Universidad Diego Portales

Estadística I Profesor: Carlos R. Pitta

Facultad de Economía y Empresa

Distribución Normal La distribución normal (O Gaussiana) se define como sigue:

En donde  y >0 son constantes arbitrarias. Esta función es en realidad uno de las más importantes distribuciones de probabilidad continua. Los diagramas siguientes muestran los cambios en f a medida que  y  varían. En particular, observe que estas figuras en forma de campana son simétricas alrededor de x=

Distribuciones Normal y Exponencial

■1■

Universidad Diego Portales

Estadística I Profesor: Carlos R. Pitta

Facultad de Economía y Empresa

Algunas propiedades de la distribución normal son (Teorema): Distribución Normal Media  Varianza 2 Desviación Estándar  En lo sucesivo, denotaremos a la distribución normal con media  y varianza 2 por medio de: N(, 2) Si hacemos la sustitución

en la fórmula anterior para N(, 2) obtenemos la distribución

normal estandarizada

Que tiene media =0 y varianza 2=1. El gráfico de esta distribución aparece a continuación. Note que para -1  z  1 obtenemos el 68.2% del área bajo la curva, y para -2  z  2 tenemos el 95.4% del área bajo la curva.

La simetría de la curva alrededor de z=0 nos permite obtener el área entre dos valores cualesquiera de z.

Distribuciones Normal y Exponencial

■2■

Universidad Diego Portales Facultad de Economía y Empresa

Estadística I Profesor: Carlos R. Pitta

Ahora, sea X una variable aleatoria continua con distribución normal. Frecuentemente diremos que X se encuentra normalmente distribuida. Calcularemos la probabilidad de que X caiga entre a y b, a lo que denotaremos como P(a  X b) como sigue. Primero, cambiaremos a y b a unidades estándar:

Respectivamente. Entonces, escribiremos P(a  X b) = P(a’  X*  b’) = área bajo la curva normal estandarizada entre a’ y b’. Aquí, X* es la variable aleatoria estandarizada que corresponde a X, y por lo tanto X* tiene una distribución normal estándar N(0,1)

Distribuciones Normal y Exponencial

■3■

Universidad Diego Portales Facultad de Economía y Empresa

Estadística I Profesor: Carlos R. Pitta

Distribución Exponencial Las distribuciones exponenciales son toda una clase de distribuciones de probabilidad continua que describen el tiempo transcurrido entre eventos de un proceso Poisson, es decir, un proceso en el cual los eventos ocurren de manera continua e independiente, y a una tasa promedio constante. La función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial es:

Donde >0 es el parámetro de la distribución, también llamado el parámetro de la tasa o porcentaje. La distribución se basa en el intervalo [0, ∞). Si una variable aleatoria X tiene esta distribución, la describiremos con X~℮ . Su función de distribución acumulada de probabilidad es:

La distribución exponencial ocurre de manera natural cuando nos encontramos analizando fenómenos en los que describimos la longitud de los intervalos de, por ejemplo, tiempos de espera, de un proceso Poisson homogéneo. La distribución exponencial puede ser vista como la contraparte de la distribución hipergeométrica. En la vida real, el supuesto de tasa constante (o probabilidad constante por unidad de tiempo) se satisface solo ocasionalmente. Por ejemplo, la tasa de llamadas telefónicas a un call center difiere de acuerdo a la hora del día. Pero si nos interesa solo un intervalo de tiempo en el cual la tasa de llamadas es relativamente constante, por ejemplo de las 2 a las 4 pm durante los días laborales, la distribución exponencial puede ser utilizada como una buena aproximación para el tiempo real que, en promedio, deberemos esperar para que la próxima llamada. Otros ejemplos en los que se puede usar la distribución exponencial:   

El tiempo que toma para que la radioactividad de una partícula decaiga. El tiempo que tardará la próxima llamada telefónica. El tiempo que tardará un cliente en entrar en "default", en pagos por ejemplo a una compañía bancaria.

Las variables exponenciales también pueden ser usadas como modelos de simulación de ciertos eventos que ocurren con una probabilidad constante por unidad de tiempo, tales como las distancias entre mutaciones en una cadena de DNA. Es decir, básicamente para el mismo tipo de situaciones en que usamos la distribución Poisson, solo que la distribución exponencial describe el caso continuo (a diferencia de la distribución Poisson, que es discreta)

Distribuciones Normal y Exponencial

■4■

Universidad Diego Portales

Estadística I Profesor: Carlos R. Pitta

Facultad de Economía y Empresa

Algunas propiedades de la distribución Exponencial son (Teorema): Distribución Exponencial Media Varianza Desviación Estándar

Distribuciones Normal y Exponencial

■5■

Universidad Diego Portales Facultad de Economía y Empresa

Distribuciones Normal y Exponencial

Estadística I Profesor: Carlos R. Pitta

■6■

Universidad Diego Portales Facultad de Economía y Empresa

Distribuciones Normal y Exponencial

Estadística I Profesor: Carlos R. Pitta

■7■