DISTRIBUCIÓN DE POISSON

POISSON Siméon Denis Poisson, (1781-1840), astronauta francés, alumno de Laplace y Lagrange, en Recherchés sur la probabilité des jugements...., un trabajo importante en probabilidad publicado en el año 1837, la distribución de Poisson recién aparecía.

La distribución de Poisson describe la probabilidad como un acontecimiento fortuito ocurrido en un tiempo o intervalo de espacio bajo las condiciones que la probabilidad de un acontecimiento ocurre es muy pequeña, pero el número de intentos es muy grande, entonces el evento actual ocurre algunas veces.

Poisson, usos “La probabilidad de obtener “X “ éxitos en un intervalo continuo”




Se emplea para describir varios procesos: 

Distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador



La demanda de servicios en un hospital por parte de los pacientes



Los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro



El número de accidentes en un cruce



El número de defectos en una tela por m2



El número de bacterias por cm2

Poisson, características


Características 

El número medio (promedio) de eventos en el espacio temporal o región específica de interés, por lo general esta media se representa por la lambda griega (λ λ)



El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región específicos es independiente de el número que ocurre en cualquier otro intervalo de tiempo o región



La probabilidad de que un resultado muy pequeño ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño de la región



La probabilidad de que más de un resultado ocurra en un intervalo de tiempo tan corto o en esa región tan pequeña es inapreciable, que se puede asignar el valor de 0

Fórmula de Poisson P(x I λ) = λx * e-λλ x!




P (x I λ) = la probabilidad de que ocurran X éxitos cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es λ




λ media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto




e es la constante 2.7183, base de los logaritmos naturales, en tanto que los valores de e-λλ pueden obtenerse de tablas.




X señala un valor específico que la variable pueda tomar (el número de éxitos que deseamos ocurran)




Por definición, el valor esperado (media en el intervalo o región de interés) de una distribución de probabilidad de Poisson es igual a la media de la distribución. E(X) = λ




La varianza del número de eventos de una distribución de probabilidad de Poisson también es igual a la media de la distribución λ. De este modo, la desviación estándar es la raíz cuadrada de λ. V(X) = λ σ = √λ

Ejemplos P(x I λ) = λx * e-λλ x! Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivos de la policía indican una media de cinco accidentes por mes en él. El número de accidentes está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4 accidentes en un mes determinado. Aplicando la fórmula anterior: P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0.00674 P(1) = (5)1 (e-5) /1! = 0.03370 P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0.08425 P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0.14042 P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0.17552 Para saber cual es la probabilidad en 3 o menos (X ≤ 3), sumaremos las probabilidades de 0,1,2,3 lo que será igual a : P(X ≤ 3) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3) = 0.26511 Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0.26511 entonces la probabilidad de que ocurran más de tres (X > 3) debe ser = 1 –0.26511 = 0.73489.

En una tienda de telas, un promedio de 12 personas por hora le hacen preguntas a un decorador. La probabilidad de que 3 ó más personas se acerquen al decorador para hacerle preguntas en un periodo de 10 minutos. Promedio por hora =12 λ = promedio por 10 minutos = 12/6 = 2.0 P (X ≥ 3 I λ = 2) = P (X=3 I λ = 2) + P (X=4 I λ = 2) + P (X=5 I λ = 2) + … Ó P (X ≤ 2 I λ = 2) = 1 – [ P (X=0 I λ = 2) + P (X=1 I λ = 2) + P (X=2 I λ = 2) ] Solución 1 P (X=3 I λ = 2) = 0.1804 P (X=4 I λ = 2) = 0.0902 P (X=5 I λ = 2) = 0.0361 P (X=6 I λ = 2) = 0.0120 P (X=7 I λ = 2) = 0.0034 P (X=8 I λ = 2) = 0.0009 P (X=9 I λ = 2) = 0.0002 P (X ≥ 3 I λ = 2) = 0.3232

Solución 2 P (X= 0 I λ = 2) = 0.1353 P (X= 1 I λ = 2) = 0.2707 P (X= 2 I λ = 2) = 0.2707 P (X ≥ 3 I λ = 2) = 0.3232

Aproximación de la distribución binomial por una de Poisson


Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las distribuciones binomiales, sobre todo si n (ensayos) es muy grande y p o q (éxito y fracaso) es muy pequeña, se puede usar a cambio la de Poisson, pero debe cumplir con ciertas condiciones como :  




n ≥ 30 np ó nq < 5

En los casos en que se satisfacen tales condiciones, podemos sustituir la media de la distribución binomial en lugar de la media de la distribución de Poisson de modo: λ=np

Ejemplo: Se sabe que 1% de los artículos de un gran embarque de transistores procedente de un proveedor son defectuosos. Si se selecciona aleatoriamente una muestra de 30 transistores, la probabilidad de que dos o más de ellos sean defectuosos. P (X ≥ 2 I n=30, p= 0.01) = P (X=2) + P (X=3) + …= 0.0328+0.0031+0.0002 = 0.0361 Si λ=np=30(0.01) = 0.3, la aproximación de Poisson del anterior valor de probabilidad es P (X ≥ 2 I λ = 0.3) = P (X=2) + P (X=3) + …= 0.0333 + 0.0033 + 0.0002 = 0.0368 Así la diferencia entre la aproximación de Poisson y el valor de probabilidad binomial real es de sólo 0.0007