El Proceso de Poisson en Confiabilidad Enrique Villa Diharce

Verano de Probabilidad y Estadística 2009 CIMAT, Guanajuato, Gto. 15 de Julio de 2009.

Resumen: El objeto de estudio en confiabilidad son la fallas de componentes o sistemas, por esta razón una parte importante de los estudios en confiabilidad, consiste en modelar procesos de falla y estimar las cantidades de interés, como son principalmente: tasas de falla, y tiempo esperado de falla. En esta platica se discute la modelación de procesos de fallas utilizando procesos de Poisson, ilustrando, como diferentes restricciones de los procesos de fallas pueden ser consideradas a través de diferentes tipos de procesos de Poisson. Se ilustran los modelos considerados, con ejemplos de datos de confiabilidad reales.

Contenido Sistemas y componentes no reparables Sistemas reparables Procesos de Poisson Homogéneo No homogéneo Inferencia

Calidad a través del tiempo

LSE

tiempo LIE 1.0

Confiabilidad: Probabilidad de estar dentro de especificaciones

0

Modelos de confiabilidad Los tiempos de vida de la unidades que fallan, tienen un patrón aleatorio. Para modelar los tiempos de vida o tiempos a la falla utilizamos variables aleatorias no negativas. Toda la información de una variable aleatoria se encuentra en su distribución. La materia prima en los estudios de confiabilidad son los tiempos de vida de las unidades estudiadas.

Funciones de confiabilidad: Función de distribución acumulada Función de confiabilidad

F (t ) = P (T ≤ t )

C (t ) = P(T > t ) = 1 − F (t )

Función de densidad de probabilidades Función de riesgo

h(t ) = f (t ) / C (t )

Función de riesgo acumulado También se cumple:

f (t ) = dF (t ) / dt

t

H (t ) = ∫ h(u )du 0

C (t ) = exp{− H (t )}

Función de riesgo dF (t ) / dt h(t ) = f (t ) / C (t ) = C (t ) F (t + δ ) − F (t ) 1 P (T ≤ t + δ ) − P (T ≤ t ) = limδ →0 = limδ →0 δC (t ) δ P (T > t ) 1 P (t < T ≤ t + δ ) 1 = limδ →0 P (t < T ≤ t + δ | T > t ) = limδ →0 δ P (T > t ) δ Para delta pequeña:

h(t ) ≅ δ × P (t < T ≤ t + δ | T > t )

Distribuciones más comunes en confiabilidad Distribución Exponencial

f (t ) = λ exp(−λt ) F (t ) = 1 − exp(−λt ) C (t ) = exp(−λt ) h(t ) = λ

Esta distribución modela adecuadamente el patrón de falla de componentes que no envejecen, como por ejemplo algunos componentes electrónicos.

0.0

0.6

0.2

1.0

0 1.0

1

1 2 3

2 3

Tiempo 4

4 5 0.6

1.4 0

0.4

0.8

1.2

Confiabilidad

0.8

Riesgo

0.0

0.0

0.2

0.2

0.6

0.4

0.6

Distribución

0.4

Densidad

0.8

0.8

1.0

1.0

Distribución Exponencial λ = 1, θ = 1 / λ = 1

5 0

0

1

1

2

Tiempo Tiempo

2 Tiempo

3 4 5

3 4 5

Distribuciones más comunes en confiabilidad Distribución Weibull

f (t ) = ( β / η )(t / η ) β −1 exp[−(t / η ) β ] β

F (t ) = 1 − exp(−(t / η ) ) C (t ) = exp(−(t / η ) β h(t ) = ( β / η )(t / η ) β −1

Esta es una distribución muy flexible, que puede modelar patrones de falla con función de riesgo constante, creciente o decreciente. El parámetro de forma es β y η es el parámetro de escala.

β = 2, σ = 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.0

0.2

pweibull(tiempo, 2, 1)

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

dweibull(tiempo, 2, 1)

Distribución Weibull

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0

0.5

1.0

2.5

3.0

2.0

2.5

3.0

tiempo

0.8 0.6 0.4 0.0

0.2

1 - pweibull(tiempo, 2, 1)

6 5 4 3 2 1 0

2 * tiempo

2.0

1.0

tiempo

1.5

0.0

0.5

1.0

1.5 tiempo

2.0

2.5

3.0

0.0

0.5

1.0

1.5 tiempo

Distribuciones más comunes en confiabilidad Distribución Lognormal

f (t ) = (1 / tσ )φ[(ln(t ) − μ ) / σ ] F (t ) = Φ[(ln(t ) − μ ) / σ ] C (t ) = 1 − Φ[(ln(t ) − μ ) / σ ] h(t ) = f (t ) / C (t )

Esta distribución es muy flexible y frecuentemente compite con la distribución Weibull en la modelación de patrones de falla.

0.0

0.2

0 0.8

1.0

1

1 2 3

2 3

Tiempo 4

4 5 0.6

0

0.4

Confiabilidad

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Riesgo

0.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.4 0.5

Distribución

0.1 0.2 0.3

Densidad

Distribución Lognormal

5

μ = .5, σ = .5

0

0

1

1

2

Tiempo Tiempo

2 Tiempo

3 4 5

3 4 5

Componentes o sistemas noreparables: Son aquellos que al fallar se eliminan. Componentes o sistemas reparables: Tenemos este tipo de componentes, cuando al fallar se reparan y vuelven a funcionar.

Proceso de Poisson

Falla y se repara

0

t1 t 2

t3

t 4 t5

t6

t7

Proceso de Poisson 7 6 N(t)

5 4 3 2 1 0

t1 t 2

t3

t 4 t5

t6

t7

Proceso de Poisson Un proceso estocástico {N (t ), t ≥ 0} es un proceso de conteo si N(t) satisface 1. N( 0 ) = 0. 2. N (t ) es entero. 3. Si s < t , entonces N ( s ) ≤ N (t ). 4. Para s < t , [ N(t)-N(s)] representa el número de fallas que han ocurrido en el intervalo (s, t].

Proceso de Poisson Tasa del proceso. La tasa del proceso de conteo al tiempo es : d d λ (t ) = W (t ) = E[ N(t)], dt dt donde W (t ) = E[ N(t)] denota el número medio de fallas en el intervalo de tiempo (s, t].

ROCOF Cuando los eventos de un proceso de conteo son fallas, la tasa

λ(t) del proceso se llama tasa de ocurrencia de fallas (ROCOF).

Proceso de Poisson El proceso de conteo {N (t ), t ≥ 0} es un PPH que tiene una tasa λ ≥ 0, si 1. N( 0 ) = 0. 2. El proceso tiene incrementos independientes. 3. Existe una función λ (t) tal que

4.

P ( N (t , t + Δt) = 1) λ (t) = lim Δt →0 . Δt P ( N (t , t + Δt) = 1) λ (t) = lim Δt →0 . Δt

Proceso de Poisson El proceso de conteo {N (t ), t ≥ 0} es un PPH que tiene una tasa λ ≥ 0, si 1. N( 0 ) = 0. 2. El proceso tiene incrementos independientes. 3. Para cualesquier a < b, N ( a, b] tiene distribuci ón Poisson con media b

E ( N ( a, b]) = ∫ λ (t)dt. a

Proceso de Poisson 7 6 N(t)

5 4 3 2 1 0

W (t )

t1 t 2

t3

t 4 t5

t6

t7

Proceso de Poisson 7 6 5 4 3 2 1 0

N(t)

W (t )

t1

t2

t3 t 4

t5 t 6 t 7

Proceso de Poisson

W (t )

7 6 5 4 3 2 1

N(t)

0t

1

t 2 t3 t 4

t5

t6

t7

Proceso de Poisson Ejemplo. Suponga que un proceso de Poisson tiene función de intensidad λ (t ) = 0.002t 1.25

La función media es b

b

a

a

Λ (t) = ∫ λ (x)dx = ∫ 0.002x 1.25 dx = 0.00089t 2.25 . El número de fallas N en el intervalo [50,100] tiene una distribuci on Poisson con media 100

Λ (199) − Λ (50) = ∫ 0.002x 1.25 dx = 22.2. 50

asi, la probabilidad de tener 30 o mas fallas en el intervalo [50,100] es exp(-22.2)22.2 n ≅ 0.0658. ∑n =30 P(N = n) =∑n =30 n ∞

∞

Proceso de Poisson El proceso de conteo {N (t ), t ≥ 0} es un PPH que tiene una tasa λ ≥ 0, si 1. N( 0 ) = 0. 2. El proceso tiene incrementos independientes. 3. El número de eventos en cualquier intervalo de longitud t tiene distribuci ón Poisson con media λt. Esto es, para todo s, t > 0, (λ t ) n − λ t P ( N (t + s ) − N ( s ) = n) = e , n = 0,1,2,... n

Proceso de Poisson 7 6 5 4 3 2 1 0

x1

x2 t1 t 2

x4

x3

x5

x7

x6 N(t)

t3

t 4 t5

t6

t7

Un proceso es un PPH con intensidad λ , si y solo si los tiempos entre fallas son v.a.i.i distribuidas exponencialmente, con media θ = 1 / λ .

Proceso de Poisson Ejemplo. Se tienen los tiempos en horas de operación de acciones de mantenimiento no programado de un motor de diessel del submarino USS Grampus, Lee (1980). 860 1258 1317 1442 1897 2011 2122

2439 3203 3298 3902 3910 4000 4247

4411 4456 4517 4899 4910 5676 5755

6137 6221 6311 6613 6975 7335 8158

8498 8690 9042 9330 9394 9426 9872

10191 11511 11575 12100 12126 12368 12681

12795 13399 13668 13780 13877 14007 14028

14035 14173 14173 14449 14587 14610 15070

30 20 10 0

Num. de falla

40

50

Proceso de Poisson

2000

4000

6000

8000 Tiempo(Horas)

10000

12000

14000

Proceso de Poisson Tiempos en que falla y se repara el motor. Aquí se considera despreciable el tiempo que tarda la reparación. 860 1258 1317 1442 1897 2011 2122

2439 3203 3298 3902 3910 4000 4247

4411 4456 4517 4899 4910 5676 5755

6137 6221 6311 6613 6975 7335 8158

8498 8690 9042 9330 9394 9426 9872

10191 11511 11575 12100 12126 12368 12681

12795 13399 13668 13780 13877 14007 14028

14035 14173 14173 14449 14587 14610 15070

Proceso de Poisson Tiempos entre fallas(y reparaciones) del motor.

860 398 59 125 455 114 111 317

764 61 95 382 604 11 8 766 90 79 247 382 164 84 45 90

302 64 362 32 360 446 823 319 340 1320 192 64 352 525 288 26

242 21 313 7 114 138 604 0 269 276 112 138 97 23 130 460

Proceso de Poisson Probability Plot of xGrampus Exponential - 95% CI 99.9

Mean N AD P-Value

Percent

99 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 3 2 1

1

10

100 xGrampus

1000

274.0 55 0.296 0.827

Proceso de Poisson Ejemplo. Las fallas de un sistema reparable son modeladas por un proceso de Poisson con una tasa de fallas

λ (t ) = 1 / 50, 0 ≤ t ≤ 365, con el tiempo medido en días. La compañía que posee esta máquina tiene tres opciones para el plan de mantenimiento anual. Cual de las siguientes tres opciones es mejor? Plan de Mantenimiento 1: $12,000 sin cargo por cada reparación. Plan de Mantenimiento 2: $4,000 mas $1,000 por cada reparación. Plan de Mantenimiento 3: $1,500 por cada reparación.

Proceso de Poisson Ejemplo. Costo esperado:

EC (t ) = c0 + c1 E{N (0,365]}

EC (t ) = 12,000 + 0 × 7.3 = 12,000 EC (t ) = 4,000 + 1,000 × 7.3 = 11,300 EC (t ) = 0 + 1,500 × 7.3 = 10,950 Utilizando como criterio el costo esperado, el mejor plan de mantenimiento es el último.

PPNH Definiciones

Cuando la función de intensidad es constante, tenemos un proceso de Poisson homogeneo (PPH). Tenemos un proceso de Poisson no homogeneo (PPNH), cuando la función de intensidad no es constante.

PPNH Definiciones El PPNH es un modelo adecuado para un sistema reparable con reparación mínima, esto es, una reparación que consiste en reemplazar o restaurar solo un número pequeño de componentes del sistema. Esta reparación dejará al sistema aproximadamente en el mismo estado (envejecimiento) que se encontraba antes de fallar. Dos funciones de intensidad de uso común en confiabilidad son:

Loglineal : λ (t ) = exp( β 0 + β1t ) Potencia :

λ (t) = γβt β -1

Procesos de Poisson no homogeneos. Tipo de reparación

Reparación perfecta o reemplazo (as good as new)

HPP

Proceso de renovación

Reparación imperfecta (reparación normal)

Reparación mínima (as bad as old)

Modelos de Reparación imperfecta

NHPP

Proceso de Poisson

7 6

Reparación perfecta

5 4 3 2 1 0

t1

t2

t3

t4

Proceso de Poisson

7 6

Reparación mínima

5 4 3 2 1 0

t1

t2

Proceso de Poisson

7 6

Reparación imperfecta

5 4 3 2 1 0

t1

t2

t3

t4

Inferencia: Estimacion y PH

Inferencia: Estimacion y PH Esquemas de observación: Esquema 1. Observamos el sistema en un intervalo de tiempo (0,t0] y ocurren fallas en los tiempos t1, t2, … ,tn. Esquema 2. Observamos el sistema hasta la n-ésima falla y registramos los tiempos t1, t2, …,tn. Esquema 3. No observamos las fallas y solo conocemos los números de fallas n1, n2, …,nm en los intervalos ajenos (a1, b1], (a2, b2], …,(am, bm].

Inferencia: Estimacion y PH Esquema 1.

(0, t1 ] 0 fallas (t1 , t1 + δt1 ) 1 falla

P{N (t1 , t 2 ] = 0}

(t1 + δt1 , t 2 ) 0 fallas

= exp − ∫ ν (t )dt

(t 2 , t 2 + δt 2 ) 1 falla (t 2 + δt 2 , t3 ) 0 fallas ..... ..... (t n + δt n , t0 ) 0 fallas

{

t2

t1

P{N (t1 , t 2 ] = 1}

{

t2

} }

t2

= exp − ∫ ν (t )dt × ∫ ν (t )dt t1

t1

Inferencia: Esquema 1.

Función de verosimilitud L=

{∏

n

} {

t0

( ) exp ( ) ν t − ν t dt i ∫ i =1 0

}

Función logverosimilitud l = ∑i =1 log[ν (ti )] − ∫ ν (t )dt n

t0

0

Esquema 2.

Las funciones L y l igual que el Esquema 1, sustituyendo t0 por t n .

Inferencia: Esquema 3.

Función de verosimilitud

⎛ ⎞ ν ( t ) dt ⎜ ⎟ m m ∫ b ⎫ ⎧ ai i ⎝ ⎠ L = exp⎨− ∑ ∫ ν (t )dt ⎬ ∏ ni ⎭ i =1 ⎩ i =1 ai bi

Función logverosimilitud bi bi ⎧ ⎡ ⎤ l = ∑i =1 ⎨ni log ∫ ν (t )dt − ∫ ν (t )dt ⎫⎬ ⎢⎣ ai ⎥⎦ ai ⎩ ⎭ m

ni

Inferencia: Modelo Loglineal, esquema 1.

Función de intensidad ν (t) = exp( β 0 + β1t) Función logverosimilitud l = nβ 0 + β1 ∑i =1 ti − n

exp( β 0 ){exp( β1t0 ) − 1}

β1

Inferencia: Matriz de información observada

I = (−∂ l / ∂β 0 ∂β1 ) 2

Matriz de varianzas y covarianzas

Cov( β 0 , β1 ) = I

−1

En particular, el error estándar de βˆ1 es

se( βˆ1 ) = ⎧⎨βˆ1−1 ⎩

{

} (∑ t ) / n⎫⎬⎭

ˆ t − 2) + nt − t ( β ∑i =1 i 1 0 0 n

n

i =1 i

2

1/ 2

Inferencia: Bondad de ajuste. Prueba de Laplace Hipótesis Nula a probar: El proceso de Poisson es Homogeneo, esto es, β1 = 0 . Esta prueba se basa en el estadístico

∑ U=

n

− ( 1 / 2 ) t nt 0 i i =1 t0 (n / 12)

1/ 2

Bajo la hipótesis nula, esta estadística tiene una distribución aproximadamente normal.

Inferencia: Ejemplo. Fallas del motor del submaríno. Modelamos de los tiempos de falla no programados, con un PPNH loglineal, con función de intensidad

λ (t ) = exp( β 0 + β1t ) Los estimadores de máxima verosimilitud de los parámetros, son los valores que maximizan la función logverosimilitud

l = 56 β 0 + 461731β1 −

exp( β 0 ){exp(15070 β1 ) − 1}

β1

Inferencia: Ejemplo. Fallas del motor del submarino. Los estimadores son

βˆ0 = 3.73, βˆ1 = 0.57, se( βˆ1 ) = 0.47 Estos valores sugieren que el valor de βˆ1 no es significativo estadísticamente. Utilizando la prueba de homogeneidad de Laplace, tenemos

∑ U=

n

t − (1 / 2)nt0

i =1 i

t0 (n / 12)1/ 2

461731 − 56 ×15070 / 2 = = 1.22 15070 56 / 12

El valor del estadístico de prueba es muy pequeño, por lo cual no podemos rechazar la hipótesis de función de intensidad constante para estos datos.

Crecimiento de la confiabilidad El objetivo de las pruebas de crecimiento de confiabilidad es mejorar la confiabilidad a través del tiempo, introduciendo cambios en el diseño del producto y en el proceso de manufactura.

Diseño inicial

Prueba de crecimiento

Evaluación de confiabilidad

Rediseño

Análisis de ingeniería

El ciclo del crecimiento de la confiabilidad

Crecimiento de la confiabilidad M (t ) MTTF objetivo

MF Mi

MTTF en la i-ésima prueba

MI

MTTF en el ciclo inicial de prueba

t1

ti

El ciclo del crecimiento de la confiabilidad

Crecimiento de la confiabilidad λ (t ) Tasa de fallas

λ1 λ (t ) = abt

λ2 λ3

t=0

b −1

s1

s2

s3

λ4 s4

Modelo AMSAA de crecimiento de confiabilidad (Army Material Sistems Analysys Activity , 1984)

Crecimiento de la confiabilidad Sean 0 < s1 < s2 < ... < sk los tiempos de prueba acumulados en los que se hacen modificaciones al diseño. Suponemos que las tasas de falla son constantes entre los cambios de diseño. El número de fallas durante el i-ésimo período de prueba, tiene una función de probabilidad Poisson dada por

[λi ( si − si −1 )] exp( −λi ( si − si −1 )) P ( N i = n) = n n

Crecimiento de la confiabilidad Si t es el tiempo de prueba acumulado y n(t) es el número acumulado de fallas al tiempo t de pruebas, entonces

[λ (t )] exp( −λ (t )) P (n(t ) = n) = n n

donde la tasa de fallas acumulada es de la forma

⎧ ⎪ λ1t 0 ≤ t < s1 ⎪ λ (t ) = ⎨ λ1s1 + λ2 (t − s1 ) s1 ≤ t < s2 ⎪λ1s1 + λ2 s2 + λ (t − s2 ) s2 ≤ t < s3 ⎪ ⎩..........

Crecimiento de la confiabilidad En la practica se aproxima el modelo por un PPNH con la función de intensidad de potencia,

λ (t ) = abt b −1

Los procesos de Poisson en confiabilidad son de gran utilidad para modelar procesos de fallas en: Sistemas reparables Mantenimiento Crecimiento de la confiabilidad Confiabilidad de software

GRACIAS