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LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
“Diseño, implementación y análisis de una secuencia didáctica para estudiar el Teorema de Thales y sus aplicaciones en la Escuela Secundaria”
Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología NIECyT Departamento de Formación Docente Facultad de Ciencias Exactas Universidad Nacional de Centro de la Provincia de Buenos Aires UNCPBA
2016
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DE LA PROVINCIA DE BUENOS AIRES
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
“Diseño, implementación y análisis de una secuencia didáctica para estudiar el Teorema de Thales y sus aplicaciones en la Escuela Secundaria”
ANDREA HERNANDEZ
Tesis realizada con la orientación de la Dra. Viviana Carolina Llanos, presentada como requisito parcial para la obtención del título de Licenciado en Educación Matemática. Tandil, Febrero de 2016
AGRADECIMIENTOS Quiero expresar mi agradecimiento a: A la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires, a la Facultad de Ciencias Exactas y a sus autoridades actuales por apoyar mi formación profesional. Al NIECyT (Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología) por abrirme sus puertas, y permitir mi formación en el área de Investigación en Educación Matemática. A mi Directora, Dra. Viviana Carolina Llanos por su ayuda y dedicación, por compartir sus conocimientos y brindarse a la realización de este trabajo en un marco de respeto, afecto y entusiasmo. A los estudiantes del curso de implementación, que generosamente se entregaron a la aventura de aprender en clases diferentes a las habituales. A las autoridades del Colegio Monseñor Espinosa de San José de la localidad de Bragado, donde nos han permitido implementar el dispositivo sin condicionamientos. A mi familia por su acompañamiento constante. A mi amiga y compañera de estudio Yésica Muruaga por el apoyo incondicional.
INDICE Resumen………………………………………………………………………………. 1 CAPÍTULO 1: Demarcación y justificación del Estudio 1. Introducción y formulación del problema…………………………………………. 2. Objetivos…………………………………………………………………………… 3. Preguntas de investigación…………………………………………………………. 4. Antecedentes e investigaciones vinculadas al Teorema de Thales………………… 5. Metodología de la investigación…………………………………………………… 6. Organización de la presentación…………………………………………………… CAPÍTULO 2: Marco teórico 1. La pérdida de sentido desde la Teoría Antropológica de lo Didáctico…………….. 2. Actividades de Estudio y de Investigación y Recorridos de Estudio y de Investigación…………………………………………………………………………... 2.1 Actividades de Estudio y de Investigación………………………………….... 2.2 Recorridos de Estudio y de Investigación……….…………………………… 3. Mesogénesis, Topogénesis, Mesogénesis…………………………………………... 3.1Mesogénesis………………………………………………………………….... 3.2 Topogénesis………………………………………………………………..…. 3.3 Cronogénesis……………………………………………………………….....
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CAPÍTULO 3: Presentación y Justificación del dispositivo didáctico 1. Recorridos de Estudio e Investigación en la escuela secundaria: el proyecto de construcción de una calculadora gráfica…………………………...……….……… 21 2. Características del diseño propuesto……………………………………………….. 22 CAPÍTULO 4: Análisis de datos y resultados 1. Introducción……………………………………….……………………………….. 2. Análisis de las situaciones implementadas………………...………………………. 2.1.1 Situación 1-Parte 1…………………………………………………………... 2.1.2 Situación 1-Pate 2…………………………………………………………… 2.2.1 Situación 2-Pate 1…………………………………………………………… 2.2.2 Situación 2-Pate 2…………………………………………………………… 2.2.3 Tareas Situación 1 y 2………………..……………………………………… 2.3.1 Situación 3-Parte 1………………..…………….…………………………… 2.3.2 Situación 3-Parte 2…………………...……………………………………… 2.3.3 Tareas Situación 3…………………………………………………………… 2.4.1 Situación 4-Parte 1…………………...……………………………………… 2.4.2 Situación 4-Parte 2………….………..……………………………………… 2.4.3 Tareas Situación 4………..…………..……………………………………… 3. Descripción de las funciones mesogénesis, topogénesis y cronogénesis como consecuencia como consecuencia de la implementación…………………………...
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CAPÍTULO 5: Conclusiones Conclusiones finales………………………...………………...………………………. 100 CAPÍTULO 6: Bibliografía Referencias Bibliográficas………………...………………...………………………. 104 ANEXO Anexo………………...………………...…………………………………………...…. 111
RESUMEN
Este trabajo describe los resultados de introducir una modificación en la Enseñanza en la Escuela Secundaria, con el objetivo de estudiar el Teorema de Thales y dos de sus aplicaciones: la división de un segmento en partes iguales y triángulos semejantes. Si bien se proponen introducir gestos en clases habituales de Matemática, de lo que Chevallard (2004, 2012b, 2013) denomina Pedagogía de la Investigación y del Cuestionamiento del Mundo, queremos aclarar que no se propone ni se diseña un REI en este trabajo. Lo que si se hace, es utilizar un REI propuesto por Chevallard (2009) que inicia con la pregunta Q0: ¿Cómo construir una calculadora gráfica? con el objetivo de utilizar esta pregunta como una respuesta al problema de la “desaparición funcional” de la Geometría en la escuela secundaria. A partir de esta idea, se diseña una secuencia didáctica, compuesta por cuatro situaciones, desarrolladas en dos partes cada una, o sea, ocho en total; y un conjunto de tareas y síntesis, algunas a cargo de los investigadores y otras para que realicen los estudiantes. Una característica del diseño es que las situaciones involucran tanto respuestas en lápiz y papel, como actividades que requieren del uso de software de geometría dinámica GeoGebra® como soporte. La implementación del dispositivo se llevó a cabo en un curso de 4to Año de la Escuela Secundaria, en la ciudad de Bragado, donde el investigador es docente de esa institución. En total participaron N= 37 estudiantes entre 14 y 16 años. En las clases se obtienen los protocolos escritos de los estudiantes, y se registra un audio general. Las notas de campo del docente-investigador permiten identificar lo desarrollado en cada clase. Las respuestas de los estudiantes en lápiz y papel, se retiran clase a clase, se escanean y se devuelven a los estudiantes en la clase siguiente, para garantizar la continuidad de su trabajo. Con relación a los archivos de GeoGebra® generados por los grupos de estudio en algunas situaciones, el docente registra una copia para conocer los alcances del soporte con relación al objeto de estudio. Los resultados obtenidos en la implementación permiten analizar los ajustes que habría que realizar al diseño, las marchas y contramarchas en la implementación, así como los principales cambios que se introducen tanto para el profesor, como para los estudiantes, que afectan al funcionamiento de la clase; que aquí se describen utilizando las funciones didácticas topogénesis, cronogénesis y mesogénesis propuestas por Chevallard (2009).
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Capítulo 1
Capítulo 1 ________________________________________________ DEMARCACIÓN Y JUSTIFICACIÓN DEL ESTUDIO
1. Introducción y formulación del problema En la actualidad, la Enseñanza de la Geometría ha ido perdiendo espacio y sentido en las instituciones escolares, ya que presenta problemas tanto a nivel curricular como en la práctica efectiva en el aula. Según Itzcovich (2005), una de las razones de esta pérdida es la dificultad por parte de los docentes de encontrar suficientes situaciones o problemas que representen verdaderos desafíos. De esta manera, se imposibilita a los estudiantes conocer otro modo de pensar, que supone la posibilidad de utilizar propiedades de los objetos geométricos para poder anticipar relaciones no conocidas, así como inferir y producir nuevas propiedades. Es conocido que muchos docentes “eligen” un libro de texto para desarrollar sus clases. La propuesta con relación a la Geometría, podría de cierto modo determinar las características de la práctica de quien los utiliza. La investigación de Juan (2007), reporta en su trabajo el análisis de un relevamiento realizado sobre la orientación con que tratan algunos libros de texto de primer año de la Escuela Secundaria los contenidos de geometría. En este estudio, advierte que los contenidos de geometría ocupan sólo una porción pequeña de los contenidos abordados en los libros de texto y, en general, resulta poco explotado el recurso que brinda la geometría para introducir a los alumnos en la actividad de demostración o justificación. La investigación de Pérez y Guillén (2006) señala que en los cursos de Educación Secundaria Obligatoria no se enseña toda la geometría que se propone en el currículo por falta de tiempo; la enseñanza se basa fundamentalmente en los libros de texto, en actividades de refuerzo y ampliación. Se presenta entonces la necesidad de realizar investigaciones que permitan incidir en la mejora de la enseñanza de la geometría en los diferentes niveles escolares. Entre las nociones geométricas destacadas en las propuestas curriculares de la enseñanza secundaria, interesan en este trabajo el concepto de Teorema de Thales y Semejanza de triángulos. Estas nociones corresponden a los diseños curriculares de Matemática de 3° y 4° Año de la Educación Secundaria. En 3º año se propone el estudio de la proporcionalidad de segmentos, la semejanza de figuras y las razones trigonométricas en triángulos rectángulos. En lo que respecta específicamente al estudio del Teorema de Thales y Semejanza se propone: la resolución de problemas acerca de la división de segmentos en partes iguales; el estudio de figuras semejantes; el establecimiento de los criterios de semejanza de triángulos, la aplicación de dichos criterios; el establecimiento de relaciones entre perímetros y áreas de figuras semejantes; pero rara vez se conocen propuestas enfocadas en el estudio de las nociones de teorema de Thales y semejanza de triángulos, no como instrumentos sino como objetos de estudio. En los Diseños Curriculares propuestos por la Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires, se brindan algunas directivas de trabajo para el docente, quien debería proponer variadas situaciones en las que resulte necesario construir pluralidad de figuras, relacionar figuras iniciales y finales mediante líneas auxiliares, proponer construcciones geométricas haciendo uso de software. Para 4° año, en particular, se propone la resolución de problemas que involucren figuras planas que permitan relacionar e integrar los conceptos estudiados antes, y los específicos de 4to 3
Capítulo I año: el Teorema de Thales y Semejanza de triángulos. Se alienta a los profesores a introducir el uso de Internet en el aula, con el objetivo de que los estudiantes puedan encontrar una importante cantidad de visualizaciones y utilizarlas como punto de partida para el análisis de los conceptos, pues se considera que las mismas constituyen otro entorno de aprendizaje. Desde el punto de vista didáctico, en el marco de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) de Yves Chevallard (2004, 2009, 2012a, 2013) se legitima el problema que atraviesa la enseñanza de la matemática en la Escuela Secundaria. La pedagogía predominante, elimina el estudio de preguntas “fuertes” que permiten estudiar obras matemáticas de manera significativa, quedando reducidas dichas organizaciones al estudio de un conjunto de “obras muertas”, sin sentido ni razón de ser, y las obras, por lo tanto, no se cuestionan. Esta manera de considerar la enseñanza de la Matemática, conforma lo que Chevallard (2004) denomina el fenómeno de la monumentalización de saberes. Este fenómeno didáctico, está ligado íntimamente con la pérdida de sentido de las matemáticas escolares, que se manifiesta de múltiples maneras, que van desde la falta de motivación de los alumnos para estudiar matemáticas y la consiguiente desorientación de los profesores, hasta la disminución progresiva del peso de las matemáticas en el currículo y la invisibilidad de las matemáticas en la sociedad (Fonseca, Pereira, Casas, 2011). Como alternativa al fenómeno de la monumentalización, arraigado en la Escuela Secundaria actual, Yves Chevallard (2005) plantea que es necesario un cambio radical que pasa fundamentalmente por un redescubrimiento, incluso una reinvención, de las razones de ser del contenido a enseñar, y propone los dispositivos didácticos Actividades de Estudio y de Investigación (AEI) y Recorridos de Estudio y de Investigación (REI) para tal fin. Estos dispositivos, retoman la preocupación de la reconstrucción funcional de la matemática como respuesta a ciertos tipos de situaciones problemáticas, y sitúan las cuestiones Q como punto de partida del saber matemático (Chevallard, 2004). La idea de REI nace en el marco de la TAD (Chevallard, 2004, 2009), con la idea de hacer encontrar al sujeto con las obras matemáticas del programa, a través del estudio de preguntas “fuertes” que hagan surgir otro conjunto de cuestiones Q, cuyo estudio hará encontrar una parte sustancial de las obras geométricas del currículum. Algunas investigaciones demuestran que ha sido posible desarrollar en clases de la escuela secundaria o universitaria una enseñanza por REI. Aquí sólo se colocan algunos a modo de ejemplo:
García, Bosch, Gascón y Ruiz (2005) presentan una investigación centrada en el estudio de las relaciones proporcionales y funcionales en la educación secundaria. Los autores sugieren un posible proceso didáctico de reconstrucción y articulación de organizaciones matemáticas de complejidad creciente, que debe permitir una enseñanza más racional de las relaciones funcionales a partir de su propia razón de ser: el estudio de sistemas de variación de magnitudes. El REI diseñado propone ubicar estos sistemas en un entorno de tipo económicocomercial; Serrano, Bosch y Gascón (2007) presentan una propuesta de un REI que se ha experimentado con estudiantes de primer año de una facultad de economía de Barcelona (España), en un taller de modelización matemática. Se propuso a los 4
Capítulo I
estudiantes un problema muy próximo a las situaciones reales de previsión de ventas en el que las funciones aparecen como un posible modelo de trabajo; Fonseca y Casas (2009) proponen la construcción de un REI como solución a estudiar matemáticas en Secundaria. Se han experimentado procesos de estudio por medio de REI en las Escuelas de Ingeniería Técnica Industrial y Forestal (España), relacionados con el estudio de la derivada y de la diagonalización de matrices; Barquero, Bosch y Gascón (2011) proponen el diseño de los REI para potenciar el papel de la modelización matemática en los primeros cursos universitarios de Ciencias Experimentales. Se parte de una cuestión en torno al estudio de la dinámica de poblaciones como hilo conductor de un proceso de ampliaciones sucesivas de los modelos matemáticos considerados que acabarán recubriendo el programa de estudios; Parra, Otero y Fanaro (2012) describen cómo se desarrolla una enseñanza por REI en un curso de Matemática del último año del nivel secundario. Las preguntas generatrices del REI se refieren a la Microeconomía, específicamente al comportamiento de las leyes de oferta y demanda de mercado; Costa, Arlego y Otero (2013) presentan una investigación para abordar el problema de la enseñanza del Cálculo Vectorial en Facultades de Ingeniería en la Universidad mediante REI (Costa, 2013). Según el análisis de la implementación, las cuestiones del modelado de edificios permitieron reconstruir aspectos de las OM: Geometría Analítica y Cálculo Integral; y puntos básicos de la OM: Geometría diferencial; Donvito, Sureda y Otero (2013) presentan un REI bidisciplinar en tres escuelas secundarias, basado en la cuestión generatriz: ¿Cuál es el mejor plan de ahorros para generar la mayor cantidad de ingresos, con bajo riesgo? con el fin de reconstruir distintas praxeologías matemáticas relativas al estudio de funciones, de números y sus propiedades, de series y sucesiones, de límite y de matemática financiera; Llanos, Otero y Gazzola (2013) presentan las características generales de un REI monodisciplinar. El recorrido comienza con el estudio de Q0: ¿Cómo operar con curvas cualesquiera si sólo se conoce su representación gráfica y la unidad en los ejes? El análisis de las respuestas posibles a Q0 y preguntas derivadas, permiten una cobertura relativamente completa del programa de estudio de Matemática de la escuela secundaria argentina, principalmente de los últimos tres años; Otero, Gazzola, Llanos y Arlego (2015) proponen un REI genuino codisciplinar a partir de la pregunta Q0: ¿Por qué se cayó la Piedra Movediza de Tandil?, que requiere estudiar física y matemática juntas. Las implementaciones del REI desarrolladas durante dos años consecutivos con estudiantes de Profesorado en Matemática de la Universidad permitió enfatizar que, más allá de las restricciones inicialmente puestas por los estudiantes, y las relativas al problema de la modelización identificadas, los dos grupos tuvieron oportunidad de vivenciar una enseñanza por investigación.
En este trabajo, no se propone implementar ni diseñar un REI en la escuela secundaria, sino utilizar un REI propuesto por Chevallard (2009) que inicia con la pregunta Q0: ¿Cómo construir una calculadora gráfica? con el objetivo de utilizar esta pregunta como una respuesta al problema de la “desaparición funcional” de la Geometría en la escuela secundaria, y un disparador para un posible diseño que permita estudiar 5
Capítulo I matemática a partir de una pregunta generatriz. Se estudia una posible respuesta a la pregunta generatriz propuesta y analizada por Chevallard, que permite desarrollar técnicas de geometría sintética para estudiar, en clases de la escuela secundaria, el Teorema de Thales, la división de segmentos en partes iguales y la semejanza de triángulos, de una manera que se aparta de la tradicional. En el diseño que se propone, a diferencia del de Chevallard, aquí además se utiliza el software de geometría dinámica GeoGebra® como soporte. Se conocen muchas investigaciones que han analizado las ventajas de estudiar geometría sintética utilizando softwares de geometría dinámica, como las de Barquera y Filloy (2010); Cabrera y Pérez (2003); Gutiérrez (2011); Osorio (2006); Rey, Serrano, Jiménez y Rojas (2013). En la investigación de Iranzo y Fortuny (2009), se propuso un estudio de casos para explorar la influencia conjunta del uso de GeoGebra® y del lápiz y papel, en la adquisición de conocimiento, visualización y pensamiento estratégico en el alumno. Según los autores, los alumnos han tenido pocas dificultades con relación al uso del software. En su investigación sostienen que el uso de GeoGebra® promueve un pensamiento geométrico, a la vez que facilita un soporte visual, algebraico y conceptual en la mayoría de los alumnos. Dàttoli (2011) considera que los aportes de las tecnologías computacionales para potenciar el desarrollo de la geometría son muy atractivos para el docente, confiando en el aspecto motivador que puede tener para los alumnos, pero que se hace necesario considerar una discusión más profunda sobre otros atributos que presenta la Geometría y la manera de enseñarla. En su investigación, señala que en los planes de estudio se orienta la enseñanza de la geometría sintética hacia la enseñanza de los métodos analíticos. García (1988) anunciaba que los métodos algebraicos de la geometría han relegado a un segundo plano a los métodos clásicos euclidianos de razonamiento, aunque considera que son éstos los más apropiados para desarrollar la capacidad de razonamiento y despertar interés en el alumno. Si bien el algebra es “la mejor colaboradora de la geometría”, el autor considera que es conveniente a veces olvidarse de ella para introducirse en la geometría. Según Gascón (1989), la eficiencia para resolver ciertos tipos de problemas de geometría analítica mejora de forma muy significativa si, en lugar de dedicar todo el período de entrenamiento al uso de técnicas analíticas, se utiliza una parte del mismo para que los alumnos aprendan a interpretar los problemas de geometría analítica, dados en versión cartesiana, en el ámbito de la geometría sintética, en versión euclidiana, y a resolver éstos mediante técnicas sintéticas, empleando regla y compás. Este autor plantea que la aparición de la técnica analítica se debe a las limitaciones de las técnicas sintéticas, y que el uso previo de ciertas técnicas sintéticas, son las que sugieren el diseño de la estrategia que llevará a cabo posteriormente la complementariedad entre ambos tipos de técnicas. Son precisamente estas limitaciones las que dan sentido a las “razones de ser” de las técnicas analíticas. Itzcovich (2005) considera que usar un dominio de la matemática para resolver problemas inicialmente planteados en otro, constituye un mecanismo típico del trabajo propio de dicha disciplina. Pasar de un ejemplo de geometría al álgebra, puede ser un modo de encontrar pistas para abordar una situación que no se muestra accesible en el dominio original. En la investigación de Moller Marcén y Gairén Sallán (2013), se destaca que la génesis histórica de los conceptos de razón y proporción y su posterior aritmetización, se realizó
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Capítulo I a partir de una revisión histórica de algunos conceptos principales relacionados con la proporcionalidad aritmética, como lo son la razón y la proporción. En las situaciones problemáticas analizadas por los autores, sucede que se deja de lado por completo a las magnitudes para que los alumnos se centren en la faceta numérica del problema, y esto conlleva a una pérdida de sentido de la resolución. Se supone aquí que si se plantea la razón entre cantidades de una misma magnitud, dicha razón no constituye el mejor punto de vista para comprender los procesos que subyacen a una relación de proporcionalidad. En definitiva, un problema en el contexto de las magnitudes acaba transformándose en una situación en la que prevalecen manipulaciones meramente numéricas. Para Escudero Pérez (2005), los conceptos de Semejanza y Teorema de Thales tienen un peso histórico que les ha hecho estar presentes durante siglos en los programas de distintos niveles educativos, aunque el abandono sufrido por la geometría sintética en las matemáticas escolares durante la influencia de las matemáticas modernas ha afectado su tratamiento en los últimos años. Haruna (2000) realiza un análisis de algunos libros de textos que se utilizaron en la última década en la enseñanza de nivel secundario, y percibe que el concepto Teorema de Thales no se muestra en su totalidad perceptiva, sino que la visión es parcial tanto del teorema como de sus significaciones y conlleva a la formación de configuraciones prototípicas, obstaculizando la percepción de la aplicación del teorema en otras configuraciones. Considerando lo expuesto hasta aquí, se evidencia la pérdida de sentido y de las razones de ser, del “por qué” y el “para qué” del estudio del teorema de Thales en las clases de Semejanza y Proporcionalidad Geométrica, debido a que su estudio se limita a la aplicación de las técnicas analíticas y resolución de ejercicios algebraicos, sin considerar las técnicas de geometría sintética que son la génesis de estas organizaciones matemáticas. Se pretende con el estudio desarrollado en esta tesis, analizar las características de un dispositivo didáctico que proporciona la posibilidad de estudiar matemática utilizando técnicas de geometría sintética (en lápiz y papel), que se complementan con tareas de geometría dinámica. Dicho dispositivo, se diseña a partir de la cuestión generatriz propuesta por Chevallard (2009), quien desarrolla un REI engendrado por el proyecto de construir una calculadora gráfica a partir de la pregunta generatriz Q0:¿Cómo construir una calculadora gráfica? La búsqueda de respuestas posibles a la pregunta, permitiría el encuentro con las praxeologías que podrían considerarse esenciales en el eje de geometría del Nivel Medio. En particular, el REI propuesto por Chevallard permite efectuar cálculos gráficos considerando que la Geometría sintética actúa como instrumento para efectuar construcciones simples con la regla y el compás; a la vez que calcular rápidamente y con una precisión suficiente, ciertas magnitudes definidas por una fórmula. Estas construcciones conducen, como resultado final, a la medida de una longitud (Chevallard, 2009). Las características del REI propuesto por Chevallard, inspiraron a la realización e implementación del dispositivo didáctico, cuyos resultados presentamos en este trabajo.
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Capítulo I 2. Objetivos Objetivo(s) general(es)
Proponer una enseñanza basada en preguntas que permita recuperar el sentido y la razón de ser de la geometría sintética y analítica en clases de Matemática en la escuela secundaria.
Introducir modificaciones en la enseñanza en un contexto experimental y controlado, a partir de un diseño basado en preguntas.
Objetivo(s) Particular(es)
Diseñar, implementar y analizar un dispositivo didáctico como respuesta a una pregunta generatriz engendrada en un REI (Chevallard, 2009), para estudiar el Teorema de Thales y dos potenciales aplicaciones: la división de segmentos en partes iguales y semejanza de triángulos, en clases de Matemática de 4to Año de la escuela secundaria.
Describir los alcances y limitaciones del dispositivo propuesto para estudiar el Teorema de Thales a partir de la aplicación de técnicas de Geometría sintética y analítica de manera complementaria.
Analizar la viabilidad del diseño, y las condiciones mínimas para que un profesor de la escuela secundaria pueda implementar un dispositivo que se aparta de la enseñanza tradicional.
3. Preguntas de la Investigación
¿Cuáles son los alcances y limitaciones del dispositivo didáctico propuesto para estudiar el Teorema de Thales y dos de sus aplicaciones: la división de segmentos en partes iguales y semejanza de triángulos en la escuela secundaria?
¿Qué estrategias didácticas permiten complementar las técnicas de geometría sintética con las de geometría analítica?
¿Cómo interviene la incorporación del software Geométrico como instrumento de estudio, cuando se introducen técnicas de geometría sintética y analítica?
¿Qué características tienen los procesos de topogénesis, mesogénesis y cronogénesis en la implementación del dispositivo?
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Capítulo I 4. Antecedentes e investigaciones vinculadas con el Teorema de Thales Varias investigaciones se conocen con relación al Teorema de Thales y Semejanza de triángulos. Pueyo Losa (1984) propuso una experiencia de trabajo en el aula de 2° y 3° año del Ciclo Superior de la EGB, referido al estudio de los triángulos con énfasis en el Teorema de Thales. En su trabajo, se implementa una secuencia que permite a los alumnos reconstruir el teorema de Thales a través de mediciones, recortando y manipulando los triángulos obtenidos. En esta secuencia los estudiantes realizan construcciones a partir de instrucciones dadas y deben comprobar que se cumplen las proporcionalidades propuestas. Según el autor, el alumno debe comprobar experimentalmente el teorema realizando diversas prácticas y mediciones hasta que lo interiorice. Posteriormente, propone la reconstrucción con material concreto donde los estudiantes obtienen en cartulina triángulos en posición de Thales y por superposición comprueban que los ángulos homólogos son iguales. Se realiza el planteo de la proporcionalidad entre los lados correspondientes, y se llega a la conclusión de que los triángulos en posición de Thales son semejantes. La secuencia en esta investigación, finaliza con el estudio de un apartado relacionado con el Teorema de Thales: las relaciones métricas en los triángulos rectángulos, incluyendo las demostraciones de los teoremas de la altura y del cateto aplicando el teorema de Thales. En la investigación sobre proporcionalidad propuesta por Gallego García y Linares Teruel (1988), se presenta una demostración clásica del Teorema de Thales a partir de la construcción de rectas paralelas, considerando unidades comunes inconmensurables en los segmentos correspondientes y planteando la división entre unidades de medida aplicando la noción de límite, lo que permite demostrar que las razones entre los segmentos correspondientes son iguales. Con relación al lugar asignado al Teorema de Thales en los libros de textos de Matemática, Costa Pereira (2005) indica que en los textos analizados puede observarse una vinculación directa entre el Teorema de Thales y las condiciones de proporcionalidad de segmentos, donde estos segmentos pueden ser conmensurables o inconmensurables. Según lo analizado, muchos libros de texto actuales proponen una justificación del teorema solo en el caso de segmentos conmensurables. El teorema es tratado como una propiedad de paralelismo de rectas, con la exposición de una prueba empírica a partir de la medición con regla y compás de segmentos conmensurables correspondientes. Haruna (2000) propone un enfoque para la enseñanza-aprendizaje del Teorema de Thales, analizando cómo es la aprehensión del concepto en estudiantes de 13-14 años, utilizando el ordenador. Mediante situaciones de diagnóstico se detecta que la mayoría de los alumnos tiene una concepción inadecuada del Teorema de Thales, ocasionada por una práctica de la enseñanza reforzada por los libros de textos, y se considera aquí que tal vez por este motivo muchos alumnos no perciben la aplicación del teorema en cualquier configuración. Propone en su trabajo, una secuencia didáctica empleando como herramienta el software Cabri, con el objetivo de que los alumnos “comprendan” dicho teorema. Como conclusión de su investigación, señala que el desarrollo de las actividades basadas en las situaciones problemáticas con Cabri acercó el Teorema de Thales en un sentido global, trabajando variabilidades perceptivas de las imágenes; se verifica que el ordenador favorece la superación de obstáculos pero crea otros. Como
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Capítulo I resultado del estudio, se concluye que uno de los problemas que más persiste es en cuanto al cálculo de la medida del segmento formado por paralelas. Sánchez (2003) propone una investigación que tiene por objetivo establecer una relación entre la forma de conocer un contenido matemático y su influencia en lo que se considera importante aprender, y cómo estructurar las actividades de aprendizaje. Se analiza una unidad didáctica sobre semejanza en un curso de 3ero de Educación Secundaria. El profesor que realizó la implementación de esta secuencia didáctica, enfatizó la conexión entre los aspectos numérico/algebraico y gráfico del concepto semejanza. Su objetivo fue que sus alumnos reconozcan figuras semejantes y que luego lo puedan transcribir a un lenguaje matemático. En los problemas presentados se consideraron dos criterios: presentar distintas configuraciones de Thales sobre las que es posible identificar los datos numéricos/algebraicos; y posibilitar el reconocimiento que con estos datos se puede aplicar la fórmula dada. Posteriormente se incorporó otro aspecto de su forma de conocer la semejanza como objeto de enseñanza/aprendizaje: semejanza de figuras como relación intrafigural, que según Lemonidis (1991) es la correspondencia entre elementos de una figura y los correspondientes de su semejante, estando ausente la idea de transformar una figura en otra. Se destaca en esta secuencia, la importancia de la identificación de la relación de semejanza en variedad de posiciones de los triángulos. En uno de los problemas seleccionados, se muestran dos triángulos en posición de Thales y se incluyen como datos las medidas de los segmentos secantes, pidiendo una comprobación de la proporcionalidad de los lados homólogos. Se concluye que abordar desde distintas perspectivas la forma en que el profesor conoce el contenido matemático como objeto de enseñanza/aprendizaje, y el uso que hace de los diferentes modos de representación, es clave para la aproximación de lo que necesita saber un profesor para desarrollar su labor. A diferencia de las investigaciones anteriores, en este trabajo nos proponemos a partir del diseño, reconstruir las características y propiedades del Teorema de Thales, primero en el marco gráfico, utilizando técnicas de geometría sintética y analítica; y luego una generalización de dicho teorema y potenciales aplicaciones por medio del software GeoGebra®.
5. Metodología de la Investigación La metodología de la investigación es de corte cualitativa, y el diseño didáctico propuesto es de corte etnográfico y exploratorio. La investigación es descriptiva (Documento metodológico orientador para la investigación educativa, 2008) porque se busca la exploración, descripción, y evaluación de un dispositivo didáctico propuesto para el estudio del Teorema de Thales de una manera no habitual. Es un estudio de caso con recurso a la observación participante, que pretende no solo modificar las características de una práctica, sino reconstruir significativamente las nociones relativas al Teorema de Thales. • Consideraciones sobre el problema y el objeto: Esta investigación está impulsada por la necesidad de introducir una alternativa a la enseñanza tradicional, en un contexto específico que se ha seleccionado como representativo para esta investigación. Interesa analizar en qué medida es posible 10
Capítulo I introducir un cambio sustancial en la práctica en el aula, por medio de la inserción de un dispositivo didáctico diseñado con el objetivo de enseñar el Teorema de Thales de una manera diferente. Así mismo, se espera generar en los estudiantes interés por la búsqueda de las respuestas a las situaciones propuestas, y por otro lado, dar el lugar suficiente para que asuman las responsabilidades implicadas en una nueva forma de hacer matemática. Así mismo, estas modificaciones comienzan por el profesor, quien es el primero que debe asumir la necesidad de modificar su práctica tradicional, por otra donde la clase ya no es únicamente su responsabilidad, pero si es exclusivo su papel a la hora de proponer nuevas preguntas y tener siempre nuevas preguntas en lugar de respuestas. En este caso, el profesor que realiza la implementación es un profesor tradicional que está dispuesto a modificar su práctica colocando en lugar de explicaciones, situaciones para que los estudiantes puedan estudiar desde otro lugar. Por otro lado, la necesidad de introducir un nuevo dispositivo para el estudio del Teorema de Thales, radica en el problema que se identifica en el tratamiento tradicional, dado que generalmente se lo reduce a una mera descripción sin justificación, objeto de una definición y rara vez es objeto de construcción. Por lo general la “presentación” del Teorema inicia con una definición introducida por parte del docente, o el libro; y todo su estudio se reduce al planteo de las proporciones correspondientes y la aplicación de operaciones algebraicas. A partir del diseño elaborado en el marco de este trabajo, se espera recuperar la “razón de ser” de los conocimientos que se construyen vinculados al Teorema de Thales y a las aplicaciones del mismo, a partir de la complementariedad de tareas de geometría sintética y geometría analítica. El cambio de contrato que se requiere para la inserción de estos dispositivos, junto con las restricciones impuestas por la institución, Escuela Secundaria, y el sistema en general, también son descritos en este trabajo. Nos proponemos presentar una síntesis de los principales cambios ocurridos, necesarios para implementar un dispositivo basado en preguntas, así como también las modificaciones que se requieren con relación a: la distribución de las responsabilidades entre los agentes de una clase, alumnos y el profesor (topogénesis); el dominio del tiempo reloj requerido, respecto del establecido en las instituciones (cronogénesis); y también, como se constituye y gestiona el medio didáctico (mesogénesis). Es importante aclarar que no se realiza un análisis de estas funciones didácticas, sólo se coloca una descripción de lo ocurrido para sintetizar y tomar cuenta de los cambios ocurridos como consecuencia de estudiar mediante preguntas y donde el profesor ya no tiene por principal tarea explicar. • Características del proceso de inserción del dispositivo y del curso: Para introducir el dispositivo didáctico fue necesario considerar un reparto de responsabilidades entre los alumnos y el docente; dando un lugar privilegiado a los alumnos en la construcción de las respuestas, y también con relación a una nueva organización del medio y del tiempo didáctico. La institución donde se lleva a cabo la investigación atiende a sectores urbanos medios y medios altos de la ciudad de Bragado, provincia de Buenos Aires. Se selecciona intencionalmente un curso que a criterio del investigador reúne las características mínimas para poder introducir una enseñanza basada en preguntas. El profesor del curso es el investigador, que tiene carácter de observador participante; y contó con el aval de los directivos y luego de los estudiantes para poder realizar la implementación. El curso
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Capítulo I seleccionado corresponde a un grupo de 4° año de la Escuela Secundaria. Los estudiantes tienen entre 14 y 16 años y en total son (N=37) en el curso. Durante la implementación los estudiantes se organizan en grupos de cuatro a cinco integrantes. La conformación de los mismos es responsabilidad de los estudiantes. El docente es el director del estudio, y antes de comenzar a implementar el diseño comunica que no podrá “explicar más”, como lo ha hecho hasta el momento. Su principal tarea es llevar cada clase preguntas para que los estudiantes en grupo asuman e intenten responder; y ser útil a los estudiantes para ofrecer sus ayudas al estudio. Las situaciones que integran el diseño, son entregadas en forma impresa para cada estudiante; si bien los estudiantes se organizan en grupos, cada uno de ellos trabajará en su papel en forma particular. En cuanto a las computadoras, se cuenta al menos con una netbook por grupo, ya que la institución es de gestión privada y no cuenta con una netbook para cada alumno, los estudiantes asumen la responsabilidad de asistir con el soporte tecnológico a cada clase. Los archivos correspondientes a las situaciones a resolver con el sowftware Geogebra® son suministrados por el profesor, grabados en cada una de las computadoras. • Consideraciones relativas a la recolección de los datos: Para garantizar una adecuada toma de datos, el profesor solicita que la producción personal de cada alumno debe entregarse tal como se sucedió en la clase, es decir, del papel “nada se borra”, todas las ideas deben quedar representadas en la hoja que lleva todas las clases el profesor. Además, se solicita diferenciar explícitamente las producciones que realizaron solos de aquellas que se obtienen de las puestas en común con todo el curso y el profesor. En las clases se obtienen los protocolos escritos de los estudiantes, y se registra un audio general. Las notas de campo del docente-investigador permiten identificar lo desarrollado en cada clase. Las respuestas de los estudiantes en lápiz y papel, se retiran clase a clase, se escanean y se devuelven a los estudiantes en la clase siguiente, para garantizar la continuidad de su trabajo. Con relación a los archivos de GeoGebra® generados por los grupos de estudio en algunas situaciones, el docente registra una copia para conocer los alcances del soporte con relación al objeto de estudio.
6. Organización de la presentación El trabajo consta de seis capítulos y un anexo organizados de la siguiente manera: En el Capítulo 1, se delimita el problema de la investigación. Se menciona cuál es el estado actual del conocimiento sobre la cuestión, se definen los objetivos, las preguntas que orientan el trabajo; se presentan los antecedes e investigaciones vinculadas con el Teorema de Thales y la metodología de investigación empleada. En el Capítulo 2 se desarrolla el marco teórico adoptado, la Teoría Antropológica de lo Didáctico, considerando el problema de la pérdida de sentido de las obras matemáticas. Se sintetiza la noción de Recorridos de Estudio y de Investigación (REI) y otros constructos relacionados. Además se describen los procesos denominados topogénesis, mesogénesis y cronogénesis, en el marco de una nueva pedagogía escolar. 12
Capítulo I En el Capítulo 3 se presentan las situaciones didácticas. Se describen las situaciones y en qué medida las mismas permiten estudiar el Teorema de Thales y sus aplicaciones. En el Capítulo 4 se sintetizan los resultados obtenidos de la implementación del dispositivo. Se describen los alcances y limitaciones que presenta este diseño. En el Capítulo 5 se presentan las Conclusiones del trabajo. El Capítulo 6 corresponde a la bibliografía de la Investigación. En el Anexo se colocan los protocolos de un estudiante, considerado como más representativo, que incluye las respuestas dadas a las situaciones consideradas para la implementación.
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Capítulo 2
Capítulo 2 ___________________________________________________ MARCO TEÓRICO Esta investigación adopta como referencial teórico la Teoría Antropológica de lo didáctico (TAD) de Yves Chevallard (1999, 2004, 2005, 2006, 2007, 2009, 2012a). Se sintetizan en este capítulo algunos de los últimos desarrollos de la Teoría, en particular la noción de Recorrido de Estudio y de Investigación (REI), y otros constructos relacionados que son de interés en este trabajo. Inicialmente se coloca el problema de la pérdida de sentido de las obras matemáticas para interpretar la necesidad de un cambio dado en la Teoría por las AEI y los REI; y se describen brevemente las funciones didácticas de mesogénesis, cronogénesis y topogénesis para interpretar las modificaciones en las condiciones que definen al funcionamiento del nuevo sistema cuando se propone una nueva pedagogía escolar.
1. La pérdida de sentido desde la Teoría Antropológica de lo Didáctico El estado histórico de los sistemas didácticos escolares está marcado por un proceso histórico que se puede reconstruir así, en palabras de Chevallard. En principio, en la historia de las enseñanzas escolares lo que está en juego a nivel didáctico ♥ es una cuestión Q. Un programa escolar P se compone entonces, de un cierto número de tales cuestiones, de modo que se puede escribir bajo la forma P Qi 1i n . El estudio de la cuestión Q conduce a una respuesta R validada por la cultura, por la sociedad, por la Escuela, el programa de estudio se escribe entonces verdaderamente bajo la forma P Qi ; Ri 1in . Pero pronto, por un corto-circuito cultural y didáctico, “estudiar Q” esta visto como un sinónimo inútil de una expresión que, institucionalmente, la suplanta: “aprender R”. Entonces, sin que aún R pierda totalmente su estatus de respuesta, las cuestiones comienzan a “borrarse” y el programa de estudios P debe en adelante escribirse más bien bajo la forma P (?; Ri )1in (Marietti, 2009). Cuando las cuestiones han desaparecido, las respuestas R dejan de observarse como tales y se encuentran hipotetizadas en obras de la cultura que tienen valor en sí y para sí, obras donde las razones de ser – de ser allí, en la cultura, pero también en el programa escolar – se perdieron. Un programa escolar pasa a ser así una sucesión de respuestas 1 , 2 ,..., n , de obras que no se sabe ni a que responden ni como fueron o podrían ser respondidas ( P i 1in ) (Marietti, 2009). Este fenómeno de la eliminación del estudio de preguntas por respuestas “vacías” o carentes de sentido, es lo que Chevallard (2007) denomina monumentalización de saberes (y más ampliamente, de praxeologías) Este fenómeno es lo que en definitiva lleva a la desaparición de las razones de ser de estos objetos, pues no son consecuencia de ninguna pregunta, han perdido su funcionalidad. Un programa de estudio contiene obras a estudiar y el orden de las finalidades del estudio está fundado, según Chevallard (2004) sobre las nociones de razón de ser y de utilidad de una determinada obra. La evolución histórica monumentalista del currículo es contemporánea de la supresión de las razones de ser, del olvido de la utilidad de las obras matemáticas enseñadas. Chevallard (2005) plantea que la naturalización de las obras, que las hacen monumentos que hay que visitar y venerar, es correlativo al olvido de sus razones de ser, y en particular de los saberes. 15
Capítulo 2 ___________________________________________________ Como alternativa al fenómeno de la monumentalización y consecuente pérdida de sentido, Chevallard propone una nueva pedagogía, la de la investigación y del cuestionamiento del mundo; y el correlato de esta pedagogía en el aula son las Actividades de Estudio y de Investigación (AEI) y los Recorridos de Estudio y de Investigación (REI).
2. Actividades de Estudio y de Investigación y Recorridos de Estudio y de Investigación 2.1. Actividades de Estudio e Investigación (AEI) Chevallard (2004, 2005, 2006) propone primero la noción de Actividades de Estudio e Investigación (AEI). Si bien se trata de una alternativa al problema de la monumentalización, se reconoce que son un constructo que presenta limitaciones porque producen un encuentro arreglado con una cierta Organización Matemática (OM) El problema que se plantea el profesor es el de cómo enseñar, es decir cómo establecer, construir o “poner en marcha” en la clase, la OM considerada de tal forma que ésta aparezca como la respuesta a una cuestión problemática que le aportará una razón de ser. Dada una OM a enseñar, la AEI se inicia buscando una “situación en el mundo” en la que aparezca una cuestión problemática cuya resolución permita o incluso requiera la reconstrucción de dicha OM (Bosch, Gascón, 2010). Toda AEI surge de una cuestión generatriz Q0 que permite hacer surgir un tipo de problemas y una técnica de resolución, así como una tecnología apropiada para justificar y comprender mejor la actividad matemática que se está desarrollando (Chevallard, 2005). Una AEI es una organización didáctica que precisa un conjunto de condiciones C entre los que la realización en una clase, bajo el impulso y la dirección de un profesor o, más generalmente, de un equipo de profesores Y, vaya a generar el encuentro de los alumnos X con una cierta entidad praxeológica , y esto con ocasión del estudio de una cuestión determinada Q. En otros términos, la AEI provoca la formación, en el seno de una clase que se anotará [X, Y], de un sistema didáctico notado por S (X; Y; Q) cuya finalidad es la producción de una respuesta R, lo que se escribe así: S(X; Y; Q)
R
Esta “fórmula” es denominada esquema herbatiano reducido, el adjetivo “herbatiano” hace referencia al filósofo y pedagogo alemán Johann Friedrich Herbart (1776-1841). La entidad praxeológica referida , podría ser la respuesta R (Marietti, 2009). Una AEI viene a ocupar el corazón mismo de la vida matemática de la clase. Chevallard (2007) define que toda AEI es consubstancial a una reorganización cuaternaria del estudio: la AEI llevada a cabo, llama en primer lugar a una síntesis, la cual se completa de un trabajo que consiste en ejercicios, así como en el estudio de problemas que prueba los límites de la organización matemática cuyos materiales técnicos y tecnológicos-teóricos se habrán producido en la AEI (o de una sucesión de AEI) y que la síntesis habrá acabado de hacer emerger, todo ello llamando controles que permiten una evaluación con un doble objetivo, la organización del saber construido, y la relación de la clase y de cada uno de los alumnos con esta organización del saber. Esta 16
Capítulo 2 ___________________________________________________ arquitectónica didáctica responde, estructuralmente, al modelo funcional de los momentos del estudio. En este sentido se dice que las actividades de estudio y de investigación asumen los momentos del primer encuentro con un tipo de tareas Ti , de la exploración de Ti y de la emergencia de la técnica i , de la construcción del bloque tecnológico-teórico / . La síntesis es el tiempo por excelencia de la institucionalización de Ti / i / / . Los ejercicios y problemas son un tiempo indispensable de trabajo de la organización matemática O Ti / i / / , en particular de la técnica i , así como de la relación tanto de la clase como de cada uno de sus miembros con O. Los controles están en el corazón del momento de la evaluación.
Un obstáculo que se presenta es que las AEI aisladas, estructuralmente y funcionalmente, no resisten a una ecología escolar todavía fuertemente monumentalista. El principio de las AEI pone profundamente en cuestión una cierta epistemología escolar monumentalista que reemplaza las cuestiones (abiertas) Q por “falsas cuestiones” que el profesor considera que debe colocarle a los alumnos. Como consecuencia Chevallard considera que los REI son dispositivos que no tienen encuentros “tan arreglados” con el saber, y por ello serían el constructo más apropiado para “hacer frente” a la enseñanza monumental.
2.2. Recorridos de Estudio e Investigación (REI) Un REI está engendrado por una cuestión Q0 con un fuerte poder generador, susceptible de imponer numerosas cuestiones derivadas y conducir así a encontrar un gran número de saberes a enseñar, denominada pregunta generatriz. El estudio de Q0 se concreta en un recorrido “general” que integra varias preguntas derivadas Qi. Cada Qi a su vez da lugar a numerosas preguntas particulares ligadas a ella, y éstas últimas a la formación y el funcionamiento del sistema didáctico S X ;Y ; Qi 1i n . Chevallard (2009) define la estructura de los REI, a partir de lo que él denomina esquema herbatiano desarrollado: [ (
)
{
}]
♥
De este esquema se puede interpretar que: el REI debe organizarse en torno a una pregunta generatriz (Q0); el sistema didáctico S (X;Y;Q) está compuesto por un grupo de estudiantes X; las ayudas al estudio dadas por un grupo de profesores Y o un único profesor {y}, y el corazón ♥ de todo el proceso, dado por Q; este sistema didáctico permite y requiere de la constitución de un medio didáctico { } que incluye las R◊ que se podrían utilizar en una clase, como los libros de texto, las PC conectadas a Internet, los apuntes del profesor y las “ayudas” que este puede aportar; y por otro lado, las obras “terminadas” Oj, las teorías y OM disponibles, que permiten reconstruir las respuestas R◊, y decidir qué componentes aportan a la constitución de R como resultado de todo el proceso. Es en el medio didáctico donde se elaboran las Ri y como consecuencia R; como resultado del proceso de estudio. Para que hubiera REI en un sentido razonable, hace 17
Capítulo 2 ___________________________________________________ falta en efecto que la organización didáctica concebida u observada parezca apuntar (en el primer caso) o manifestar (en el segundo caso) un cierto número de condiciones: la mesogénesis, la topogénesis y la cronogénesis (Chevallard, 2009).
3. Mesogénesis, Topogénesis, Cronogénesis 3.1. Mesogénesis La primera de las condiciones expuestas aquí es la mesogénesis, la génesis del medio M, que está constituido por la clase, tanto a partir de producciones diversas y externas a la clase como internas a éstas. Diversos tipos de obras pueden, en principio, constituir el medio M de un REI, obras excluidas por principio de la enseñanza tradicional (Chevallard, 2009). Además, el medio M debe ofrecer materiales idóneos para construir una respuesta R validada y que satisfaga las limitaciones institucionalmente impuestas, y abastecer de instrumentos apropiados para someter cada una de las respuestas Ri que lo componen así como la respuesta R, resultado de la actividad matemática de los alumnos. En un REI el medio no está totalmente determinado, es “construido por la clase”. Este cambio en la naturaleza misma del medio va a la par de un cambio en el “trabajo” que la clase debe efectuar sobre este medio, de cambios radicales en la topogénesis. 3.2. Topogénesis En el marco de los sistemas didácticos escolares, los tipos de tareas integrados en una praxeología matemática son, tradicionalmente, realizados por un individuo solo que es el profesor. Las tareas didácticas, en efecto, son, en cierto número de contextos, cooperativas, en el sentido que deben ser realizadas por varias personas x1, x2, ..., xn, que son los actores de la tarea. Cada uno de los actores xi debe efectuar algunos gestos, cuyo conjunto constituye entonces su papel en el cumplimiento de la tarea cooperativa t, gestos que están a su vez diferenciados y coordinados entre ellos por la técnica ô puesta en marcha colectivamente. Algunos de estos gestos serán vistos como tareas completas, t’, para cuya realización xi actuará (momentáneamente) en autonomía relativa en relación a los otros actores de la tarea. El conjunto de estas tareas, subconjunto del papel de xi cuando se realiza t según ô, es denominado el topos de xi en t. En la mayor parte de los casos, una tarea didáctica tiene como actores el profesor y los alumnos: cuando el profesor actúa en una tarea donde él opera en autonomía relativa, esta tarea aparece generalmente como una sub-tarea en el seno de una tarea más amplia, donde él coopera con el alumno. El estudio del sistema de las tareas y gestos del profesor no se debe realizar de manera aislada: detrás de la actividad del profesor, se debe percibir sin cesar la actividad del alumno (Chevallard, 1999). Chevallard (2009) insiste en que la condición mesogenética va a la par de una condición relativa a la topogénesis: la constitución del medio M es lo hecho en la clase [X, y], no de y (profesor) solamente. El topos de los alumnos debe recibir al respecto una extensión importante: no sólo un alumno podrá aportar su respuesta personal Rx, sino que todavía podrá proponer introducir en M toda obra que desee. A este cambio en el 18
Capítulo 2 ___________________________________________________ topos de los alumnos corresponde un cambio en el topos del profesor que dirige el estudio de Q, quien decidirá acerca de incluir en el M una u otra obra, de incluir las respuestas de la forma R, que no será necesariamente su respuesta personal Ry. En todos los casos, la respuesta notada anteriormente por Ry no será tratada de otro modo que las otras respuestas Ri; es decir, las respuestas del profesor también deben ser cuestionadas. En los REI, además los alumnos deberían tener un doble papel destacado, no sólo en la reconstrucción de las respuestas, sino también deben introducir en el medio las cuestiones que consideren es necesario estudiar. 3.3. Cronogénesis En un REI la constitución y el “trabajo” de y en el medio M ocurre en el principio de dilatación del tiempo didáctico y correlativamente, una extensión del tiempo reloj requerido. Aquí es necesario “cuidar” todo el trabajo en M, por el impulso de “estimular el estudio” de manera artificial para que el “tiempo escolar” recomendado sea acorde al producido por el REI. Es la cronogénesis la función que regula los tiempos didácticos para los distintos componentes del sistema. Los REI evidencian un cambio sustancial en las prácticas escolares y a la vez, la necesidad de redefinir los programas escolares como un conjunto de preguntas generatrices, cuya respuesta permita encontrar o re-encontrar diferentes organizaciones matemáticas propuestas en los programas de estudio (Otero, 2013). En esta síntesis hemos colocado los constructos que consideramos indispensables para entender la necesidad de un cambio en las prácticas escolares, a la vez que intentamos utilizar algunos elementos para caracterizar la enseñanza que con limitaciones se propone en el marco de este trabajo. Decimos con limitaciones pues claramente el diseño que se propone no es un REI, pero si podemos decir que se ha desarrollado un diseño didáctico conformado por un conjunto de situaciones, tareas y actividades de síntesis; siempre a partir de una pregunta generatriz de un REI propuesto por Chevallard (2009). Este trabajo permite analizar la complejidad y el potencial de una enseñanza basada en preguntas, respecto de la tradicional.
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Capítulo 3
Capítulo 3 ________________________________________________ PRESENTACIÓN Y JUSTIFICACION DEL DISPOSITIVO DIDÁCTICO 1. Recorridos de Estudio e Investigación en la escuela secundaria: el proyecto de construcción de una calculadora gráfica En este capítulo se presentan las características de un dispositivo didáctico que permite estudiar el Teorema de Thales, cuyo diseño surge a partir de una cuestión generatriz de un REI propuesto por Chevallard (20091), en la sesión 13 del seminario de la promoción 20032004 del PCL2 de matemáticas, como sigue:
El REI fue engendrado por el proyecto de construir una calculadora gráfica: la cuestión Q0 a estudiar es entonces ¿Cómo construir una calculadora gráfica?
El estudio de Q0 permite el encuentro con lo esencial de las praxeologías geométricas propuestas para estudiar en el nivel medio. Algunas preguntas y posibles derivaciones se ejemplifican: o ¿Cómo construir la raíz cuadrada de un entero?, lleva al estudio del Teorema de Pitágoras. 4,32 o ¿Cómo calcular en la “calculadora gráfica” el número x ? Requiere de la 5,2 construcción de las técnicas del Teorema de Thales. o Los enteros naturales n se escriben como una suma de cuadrados de enteros ( . Por el teorema de Pitágoras, la raíz cuadrada de tales números puede ser obtenida por un cálculo gráfico simple. Por lo tanto, podría justificarse de modo semejante el hecho de interrogarse sobre la naturaleza de los enteros n que se escriben como una diferencia de cuadrados de enteros ( . Por ejemplo, para “construir” el número √ , se forma . Si se mide sobre una hoja de papel la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos lados del ángulo tiene por longitud 11cm y 9cm (por ejemplo) es posible establecer que √ . Para calcular √ es posible expresar √
√
√
. Y así otros cálculos…
o Y más general ¿Cómo calcular gráficamente operaciones como cociente y 2 producto de números? Por ejemplo: calcular gráficamente la expresión 7,8 . 3 Chevallard justifica la importancia del REI, por el potencial del cálculo gráfico utilizando técnicas de geometría sintética, y por la posibilidad de su reinserción en las aulas: “el cálculo grafico es un dominio de las matemáticas aplicadas actuales, casi totalmente perdido, pero que, durante un siglo aproximadamente a 1
La cita Chevallard (2009) corresponde a una traducción realizada por Parra y Llanos (2010) no publicada.
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Capítulo 3 ________________________________________________ partir de 1860, permite a los ingenieros efectuar gráficamente cálculos en todos los géneros (evaluación de funciones, cálculo de integrales, resolución de sistemas de ecuaciones, etc.). Este “cálculo” será eliminado sólo por los progresos de los medios electrónicos del cálculo en la segunda mitad del siglo XX” (Chevallard, 2009; traducido por Parra y Llanos) La parte del cálculo gráfico estudiado en el REI refiere a los medios de cálculo gráfico más simples, o diagramas geométricos. La Geometría permite, con la ayuda de construcciones simples efectuadas con la regla y el compás, calcular de manera relativamente sencilla y con una precisión suficiente, ciertas dimensiones definidas por una fórmula. Estas construcciones conducen, como resultado final, a la medida de una longitud que se busca construir. Por otro lado, Chevallard adhiere a la importancia de “utilizar” una calculadora electrónica, por medio de software de geometría, como GeoGebra®, como un complemento de los cálculos en lápiz y papel que puedan efectuarse inicialmente, aspecto que ha sido considerado en el diseño e implementación del dispositivo. Se coloca a continuación una síntesis de las situaciones didácticas y tareas propuestas, que explican y justifican la importancia de su implementación en el aula. 2.
Características del diseño propuesto
Se presenta el diseño propuesto para estudiar el Teorema de Thales de una manera que se aparta de la tradicional, por medio de un dispositivo didáctico que promueve el desarrollo de técnicas de geometría con lápiz y papel, con el complemento de herramientas de geométrica dinámica, por medio del Software GeoGebra®. El desarrollo de este dispositivo permite estudiar el Teorema de Thales y dos aplicaciones derivadas de este: la división de un segmento en partes iguales; y el concepto de triángulos semejantes. El dispositivo propuesto se compone de 4 situaciones, con 2 partes cada una; es decir, en total 8. Además se proponen síntesis, algunas a cargo del profesor y otras de los estudiantes, y también ejercicios y problemas que permiten mejorar y afianzar las técnicas construidas. Las tareas permiten a los estudiantes reforzar los conocimientos estudiados, volver sobre lo construido y evitar la permanente desestabilización que genera en ellos las resoluciones de estas actividades a las cuales no están acostumbrados. La síntesis de cada actividad, constituye la institucionalización del conocimiento construido; en el caso de las situaciones 1 y 2 se presenta la síntesis a cargo del profesor, a partir de la resolución de las mismas por recurrencia al teorema de Thales; en la situación 3, se propone que los mismos estudiantes sean quienes escriban la síntesis que responda al interrogante: ¿Cómo dividir un segmento en partes iguales?; y en la situación 4, se presenta una síntesis a completar con la técnica que permita construir triángulos semejantes. Al final se solicita sintetizar lo estudiado, y el profesor entrega una hoja en blanco, con el objetivo de conocer qué es lo que los estudiantes consideran que han reconstruido.
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Capítulo 3 ________________________________________________ La Situación 1 permite obtener cálculos numéricos como resultado de establecer relaciones entre segmentos determinados sobre rectas paralelas. En la Parte 1 de esta situación se propone una actividad en lápiz y papel, mientras que en la Parte 2 se presenta un problema similar, utilizando como soporte el software de geometría dinámica GeoGebra®. El uso del software permite abordar la pregunta ¿Qué condiciones debe cumplir la construcción para que los segmentos correspondientes sean proporcionales? Situación 1 - PARTE 1 El estudio de la pregunta ¿Cómo construir una calculadora gráfica?, permite obtener cálculos numéricos como resultado de establecer relaciones entre los segmentos de la Figura 1. Sabiendo que las rectas ̅̅̅̅ // ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ son transversales.
Figura 1: Representación gráfica de los segmentos para obtener cálculos numéricos
a) ¿Qué relación entre los segmentos puedes establecer para obtener la longitud x correspondiente al segmento ̅̅̅̅ ? Justificar b) ¿Qué operación matemática permite resolver esta calculadora gráfica? c) Obtener otras posibles representaciones gráficas para calcular x, con las longitudes de los segmentos dados y justificar cada construcción. Esta primera situación permite a los estudiantes encontrar una relación entre los segmentos ̅̅̅̅ paralelas, a partir de la recuperación de determinados sobre las rectas ̅̅̅̅ conocimientos previos como: razones y proporciones aritméticas, propiedades de las proporciones y proporcionalidad geométrica estudiados en años anteriores, de acuerdo a los diseños curriculares y a la realidad del curso donde se realizaron las implementaciones, dado que la profesora es la misma. Al observar que los segmentos correspondientes modifican su medida entre transversales, pueden sostener la idea de que esto ocurre en forma proporcional, por lo que estarán en condiciones de plantear la proporcionalidad entre segmentos, aplicando la regla de tres 23
Capítulo 3 ________________________________________________ simple, que es el instrumento inicialmente disponible para los estudiantes, sobre todo cuando hay que resolver situaciones que involucran porcentajes y proporcionalidad numérica. Se espera a partir de esto, que los estudiantes puedan encontrar las siguientes relaciones: , para hallar el valor del segmento ; que es una consecuencia de dicho cálculo
.
Esta situación inicial abriría la posibilidad de construir otras representaciones gráficas que permitan hallar el valor del segmento , y por lo tanto, resolver gráficamente la operación encontrada. A continuación se presentan otras posibles representaciones gráficas que podrían presentarse como respuesta al ítem c):
Figura 1.1 Representaciones posibles para calcular x gráficamente
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Capítulo 3 ________________________________________________ La Situación 1 Parte 2 es en apariencia similar, pero ahora se introduce el software de geometría dinámica y se enuncia como sigue: Situación 1 - PARTE 2 En el archivo Situación 1- Parte 2 que se encuentra en el escritorio de la PC de cada grupo, se ha representado el problema anterior utilizando como soporte el software de geometría dinámica GeoGebra. Este software permite desplazar puntos y analizar relaciones entre ellos. Los puntos representados A, B, C, D y J se construyeron como puntos “móviles”; y los puntos I y E son fijos. Como se muestra en la Figura 2, la planilla de cálculo anexa permite registrar los “movimientos” que realicen, es decir las longitudes de los segmentos y como consecuencia analizar la relación entre los mismos.
Figura 2
a) ¿Cuál es la relación entre los segmentos representados? Justificar. b) Tomar 10 filas de la tabla y analizar cuál es la razón entre las longitudes de los segmentos determinados. Justificar. c) ¿Qué operación matemática permite resolver esta calculadora gráfica? ¿Cuántos resultados posibles podemos obtener? ¿Por qué? d) ¿Qué condiciones debe cumplir la construcción para que los segmentos correspondientes sean proporcionales? En la hoja de cálculo adjunta al esquema se pueden observar las distintas longitudes que se quieran dar a los segmentos determinados sobre las rectas paralelas y analizar las características generales de la representación gráfica. Cuando se modifican los puntos “móviles” la estructura cambia, pero las rectas ⃡ y ⃡ se mantienen paralelas
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Capítulo 3 ________________________________________________ Analizando como mínimo los valores de las 10 filas de la tabla que se solicita, los estudiantes podrán ingresar en el terreno de las primeras generalizaciones indicando que las razones entre los segmentos correspondientes son iguales, y esto reafirma la relación de proporcionalidad entre los segmentos representados:
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
, de la situación anterior. La
operación matemática que permite resolver la calculadora gráfica es entonces: ̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
,
y siendo ̅̅̅ el segmento x queda: . Observando los registros, puede afirmarse ̅̅̅̅ que hay muchos resultados posibles, y que para cada representación gráfica, hay un nuevo valor para x, pero la razón entre los segmentos se mantiene constante. Esta situación permitiría concluir que la proporción entre los segmentos se cumple más allá de las modificaciones de la gráfica inicial, y que las rectas transversales deben intersecar rectas paralelas, para que los segmentos correspondientes a las mismas, sean proporcionales Los resultados obtenidos en estas situaciones (Situación 1- Parte 1 y 2) permiten afirmar que: Los segmentos correspondientes determinados en una estructura que contiene rectas paralelas y transversales, son proporcionales. La calculadora gráfica permite calcular el valor de x mediante una representación gráfica con las características enunciadas. La representación gráfica que construye dicha calculadora permite resolver una operación matemática que surge a partir de la relación de proporcionalidad entre los segmentos correspondientes. Para la Situación 2, se presenta en el software de geometría dinámica una representación gráfica con los segmentos determinados sobre las transversales. En la Parte 1 de esta situación la construcción presentada contiene rectas paralelas y promueve el análisis de las posibles longitudes de los segmentos; mientras que en la Parte 2, se presenta una construcción inicialmente similar, pero las rectas paralelas no lo son al realizar modificaciones en la misma, y permite a los estudiantes generalizar las condiciones que dicha representación gráfica debe cumplir para que se verifique la relación de proporcionalidad de segmentos.
Situación 2 - PARTE 1 En el archivo Situación 2- Parte I, se representan gráficamente longitudes para los segmento a y b que cumplen con la relación dada: . Los puntos A, B, D, E y J son puntos “móviles”; y los puntos C y F fijos. Como se muestra en la Figura 3, la planilla de cálculo anexa permite registrar los “movimientos” que realicen, es decir las longitudes de los segmentos y como consecuencia analizar la relación entre los mismos.
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Capítulo 3 ________________________________________________
Figura 3
Las rectas paralelas s//r//t determinan los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ sobre la transversal z de longitud 3 cm y 4 cm respectivamente; y la longitud de los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ sobre la transversal g. a) ¿Qué longitud puede asignarse a los segmentos y b para que cumplan con la relación dada ? b) ¿Cuántos valores posibles pueden admitir dichos segmentos? Justificar En esta situación los estudiantes encontrarán distintos valores para los segmentos a y b, pero estos valores son válidos cuando la razón entre ellos sea igual a la razón entre 3 y 4, conformando así la proporción indicada. Desde el registro de los movimientos realizados se observan los distintos valores para los segmentos a y b que podrían considerarse, justificando de este modo que estos no son únicos, aspecto que no siempre es analizado. Como síntesis de esta situación se espera que los estudiantes concluyan que existen muchos valores posibles para los segmentos a y b, y que para cada nueva estructura se modifican los segmentos pero siempre se cumple la relación de proporcionalidad entre los segmentos determinados. Situación 2 - PARTE 2 En el archivo Situación 2- Parte 2, se representan gráficamente las longitudes de los segmentos a y b determinados sobre una de las rectas transversales. Los puntos D, E y F son puntos “móviles”; y los puntos A, B y C fijos. Como se muestra en la Figura 4, la planilla de cálculo anexa permite registrar las longitudes de los segmentos ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ según los “movimientos” que realicen a partir de los puntos “móviles”.
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Capítulo 3 ________________________________________________
Figura 4
a) ¿Se mantiene la relación b) ¿Qué condiciones debe verifi ción?
? ¿Por qué? cumplir la representación
gráfica
para
que
se
Se propone analizar nuevamente los valores de los segmentos a y b en una nueva estructura, la cual no conserva necesariamente la condición de la existencia de rectas paralelas cortadas por transversales. Los puntos “móviles” están configurados de modo que no se garantiza que las rectas s, r y t se conservan paralelas con los movimientos, como en apariencia se puede notar en la Figura 4. Con esta situación se espera que los estudiantes identifiquen en la hoja de cálculo que la razón entre los segmentos de longitudes 3 y 4 no es igual a la razón entre a y b, y que como consecuencia, los segmentos determinados sobre las transversales no son proporcionales. Es posible aquí dar a los estudiantes la oportunidad de comparar esta construcción con la construcción de la situación anterior y concluir que las rectas r, s y t no son paralelas y por tal causa no se cumple la relación de proporcionalidad entre los segmentos. Los resultados obtenidos en estas situaciones (Situación 2 – Parte 1 y 2) permitirían confirmar que: La calculadora gráfica permite calcular los valores de a y b respectivamente para que se cumpla la proporción: Existen infinitos valores para que la proporción se cumpla, siempre que los segmentos se determinen en una representación gráfica que contenga rectas paralelas y transversales.
28
Capítulo 3 ________________________________________________ Luego de estas situaciones, se propone introducir tareas, con el objetivo de afianzar lo construido en las primeras situaciones. Por medio de las mismas se espera reforzar la condición de paralelismo para la proporcionalidad de segmentos correspondientes, y la aplicación de la propiedad fundamental de las proporciones. Tareas (1) 1. Construir una representación gráfica que permita calcular el valor de 2. Identificar qué representación gráfica corresponde a la operación:
I
III
II
IV
29
. . Justificar.
Capítulo 3 ________________________________________________ V
VI
3. Dada la siguiente proporción: . Construir una representación gráfica que permita calcular el valor de x. ¿Cuál es la operación matemática que dicha proporción permite resolver? ¿Cuáles son los valores posibles que puede admitir a? 4.
En el archivo Tarea 1.4 que se encuentra disponible en el escritorio de su PC, se ha ̅̅̅̅
̅̅̅̅
representado la proporción ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ como se muestra en la Figura 5. La planilla de cálculo anexa permite registrar los movimientos y analizar la proporción entre los segmentos dados.
Figura 5
a) ¿Qué valores posibles pueden asignárseles a los segmentos ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ para que sean proporcionales? 30
Capítulo 3 ________________________________________________ b) ¿Qué sucede si los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ son iguales? 5. I
la
al
xe
una de las siguientes representaciones gráficas: II
III
Se considera que una vez discutidas, corregidas y acordadas las posibles respuestas de las tareas anteriores, se está en condiciones de institucionalizar lo estudiado hasta el momento. Es el profesor quien introducirá la síntesis que sigue, para estabilizar a los estudiantes y concluir con la clase sobre lo construido hasta el momento.
31
Capítulo 3 ________________________________________________ SINTESIS (1) Las situaciones anteriores se resuelven por recurrencia al Teorema de Thales. La definición de este teorema se enuncia a continuación. Si tres o más paralelas son cortadas por dos o más transversales, los segmentos determinados en una de las transversales son proporcionales a sus correspondientes en la otra transversal. En el esquema: Dadas las rectas paralelas P//Q//R y las transversales T y S se cumple que: ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
o
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
o
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Una vez alcanzada la definición y verificados los casos estudiados en las situaciones y taras anteriores, se está en condiciones de avanzar hacia las aplicaciones de dicho Teorema, y en este diseño se hace a partir de las situaciones que siguen. Es con las Situaciones 3 y 4 que se ingresa en el estudio de dos aplicaciones del teorema de Thales: la división de un segmento en partes iguales y el concepto de triángulos semejantes, respectivamente, siempre primero por medio de las gráficas. En la Situación 3 se presenta una representación gráfica con rectas paralelas y transversales, en un sistema de ejes cartesianos, el cual permite hallar las coordenadas de un punto sobre el eje x a partir de la proporcionalidad entre los segmentos y la división de un segmento unidad, en partes iguales. Primeramente se presenta el esquema en lápiz y papel, mientras que en la segunda parte de esta situación se presenta el mismo esquema en el software, con el objetivo de investigar y dar respuesta a la pregunta: ¿Qué condiciones 32
Capítulo 3 ________________________________________________ cumple la representación gráfica para que un segmento de cualquier longitud se divida en partes iguales?
Situación 3. PARTE 1 La calculadora gráfica permite también construir puntos a igual distancia unos de otros. En la Figura 6 se representan en el sistema de ejes cartesianos las rectas paralelas que determinan los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Los demás ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ , se forman por intersección de dichas rectas con los ejes
Figura 6
a) ¿Cuál es la abscisa correspondiente al punto D? Justificar la respuesta. b) ¿Es posible obtener los puntos , ,y ? ¿Cuál es la relación entre los ̅̅̅̅ puntos construidos, y el segmento ? ̅̅̅̅ c) ¿Es posible dividir el segmento en 10 partes iguales? ¿Y en dos partes iguales? Justificar Esta situación permitiría a los estudiantes observar que la representación gráfica cumple las condiciones estudiadas: los ejes cartesianos son las transversales mientras que las rectas que contienen a los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ son paralelas. Se espera entonces que los estudiantes detecten las condiciones gráficas estudiadas y apliquen el teorema de Thales planteando las siguientes proporciones:
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
;
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
;
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
33
Considerando que la abscisa del
Capítulo 3 ________________________________________________ punto B corresponde a la unidad 1, y que se tienen como dato las longitudes de los segmentos determinados sobre el eje y, se reemplaza en una de las proporciones permitiendo obtener la abscisa
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Para obtener las demás fracciones con denominador 5, la construcción permite que los alumnos puedan trazar otras rectas paralelas a las iniciales y determinar que la calculadora gráfica permite construir cinco puntos a igual distancia y por lo tanto dividir el segmento ̅̅̅̅ en cinco partes iguales. Para realizar la división del segmento en 10 partes iguales, la actividad permite aplicar nuevamente la técnica de trazado de paralelas a igual distancia, las cuáles pasen por los puntos medios de cada unidad del eje y. Por último, para dividir el segmento ̅̅̅̅ en dos partes iguales, se traza la paralela que pase por el valor 2,5 del eje y, que es el punto medio del segmento ̅̅̅̅, ya que se debe mantener la proporción en ambos ejes. Situación 3. PARTE 2 El archivo Situación 3-Parte 2 disponible en el escritorio de la PC del grupo, corresponde a una representación de la situación anterior, como muestra la Figura 7. Los puntos C y B son puntos móviles y los demás fijos. Las rectas paralelas, dividen al segmento ̅̅̅̅ en cinco partes iguales. La planilla de cálculo anexa permite registrar las longitudes de los segmentos que las rectas paralelas determinan sobre el eje x y como consecuencia analizar la relación entre ellos.
Figura 7
a) ¿Qué longitudes posibles puede asignarse a los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ , para que la división de segmentos en partes iguales se mantenga? b) ¿Qué condiciones cumple la representación gráfica para que el segmento se divida en partes iguales, de cualquier longitud? 34
Capítulo 3 ________________________________________________ La representación gráfica en GeoGebra® se propone con el objetivo de que los alumnos puedan analizar los posibles valores que puede asignarse a los segmentos, los cuales pueden ser diferentes según el dinamismo del esquema presentado. Observando el registro en la hoja de cálculo, podrán concluir que la división del segmento en partes iguales se mantiene para cualesquier longitud de los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅. Las condiciones que cumple la representación gráfica para que el segmento ̅̅̅̅ se divida en partes iguales es que las rectas paralelas trazadas desde los puntos determinados en ̅̅̅̅ son equidistantes y por lo tanto determinan segmentos congruentes en ̅̅̅̅. La representación gráfica analizada cumple con las condiciones estudiadas en las situaciones 1 y 2, los segmentos correspondientes sobre las trasversales son determinados por rectas paralelas, por lo cual es una estructura que se corresponde con el Teorema de Thales, y la división de segmentos en partes iguales no es una imposición del profesor, sino una consecuencia del estudio de dicho Teorema. Por lo tanto, a partir del diseño que se propone sería posible al menos enunciar que es a partir del estudio del Teorema de Thales que los estudiantes podrían ingresar en el estudio de la división de un segmento en partes iguales. Los resultados obtenidos en esta situación permitirían afirmar que: La calculadora gráfica permite hallar la abscisa de puntos ubicados sobre el eje , hallar puntos a igual distancia y dividir un segmento en partes iguales, mediante el trazado de rectas paralelas equidistantes. El teorema de Thales permite justificar la técnica de la división de un segmento en partes iguales. Luego de la situación 3, se proponen otras tareas, tendientes a justificar y practicar la técnica construida para dividir un segmento en partes iguales. La relevancia de partir de la representación gráfica para concluir en dicha técnica estaría justificada no sólo porque la misma facilitaría el desarrollo de tareas relativas a la ubicación de números en la recta numérica, sino también ingresar en otras aplicaciones que podrían derivar de la misma, como por ejemplo para la resolución de problema de áreas. El segundo grupo de tareas propuestas se enuncian a continuación:
Tareas (2) 1- Construir una representación gráfica que permita ubicar en una recta numérica los siguientes números: , . 2- Dividir un segmento de 10,5 cm en 8 partes iguales, empleando regla no graduada y compás. 3- Si se considera un triángulo ABC. Usando solamente regla no graduada y compás, construir otro triángulo ADC, de manera tal que D pertenezca a la recta AB y que el área del triángulo ADC sea del área del triángulo ABC.
35
Capítulo 3 ________________________________________________ Además de las tareas enunciadas antes, en esta instancia se propone a los estudiantes elaborar ellos mismos una síntesis grupal, que les permita explicitar la técnica construida con las partes 1 y 2 de la situación 3. Los estudiantes recibirán un espacio máximo de una carilla para colocar todo lo que consideren con relación a esta actividad y como consecuencia se desarrollará una puesta en común y acuerdo sobre la pregunta ¿Cómo dividir un segmento en partes iguales?
SÍNTESIS (2) ¿Cómo dividir un segmento en partes iguales?
El profesor discutirá y elaborará junto con los estudiantes una síntesis de la clase. Consideramos que entre las respuestas se espera que por ejemplo indiquen los “pasos mínimos” para obtener las partes iguales de un segmento dado, y se verificará que dicha técnica se justifique a partir del teorema de Thales de manera adecuada. Una posible respuesta sería:
Se construye un segmento ̅̅̅ de cualquier medida; Se traza una semirrecta con origen en el extremo a del segmento; Se marcan sobre la semirrecta segmentos congruentes de cualquier medida, la última marca la llamamos por ejemplo o; Se traza la recta que determinan o y b; Se trazan las rectas paralelas a ̅̅̅ que pasan por los otros puntos que se marcaron sobre la semirrecta, y así queda dividido en segmento en partes iguales
Con la Situación 4 se espera ingresar en el estudio de triángulos semejantes. Como en las demás situaciones, la 4 también se plantea en dos partes. En la Parte 1, se promueve la construcción en lápiz y papel de triángulos con lados proporcionales y se espera que analicen las propiedades que cumplen dichos triángulos. En la Parte 2 se presenta un problema en apariencia similar, pero cuyo análisis debe realizarse en Geogebra®, con el objetivo de analizar y considerar los diferentes casos en términos de posiciones de los lados, y esperando que los estudiantes reconozcan las condiciones que cumplen los mismos, para dar lugar a la definición de los triángulos semejantes.
36
Capítulo 3 ________________________________________________ Situación 4. PARTE 1 Dado el triángulo ABC:
a) Construir otro A´B´C cuyos lados sean proporcionales. Justificar. b) Analizar los ángulos correspondientes y establecer las relaciones posibles. c) ¿Cómo son los triángulos que cumplen estas condiciones? Esta situación permite a los estudiantes construir un triángulo cuyos lados sean proporcionales a los del triángulo dado. Se espera en esta situación que apliquen lo estudiado antes, ya que al trazar una recta paralela a uno de sus lados, se determinan segmentos proporcionales, los cuales son lados correspondientes de los triángulos. La aplicación del teorema de Thales verifica entonces la proporcionalidad entre los dos pares de lados correspondientes, de cualquier triángulo en esas condiciones, y para comprobar que el tercer par de lados también es proporcional se pueden realizar mediciones y plantear la razón entre estos. Otra posible respuesta de los estudiantes podría ser considerar una razón de proporcionalidad determinada, por ejemplo , y a partir de allí construir el nuevo triángulo (Figura 7.4), aplicando la técnica de división de un segmento en partes iguales. Estas opciones de construcción que se mencionaron antes, se muestran en las siguientes figuras, pero de ningún modo se quiere dejar la idea de que no hay otras, estas son posibilidades:
Figura 7.1 Construcción de triángulo A´B´C
Figura 7.2 Construcción de triángulo A´B´C
37
Capítulo 3 ________________________________________________
Figura 7.3 Construcción de triángulo A´B´C
Figura 7.4 Construcción de triángulo A´B´C
En el análisis de los ángulos correspondientes de los triángulos, los alumnos podrán afirmar que son congruentes, justificando desde las relaciones entre los ángulos determinados entre paralelas y transversales, que ya han estudiado antes, aunque consideramos que tal vez tengan que reencontrarse con estas definiciones para poder considerarlas. Insistimos una vez más que en esta situación será fundamental contar con conexión a internet o libros de matemática en el aula, para que los estudiantes puedan reencontrase con el estudio de los ángulos entre paralelas, pues si bien lo habrían estudiado antes en esta edad escolar, es posible que sea necesario reingresar en este estudio. La Situación 4 Parte 2 introduce el problema de la “generalización” de las propiedades enunciadas en la Parte 1, con una situación similar a la anterior pero que requiere del software Geogebra® para analizar una variedad de casos de manera relativamente sencilla y alcanzar las generalizaciones por parte de los estudiantes. Situación 4. PARTE 2 En el archivo Situación 4- Parte 2 que se encuentra en el escritorio de la PC de cada grupo, se ha representado el problema anterior utilizando GeoGebra. Los puntos representados A, B, C, y D se construyeron como puntos “móviles”; y los puntos F y E son fijos. Como se muestra en la Figura 8, la planilla de cálculo anexa permite registrar las longitudes de los segmentos y como consecuencia analizar algunas relaciones entre los mismos.
38
Capítulo 3 ________________________________________________
Figura 8
a) ¿Qué características de los triángulos cambian cuando se modifican las longitudes de los lados de los mismos a partir de los “puntos móviles”? b) Tomar 10 filas de la tabla y analizar cuál es la razón entre las longitudes de los lados homólogos correspondientes de cada triángulo. ¿Siempre los lados son proporcionales? Justificar. c) ¿Cómo son los ángulos correspondientes cuando se modifican las longitudes de los lados? Analizar al menos 10 casos. d) Representar gráficamente las posiciones posibles que puede tomar el segmento ̅̅̅̅ para que la relación entre los lados y ángulos analizados se cumpla. Justificar la decisión. Mediante esta actividad los estudiantes pueden analizar diferentes casos, observando que los triángulos cambian de tamaño, pero mantienen su forma. Comparando las razones entre los lados correspondientes, para cada nueva representación gráfica las razones son constantes, por lo tanto los lados son siempre proporcionales; la justificación estaría dada a partir de la aplicación del teorema de Thales. En cuanto a los pares de ángulos correspondientes de los triángulos, se observa que los mismos se mantienen congruentes entre sí. Luego de experimentar y realizar modificaciones al esquema inicial, los alumnos pueden determinar las posibles posiciones que puede tomar el segmento ̅̅̅̅ para que se determinen triángulos semejantes: el segmento ̅̅̅̅ debe ser paralelo a cualquiera de los tres lados y puede trazarse tanto en el interior como en el exterior del triángulo, en este último caso prolongando los otros dos lados del triángulo. Los resultados obtenidos de las situaciones 3 y 4 permitirían afirmar que: Pueden construirse triángulos cuyos lados sean proporcionales justificando su construcción desde el teorema de Thales. Los triángulos que cumplen esta condición tienen forma similar pero diferente tamaño. 39
Capítulo 3 ________________________________________________ Los triángulos cuyos lados homólogos son proporcionales y sus ángulos correspondientes congruentes se denominan semejantes, siendo la razón de semejanza el valor de la razón entre las longitudes de lados proporcionales. Para construir dos triángulos semejantes puede aplicarse la técnica del trazado de una paralela a un lado del triángulo, justificado desde la siguiente propiedad: Toda recta paralela a un lado de un triángulo que corta a los otros dos o a sus prolongaciones, divide a éstos en segmentos proporcionales, por lo que forman un triángulo semejante al primero. Las tareas correspondientes a la situación 4, permiten aplicar la propiedad estudiada con respecto al trazado de una paralela a uno de los lados del triángulo, de tal manera que la razón de proporcionalidad entre los lados se corresponde con la razón de semejanza. Como se ha hecho con las demás situaciones, se propone aquí otro conjunto de tareas que permita a los estudiantes revisar lo reconstruido. Tareas (3) 1- Dado el triángulo ABC construir un triángulo semejante AB’C’ con razón de semejanza .
40
Capítulo 3 ________________________________________________ 2- Los triángulos ABC y DEF son semejantes ¿Cuál es la razón de semejanza entre ellos?
3- Dado el triángulo ABC, determinar el valor de x sabiendo que ̅̅̅̅ es paralela a ̅̅̅̅ .
4I)
Decide si los siguientes pares de triangulos son semejantes. Justifica.
41
Capítulo 3 ________________________________________________ II)
III)
Las tareas anteriores permitirían también a los estudiantes elaborar una técnica para construir triángulos semejantes, como aplicación del Teorema de Thales. Para formalizar estas técnicas y ponerlas a consideración de toda la clase, se propone otra síntesis, a cargo de los estudiantes, que les permita sintetizar lo construido en estas situaciones:
42
Capítulo 3 ________________________________________________ SÍNTESIS (3) Las situaciones 4 Parte 1 y 2 permitieron construir y analizar características y propiedades de la semejanza de triangulos. Se dice que: Dos triangulos son semejantes si y sólo si tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados homólogos proporcionales: Si BC // B´C´
A A ABC AB´C´ B B´ y AB AC CB AB´ AC´ C´B´ C C´ Para construir dos triángulos semejantes:
Los estudiantes completarían la síntesis correspondiente a la semejanza de triángulos considerando que para construir dos triángulos semejantes se traza una recta paralela a uno de los lados. Se propone como actividad final otra síntesis, donde el profesor entrega una carilla en blanco para completar por los estudiantes, donde ellos puedan sintetizar qué es lo que han estudiado durante la implementación. En el Capítulo 4 a continuación, se presentan los resultados de la implementación de dicho dispositivo y las respuestas alcanzadas por los estudiantes a lo largo de las situaciones, tareas y síntesis.
43
Capítulo 4
Capítulo 4 ___________________________________________________ ANÁLISIS DE DATOS Y RESULTADOS
1.
Introducción
En esta investigación hemos implementado un dispositivo didáctico diseñado para el estudio del Teorema de Thales de una manera diferente a la habitual, a partir de una cuestión engendrada en un REI, el cual se ha presentado y justificado en el capítulo anterior. En este capítulo nos centraremos en describir y analizar las características de la OM efectivamente reconstruida en el aula. Además se describen las modificaciones que se producen como consecuencia de introducir un diseño basado en preguntas, a partir de las funciones didácticas de topogénesis, cronogénesis y mesogénesis, que se presentan en el desarrollo de las clases. Para realizar el análisis de los resultados obtenidos a partir de la implementación del dispositivo, se utilizan los protocolos escritos de los estudiantes, las notas de campo del profesor/investigador y las transcripciones de los registros de audio de cada clase. Se realiza por un lado la descripción de las OMs efectivamente reconstruidas en el aula; y por el otro, las modificaciones en la distribución de las responsabilidades entre los agentes de la clase, profesor y estudiantes, lo que conforma el análisis de la topogénesis; como se constituye y gestiona el medio didáctico M de la clase, la mesogénesis; y por último cómo evoluciona el tiempo didáctico durante la implementación del dispositivo, la cronogénesis. Para el análisis de los procesos de estudios efectivamente realizados a partir del dispositivo propuesto, vamos a presentar un análisis situación a situación, lo que permite describir los resultados obtenidos en cada caso. Este dispositivo comienza a partir del estudio de la cuestión Q0: ¿Cómo construir una calculadora gráfica? De esta se desprenden otras preguntas que guían el proceso de estudio:
Q1: ¿Qué operación matemática permite resolver esta calculadora gráfica? Q2: ¿Qué condiciones debe cumplir la construcción para que los segmentos correspondientes sean proporcionales?
Estas dos preguntas son abordadas a partir de las situaciones 1 y 2, las cuales permiten reconstruir la OM correspondiente al Teorema de Thales y su institucionalización en la clase.
Q3: ¿Cómo dividir un segmento en partes iguales? Q4: ¿Qué condiciones cumple la representación gráfica para que el segmento de cualquier longitud se divida en partes iguales?
Estas dos cuestiones son abordadas a partir del estudio de la situación 3 las cuales permiten la reconstrucción de una de las aplicaciones del teorema: la división de un segmento en partes iguales.
Q5: ¿Qué condiciones debe cumplir una construcción para que los lados correspondientes de dos triángulos sean proporcionales?
45
Capítulo 4 ___________________________________________________ Esta pregunta es abordada desde la situación 4 para el estudio de la semejanza de triángulos. Estas cuestiones han permitido construir las condiciones necesarias y suficientes para el cumplimiento del Teorema de Thales, así como también han permitido una institucionalización propia por parte de los estudiantes de una de las aplicaciones de dicho teorema: la división de un segmento en partes iguales; y la reconstrucción de la OM de semejanza de triángulos, utilizando las propiedades desarrolladas inicialmente por el diseño. El análisis de estas cuestiones permitirá evaluar el dispositivo propuesto, considerando que otras posibles preguntas a estudiar pueden ser de gran relevancia para futuras implementaciones y para la ampliación o ajuste del mismo.
2. Análisis de las situaciones implementadas 2.1.1 Situación 1-Parte 1 Esta situación inicial tiene por objetivo que los estudiantes encuentren la relación de proporcionalidad entre los segmentos correspondientes, y resuelvan una operación matemática de forma gráfica. Situación 1 - PARTE 1 El estudio de Q: ¿Cómo construir una calculadora gráfica?, permite obtener cálculos numéricos como resultado de establecer relaciones entre los segmentos de la Figura 1. Se sabe que las rectas de la figura ̅̅̅̅ // ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ son transversales.
Figura 1: Representación gráfica de los segmentos para obtener cálculos numéricos.
a) ¿Qué relación entre los segmentos puedes establecer para obtener la longitud x correspondiente al segmento ̅̅̅̅? Justificar b) ¿Qué operación matemática permite resolver esta calculadora gráfica? c) Obtener otras posibles representaciones gráficas para calcular x, con las longitudes de los segmentos dados y justificar cada construcción.
46
Capítulo 4 ___________________________________________________ En la primera clase, el docente/investigador solo observó la actividad matemática de los estudiantes sin realizar intervenciones, la responsabilidad de la tarea fue asumida por los estudiantes, a pesar de la restricción inicialmente puesta por estos, pues estaban acostumbrados hasta ese momento a que el profesor siempre comenzaba explicando, cosa que no ocurrió. Para responder a este problema inicial, realizaron mediciones u operaciones erróneas sin poder establecer la relación esperada entre los segmentos, y sin justificar sus respuestas. Entre los intentos de respuestas posibles al problema se puede mencionar la resta entre las longitudes de los segmentos dados y el planteo de una regla de tres simple entre los segmentos. La proporcionalidad entre segmentos no fue estudiada en 3° año por este grupo, y por lo tanto no justificaron inicialmente su resolución desde el concepto de proporcionalidad geométrica. El protocolo del estudiante A19, correspondiente a la Figura 1, representa la iniciativa de los estudiantes de aplicar una resta de segmentos para calcular el valor de . A19
Figura 1. Protocolo correspondiente al alumno A 19
En la segunda clase, el docente propone a los estudiantes retomar la situación, y tratar de verificar y justificar la respuesta planteada inicialmente. Las primeras discusiones permitieron dar cuenta que lo construido no se correspondía con lo solicitado en el problema, y como consecuencia continuaron buscando alternativas y trataron de justificar la respuesta. Inicialmente representaron la gráfica dada con medidas reales y comprobaron que la resta de segmentos no es válida como respuesta. Indagaron entonces sobre el posible cálculo que permita encontrar el valor de , y la operación hallada fue planteada como la operación matemática que permite resolver esta calculadora gráfica. Esto puede observarse en el protocolo del estudiante A35 en la Figura 2.
A35
Figura 2. Protocolo correspondiente al alumno A 35
47
Capítulo 4 ___________________________________________________ Otro grupo de estudiantes planteó una relación de proporcionalidad entre los segmentos dados y el segmento x, mediante la aplicación de “la regla de tres simple”, técnica que fue considerada como la operación matemática que la calculadora gráfica permite resolver. Esta actividad matemática de los estudiantes puede observarse en la Figura 3 que muestra el protocolo del alumno A20.
A20 Figura 3. Protocolo correspondiente al alumno A 20
En la siguiente clase se realizó una puesta en común en el pizarrón para compartir las producciones de los alumnos. A partir de la resolución de la regla de tres simple se planteó la operación matemática que esta calculadora gráfica permite construir. Un estudiante planteó la resolución de los ítem a) y b) y el docente incorporó al medio la pregunta ¿en qué situaciones se aplica la regla de tres simple? ¿Qué relación existe entre los segmentos?, lo que permitió recuperar en la clase las nociones de proporcionalidad directa, razón y proporción. Para justificar la relación encontrada entre los segmentos, los estudiantes investigaron en Internet los conceptos de razón y proporción. En la Figura 4 se muestra el protocolo del alumno A15 donde se expone lo trabajado en el pizarrón y la definición construida en común acuerdo entre los grupos. A15
Figura 4. Protocolo correspondiente al alumno A15
La última pregunta de la situación 1, involucra la construcción de representaciones gráficas que permitan calcular el valor de . En primera instancia, los estudiantes realizaron construcciones similares al esquema dado. Para elaborar una respuesta a este problema se introducen al medio algunas preguntas por parte de los alumnos: ¿Qué hacer con el segmento sin emplearlo como dato? ¿Cómo deben disponerse los 48
Capítulo 4 ___________________________________________________ segmentos dados para obtener el segmento ? A partir del planteo de estas preguntas, los estudiantes realizaron un trabajo exploratorio, debatieron en grupo y luego de varios intentos fallidos, un grupo representó un esquema válido para el cálculo del segmento , como puede observarse en la Figura 5 que contiene el protocolo del estudiante A10. A10
Figura 5. Protocolo correspondiente al alumno A10
A partir de la elaboración de esta respuesta y de las discusiones entre los grupos de estudio, surgieron otras posibles representaciones gráficas, como la de los alumnos A10, A23 y A27, que se muestran a continuación. A10
Figura 6. Protocolo correspondiente al alumno A10
49
Capítulo 4 ___________________________________________________ A23
A27
Figura 7. Protocolos correspondientes a los alumnos A23 y A27
Los estudiantes no están familiarizados con el tipo de problema propuesto, pero retoman algunas herramientas de años anteriores como lo es la aplicación de la regla de tres simple. En la elaboración de respuestas a este problema los estudiantes construyeron una nueva técnica: resolver una operación matemática aplicando técnicas de geometría sintética. Esta situación permitió reconstruir el concepto de proporcionalidad geométrica a partir del establecimiento de una relación de proporcionalidad entre segmentos, logrando así la construcción de una calculadora gráfica propia que resuelve la operación matemática buscada.
2.1.2 Situación 1-Parte 2 En la Situación 1- Parte 2, se presentó el esquema anterior en el software GeoGebra®, con el objetivo de que los estudiantes puedan obtener una generalización de la resolución anterior resuelta en lápiz y papel. La geometría dinámica permite analizar distintas disposiciones del esquema inicial y describir como consecuencia las
50
Capítulo 4 ___________________________________________________ condiciones que debe tener una representación gráfica para que se determinen segmentos proporcionales. Situación 1 - PARTE 2 En el archivo Situación 1- Parte 2 que se encuentra en el escritorio de la PC de cada grupo, se ha representado el problema anterior utilizando como soporte el software de geometría dinámica GeoGebra. Este software permite desplazar puntos y analizar relaciones entre ellos. Los puntos representados A, B, C, D y J se construyeron como puntos “móviles”; y los puntos I y E son fijos. Como se muestra en la Figura 2, la planilla de cálculo anexa permite registrar los “movimientos” que realicen, es decir las longitudes de los segmentos y como consecuencia analizar la relación entre los mismos.
Figura 2
a) ¿Cuál es la relación entre los segmentos representados? Justificar. b) Tomar 10 filas de la tabla y analizar cuál es la razón entre las longitudes de los segmentos determinados. Justificar. c) ¿Qué operación matemática permite resolver esta calculadora gráfica? ¿Cuántos resultados posibles podemos obtener? ¿Por qué? d) ¿Qué condiciones debe cumplir la construcción para que los segmentos correspondientes sean proporcionales? Se dispuso de una neetbook por grupo, estimulando así el debate en el análisis de las distintas representaciones gráficas obtenidas. Los alumnos observaron que para cada nuevo esquema los segmentos son proporcionales. En la Figura 8, correspondiente al protocolo del grupo G04, puede observarse una modificación del esquema inicial con las respectivas longitudes de segmentos y razones entre los mismos en la hoja de cálculo. Es importante aclarar que la profesora antes de comenzar la actividad cargó a los siete grupos un archivo con las celdas de la planilla configuradas, pues el objetivo es que los estudiantes analicen las relaciones entre los segmentos para concluir en la proporción entre los mismos, que determinaría la razón constante que se observa en la figura que sigue.
51
Capítulo 4 ___________________________________________________ G04
Figura 8. Visualización de la pantalla del software del grupo G04
En general los estudiantes respondieron que la proporción se mantiene constante a partir del análisis de los valores observados en la hoja de cálculo, otros grupos justificaron que los segmentos son proporcionales por la existencia de rectas paralelas y transversales en las distintas representaciones gráficas analizadas. En las figuras 9 y 10 se muestran los protocolos de los alumnos A34 y A35, respectivamente. A34
Figura 9. Protocolo correspondientes al alumno A34
A35
Figura 10. Protocolo correspondientes al alumno A35
En cuanto a la operación matemática que esta calculadora gráfica permite resolver, los estudiantes expresaron la proporción entre los segmentos. Luego de un tiempo considerable de trabajo, el docente decide realizar una puesta en común en el pizarrón, introduciendo nuevamente al medio la cuestión: ¿Cuál es la operación matemática que 52
Capítulo 4 ___________________________________________________ permite obtener el valor de x? por lo que los alumnos propusieron despejar x de la proporción y hallar finalmente la operación matemática. La respuesta a los posibles valores que puede tomar el segmento x fue que puede tomar distintos valores mientras se mantengan constantes las razones y se cumpla la proporción entre los segmentos. En la Figura 11 pueden observarse los resultados obtenidos en el pizarrón, tomando como representante el protocolo del alumno A26. A26
Figura 11. Protocolo correspondiente del alumno A26
Al resolver esta segunda parte de la situación 1, los estudiantes reafirmaron la operación matemática que esta calculadora gráfica permite resolver, así como también la condición que debe cumplir la representación gráfica para resolverla: los segmentos correspondientes son proporcionales en representaciones gráficas que tienen rectas paralelas y transversales, como puede observarse en la respuesta del alumno A20 de la Figura 12. A20
Figura 12. Protocolo correspondiente al alumno A20
En la Situación 1 Parte 1 y 2 hubo diferencias respecto a la enseñanza tradicional, que ha sido introducida hasta entonces por la misma profesora, que ahora propone ingresar en el estudio del Teorema de Thales a partir de situaciones, que aquí son descritas por las funciones mesogénesis, cronogénesis y topogénesis. En la Situación 1- Parte 1, los estudiantes solicitaron la ayuda del profesor constantemente, ya que no estaban acostumbrados a resolver tareas de este tipo, y reclamaron la explicación del profesor. En este caso, el docente actuó como “guía” introduciendo preguntas al medio para que los estudiantes puedan avanzar en el estudio, en lugar de explicar como lo ha hecho hasta el momento. Más allá de esto, los alumnos realizaron varios intentos de producción de sus respuestas, de construcción de nuevas representaciones gráficas para 53
Capítulo 4 ___________________________________________________ el cumplimiento de la tarea solicitada. Los reiterados intentos de respuestas, y sobre todo la resistencia inicial de los estudiantes, produjeron modificaciones en la cronogénesis, identificando una considerable dilatación del tiempo didáctico previsto. Los principales cambios que afectan al estudio, cuando el profesor ya no explica más, producen modificaciones importantes en la topogénesis que en este caso permite a los estudiantes ocupar su lugar. Con relación a la Parte 2 de esta situación, también hubo modificaciones en el nivel de la mesogénesis, ya que se incorporó un soporte de geometría dinámica que permite observar diferentes casos en un tiempo reducido y dedicar atención exclusiva al estudio de la operación matemática que la calculadora gráfica permite resolver, esto es otra novedad para un estudio que no se corresponde con una enseñanza tradicional. Cuando hay un profesor que explica, en el medio todo está determinado por lo que él dice y quiere mostrar. El software permitió a los estudiantes tomar sus propias decisiones con relación a la cantidad de casos y posiciones de los segmentos que los grupos estuvieran dispuestos a considerar, con el objetivo de arribar a conclusiones sobre la proporcionalidad de segmentos en determinadas condiciones. Por otro lado, es destacable el hecho de que los estudiantes no tuvieron inconvenientes en emplear el software. El tiempo del estudio estuvo dedicado a realizar observaciones y descubrir relaciones geométricas a partir del software, y se corresponde con lo esperado por el profesor. Con respecto a las responsabilidades que cada agente asumió en la resolución de esta Parte 2, hubo modificaciones en la topogénesis con respecto a la Parte 1, ya que los estudiantes mostraron mayor autonomía, ocupando un lugar más importante en la clase.
2.2.1 Situación 2. Parte 1 En la Situación 2, se presenta en el software GeoGebra® un esquema diferente al de la Situación 1, junto con una hoja de cálculo que permite a los estudiantes analizar la proporción , considerando los posibles valores que pueden tomar los segmentos a y b para que la proporción se cumpla. Situación 2 - PARTE 1 En el archivo Situación 2- Parte 1, se representan gráficamente longitudes para los segmento a y b que cumplen con la relación dada: . Los puntos A, B, D, E y J son puntos “móviles”; y los puntos C y F fijos. Como se muestra en la Figura 3, la planilla de cálculo anexa permite registrar los “movimientos” que realicen, es decir las longitudes de los segmentos y como consecuencia analizar la relación entre los mismos.
54
Capítulo 4 ___________________________________________________
Figura 3
Las rectas paralelas s//r//t determinan los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ sobre la transversal z de longitud 3 cm y 4 cm respectivamente; y la longitud de los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ sobre la transversal g. a) ¿Qué longitud puede asignarse a los segmentos y b para que cumplan con la relación dada ? b) ¿Cuántos valores posibles pueden admitir dichos segmentos? Justificar Durante el desarrollo de esta situación los estudiantes dedicaron un tiempo breve para su análisis y la elaboración de respuestas. Inicialmente tuvieron inconvenientes en asociar los segmentos a las celdas de la hoja de cálculo y el docente orientó entonces la observación de las medidas de los segmentos en las celdas correspondientes. En la Figura 13 se presenta la imagen del archivo analizado por el grupo G02. G02
Figura 13. Visualización de la pantalla del software del grupo G02
55
Capítulo 4 ___________________________________________________ Luego de observar el archivo, los alumnos comienzan a responder los ítems de la actividad. Un estudiante del grupo 6 afirma que “los valores de a y b deben ser mayores o iguales que 3”, el docente solicita la justificación a dicha respuesta y se produce un debate en la clase donde otros grupos dan ejemplos de razones iguales a 0,75 donde a y b no necesariamente tienen que ser mayores a 3. En la Figura 14 se muestra la respuesta del alumno A37. Otros estudiantes afirmaron que a debe ser menor que b porque la razón es menor a un entero, entonces el docente incorpora al medio la pregunta ¿podemos asignar cualquier valor a los segmentos siempre que a sea menor que b?, algunos respondieron afirmativamente y otros respondieron que “a debe ser menor que b pero además las razones deben ser iguales” planteando algunos ejemplos en el pizarrón como se muestra en la Figura 15, donde se ha elegido el protocolo del estudiante A34.. A37
Figura 14. Protocolo correspondiente al alumno A37
A34 A37
Figura 15. Protocolo correspondiente al alumno A34
A partir de las discusiones acerca de los posibles valores que pueden tomar los segmentos a y b, se realizó una puesta en común y se escribieron las conclusiones en el pizarrón: “los valores que pueden tomar y son muchos, a debe ser menor que b, deben ser positivos pero siempre que las razones sean iguales a para que la proporción entre los segmento exista”. En la Figura 16 que contiene el protocolo del alumno A24, puede observarse la respuesta que los estudiantes consiguieron construir en esta situación, que fue la consensuada entre los grupos. 56
Capítulo 4 ___________________________________________________
A24
Figura 16. Protocolo correspondiente al alumno A24
Esta situación permitió reconstruir el concepto de razón y proporción, los grupos pudieron determinar los posibles valores que puede asignarse a los segmentos a y b y también concluir que los segmentos son proporcionales porque se mantiene constante la razón entre estos.
2.2.2 Situación 2. Parte 2 En la segunda parte de esta situación se emplea nuevamente el soporte GeoGebra® y se crea un archivo que contiene la misma proporción que en la actividad anterior, con un esquema en apariencia similar pero con características diferentes, ya que las rectas paralelas no se mantienen a partir del desplazamiento de los puntos móviles, lo que permitiría a los estudiantes describir las condiciones que debe cumplir la gráfica para que los segmentos sean proporcionales. Situación 2- PARTE 2 En el archivo Situación 2- Parte 2, se representan gráficamente las longitudes de los segmentos a y b determinados sobre una de las rectas transversales. Los puntos D, E y F son puntos “móviles”; y los puntos A, B y C fijos. Como se muestra en la Figura 4, la planilla de cálculo anexa permite registrar las longitudes de los segmentos ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ según los “movimientos” que realicen a partir de los puntos “móviles”.
57
Capítulo 4 ___________________________________________________
Figura 4
a) ¿Se mantiene la relación ? ¿Por qué? b) ¿Qué condiciones debe cumplir la representación gráfica para que se verifique esta relación? Los alumnos se dispusieron a movilizar algunos puntos de la representación gráfica, que aparentemente no presentaban problemas, pero que los cálculos no funcionaban como ellos esperaban. A modo de ejemplo, en la Figura 17 se presenta la imagen del archivo analizado por el grupo G05 con relación a la Situación 2 Parte 2. G05
Figura 17. Visualización de la pantalla del software del grupo G05
Los estudiantes observaron que la gráfica tiene características diferentes, las rectas que inicialmente son paralelas, ya no lo son.; y analizando los valores en la hoja de cálculo respondieron que “las razones entre los segmentos correspondientes no son iguales y por lo tanto los segmentos correspondientes no son proporcionales”. En la Figura 18 correspondiente al protocolo del alumno A33 puede observarse una de las respuestas dadas por lo estudiantes a esta situación. 58
Capítulo 4 ___________________________________________________
A33 Figura 18. Protocolo correspondiente al alumno A33
Con respecto a las condiciones que debe cumplir la gráfica para que se cumpla la relación de proporcionalidad entre los segmentos, los alumnos asumieron por comparación con la actividad anterior, que las rectas r, s y t deben ser paralelas para que los segmentos correspondientes sean proporcionales. Estas conclusiones de los estudiantes, se ejemplifican en este trabajo a partir del protocolo del estudiante A31 en la Figura 19. A31
Figura 19. Protocolo correspondiente al alumno A31
En la Situación 2, los estudiantes presentaron mayor autonomía para el trabajo en clase. Las respuestas fueron propuestas exclusivamente por ellos, ya que prácticamente no hubo intervenciones por parte del docente, como sí ocurrió en la Situación 1. El topos del alumno fue central en la elaboración de las respuestas, y el profesor reservó su lugar a la presentación de las situaciones y gestión de las puestas en común, realizando preguntas en lugar de ser quien defina los resultados de la situación y los explica. En cuanto a la cronogénesis, el tiempo de trabajo fue el esperado, y esto puede deberse a la confianza que los alumnos adquirieron con esta forma de estudiar y con el manejo del software. Recuperaron las respuestas de la Situación 1, obtenidas en lápiz y papel mediante aplicación de técnicas de geometría sintética, complementando con técnica de 59
Capítulo 4 ___________________________________________________ geometría dinámica. La inserción del software de geometría dinámica es central en este estudio, ya que las generalizaciones son alcanzadas por los diferentes casos que los estudiantes en los distintos grupos logran construir. Los estudiantes confirmaron la condición que debe cumplir la representación gráfica para que los segmentos correspondientes sean proporcionales y esto permitió entonces generalizar las condiciones planteadas con anterioridad en la Situación 1 y facilitó al docente la institucionalización del Teorema de Thales, el cual se presentó como una síntesis de las situaciones resueltas. Se brindó un tiempo para que cada grupo pueda leer la síntesis, se realizó una puesta en común y los estudiantes presentaron otras proporciones posibles. En la Figura 20 se presenta la síntesis de las Situaciones 1 y 2.
SINTESIS (1) Las situaciones anteriores se resuelven por recurrencia al Teorema de Thales. La definición de este teorema se enuncia a continuación. Si tres o más paralelas son cortadas por dos o más transversales, los segmentos determinados en una de las transversales son proporcionales a sus correspondientes en la otra transversal. En el esquema: Dadas las rectas paralelas P//Q//R y las transversales T y S se cumple que: ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
o
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
o
Figura 20. Síntesis de las situaciones 1 y 2
60
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Capítulo 4 ___________________________________________________ 2.2.3. Tareas Situación 1 y 2. Luego de la institucionalización del Teorema de Thales, se propusieron las tareas correspondientes a las Situaciones 1 y 2 que conducen a la aplicación de la técnica construida en las clases anteriores: Realizar construcciones gráficas que determinen segmentos proporcionales para calcular el valor de una operación matemática. Esta técnica estudiada se justifica desde el Teorema de Thales, que permite el planteo de las proporciones correspondientes. Entregadas las tareas, los estudiantes comienzan con la resolución de las mismas, en las cuales se aplica el teorema empleando técnicas de geometría sintética y analítica. Tareas 1. Construir una representación gráfica que permita calcular el valor de 2. Identificar qué representación gráfica corresponde a la operación: I
II
III
IV
61
. . Justificar.
Capítulo 4 ___________________________________________________ V
VI
3- Dada la siguiente proporción: . Construir una representación gráfica que permita calcular el valor de x. ¿Cuál es la operación matemática que dicha proporción permite resolver? ¿Cuáles son los valores posibles que puede admitir a? 4- En el archivo Tarea 1.4 que se encuentra disponible en el escritorio de su PC, se ha ̅̅̅̅
̅̅̅̅
representado la proporción ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ como se muestra en la Figura 5. La planilla de cálculo anexa permite registrar los movimientos y analizar la proporción entre los segmentos dados.
Figura 5
a) ¿Qué valores posibles pueden asignárseles a los segmentos ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ para que sean proporcionales? b) ¿Qué sucede si los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ son iguales?
62
Capítulo 4 ___________________________________________________ 5-Calcular el valor de x en cada una de las siguientes representaciones gráficas: I)
II)
II)
La Tarea 1 es una tarea inversa al problema de la Situación 1, se solicita a los estudiantes una representación gráfica que permita resolver la operación matemática dada. Sin mayor dificultad los estudiantes ingresaron en la construcción de representaciones gráficas con lápiz y papel que cumplan las condiciones estudiadas y que permitan calcular el valor de . Los estudiantes A15 y A23, construyeron representaciones gráficas similares al esquema presentado en la Situación 1-Parte 1, donde los segmentos están determinados sobre las rectas paralelas (Figura 21); otros estudiantes como A17 y A31 elaboraron una respuesta determinando los segmentos proporcionales sobre las transversales, como se muestra en la Figura 22. Por su parte, el alumno A32 representa una gráfica distinta a los demás grupos, como se observa en la Figura 23, planteando una proporción donde el segmento está contenido en el segmento ̅̅̅̅.
63
Capítulo 4 ___________________________________________________
A15
A23
Figura 21. Protocolo correspondiente a los alumnos A15 y A23
A17
A31
Figura 22. Protocolos correspondientes a los alumnos A17 y A31
A32
Figura 23. Protocolo correspondiente al alumno A32
64
Capítulo 4 ___________________________________________________ Con relación a la Tarea 2, los grupos seleccionaron las representaciones gráficas que corresponden con la operación dada. En general se cometieron pocos errores, y algunos grupos resolvieron de manera incompleta al no considerar algunos esquemas posibles. Los estudiantes justificaron sus respuestas con el planteo de la proporción correspondiente a cada esquema y considerando la condición estudiada en las situaciones anteriores. En la Figura 24 puede observarse el protocolo de A20, que contiene como respuesta los ítems de las gráficas que permiten resolver la operación matemática del enunciado y la justificación de su elección.
A20
Figura 24. Protocolo correspondiente al alumno A20
Posteriormente se realizó la corrección de la Tarea 3 que se coloca con el objetivo de calcular el valor de en forma gráfica y encontrar la operación matemática que permite resolver la proporción inicial, considerando dos segmentos de valor , el segmento y el segmento igual a 1. Entre las respuestas a esta tarea se identifica que algunos grupos indicaron la operación matemática como: como puede observarse en el caso de A22 (Figura 25) quien además construyó una representación gráfica con rectas paralelas y transversales, sin asignar previamente un valor al segmento .
A22
Figura 25. Protocolo correspondiente al alumno A22
Otros grupos despejaron en la proporción inicial y determinaron que la operación matemática es √ , como se muestra en el protocolo de A19 quien realiza una representación gráfica con valores enteros para a y x. Todos los grupos coinciden en cuánto a los valores posibles que puede asignarse al segmento , los cuales deben ser positivos. En cuanto a la construcción de la representación gráfica para hallar el valor de , se observa una disposición correcta de los segmentos, pero en general las gráficas no permitieron calcular el valor de x, pues en muchos casos el valor de fue determinado previamente por los estudiantes con un valor entero, y el valor de resuelto en forma analítica, como se muestra en la siguiente figura.
65
Capítulo 4 ___________________________________________________ A19
Figura 26. Protocolo correspondiente al alumno A19
La Tarea 4 tiene por objetivo analizar los posibles valores que pueden asignarse a los segmentos correspondientes para que sean proporcionales, incluyendo la posibilidad de que los mismos sean congruentes, a partir del estudio de diversos casos en el software. En el protocolo de la Figura 27 correspondiente al grupo G04, el cual es representativo del trabajo realizado por todos los grupos, se observa el registro de los movimientos realizados, que se detallan en la hoja de cálculo adjunta al gráfico. Los estudiantes coincidieron en que las razones se mantienen constantes porque se cumplen las condiciones estudiadas en la Situación 1 y 2. Se muestra en la Figura 28 la justificación de los alumnos A04 y A22. G04
Figura 27. Visualización de la pantalla del software del grupo G04
66
Capítulo 4 ___________________________________________________ A04
A22
Figura 28. Protocolo correspondiente a los alumnos A04 y A22 respectivamente
Cuando se realizó la puesta en común, se retoma el caso del ítem b) donde los estudiantes debían analizar la posibilidad de la igualdad entre los segmentos que conforman una de las razones. En sus respuestas todos indicaron que si los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ son iguales, los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ también son iguales entre sí, pero no lo justificaron. El docente realizó una intervención y solicitó a los estudiantes justificar y verificar las respuestas dadas. Luego del trabajo en los grupos, se realizó otra puesta en común en el pizarrón y de esta manera se abordó a la igualdad de segmentos como puede observarse en el protocolo de A27, justificando de esta manera la igualdad entre los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ .
A27
Figura 29. Protocolo correspondiente al alumno A27
En la Tarea 5, se presenta una tarea inversa a las Tareas 1 y 2, ya que los estudiantes calculan el valor de mediante la aplicación del Teorema de Thales y la propiedad fundamental de las proporciones. En el protocolo de A05, se muestra la respuesta completa de uno de los grupos.
67
Capítulo 4 ___________________________________________________ A05
Figura 30. Protocolo correspondiente al alumno A05
Con la resolución de las Situación 1 y 2 y las tareas se estaría en condiciones de indicar que las actividades permitieron ingresar en el estudio del Teorema de Thales sin mayores dificultades, ya que los estudiantes llegaron a construir una técnica geométrica que permite resolver una operación matemática a partir de la proporcionalidad entre segmentos. De todas formas, los estudiantes demuestran que el “manejo” de técnicas algebraicas es superior que el de las técnicas geométricas, y esto se evidencia en los protocolos, dado que principalmente intentan responder o verificar sus respuestas realizando cálculos. Esto podría ser una consecuencia de las actividades desarrolladas en las clases tradicionales, dado que luego de que el profesor explica, se brinda más tiempo a la resolución de tareas en el marco aritmético y algebraico que en el geométrico; o al menos esta es la experiencia del profesor que implementa este dispositivo. Por este motivo, se requirió de un tiempo más extenso que lo habitual para la producción de las respuestas a estas situaciones y a las tareas, lo que influye directamente en el dominio del tiempo reloj requerido para el estudio de las cuestiones.
2.3.1 Situación 3. Parte 1 Esta situación permite construir una de las aplicaciones del Teorema de Thales: la división de un segmento en partes iguales, a partir de la identificación de la abscisa de un punto dado en un sistema cartesiano; y la ubicación de otros puntos a igual distancia. Situación 3. PARTE 1 La calculadora gráfica permite también construir puntos a igual distancia unos de otros. En la Figura 6 se representan en el sistema de ejes cartesianos las rectas paralelas que determinan los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Los demás ̅̅̅̅ ,̅̅̅̅, ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, se forman por intersección de dichas rectas con los ejes
68
Capítulo 4 ___________________________________________________
Figura 6
a) ¿Cuál es la abscisa correspondiente al punto D? Justificar la respuesta. b) ¿Es posible obtener los puntos , y ? ¿Cuál es la relación entre los puntos construidos, y el segmento ̅̅̅̅? c) ¿Es posible dividir el segmento ̅̅̅̅ en 10 partes iguales? ¿Y en dos partes iguales? Justificar Para la primera pregunta de esta actividad, todos los grupos pudieron hallar el valor de la abscisa del punto , aplicando la proporción correspondiente entre los segmentos determinados en el esquema y la propiedad fundamental de las proporciones. En los protocolos de A22 y A23, se observa que algunos estudiantes plantearon la proporción justificando su validez desde el cumplimiento de las condiciones de la representación gráfica, mientras que otros estudiantes aplicaron técnicas de cálculo sin justificar su procedimiento. A22
Figura 31. Protocolo correspondiente al alumno A22
69
Capítulo 4 ___________________________________________________ A23
Figura 32. Protocolo correspondiente al alumno A23
Con respecto al ítem b), algunos grupos obtuvieron los puntos solicitados de forma aproximada, sobre el eje de las abscisas, dividiendo el segmento ̅̅̅̅ en 5 partes iguales realizando mediciones o trazando mediatrices del segmento en forma reiterada como lo hizo el estudiante A29. Otras respuestas se elaboraron a partir del trazado de rectas paralelas al segmento ̅̅̅̅ que pasan por los puntos a igual distancia sobre el segmento ̅̅̅̅, y se determinaron las intersecciones de estas rectas con el segmento ̅̅̅̅, obteniendo así las fracciones solicitadas como se muestra en el protocolo del alumno A15 en la Figura 34.
A29
Figura 33. Protocolo correspondiente al alumno A29
70
Capítulo 4 ___________________________________________________ A15
Figura 34. Protocolo correspondiente al alumno A15
Para responder el ítem c) los estudiantes aplicaron nuevamente el trazado de rectas paralelas equidistantes. En el protocolo del alumno A23 se muestra la aplicación de dicha técnica para la división del segmento en dos partes iguales con su respectiva justificación. En el caso de la división del segmento en 10 partes iguales sólo indicaron como aplicar la técnica sin realizar la construcción, como se muestra en la Figura 36. A23
Figura 35. Protocolo correspondiente al alumno A23
71
Capítulo 4 ___________________________________________________
A10 Figura 36. Protocolo correspondiente al alumno A10
Esta situación permitió a los estudiantes aplicar el teorema de Thales mediante el planteo de la proporción entre los segmentos, y la aplicación de la propiedad fundamental de las proporciones para encontrar el valor de la abscisa de un punto ubicado en el eje x. El trazado de paralelas equidistantes permitió ubicar puntos a igual distancia, hallar las fracciones solicitadas y dividir un segmento en partes iguales. Una respuesta no esperada por el docente fue el trazado de mediatrices para dividir el segmento en 5 partes iguales, ya que dicha técnica no permite resolver este problema.
2.3.2 Situación 3. Parte 2 En la Situación 3 Parte 2, se plantea una situación similar a la anterior utilizando GeoGebra® con el objetivo de que los alumnos generalicen la aplicación de la técnica de dividir un segmento en partes iguales y puedan institucionalizarla mediante una síntesis. Situación 3. PARTE 2. El archivo Situación 3-Parte 2 corresponde a una representación de la situación anterior, como muestra la figura 7. Los puntos C y B son puntos móviles y los demás fijos. Las rectas paralelas, dividen al segmento ̅̅̅̅ en cinco partes iguales. La planilla de cálculo anexa permite registrar las longitudes de los segmentos que las rectas paralelas determinan sobre el eje x y como consecuencia analizar la relación entre ellos.
Figura 7
72
Capítulo 4 ___________________________________________________ a) ¿Qué longitudes posibles puede asignarse a los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, para que la división de segmentos en partes iguales se mantenga? b) ¿Qué condiciones cumple la representación gráfica para que el segmento se divida en partes iguales, de cualquier longitud? Como se observa en el protocolo del grupo G07, los estudiantes se dispusieron a modificar la estructura inicial a partir del desplazamiento de los puntos móviles y a realizar observaciones. En general los grupos coincidieron en que los segmentos pueden tomar distintos valores positivos, y que la condición que debe cumplir la representación gráfica es la existencia de rectas paralelas equidistantes. Estas respuestas pueden observarse en la Figura 38 con el protocolo del alumno A20.
G07
Figura 37. Visualización de la pantalla del software del grupo G07
A20
Figura 38. Protocolo correspondiente al alumno A20
Los grupos 2 y 7, agregaron que la condición para que el segmento se divida en partes iguales es la relación de proporcionalidad entre los segmentos determinados en ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅, aunque no justifican su respuesta. Mientras que en el grupo 6, aplicaron lo estudiado en la tarea 1.4 de las Situaciones 1 y 2 y plantearon que si las rectas paralelas determinan segmentos iguales en ̅̅̅̅, al mover los puntos, los segmentos determinados sobre la otra transversal ̅̅̅̅, también serán iguales. En la Figura 39 puede observarse el protocolo de los alumnos A32 y A37 que contienen estas respuestas.
73
Capítulo 4 ___________________________________________________ A32
A37
Figura 39. Protocolo correspondiente a los alumnos A32 y A37
En la clase siguiente se realizó una puesta en común de la Situación 3-Parte 2, y en general los grupos coincidieron en cuanto a las condiciones que debe cumplir la representación gráfica para que el segmento se divida en partes iguales. El grupo 7 expuso su respuesta en el pizarrón, que derivó en una conclusión como respuesta, tal como puede observarse en el protocolo del alumno A32. A32
Figura 40. Protocolo correspondiente al alumno A32
En la clase siguiente los estudiantes se dispusieron a realizar una síntesis grupal sobre el procedimiento: división de un segmento en partes iguales. Cada integrante del grupo realizó un trabajo exploratorio construyendo diferentes representaciones gráficas, y a partir de allí intercambiar sus producciones para completar en forma grupal la síntesis solicitada por la profesora. En la Figura 41 puede observarse una de las representaciones gráficas del alumno A09, quien aplicó la técnica estudiada en las situaciones anteriores, mientras que algunos estudiantes en sus primeras construcciones dividieron segmentos aplicando el trazado de mediatrices. En este momento el docente realizó una intervención para guiar a los alumnos a aplicar la técnica estudiada en la Situación 3 e introdujo al medio cuestiones acerca de la medida posible del segmento y la dirección de la semirrecta auxiliar. A partir del análisis de estas cuestiones, los estudiantes escribieron la síntesis correspondiente a la aplicación de la técnica, la cual puede observarse en la Figura 42 que contiene la respuesta del grupo G06 seleccionado como un prototipo.
74
Capítulo 4 ___________________________________________________ A09
Figura 41. Protocolo correspondiente al alumno A09
G06
Figura 42. Síntesis de la Situación 3 correspondiente al grupo G6
75
Capítulo 4 ___________________________________________________ En la Situación 3 la incorporación de la geometría dinámica permitió a los estudiantes analizar posibles modificaciones a la gráfica inicial, entregada en lápiz y papel, y reconstruir las condiciones que cumple una gráfica para que los segmentos correspondientes sean proporcionales así como también describir las condiciones para que un segmento de cualquier longitud se divida en partes iguales. Durante el trabajo exploratorio, los estudiantes pudieron incorporar nuevas cuestiones y realizar diversas construcciones gráficas para elaborar una respuesta. El trazado de la mediatriz para dividir el segmento en partes iguales no fue una respuesta esperada por el profesor por lo que fue necesaria su intervención solicitando analizar si la mediatriz permite dividir un segmento en cualquier cantidad de partes. La aplicación de la técnica del trazado de mediatrices no es suficiente entonces para elaborar una respuesta a la pregunta ¿Cómo dividir un segmento en partes iguales? y es aquí donde la técnica del trazado de paralelas adquiere sentido.
2.3.3. Tareas Situación 3 Estas tareas se entregan a los alumnos luego de la síntesis, para reconstruir lo estudiado. Como siempre luego de cada tarea, se realiza una corrección de cada una de las mismas. Se espera con estas tareas, que los estudiantes refuercen la aplicación de la técnica estudiada en la Situación 3 para dividir un segmento en partes iguales a partir del trazado de rectas paralelas a igual distancia. Tareas 1- Construir una representación gráfica que permita ubicar en una recta numérica los siguientes números: , . 2- Dividir un segmento de 10,5 cm en 8 partes iguales, empleando regla no graduada y compás. 3- Si se considera un triángulo ABC. Usando solamente regla no graduada y compás, construir otro triángulo ADC, de manera tal que D pertenezca a la recta AB y que el área del triángulo ADC sea del área del triángulo ABC. En la resolución de la Tarea 1, algunos estudiantes ubicaron los números racionales solicitados en diferentes rectas numéricas. Otros no aplicaron la técnica estudiada y lo hicieron mediante la representación de fracciones equivalentes. El docente decide entonces realizar una puesta en común y que, a partir de las respuestas compartidas puedan corregir las tareas y aplicar la técnica estudiada. En el protocolo del alumno A31 se muestra un ejemplo de la resolución de esta tarea.
76
Capítulo 4 ___________________________________________________ A31
Figura 43 Protocolo correspondiente al alumno A31
En cuanto a la Tarea 2, algunos grupos aplicaron la técnica de la división de segmento en partes iguales estudiada en la Situación 3 sin inconvenientes como se muestra en el protocolo del alumno A02. Sin embargo otros estudiantes no aplicaron la técnica esperada, sino que nuevamente dividieron el segmento mediante el trazado reiterado de mediatrices del segmento, ya que era posible al tener que dividirlo en 8 partes iguales. En este momento también fue necesario realizar una puesta en común, que permita recuperar cuál es la respuesta más acertada para el grupo de estudio y posterior aplicación de la técnica de división de segmento en partes iguales mediante el trazado de rectas paralelas. Tal vez lo indicado en esta tarea hubiese sido solicitar la división de un segmento en una cantidad impar de partes, para que los estudiantes consideren la necesidad de aplicar si o si la técnica del trazado de paralelas, justificando que eso también vale para la cantidad par de divisiones que se soliciten realizar a un segmento. En la Figura 44 puede observarse la resolución de esta tarea por parte del alumno A02.
A02 A02
Figura 44. Protocolo correspondiente al alumno A02
En la resolución de la Tarea 3, entre los intentos de respuestas posibles al problema los estudiantes han: realizado mediciones, efectuado cálculos numéricos, dividido el triángulo en tres partes, y se dividió la base en tres partes iguales, obteniendo así el punto solicitado en la misma. El grupo 3 respondió a la consigna aplicando la técnica estudiada, trazando una semirrecta auxiliar que permitió dividir la base en tres 77
Capítulo 4 ___________________________________________________ partes iguales y considerar la tercera parte como la base del nuevo triángulo . En la Figura 45 se muestran los intentos de respuestas de los alumnos A17 y A26 respectivamente, mientras que en la Figura 46 se puede observar la respuesta de A05 quien aplicó la técnica del trazado de paralelas para resolver el problema.
A17
A26
Figura 45. Protocolos correspondientes a los alumnos A17 y A26 respectivamente.
A05
Figura 46. Protocolo correspondiente al alumno A05
78
Capítulo 4 ___________________________________________________ En la Situación 3-Parte 1 y 2, se emplea como herramienta un sistema de coordenadas cartesianas para hallar la abscisa de un punto, por lo que esta técnica que pertenece al marco de la geometría sintética, se complementa con la tarea de ubicar puntos en la recta numérica que corresponde a la geometría analítica. Se modificó entonces el medio al introducir actividades que permiten complementar las técnicas sintéticas con técnicas analíticas. En cuanto a la cronogénesis, la aplicación del software permitió a los estudiantes obtener resultados en un tiempo menor que si se realizara la misma tarea en lápiz y papel, tal como sucedió en las Situaciones anteriores, aunque se observaron dificultades para retomar la técnica alcanzada cuando se da un segmento de determinada longitud y se solicita dividirlo en partes iguales. En la producción de respuestas a la Situación 3, el docente tuvo que intervenir en reiteradas ocasiones, con el objetivo de justificar la incompletitud de la técnica del trazado de mediatrices para los casos de división de un segmento en partes impares, que se corresponde claramente con una debilidad del diseño; y por otro lado, evitar que realicen mediciones para dividir un segmento en partes iguales, por lo que las intervenciones por parte del docente fueron mayores, respecto de las situaciones anteriores. Insistimos que las mismas se evitan si se da un segmento cuya longitud no pueda obtenerse exactamente con la regla, y si además se solicita dividir el segmento en una cantidad impar de partes, o una cantidad par que no se corresponda con una potencia de 2, por ejemplo 10 partes. Es en este sentido que se reconoce una debilidad en el diseño, que tendrá que ser contemplado en futuras implementaciones. 2.4.1 Situación 4. Parte 1 Con la Situación 4. Parte 1, se espera que los estudiantes construyan el concepto de triángulos semejantes como una de la aplicación del Teorema de Thales, ya que se solicita la construcción de triángulos cuyos lados sean proporcionales. Situación 4. PARTE 1 Dado el triángulo ABC:
Figura 8
a) Construir otro A´B´C cuyos lados sean proporcionales. Justificar. b) Analizar los ángulos correspondientes y establecer las relaciones posibles. c) ¿Cómo son los triángulos que cumplen estas condiciones? 79
Capítulo 4 ___________________________________________________ Luego de debatir en grupo, los integrantes del grupo 2 consideraron como la razón de proporcionalidad entre los lados de ambos triángulos a y construyeron entonces el triángulo A´B´C a partir del punto C, tomando la medida de la mitad de cada lado. Esta construcción permitió observar posteriormente que el lado ̅̅̅̅̅̅del nuevo triángulo es paralelo al lado ̅̅̅̅ . En la Figura 47 puede observarse esta respuesta, mientras que en la Figura 48 puede observarse una respuesta diferente por parte del estudiante A22, quien consideró también la mitad de cada lado pero luego de ubicar el punto medio del lado ̅̅̅̅ , trazó la paralela al lado ̅̅̅̅ que pasa por este punto, quedando determinado así el triángulo solicitado. A33
Figura 47. Protocolo correspondiente al alumno A33
80
Capítulo 4 ___________________________________________________ A22
Figura 48. Protocolo correspondiente al alumno A22
El grupo 7 elaboró una respuesta diferente, como se muestra en el protocolo de la Figura 49, el estudiante A35 ubica primero el punto B´ sobre el lado ̅̅̅̅, luego plantea la ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ proporción entre los lados de cada triángulo: , y despeja el lado ̅̅̅̅̅ para hallar ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
su longitud ubicando luego el punto Cuando traza el segmento correspondiente al lado ̅̅̅̅̅̅, resulta ser paralelo al lado ̅̅̅̅.
A35
Figura 49. Protocolo correspondiente al alumno A35
81
Capítulo 4 ___________________________________________________ Por su parte, los integrantes del grupo 1 extendieron los lados ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ , y trazaron la paralela al lado ̅̅̅̅ , de tal manera que los lados correspondientes de los triángulos sean proporcionales. En el protocolo del alumno A09 pueden observarse las mediciones realizadas y el planteo de las proporciones correspondientes con los cálculos que permiten verificar su construcción. En otro grupo de trabajo, el estudiante A35 trazó una recta paralela al lado ̅̅̅̅ que interseca a los otros dos lados del triángulo sin realizar mediciones y planteó la proporción de los lados contenidos en las transversales, considerando además la posibilidad de que los lados paralelos también sean proporcionales. En las figuras 50 y 51 pueden observarse estas respuestas y las justificaciones de las mismas para la cual se ha recuperado la condición estudiada en las situaciones 1 y 2.
A09
Figura 50. Protocolo correspondiente al alumno A09
82
Capítulo 4 ___________________________________________________ A35
Figura 51. Protocolo correspondiente al alumno A35
Para responder a la consigna b), los alumnos indicaron en primer lugar que los ángulos correspondientes de cada triángulo son iguales realizando mediciones, pero no lograron establecer las relaciones entre estos y justificar sus respuestas. El concepto de ángulos entre paralelas fue estudiado en 2° Año de Educación Secundaria, pero surge la necesidad de recuperar el concepto, por lo que el docente propone la investigación en Internet. Los estudiantes realizaron la búsqueda en la web, como lo hizo el estudiante A26 y compartieron la información con los demás grupos. A26
Figura 52. Protocolo correspondiente al alumno A26
En cuanto a la producción de respuestas para el ítem c), los estudiantes continuaron con el método de la investigación en la web y pudieron definir el concepto de triángulos semejantes. En el protocolo de A22 se muestra una de las respuestas seleccionadas por los estudiantes.
A22 Figura 53. Protocolo correspondiente al alumno A22
83
Capítulo 4 ___________________________________________________ Luego de la resolución de esta situación, se realizó una breve puesta en común entre los grupos, comparando las respuestas obtenidas y coincidiendo en que los triángulos que cumplen las características estudiadas se denominan semejantes.
2.4.2 Situación 4. Parte 2 En esta situación se presenta el problema anterior en un archivo de GeoGebra®. El objetivo es que los estudiantes analicen las características y propiedades de cualquier par de triángulos semejantes, y generalicen la condición necesaria para la construcción de los mismos. Situación 4. PARTE 2 En el archivo Situación 4- Parte 2 que se encuentra en el escritorio de la PC de cada grupo, se ha representado el problema anterior utilizando GeoGebra®. Los puntos representados A, B, C, y D se construyeron como puntos “móviles”; y los puntos F y E son fijos. Como se muestra en la Figura 8, la planilla de cálculo anexa permite registrar las longitudes de los segmentos y como consecuencia analizar algunas relaciones entre los mismos.
Figura 9
a) ¿Qué características de los triángulos cambian cuando se modifican las longitudes de los lados de los mismos a partir de los “puntos móviles”? b) Tomar 10 filas de la tabla y analizar cuál es la razón entre las longitudes de los lados homólogos correspondientes de cada triángulo. ¿Siempre los lados son proporcionales? Justificar. c) ¿Cómo son los ángulos correspondientes cuando se modifican las longitudes de los lados? Analizar al menos 10 casos. d) Representar gráficamente las posiciones posibles que puede tomar el segmento ̅̅̅̅ para que la relación entre los lados y ángulos analizados se cumpla. Justificar la decisión. 84
Capítulo 4 ___________________________________________________ En la Figura 54, se puede visualizar el archivo analizado por el grupo G02. Luego de observar la representación dinámica del software, los estudiantes confirmaron que la característica principal es que los triángulos cambian de tamaño, en cada nuevo par de triángulos se modifican las medidas de los ángulos y de los lados, pero la razón de semejanza se mantiene constante, y la igualdad entre los ángulos correspondientes de los ángulos que se forman, también; como se muestra en el protocolo de A34 (Figura 55). G02
Figura 54. Visualización de la pantalla del software del grupo G02
A34 Figura 55. Protocolo correspondiente al A34
En cuanto al análisis de las razones entre los lados homólogos, los estudiantes detectaron que para cada movimiento existe una nueva razón de semejanza y que los lados correspondientes son proporcionales. La justificación en general estuvo dada desde la observación de las razones en la hoja de cálculo, aunque el alumno A29 justificó considerando que los lados de los triángulos son siempre proporcionales por la existencia de paralelas que determinan segmentos correspondientes proporcionales, condición estudiada en las primeras situaciones. En la Figura 56 se muestran los protocolos de los alumnos A20 y A29. A20
A29
Figura 56. Protocolos correspondiente a los alumnos A20 y A29 respectivamente
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Capítulo 4 ___________________________________________________ En cuanto a la comparación de los ángulos correspondientes de los triángulos, los estudiantes coincidieron en que si bien se modifican, son congruentes entre sí para cada nuevo par de triángulos. En la Figura 57 se muestra la respuesta de A17. A17 Figura 57. Protocolo correspondiente al alumno A17
Para responder la última consigna de esta situación, los estudiantes analizaron las posibles posiciones que puede tomar el segmento ̅̅̅̅ para que los triángulos sean semejantes. Primeramente, probaron con trazar el segmento ̅̅̅̅ en otra ubicación manteniendo la relación de paralelismo con el lado ̅̅̅̅ , el alumno A32 justifica que las condiciones que debe cumplir la representación gráfica para que los triángulos sean semejantes es la existencia de un ángulo común y un par de lados paralelos, como se muestra en la Figura 58. A32
Figura 58. Protocolos correspondiente a los alumnos A32 respectivamente
Luego de un tiempo de trabajo, algunos estudiantes consideraron la posibilidad de trazar la paralela a cualquiera de los tres lados, como puede observarse en el protocolo de A33. En general, los grupos exponen el procedimiento realizado sin justificar su decisión, solo algunos estudiantes como se muestra en el protocolo de A23 (Figura 60) lo hacen planteando la proporción correspondiente entre los lados de los triángulos construidos.
86
Capítulo 4 ___________________________________________________ A33
Figura 59. Protocolo correspondiente al alumno A33
A23
Figura 60. Protocolo correspondiente al alumno A23
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Capítulo 4 ___________________________________________________ Al finalizar con la resolución de la Situación 4-Parte 2 se entrega a los estudiantes la síntesis correspondiente a la Situación 4 para completar en forma grupal. Se muestra a continuación el trabajo del grupo G07. G07
Figura 61. Síntesis de Situación 4 correspondiente al Grupo G07
La Situación 4 permitió a los alumnos construir triángulos cuyos lados sean proporcionales aplicando nuevamente una técnica de geometría sintética, el trazado de la recta paralela a uno de sus lados; analizar la relación de congruencia que existe entre los ángulos homólogos y definir el concepto de triángulos semejantes con el uso de Internet. El archivo en Geogebra® permitió analizar distintos pares de triángulos semejantes y verificar las características que cumplen estos pares de triángulos. La aplicación del Teorema de Thales permitió entonces construir triángulos semejantes, y justificar sus respuestas a partir del planteo de las proporciones correspondientes, retomando las condiciones estudiadas en las primeras situaciones del diseño. En la síntesis, los estudiantes pudieron describir cómo construir dos triángulos semejantes, sin necesidad de que sea el profesor quien explique cómo hacerlo.
2.4.3 Tareas Situación 4. Luego de la resolución de la Situación 4 se proponen las tareas para el refuerzo y la aplicación del concepto de triángulos semejantes.
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Capítulo 4 ___________________________________________________ Tareas 1- Dado el triángulo ABC construir un triángulo semejante AB’C’ con razón de semejanza .
2- Los triángulos ABC y DEF son semejantes ¿Cuál es la razón de semejanza entre ellos?
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Capítulo 4 ___________________________________________________ 3- Dado el triángulo ABC, determinar el valor de x sabiendo que ̅̅̅̅ es paralela a ̅̅̅̅ .
4- Decide si los siguientes pares de triángulos son semejantes. Justifica. I)
II)
III)
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Capítulo 4 ___________________________________________________ En la Tarea 1, los estudiantes de algunos grupos interpretaron que el triángulo dado tiene una relación de semejanza con respecto al triángulo por construir, como se muestra en la respuesta del alumno A26 de la Figura 62. Los estudiantes dividieron dos lados del triángulo en tres partes iguales aplicando la técnica estudiada en la Situación 3, obteniendo así los puntos y como los vértices del triángulo semejante .
A26
Figura 62. Protocolo correspondiente al alumno A26
Otros estudiantes consideraron la razón correspondiente como se muestra en el protocolo de A37, quien para la elaboración de su respuesta toma la longitud de los lados ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ con el compás y triplica esta medida manteniendo la amplitud del ángulo comprendido ̂ . Para finalizar la construcción une los extremos de los dos lados del nuevo triángulo construyendo así el lado ̅̅̅̅̅̅ paralelo al lado ̅̅̅̅ . A37
Figura 63. Protocolo correspondiente al alumno A37
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Capítulo 4 ___________________________________________________ Otras de las respuestas producidas a esta tarea son las construcciones de los alumnos A32 y A29. En el trabajo de A32 se observa en la Figura 64 que el estudiante construye el triángulo semejante aplicando la propiedad del trazado de la paralela a uno de los lados. Inicialmente plantea la razón entre los lados paralelos para hallar el valor ̅̅̅̅̅̅ del lado ; luego manteniendo la amplitud del ángulo común y prolongando los lados no paralelos, construye el triángulo solicitado. A32
Figura 64. Protocolo correspondiente al alumno A32
En la resolución de A29 que se observa en la Figura 65, el alumno extiende los lados ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ , obteniendo los lados ̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅ de tal manera que se cumpla la relación ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ . Luego traza el segmento ̅̅̅̅̅̅ y realizando mediciones se cumple que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
, por lo tanto comparando los tres pares de lados correspondientes de cada triángulo, el nuevo triángulo construido resulta ser semejante al primero. ̅̅̅̅
A29
Figura 65. Protocolo correspondiente al alumno A29
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Capítulo 4 ___________________________________________________ Con respeto a la Tarea 2, se observa como el alumno A20 plantea las dos razones de semejanza posibles entre los triángulos, aunque algunos estudiantes consideraron una razón de semejanza y justificaron su respuesta no sólo con el planteo de las proporciones sino también desde la congruencia de los ángulos homólogos, como lo hizo A10 A20
.
A10
Figura 66. Protocolos correspondientes a los alumnos A20 y A10 respectivamente
Para la resolución de la Tarea 3, en ninguno de los grupos se aplicó la proporcionalidad entre los lados homólogos, en general los grupos aplicaron el teorema de Thales, mediante el planteo de la proporción entre los segmentos correspondientes sobre los lados ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ , como se muestra en los protocolos de los alumnos A27 y A24 a continuación, quienes han presentado proporciones distintas y válidas como respuestas. A23
Figura 67. Protocolo correspondiente al alumno A23
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Capítulo 4 ___________________________________________________ A24 4
Figura 68. Protocolo correspondiente al alumno A24
Para la Tarea 4, las respuestas de los estudiantes se basan en la comparación de los lados homólogos y los ángulos correspondientes de los triángulos dados. Sin embargo, hubo variaciones en las respuestas: el alumno A32 compara los tres pares de lados homólogos y los ángulos correspondientes como se observa en la Figura 69; en cambio, A35 justifica la semejanza de triángulos comparando solamente dos pares de lados homólogos sin considerar la relación entre los ángulos, la cual se considera una respuesta incorrecta ya que no son datos suficientes para decidir si los triángulos son semejantes; en cambio es una respuesta válida para justificar que no lo son como sucede en el ítem II). Para el caso del ítem III) la respuesta elaborada por el estudiante es correcta, ya que justifica la relación de semejanza desde el cumplimiento de la propiedad estudiada en la Situación 4- Parte 1: Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado. Las respuestas de A35 se muestran en la Figura 70 y a continuación puede observarse en la Figura 71 una justificación general de la resolución del alumno A37.
A32
Figura 69. Protocolo correspondiente al alumno A32
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Capítulo 4 ___________________________________________________ A35
Figura 70. Protocolo correspondiente al alumno A35
A37
Figura 71. Protocolo correspondiente al alumno A37
Luego de la puesta en común y corrección de las tareas correspondientes a la Situación 4, se realiza una síntesis grupal de las actividades desarrolladas en este dispositivo. Se espera que los estudiantes plasmen los conocimientos construidos durante la implementación de este diseño didáctico cuyo objetivo general es el estudio del 95
Capítulo 4 ___________________________________________________ Teorema de Thales. Todos los grupos sintetizaron los conocimientos estudiados en tres partes fundamentales: el Teorema de Thales, la división de un segmento en partes iguales y triángulos semejantes. En la Figura 72 puede observarse la síntesis del grupo G06, la cuál es representativa del trabajo realizado por los estudiantes de la clase en esta síntesis final.
G06
Figura 72. Síntesis final correspondiente al grupo G06
Las situaciones 3 y 4 permitieron construir dos aplicaciones del teorema de Thales: la división de un segmento en partes iguales y la construcción de triángulos semejantes. Los estudiantes pudieron relacionar estas situaciones de aplicación con las Situaciones 1 y 2, ya que en la elaboración de sus respuestas plantearon las proporciones correspondientes. La resolución de la Situación 4 permitió retomar algunas de las representaciones gráficas realizadas en la Situación 1 y aplicar la técnica de dividir un segmento en partes iguales, estudiada en la Situación 3. Es importante destacar que fueron los mismos estudiantes los que incorporaron al medio, la posibilidad de trazar una paralela a un lado de un triángulo para construir otro cuyos lados sean proporcionales, descubriendo así la propiedad de los triángulos semejantes.
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Capítulo 4 ___________________________________________________ 3. Descripción de las funciones mesogénesis, topogénesis y cronogénesis como consecuencia de la implementación. A partir del análisis de los resultados obtenidos, podemos destacar a nivel topogenético, que el reparto de responsabilidades durante la implementación del dispositivo didáctico propuesto, genera cambios sustanciales en el contrato didáctico vigente en la institución donde se realizaron las implementaciones de las situaciones. El profesor es el director de estudio e investigación y su principal función es dedicar un tiempo considerable a los estudiantes para que elaboren sus respuestas con la mayor autonomía posible y responsabilidad en la construcción del conocimiento. Su rol es planificar las actividades de estudio, la estimación del tiempo que se dedica a cada situación y cada tarea y a la gestión de las herramientas apropiadas para utilizar en el medio. Esto ha sido un obstáculo para el profesor, pues quien realizó la implementación siempre fue un profesor tradicional, y a él mismo le resultó de una dificultad enorme ingresar al menos parcialmente en una nueva forma de hacer en el aula. Podríamos decir que el primero en generar la resistencia al cambio es el profesor quien insistía permanentemente en la pregunta ¿pero esto, los chicos si yo no lo explico, lo van a hacer? El paso a paso de la implementación le permitió tomar conocimiento del potencial de los estudiantes para responder a una situación, y como consecuencia caer en la cuenta que el principal problema es pensar en las situaciones adecuadas, para generar en los estudiantes la posibilidad de que sean ellos quienes con marchas y contramarchas llegan a lo que hay que estudiar, bajo la dirección del profesor, ahora director del estudio. Resulta lógico que los estudiantes inicialmente presentan mucha resistencia, porque el profesor que hasta entonces les explicaba primero todo, ahora viene a clase con una situación y no explica más. En su condición, aceptan progresivamente los cambios en la forma de trabajo y asumen sus responsabilidades. La primera tiene que ver con el hecho de que aceptan comenzar a trabajar en grupos y a responder a las actividades que da el profesor. Y más lentamente ingresan en el hecho de formular nuevas preguntas a estudiar, defender y justificar sus respuestas. Así es que en esta transición, el medio permanece en constante construcción por la clase, el profesor introduce situaciones, y toda información en el momento considerada como “pertinente”, ofreciendo a su vez los espacios a los estudiantes para que comiencen a “encontrar” respuestas a esas situaciones. Por su parte, los estudiantes ingresan, además de las respuestas, nuevas preguntas, tal vez por la complejidad de las tareas involucradas, así como también construyen nuevas herramientas que son valoradas positivamente por el profesor, aun las que no son correctas. En el nivel mesogenético se han obtenido resultados importantes para la investigación, sobre todo por las características y propiedades que las representaciones gráficas permitieron construir a lo largo de la implementación del dispositivo. Es cierto también, que decisiones inadecuadas por parte del profesor anularon algunas preguntas que hubieran aportado resultados significativos, que en futuras implementaciones serán por supuesto consideradas. El principal temor del docente, una vez que asumió que no era necesario que explique, que los estudiantes podían hacer por ellos mismos muchas cosas interesantes, fue el problema del tiempo, el profesor quería asegurarse que cumpliría con su planificación. Teniendo en cuenta que el diseño se implementó a fin del ciclo lectivo, esto impulsó al docente a acelerar los tiempos en algunas tareas, para cumplir con la implementación 97
Capítulo 4 ___________________________________________________ del dispositivo didáctico y con el tiempo estipulado, lo que produjo algunos obstáculos que se podrían haber sorteado si se priorizara una enseñanza útil a los alumnos en lugar de cumplir con cada detalle de lo planificado. El factor cronogenético ha afectado entonces fuertemente las decisiones que se han tomado al interior del estudio de las cuestiones. La descripción de los alcances y limitaciones de las OMs reconstruidas en el aula a partir de las implementaciones realizadas, serán reconsideradas y revisadas para las futuras implementaciones, que por supuesto requieren de mejoras del dispositivo propuesto en el marco de este trabajo.
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Capítulo 5
Capítulo 5 ___________________________________________________ CONCLUSIONES En este trabajo hemos presentado y analizado algunos resultados de la implementación de un dispositivo didáctico en un curso de 4to Año de la escuela secundaria, que permitió construir las características y propiedades del Teorema de Thales y de sus potenciales aplicaciones: división de un segmento en partes iguales y triángulos semejantes. El dispositivo que se propone se origina a partir de una pregunta derivada de un REI propuesto por Chevallard (2009) engendrado por la pregunta Q0: ¿Cómo construir una calculadora gráfica? Una vez más justificamos que el diseño propuesto surge de analizar las derivaciones posibles del REI propuesto por Chevallard y el desarrollo de una pregunta derivada, con lo cual de ningún modo pretendemos decir que diseñamos un REI. Simplemente se implementa un dispositivo didáctico compuesto por 8 situaciones (4 dadas en dos partes), actividades de síntesis a cargo de los estudiantes y el profesor y tareas. Las situaciones comprenden actividades en lápiz y papel y en un software de geometría dinámica para generalizar las propiedades de las OMs que se estudian. La profesora que implementa el dispositivo no tiene experiencia en una enseñanza como la que se propone en este trabajo y los estudiantes tampoco. Ambos inicialmente presentaron resistencia y poco a poco fueron ingresando en una nueva forma de hacer en el aula. Entre los resultados se señalan algunas consecuencias favorables de la implementación, en el intento por ingresar en una pedagogía escolar muy apartada de la práctica habitual de la profesora y los estudiantes. Esto se evidencia tanto por los conocimientos que han sido objeto de construcción y reconstrucción por los estudiantes en el aula a partir del diseño propuesto; como así también por las modificaciones necesarias en las decisiones que ha tomado la profesora y que le han permitido gestionar y guiar la implementación del dispositivo de manera apropiada; a la vez que los estudiantes también ocuparon un espacio y alcanzaron un protagonismo que antes no tenían. Con relación a la pegunta acerca de los alcances y limitaciones del dispositivo didáctico propuesto para estudiar el Teorema de Thales en la escuela secundaria, luego de la descripción situación a situación presentada en el capítulo anterior, se puede concluir que entre los alcances es posible mencionar los siguientes puntos:
La implementación del dispositivo ha permitido la construcción de las características y propiedades del Teorema de Thales utilizando la geometría como recurso. La resolución de la situación 1, posibilitó a los estudiantes encontrar una relación de proporcionalidad entre los segmentos correspondientes y resolver una operación matemática de forma gráfica aplicando técnicas de geometría sintética. En el marco geométrico se ha logrado entonces analizar muchas de las posibles representaciones gráficas que cumplen con el teorema.
Las diferentes representaciones gráficas construidas con lápiz y papel, junto con la resolución de tareas en el software de geometría dinámica en las primeras situaciones, hicieron posible la generalización de las condiciones que debe cumplir la construcción gráfica para que los segmentos correspondientes sean proporcionales. El empleo del software Geogebra® junto con la aplicación de técnicas de cálculo algebraico fueron centrales para alcanzar estos resultados.
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Capítulo 5 ___________________________________________________
Por otro lado, la utilización apropiada de las técnicas de geometría analítica para la ubicación de puntos a igual distancia en el plano cartesiano, complementándose con la aplicación de la técnica de geometría sintética del trazado de rectas paralelas equidistantes, es otro resultado relevante. Los estudiantes han reconstruido una de las aplicaciones del teorema: la división de un segmento en partes iguales. La resolución de las tareas de la situación 3 permitió ubicar puntos en la recta numérica y los estudiantes incorporaron nuevos interrogantes al medio, como por ejemplo: ¿Cómo ubicar una fracción aplicando el procedimiento de división de un segmento? ¿Cómo ubicar un número que supere la unidad?
En el marco de la geometría sintética, al que se ingresó nuevamente desde la situación 4, fue posible obtener triángulos cuyos lados sean proporcionales a partir de la aplicación del Teorema de Thales. En el marco de la geometría dinámica fue posible generalizar las características y propiedades de los triángulos semejantes, y las posibles posiciones del segmento paralelo a un lado.
El uso de la herramienta informática GeoGebra®, permitió generalizar las características y propiedades del teorema; favoreció el complemento de ambos tipos de técnicas geométricas, ya que las representaciones realizadas por los estudiantes con lápiz y papel luego fueron trasladadas al plano cartesiano para realizar un análisis más exhaustivo y encontrar relaciones entre los elementos de estos esquemas. El uso de Internet en el aula ha permitido reforzar las definiciones de razón y proporción estudiadas años anteriores y conceptualizar la definición de triángulos semejantes.
También pueden identificarse luego del análisis de la implementación, limitaciones que serán consideradas más adelante para futuras puestas en el aula. Una de ellas se refiere al problema de realizar cálculos en forma gráfica. La dificultad de aplicar las técnicas de geometría sintética se refleja en la insistencia por parte de los estudiantes de resolver problemas en el marco algebraico, esto se debe a que los estudiantes están acostumbrados a resolver situaciones en el marco analítico-algebraico y no en el marco geométrico. Esto se plantea como una limitación, pues la geometría ha desaparecido de hecho en la escuela secundaria, y en el diseño se proponen estas situaciones con el objetivo de utilizar técnicas de geometría sintética “sencillas” que no hacen más que dificultar enormemente la tarea. Con esto no queremos decir que no deban utilizarse las mismas, sino que habría que presentar modificaciones al diseño para que las mismas no sean la única alternativa al menos al inicio. Otras restricciones están vinculadas con las dificultades que conllevan introducir cambios en la enseñanza, que afectan al manejo de los tiempos, la organización del trabajo en el aula y la evaluación. Podemos mencionar: 1) El problema del profesor para asumir su papel de director, y a la vez dejar el espacio a los estudiantes para que sean ellos los que asumen la responsabilidad de dar las respuestas. 2) El problema de la “gestión” del dispositivo y más específicamente con la toma de decisiones adecuadas para que el dispositivo funcione tal como fue planeado. Es un gran obstáculo poner en práctica una enseñanza que ya no depende de la
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Capítulo 5 ___________________________________________________ explicación del profesor o del libro, más aún para alguien que ha sido formado y ha enseñado de una forma tradicional. 3) El problema de las restricciones institucionales, la necesidad de cumplir con los contenidos del diseño curricular, y el problema de la dilatación del tiempo escolar han sido un obstáculo sobre todo al inicio para la profesora pues sobre todo preguntaba ¿y si no llego a enseñar todo lo que debo? Esto lleva mucho tiempo, claro que comparado con una enseñanza tradicional, sí. Las modificaciones no sólo se corresponden con la dilatación del tiempo reloj. Estos cambios fueron descritos a partir de las funciones didácticas propuestas por Chevallard y se describen como sigue. En el nivel mesogenético, se presentan grandes cambios, sobre todo con relación al saber. Este ya no es una consecuencia directa de la explicación del profesor, sino que o reconstruido por la clase. En el nivel de la cronogénesis, además de la dilatación del tiempo descrita antes, nos interesa destacar el potencial del software de geometría dinámica, dado que ha permitido realizar generalizaciones muy importantes, alcanzadas por los estudiantes en períodos de tiempo breves. En el nivel topogenético, se presentaron inicialmente dificultades tanto para el profesor como para los estudiantes. El profesor al inicio no creía posible el hecho de dar el lugar a los estudiantes para que a partir del diseño y de una dirección apropiada de su parte, puedan arribar a resultados esperados. Se resistía a abandonar su rol activo en la clase, a “quitar” como principal actividad la explicación a los estudiantes, y la más importante hasta entonces. Para los estudiantes también fue un obstáculo aceptar que el profesor ya no explica más. Las principales resistencias de los estudiantes se presentan aquí, cuando tienen que comenzar a estudiar algo que no saben lo que es y que no tienen quien se los diga para hacerlo como se les indica. Pero principalmente, fue difícil para el docente aceptar que los alumnos pueden resolver de manera autónoma las situaciones problemáticas y aceptar que él es uno más de la clase. Sin embargo consideramos que esta es una de las contribuciones más importantes de este trabajo para la profesora. Fue gracias a este trabajo que la profesora pudo pasar por la experiencia de aceptar que hay una alternativa a la enseñanza tradicional y que es posible introducir un cambio muy importante en una clase cualquiera, por pequeño que este cambio sea.
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Capítulo 6
Capítulo 6 ___________________________________________________ BIBLIOGRAFÍA Barquero, B.; Bosch, M.; Gascón, J. (2011). Los recorridos de estudio e investigación y la modelización matemática en la enseñanza universitaria de las ciencias experimentales. Enseñanza de las Ciencias, 29 (3), 339-352. Barquera P.; Filloy E. (2010). Geometría Dinámica en un modelo de enseñanza (Taller). XIII Congreso de Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas. Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales. Córdoba, España. pp. 1-5 Bosch M.; Gascón J. (2010). Fundamentación antropológica de las organizaciones didácticas: “de los talleres de prácticas matemáticas” a los “recorridos de estudio e investigación”. En A. Bronner, M. Larguier, A. Bronner, M. Larguier, M. Artaud, M. Bosch, Y. Chevallard, G. Cirade & C. Ladage (Eds.) Diffuser les mathématiques (et les autres savoirs) comme outils de connaissance et d’action (pp. 49-85), Montpellier, Francia: IUFM de l’Académie de Montpellier. Disponible en: http://www.atd-tad.org/wp-content/uploads/2012/05/mariannaJosep-CITAD-II2010.pdf Cabrera C.; Pérez C. (2003). Aprendizaje y Geometría Dinámica en la Escuela Básica. Revista Ciencia y Sociedad 2003, 28 (4), pp. 547-592. Chevallard, Y. (1999). El análisis de las prácticas docentes en la teoría antropológica de lo didáctico. Recherches en Didactique des Mathématiques, 19 (2), pp. 221-266. Chevallard, Y. (2001). Les TPE comme problème didactique. Disponible en: http://yves.chevallard.free.fr/ Chevallard, Y. (2003). Approche anthropologique du rapport au savoir et didactique des mathématiques. Communication aux 3es Journées d’étude francoquébécoises (Université René-Descartes Paris 5, 17-18 juin 2002). Paru dans S. Maury S. & M. Caillot (éds), Rapport au savoir et didactiques, Éditions Fabert, Paris, 2003, p. 81104 Chevallard, Y. (2004). Vers une didactique de la codisciplinarité. Notes sur une nouvelle épistémologie scolaire. Disponible en: http://yves.chevallard.free.fr Traducción Lic. Verónica Parra. NIECyT. UNCPBA. Chevallard, Y. (2005). La place des mathématiques vivantes dans l’éducation secondaire: transposition didactique des mathématiques et nouvelle épistémologie scolaire. Conferencia dada en la 3ª «Université d’été Animath», Saint-Flour, 22- 27 de Agosto de 2004. Publicado en La place des mathématiques vivantes dans l’éducation secondaire, APMEP, 239-263. http://yves.chevallard.free.fr/
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Capítulo 6 ___________________________________________________ lo Didáctico en el aula de matemática (pp.29-43). Ciudad Autónoma de Buenos Aires: Dunken. Marietti, J. (2009). El concepto de REI y su recepción actual en matemáticas y otras. Un estudio preparatorio. Memoria del Primer año de la Maestría en Ciencias de la Educación. Université Aix-Marseille. Departamento en Ciencias de la Educación. Director de la memoria: Yves Chevallardar. Moller Marcén, A.; Gairén Sallán, J. (2013). La Génesis histórica de los conceptos de razón y proporción y su posterior aritmetización. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 16 (3), pp. 317-338. Osorio, V. (2006). La rigidez geométrica y la preferencia de propiedades geométricas en un ambiente de geometría dinámica en el nivel medio. Relime, 9 (3), pp. 361-382. Otero, M.R. (2013). Pedagogía de la Investigación y del Cuestionamiento del Mundo, didáctica y competencias. Conferencia Inaugural del XII Encuentro de la Enseñanza de las Ciencias y las Matemáticas, Medellín, Colombia. Disponible en http://new.livestream.com/accounts/1468243/encuentroecm Otero, M.R.; Fanaro, M.A., Corica, A.R., Llanos, V.C., Sureda, P., Parra, V. (2013). La Teoría Antropológica de lo Didáctico en el aula de matemática. Ciudad Autónoma de Buenos Aires: Dunken. Otero, M.R; Gazzola, M. P.; Llanos, V.C.; Arlego, M. (2015). Recorridos de Estudio y de Investigación (REI) co-disciplinares a la Física y la Matemática con profesores en formación en la Universidad. Revista de Enseñanza de la Física. Vol. 27, No. Extra, Nov. 2015, 251-258. Otero, M.R; Llanos, V.C. (2011). La enseñanza por REI en la escuela secundaria: desafíos, incertidumbres y pequeños logros al cabo de seis implementaciones. Actas del I Congreso Internacional de Enseñanza de las Ciencias y la Matemática (I CIECyM) y II Encuentro Nacional de Enseñanza de la Matemática (II ENEM), 1523. Núcleo de Investigación en Educación en Ciencias y Tecnología (NIECyT): Tandil, Argentina. Parra, V.; Otero, M.R.; Fanaro, M. (2012a). Recorridos de estudio e investigación codisciplinares a la microeconomía. Números. Revista de Didáctica de las Matemáticas. España. Parra, V.; Otero, M.R.; Fanaro, M. (2012b). Recorridos de estudio e investigación en la Escuela Secundaria: resultados de una implementación. Revista Bolema. Río Claro, SP, Brasil. En prensa. 108
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Serrano, L.; Bosch, M.; y Gascón, J. (2007). Cómo hacer una previsión de ventas: propuesta de recorrido de estudio e investigación en un primer curso universitario de administración y dirección de empresas. En Bronner, M. Larguier, M. Artaud, M. Bosch, Y. Chevallard, G. Cirade y C. Ladage (Éds), Diffuser les mathématiques (et les autres savoirs) comme outils de connaissance et d’action. (pp. 1-17). Montpellier, Francia: Université de Montpellier. Disponible en: http://www4.ujaen.es/~aestepa/ TAD_II/listado_comunicaciones.htm.
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ANEXO
PROTOCOLOS CORRESPONDIENTES AL ESTUDIANTE A10 Situación 1 - Parte 1 El estudio de la pregunta ¿Cómo construir una calculadora gráfica?, permite obtener cálculos numéricos como resultado de establecer relaciones entre los segmentos de la Figura 1. Sabiendo que las rectas ̅̅̅̅ // ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ son transversales.
Figura 1: Representación gráfica de los segmentos para obtener cálculos numéricos
a) ¿Qué relación entre los segmentos puedes establecer para obtener la longitud x correspondiente al segmento ̅̅̅̅ ? Justificar b) ¿Qué operación matemática permite resolver esta calculadora gráfica? c) Obtener otras posibles representaciones gráficas para calcular x, con las longitudes de los segmentos dados y justificar cada construcción.
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Situación 1 - Parte 2 En el archivo Situación 1- Parte 2 que se encuentra en el escritorio de la PC de cada grupo, se ha representado el problema anterior utilizando como soporte el software de geometría dinámica GeoGebra. Este software permite desplazar puntos y analizar relaciones entre ellos. Los puntos representados A, B, C, D y J se construyeron como puntos “móviles”; y los puntos I y E son fijos. Como se muestra en la Figura 2, la planilla de cálculo anexa permite registrar los “movimientos” que realicen, es decir las longitudes de los segmentos y como consecuencia analizar la relación entre los mismos.
Figura 2 a) ¿Cuál es la relación entre los segmentos representados? Justificar. b) Tomar 10 filas de la tabla y analizar cuál es la razón entre las longitudes de los segmentos determinados. Justificar. c) ¿Qué operación matemática permite resolver esta calculadora gráfica? ¿Cuántos resultados posibles podemos obtener? ¿Por qué? d) ¿Qué condiciones debe cumplir la construcción para que los segmentos correspondientes sean proporcionales?
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Situación 2 - Parte 1 En el archivo Situación 2- Parte I, se representan gráficamente longitudes para los segmento a y b que cumplen con la relación dada: . Los puntos A, B, D, E y J son puntos “móviles”; y los puntos C y F fijos. Como se muestra en la Figura 3, la planilla de cálculo anexa permite registrar los “movimientos” que realicen, es decir las longitudes de los segmentos y como consecuencia analizar la relación entre los mismos.
Figura 3 Las rectas paralelas s//r//t determinan los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ sobre la transversal z de longitud 3 cm y 4 cm respectivamente; y la longitud de los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ sobre la transversal g. a) ¿Qué longitud puede asignarse a los segmentos y b para que cumplan con la relación dada ? b) ¿Cuántos valores posibles pueden admitir dichos segmentos? Justificar
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Situación 2 - Parte 2 En el archivo Situación 2- Parte 2, se representan gráficamente las longitudes de los segmentos a y b determinados sobre una de las rectas transversales. Los puntos D, E y F son puntos “móviles”; y los puntos A, B y C fijos. Como se muestra en la Figura 4, la planilla de cálculo anexa permite registrar las longitudes de los segmentos ̅̅̅̅, ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅ según los “movimientos” que realicen a partir de los puntos “móviles”.
Figura 4 a) ¿Se mantiene la relación ? ¿Por qué? b) ¿Qué condiciones debe cumplir la representación gráfica para que se verifique esta relación?
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Situación 3. Parte 1 La calculadora gráfica permite también construir puntos a igual distancia unos de otros. En la Figura 6 se representan en el sistema de ejes cartesianos las rectas paralelas que determinan los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. Los demás ̅̅̅̅ ,̅̅̅̅, ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, se forman por intersección de dichas rectas con los ejes
Figura 6 a) ¿Cuál es la abscisa correspondiente al punto D? Justificar la respuesta. b) ¿Es posible obtener los puntos , ,y ? ¿Cuál es la relación entre los ̅̅̅̅ puntos construidos, y el segmento ? c) ¿Es posible dividir el segmento ̅̅̅̅ en 10 partes iguales? ¿Y en dos partes iguales? Justificar
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Situación 3. Parte 2 El archivo Situación 3-Parte 2 corresponde a una representación de la situación anterior, como muestra la figura 7. Los puntos C y B son puntos móviles y los demás fijos. Las rectas paralelas, dividen al segmento ̅̅̅̅ en cinco partes iguales. La planilla de cálculo anexa permite registrar las longitudes de los segmentos que las rectas paralelas determinan sobre el eje x y como consecuencia analizar la relación entre ellos.
Figura 7 a) ¿Qué longitudes posibles puede asignarse a los segmentos ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅, para que la división de segmentos en partes iguales se mantenga? b) ¿Qué condiciones cumple la representación gráfica para que el segmento se divida en partes iguales, de cualquier longitud?
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Tareas (2) 1Construir una representación gráfica que permita ubicar en una recta numérica los siguientes números: , . 2Dividir un segmento de 10,5 cm en 8 partes iguales, empleando regla no graduada y compás. 3Si se considera un triángulo ABC. Usando solamente regla no graduada y compás, construir otro triángulo ADC, de manera tal que D pertenezca a la recta AB y que el área del triángulo ADC sea del área del triángulo ABC.
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Síntesis (2) ¿Cómo dividir un segmento en partes iguales?
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Síntesis (3) Las situaciones 4 parte 1 y 2 permitieron construir y analizar características y propiedades de la semejanza de triángulos. Se dice que: Dos triángulos son semejantes si y sólo si tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados homólogos proporcionales:
Si BC // B´C´
A A AB AC CB ABC AB´C´ B B´ y AB´ AC´ C´B´ C C´
Para construir dos triángulos semejantes:
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