustituyendo x =

du 2 : du1

(g11l12 − g12 l11 ).du12 + (g11l 22 − g 22 l11 ).du1du 2 + (g 22 l12 − g12 l 22 ).du 22 = 0 que puede considerarse el desarrollo del determinante

du 22 g11

− du1 du 2 g12

l11

l12

du 22 g 22 = 0 l 22

Teorema 10: Las líneas de curvatura son perpendiculares. Demostración:

du 2 du 2* , x 2 = * . Las direcciones las determinan los vectores: Sean x1 = du1 du1 r r r dr = r1 .du1 + r2 .du 2 ,

r r r dr * = r1* .du1* + r2* .du 2*

Veamos que su producto interior es nulo:

r r r r r r r r r r dr .dr * = r1 .r1* .du1 .du1* + r1 .r2* .du1 .du 2* + r2 .r1* .du 2 .du1* + r2 .r2* .du 2 .du 2* =

= g11 .du1 .du1* + g12 du1 .du 2* + g12 du 2 .du1* + g 22 du 2 .du 2* = = g11 .du1 .du1* + g12 (du1 .du 2* + du 2 .du1* ) + g 22 du 2 .du 2* = = g11 + g12 (

du 2* du 2 du 2 du 2* + + = g11 + g12 ( x1 + x 2 ) + g 22 .x1 .x 2 g ) . . 22 du1 du1* du1* du1

Sustituyendo las expresiones

[3]: x1

+ x2 = −

l 22 g11 − l11 g 22 l 22 g12 − l12 g 22

x1 .x 2 =

l12 g 11 − l11 g12 l 22 g 12 − l12 g 22

Resulta:

 l g −l g r r dr .dr = g11 + g12 ( x1 + x 2 ) + g 22 .x1 .x 2 = g11 + g 12  − 22 11 11 22  l 22 g 12 − l12 g 22

  l g −l g  + g 22  12 11 11 12   l 22 g12 − l12 g 22

= g11 (l 22 g12 − l12 g 22 ) + g12 (− l 22 g11 + l11 g 22 ) + g 22 (l12 g11 − l11 g12 ) = 0 y las direcciones principales son, efectivamente, perpendiculares.

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  = 

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Teorema 11: Si son proporcionales los coeficientes de ambas formas fundamentales, entonces no hay direcciones principales. Es decir:

lij = c.g ij , i, j = 1,2 ⇒ k n = k1 = k 2 = c Demostración: Bastará sustituir en [4]:

l11 − g11 k p l12 − g12 k p ⇒

l12 − g12 k p c.g11 − g11 k p =0⇒ l 22 − g 22 k p c.g12 − g12 k p

c.g12 − g12 k p =0⇒ c.g 22 − g 22 k p

g11 (c − k p ) g12 (c − k p ) 2 g = 0 ⇒ (c − k p ) . 11 g12 (c − k p ) g 22 (c − k p ) g12

g12 = 0 ⇒ (c − k p ) 2 = 0 ⇒ k p = c (doble) g 22

(Estos puntos se denominan puntos umbílicos) Corolario: Si

lij = 0, i, j = 1,2 ⇒ k n = k1 = k 2 = 0

Demostración: trivial. (los puntos se dicen umbílicos parabólicos. Todos los puntos de un plano son umbílicos parabólicos).

Teorema 12: La condición necesaria y suficiente para que las líneas paramétricas, du1=0 y du2=0, sean líneas de curvatura es que

g12 = l12 = 0 Demostración: -

Veamos que es condición necesaria:

Si las líneas paramétricas, du1=0 y du2=0, son líneas de curvatura, esto implica que son perpendiculares por el teorema 10, luego g 12 = 0 . Y de ser g 12 l 22 − l12 g 22 = 0 ⇒ l12 = 0 -

Veamos que es condición suficiente:

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Sustituyendo en la ecuación de las líneas de curvatura principal:

(g11l12 − g12 l11 ).du12 + (g11l 22 − g 22 l11 ).du1du 2 + (g 22 l12 − g12 l 22 ).du 22 = 0 ⇒ ⇒ 0 + ( g11l 22 − g 22 l11 ).du1 du 2 + 0 = 0 ⇒ ( g11l 22 − g 22 l11 ).du1 du 2 = 0 ⇒ du1 = du 2 = 0

Bibliografía: ABELLANAS, Pedro, “Geometría Básica”, Ediciones Romo, Madrid, 1969 STRUICK, D.J., “Geometría Diferencial clásica”, Aguilar Ediciones, Madrid, 1961 LELONG-FERRAND, Jacqueline, “Geometrie Differentielle”, Masson and Cie., Paris, 1963 CHOQUET-BRUHAT, Yvonne, “Geometrie Differentielle et systemes exterieurs”, Dunod, París, 1968 CARTAN, Elie, ‘’La theorie des groupes finis et continus et la geometrie differentielle traitées par le methode du repere mobile’’, Gauthiers-Vilars. París, 1937 Carlos S. Chinea [email protected]

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