Distribución muestral de proporciones Algunas secciones han sido tomadas de: Apuntes de Estadística Inferencial Instituto Tecnológico de Chiuhuahua

Distribución muestral de Proporciones

Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la muestra, sino que queremos investigar la proporción de artículos defectuosos o la proporción de personas con teléfono, etc en la muestra. La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones. Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de medias, a excepción de que al extraer las muestras de la población se calcula el estadístico proporción (p=x/n en donde “x” es el número de éxitos u observaciones de interés y “n” el tamaño de la muestra) en lugar de la media de cada muestra que era lo que calculamos antes.

El siguiente diagrama sirve para explicar el concepto de distribución muestral de proporciones.

La distribución muestral de proporciones está estrechamente relacionada con la distribución binomial; una distribución binomial es una distribución del total de éxitos en las muestras, mientras que una distribución de proporciones es la distribución de un promedio (media) de los éxitos. Como consecuencia de esta relación, las afirmaciones probabilísticas referentes a la proporción muestral pueden evaluarse usando la aproximación normal a la binomial, siempre que:

np ≥ 5 y

n(1-p) ≥ 5

Una distribución binomial es, por ejemplo, si echamos una moneda al aire y observamos el lado que cae. Está claro que sólo hay dos posibilidades. Ahora bien, la probabilidad de que caiga la moneda de cualquier lado es la misma siempre que ésta no esté cargada. Como cada caso tiene igual probabilidad de ocurrir, y siendo la suma de probabilidades siempre igual a 1, entonces la probabilidad de que caiga la moneda de algún lado es 0.5. Si realizamos el experimento n veces y queremos saber la probabilidad de que salga águila o sol x veces, entonces usamos una distribución binomial.

Generación de la Distribución Muestral de Proporciones Suponga que se cuenta con un lote de 12 piezas, el cual tiene 4 artículos defectuosos. Se van a seleccionar 5 artículos al azar de ese lote sin reemplazo. Vamos a generar la distribución muestral de proporciones para el número de piezas defectuosas. Como se puede observar en este ejercicio la proporción de artículos defectuosos de esta población es P = 4/12=1/3. Por lo que podemos decir que el 33% de las piezas de este lote están defectuosas. El número posible de muestras de tamaño 5 a extraer de una población de 12 elementos es 12C5=792, las cuales se pueden desglosar de la siguiente manera:

Para calcular la media de la distribución muestral de proporciones se tendría que hacer la sumatoria de la frecuencia por el valor de la proporción muestral y dividirla entre el número total de muestras. Esto es:

μp =

(0.8 ⋅ 8) + (0.6 ⋅112) + (0.4 ⋅ 336) + (0.2 ⋅ 280) + (0 ⋅ 56) 1 = = 0.333 792 3

Como podemos observar la media de la distribución muestral de proporciones es igual a la proporción de la población.

μp = P

La desviación estándar de la distribución muestral de proporciones del ejemplo se puede calcular directamente con los datos:

σp

(0.8 − 0.33) 2 ⋅ 8 + (0.6 − 0.33) 2 ⋅112 + (0.4 − 0.33) 2 ⋅ 336 + (0.2 − 0.33) 2 ⋅ 280 + (0 − 0.33) 2 ⋅ 56 = = 0.168 792

Sin embargo, podemos usar la distribución binomial lo cual nos da la siguiente fórmula para la desviación estándar de la distribución muestral de proporciones:

σp =

P (1 − P ) n

Notar que P es la proporción de la población

pero n es el tamaño de la muestra

Como vimos antes, si contamos con una población finita y un muestreo sin reemplazo, para calcular la desviación estándar usamos la corrección (Como regla aproximada, si el muestreo se hace sin reemplazo y el tamaño de la población es 20 veces el tamaño de la muestra o menor, entonces se puede usar la fórmula):

σp =

P (1 − P ) N − n n N −1

Para el ejemplo anterior tendríamos la siguiente distribución de probabilidades:

Usando la fórmula tendríamos entonces:

σp =

P (1 − P ) N − n = n N −1

0.333(0.666) 12 − 5 = 0.168 5 12 − 1

Lo cual es igual al valor de la desviación estándar obtenido antes

La fórmula que se utilizará para el cálculo de probabilidad en una distribución muestral de proporciones está basada en la aproximación de la distribución binomial a la normal . Esta fórmula nos servirá para calcular la probabilidad del comportamiento de la proporción en la muestra.

z=

p− P

P (1 − P ) n

Esta fórmula se puede comparar a las anteriores si pensamos en que estamos calculando una diferencia entre la proporción de la muestra y la de la población en unidades de desviación estándar, como era el caso de la distribución de medias:

z=

x−μ

σ

n

A la fórmula anterior se le puede agregar el factor de corrección (en el denominador):

z=

p− P P (1 − P ) N − n n N −1

si se cumplen con las condiciones mencionadas anteriormente de que sea una población finita (N/n < 20) y sin reemplazo.

Ejemplo: Se ha determinado que 85.1% de los estudiantes de una universidad fuman cigarrillos. Se toma una muestra aleatoria de 200 estudiantes. Calcular la probabilidad de que no más de 80% de alumnos de la muestra fume.

Solución: La media o valor esperado de la distribución muestral es de P=0.851 (la proporción de la población), por lo que:

z=

p− P P (1 − P ) n

=

0.800 − 0.851 0.851(1 − 0.851) 200

= −2.0255

Usando las tablas de valor z, para z = -2.02 encontramos que la probabilidad de que no más de (es decir, menos de) 80% de los alumnos de la muestra fumen es de 0.0214 o sea 2.14%

0.0214

Actividad 1. Suponer que de la gente que solicita ingresar a una compañía, 40% pueden aprobar un examen de artimética para obtener el trabajo. Si se tomara una muestra de 20 solicitantes, ¿Cuál sería la probabilidad de que 50% o más de ellos aprobaran? Datos: P = 0.40, n = 20,

z=

p = 0.50

p− P P (1 − P ) n

=

0.50 − 0.40 0.40(1 − 0.40) 20

= 0.9129

Usando tablas de valor o calificación z, o un programa para distribución normal estándar (como Minitab, etc.), encontramos que el área bajo la curva hasta un valor de z = 0.9129 es de 0.81935, o sea que (1- 0.81935) = 0.1806, por lo que la probabilidad de que 50% o más aprobaran es de 18.06% .

El área desde es de 0.81935

∞ hasta z= 0.9129

Cómo calcular probabilidades normales usando MINITAB (versión en inglés): • •

• • • •

En el menú superior: Calc > Probability Distributions > Normal Tenemos 3 opciones: – Probability density – Esta nos da el valor de la función de densidad, f(x) para un valor específico de x. Esto no nos es muy útil en esta clase. – Cumulative Probability – Esta nos da el área bajo la curva hasta un valor z específico. Usamos esto para encontrar probabilidades. – Inverse Cumulative Probability – Esto nos da el valor z para una área específica bajo la curva. Esto lo usamos para encontrar valores críticos. Hacer Click en la opción que queremos. Se introduce la media y la desviación estándar de la distribución normal que estamos usando. En el caso de la estándar normal (Z) introducimos N(0,1). Hacemos Click en “input constant” e introducimos el valor de x (xvalue) para la opción 1, el valor z para la opción 2, o la probabilidad para la opción 3.

Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de que tengamos un valor mayor a 60 si tenemos datos con una distribución normal con media 55 y deviación estándar de 4? Esto es, encontrar P(x > 60).

Como puede verse en la figura, el resultado que se obtiene es que P(X < 60) = 0.8964. Notar que nos da los valores de la probabilidad de que X sea menor al valor dado, por lo que para nuestro problema: P(X > 60) = 1 - 0.8964 = 0.1036

Si lo que queremos es el área para una calificación Z (normal estándar) entonces, como se explicó, podemos introducir una media igual a 0 y una desviación estándar de 1.0, e introducir el valor de Z para el cual queremos encontrar la probabilidad.

Poner media = 0 Poner σ = 1.0

Poner z = valor de interés